期中考试学情自测卷拔尖卷2026—2027学年北师大版九年级上学期数学

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测卷拔尖卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列式子是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 3．如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．下列说法正确的是（   ） A．已知线段，点是的黄金分割点，则 B．已知，，，，则，，，是成比例线段 C．方程有两个实数解 D．对角线相等且垂直的四边形是正方形 7．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D． 9．菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（    ）    A．2 B． C．1 D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十“端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为______cm（保留根号）． 13．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为______． 14．如图，四边形是菱形，其中，，则菱形的面积为______． 15．如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，P是上一点，且，则的长为__________． 16．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程． (1)； (2)． 18．平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． (1)将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． (2)连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． (3)请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 19．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 20．“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2024年种植了64亩，到2026年的种植面积达到100亩． (1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； (2)某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 21．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 22．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 23．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______． ②已知实数a，b满足：，则______． (2)已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围． (3)设实数a，b分别满足，且，求的值． 24．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 参考答案 1．D 【详解】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D 2．D 【详解】试题分析：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分； ∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直． 故选D． 3．D 【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为 故选D． 4．A 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 5．B 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 6．A 【详解】解：∵线段，点是的黄金分割点， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，，， ∴， ∴，，，不是成比例线段，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴方程没有实数根；故C不符合题意； ∵对角线相等且垂直的平行四边形是正方形， ∴D不符合题意； 故选：A 7．A 【详解】解：∵阴影部分的面积为64， ∴， 设，则， 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为， 故选：A． 8．A 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选A． 9．B 【详解】解：∵菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．D 【详解】解：如图，连接，    四边形是正方形， ，，， ， ， ， 平分， ， ， 在与, ， ， ， ， O为对角线的中点， ， 故选：D． 11．且 【详解】解：根据题意，得：，且，解得：且． 故答案为：且． 12． 【详解】解：∵点C恰好是线段的黄金分割点，即，， ，解得：， ∵，不符合题意舍去 ， 故答案为：． 13． 【详解】解：在菱形中， ， 在中， ∵， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴， 在中，， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为中点， ∴． 故答案为：． 14． 15． 16． 17．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， 则 ， ． 18．(1) 如图，为所作； (2)如图，为所作； （3）解：作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，点为所作， ， ， 设直线的函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线的函数关系式为， 令，则，解得：， 19．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．【详解】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 21．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 23．【详解】（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为， ∴根据韦达定理，可得 ，． 故答案为：， ②∵， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为： （2）解：∵实数m、n、t满足：， ∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根， ∴，即， ，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， 且， ∴； （3）解：∵实数a，b分别满足，且， ∴， ∴方程可变形为， ∴a，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 24．(1)解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； （2）解：连接并延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点B作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $