九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：第20章 二次根式～第22章 图形的相似）

九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第20章 二次根式~第22章 图形的相似 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 6．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川内江·模拟预测）如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 9．（2026·河南驻马店·三模）如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，．若，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·云南昆明·期中）化简___________（所有字母为非负数）． 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 13．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）若，则的值为_______． 14．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 15．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 16．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）计算 (1)； (2)． 18．（6分）（2026·福建三明·模拟预测）对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 19．（8分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 20．（8分）（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 21．（10分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 23．（12分）（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边确定点，连接，使； (2)在图②中的边确定点，连接，使； (3)在图③中内部确定一点，连接并延长交边于点，使 24．（12分）（2026·山东临沂·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． (1)操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； (2)继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：∵， ∴，故C正确.； 对于选项D：，故D错误． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 3．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 【答案】D 【分析】根据题意确定出剪下来的三角形与三角形相似，面积比为，得到相似比，逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，剪下来的三角形与三角形相似，面积比为， 故相似比为， 即， ∵，，，， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 5．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 6．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 7．（2025·四川内江·模拟预测）如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，过点作于点，假设，证明，得出相等的线段，表示出相关线段，证明，得出，列出分式方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 假设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， 经检验，当时，是原分式方程的解，符合题意， ∴． 8．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 【答案】A 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 9．（2026·河南驻马店·三模）如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，．若，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接交于点，易证明四边形是菱形，则、，进而证明是等腰三角形，设，则，根据求出长，证明，则，据此求解即可． 【详解】解：连接交于点， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：，， ， 四边形是菱形， 、， ， 是等腰三角形， ， 、， ， 设，则， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查矩形的性质，旋转的性质，全等、相似三角形的判定与性质，找到全等三角形和相似三角形建立线段之间的等量关系是解题关键． 先通过矩形的性质求出的长，再取与的交点为M，通过旋转和矩形的对角线相等且互相平分，证明，再利用等边对等角和对顶角，三角形内角和，推出，通过已知条件得到相似比，建立线段之间的等量关系，最后列方程求出对应的值即可． 【详解】解：如图，取与的交点为M， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是矩形的对角线，的交点， ∴， ∴， 由旋转的性质，可知，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， ∴， ， ∴的周长为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·云南昆明·期中）化简___________（所有字母为非负数）． 【答案】 【详解】解：． 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 13．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据完全平方公式即可解答． 【详解】， ． 14．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 16．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 【答案】 【分析】根据题意可知 是 的角平分线，结合正方形性质可得 ，过点 作 和 延长线的垂线，利用角平分线性质和相似三角形 求出 到 的距离，再利用 求出的长，最后在 中利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意可知 平分 ， 四边形 是正方形， ， 点 在 的延长线上， ， ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形， 平分 ， ， ∴四边形 为正方形， 在 中， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的除法和乘法法则计算，再合并同类二次根式即可； （2）先逐项化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式= = =； （2）解：原式= =； 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（6分）（2026·福建三明·模拟预测）对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)， (2)证明：是勾系一元二次方程， ，   ， ， ， ∴关于的勾系一元二次方程必有实数根． 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，然后利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是勾系一元二次方程，且，， ． ， （负舍），   ∴原方程为：．   ， ， ，． （2）略． 19．（8分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 【答案】(1) (2)解：∵要裁的长方形面积为，宽为， ∴它的长为 ， ∵原长方形的长为、宽为， ∴， 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， ∴小牛的想法不可行． 【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积． （2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为． ∵，： ∴， ． ∴长方形的面积为 ． （2）略 20．（8分）（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【详解】（1）解：， ∴①的一个有理化因式是； ②的一个有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式 ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴． 21．（10分）（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； （3）解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 22．（10分）（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 23．（12分）（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边确定点，连接，使； (2)在图②中的边确定点，连接，使； (3)在图③中内部确定一点，连接并延长交边于点，使 【答案】(1)解：所求图形如图所示； (2)解：所求图形如图所示； (3)解：所求图形如图所示； 【分析】（1）利用网格特点取的中点E，即可解答； （2）取线段与格线的交点G，得到点G是的中点，即可解答； （3）取与格线的交点N，连接，此时点B与点N在水平方向上的距离为3，再确定点M即可． 【详解】（1）解：如图， 由网格特点可得，，， ∴． （2）解：如图， 由网格特点可得，， ∴， ∴． （3）解：如图， 由网格特点可得，，， ∴， ∴． 24．（12分）（2026·山东临沂·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． (1)操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； (2)继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 【答案】(1) (2)解：四边形是菱形．证明如下： ∵在中，，是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）先得出，再得出，，则，进而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得； （2）先得出是等边三角形，则，，再得出，，则四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （3）先求出，，，的长，再证出，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：∵在中，，，， ∴，， ∵为斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴在中，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $