九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 图形的相似～第3章 一元二次方程）

九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知，，点到线段的距离为，，则的长度为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，延长交于点E，可知是线段的垂直平分线，根据三线合一得到，，根据三角函数可知的长度． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴， ∴． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 3．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 【答案】D 【分析】根据题意确定出剪下来的三角形与三角形相似，面积比为，得到相似比，逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，剪下来的三角形与三角形相似，面积比为， 故相似比为， 即， ∵，，，， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意． 4．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 6．（2026·河南周口·三模）如图，在矩形纸片中，点E是边的中点，点F在边上．将该纸片沿折叠后，使点B落在边上的点G处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，连接交于点M，设，则，可得，再根据矩形的性质得，即可得四边形是矩形，进而得，然后说明，接下来由折叠的性质知，再根据勾股定理求出，进而得，下面根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】解：作于点N，连接交于点M，设，则， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点E是边的中点， ∴， ∴． 由折叠的性质知，垂直平分， ∴． 在中，， 即， 解得． ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 【答案】A 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 8．（2025·四川内江·模拟预测）如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，过点作于点，假设，证明，得出相等的线段，表示出相关线段，证明，得出，列出分式方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 假设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， 经检验，当时，是原分式方程的解，符合题意， ∴． 9．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 10．（2026·河南驻马店·三模）如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，．若，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接交于点，易证明四边形是菱形，则、，进而证明是等腰三角形，设，则，根据求出长，证明，则，据此求解即可． 【详解】解：连接交于点， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：，， ， 四边形是菱形， 、， ， 是等腰三角形， ， 、， ， 设，则， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 12．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．（2026·四川成都·二模）已知桌面上平放着一个矩形木框，拖动顶点C，使其变为平行四边形木框，其示意图如图所示，若矩形的面积是平行四边形的面积的3倍，则的值为______． 【答案】 【分析】设矩形 的宽 为 b，平行四边形 边 上的高为 h，根据矩形和平行四边形的面积公式及题意得出，由木框边长不变可知，在直角三角形中利用勾股定理求出的邻边与斜边的比值，再根据平行四边形对角相等求解即可． 【详解】解：设矩形的边，，平行四边形 边 上的高为 h， ∵ 矩形 的面积是平行四边形的面积的 3 倍， ∴，即， ∵ 木框边长不变 ∴ 如图：过点 F 作 于点 G，则， 在中， ∴． ∵ 四边形 是平行四边形 ， ∴， ∴． 14．（2026·广东佛山·一模）商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元． 【答案】375 【分析】设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，最后根据“总利润=每台利润×销售数量”列出方程求解． 【详解】解：设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，根据题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以，每台冰箱应降价375元． 15．（2026·浙江·中考真题）如图，，，、分别是、的中点，、分别为、上任意点，当关于对称的线段垂直时，___________． 【答案】 【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到与、的关系，再利用对称轴的性质得到角度关系，从而求出． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点，连接，， 由和关于对称可得，、、三点共线． ， ，为等腰三角形， 为的中点，， ，， 在中，， 、分别是、的中点， ∴为的中位线， ，， ， 线段垂直， ， 根据轴对称可得， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 16．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 【答案】 【分析】根据题意可知 是 的角平分线，结合正方形性质可得 ，过点 作 和 延长线的垂线，利用角平分线性质和相似三角形 求出 到 的距离，再利用 求出的长，最后在 中利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意可知 平分 ， 四边形 是正方形， ， 点 在 的延长线上， ， ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形， 平分 ， ， ∴四边形 为正方形， 在 中， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026·福建三明·模拟预测）对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)， (2)证明：是勾系一元二次方程， ，   ， ， ， ∴关于的勾系一元二次方程必有实数根． 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，然后利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是勾系一元二次方程，且，， ． ， （负舍），   ∴原方程为：．   ， ， ，． （2）略． 18．（6分）（2026·浙江绍兴·二模）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）直接利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先说明，再利用等边对等角以及三角形内角和公式可得，解直角三角形可得，利用勾股定理可得，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 19．（8分）（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∴千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（此时大于的长，舍去）， ∴千米， 答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 20．（8分）（2026·福建·中考真题）如图，在四边形 中， 是上的一点，，．四边形由四边形 沿翻折得到，点 ， ， 的对应点分别为，，．是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ． ∵四边形由四边形 翻折得到，点 的对应点为， ． ， ． ． (2) 【分析】（1）利用平行和折叠的性质证明，即可得出结论； （2）根据是等腰直角三角形可求，过点作，垂足为，再解三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，垂足为 ． ，， ． ， ． ∵四边形由四边形 翻折得到，点 的对应点为， ，，． 在中，， ． ，， ． 21．（10分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； （3）解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 22．（10分）（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 23．（12分）（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边确定点，连接，使； (2)在图②中的边确定点，连接，使； (3)在图③中内部确定一点，连接并延长交边于点，使 【答案】(1)解：所求图形如图所示； (2)解：所求图形如图所示； (3)解：所求图形如图所示； 【分析】（1）利用网格特点取的中点E，即可解答； （2）取线段与格线的交点G，得到点G是的中点，即可解答； （3）取与格线的交点N，连接，此时点B与点N在水平方向上的距离为3，再确定点M即可． 【详解】（1）解：如图， 由网格特点可得，，， ∴． （2）解：如图， 由网格特点可得，， ∴， ∴． （3）解：如图， 由网格特点可得，，， ∴， ∴． 24．（12分）（2026·山东临沂·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． (1)操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； (2)继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 【答案】(1) (2)解：四边形是菱形．证明如下： ∵在中，，是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）先得出，再得出，，则，进而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得； （2）先得出是等边三角形，则，，再得出，，则四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （3）先求出，，，的长，再证出，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：∵在中，，，， ∴，， ∵为斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴在中，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 图形的相似~第3章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知，，点到线段的距离为，，则的长度为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 4．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．（2026·河南周口·三模）如图，在矩形纸片中，点E是边的中点，点F在边上．将该纸片沿折叠后，使点B落在边上的点G处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 8．（2025·四川内江·模拟预测）如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 10．（2026·河南驻马店·三模）如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，．若，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 12．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 13．（2026·四川成都·二模）已知桌面上平放着一个矩形木框，拖动顶点C，使其变为平行四边形木框，其示意图如图所示，若矩形的面积是平行四边形的面积的3倍，则的值为______． 14．（2026·广东佛山·一模）商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元． 15．（2026·浙江·中考真题）如图，，，、分别是、的中点，、分别为、上任意点，当关于对称的线段垂直时，___________． 16．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026·福建三明·模拟预测）对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 18．（6分）（2026·浙江绍兴·二模）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的值． 19．（8分）（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 20．（8分）（2026·福建·中考真题）如图，在四边形 中， 是上的一点，，．四边形由四边形 沿翻折得到，点 ， ， 的对应点分别为，，．是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（10分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 23．（12分）（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边确定点，连接，使； (2)在图②中的边确定点，连接，使； (3)在图③中内部确定一点，连接并延长交边于点，使 24．（12分）（2026·山东临沂·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． (1)操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； (2)继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $