九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：第21章 二次函数与反比例函数～第22章 相似形）

九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 2．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·浙江杭州·一模）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．若函数图象分布在第二、四象限，则 B．若点在函数图象上，且，则 C．若，则当时，的最大值为 D．若函数图象上有两点，满足且，则 【答案】B 【分析】根据反比例函数的系数的正负，结合反比例函数的图象与性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数， 对选项A：∵函数图象分布在第二、四象限， ∴，解得，A说法正确； 对选项B：当，即时，在内，y随x的增大而增大， ∵， ∴； 当，即时，在内，y随x的增大而减小， ∵， ∴，题中的结论不成立，B说法错误； 对选项C：∵， ∴， ∵时，反比例函数y随x增大而减小， ∴时，时y取最大值，最大值为，C说法正确； 对选项D：∵，若，则说明时，时， 可得，即，D说法正确． 4．（2025·四川内江·模拟预测）如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，过点作于点，假设，证明，得出相等的线段，表示出相关线段，证明，得出，列出分式方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 假设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， 经检验，当时，是原分式方程的解，符合题意， ∴． 5．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 【答案】D 【分析】根据题意确定出剪下来的三角形与三角形相似，面积比为，得到相似比，逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，剪下来的三角形与三角形相似，面积比为， 故相似比为， 即， ∵，，，， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意． 6．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 【答案】C 【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a． 【详解】解：∵ ， ∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∵ 自变量x满足 ∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内， ∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意 ∴为任意实数． 7．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，分段讨论点在和上运动时的取值范围，找出公共范围并验证选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，，点在点右侧， ∴，， ∴， 设，反比例函数解析式为，则， 当点在线段上运动时，，， ∴，即； 当点在线段上运动时，，， ∴，即， 若图象经过某点两次，则该点对应的值在两段运动中均能取到，且对应不同的点， ∴， 、，不在范围内，不符合题意； 、，在范围内，符合题意； 、，不在范围内，不符合题意； 、，不在范围内，不符合题意． 9．（2026·河南驻马店·三模）如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，．若，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接交于点，易证明四边形是菱形，则、，进而证明是等腰三角形，设，则，根据求出长，证明，则，据此求解即可． 【详解】解：连接交于点， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：，， ， 四边形是菱形， 、， ， 是等腰三角形， ， 、， ， 设，则， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 10．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，②④错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为______． 【答案】21 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式得对称轴为直线，点A和C纵坐标相同，故其横坐标中点位于对称轴上，得，点B的横坐标为，代入函数解析式求值即得n． 【详解】解：由二次函数的对称轴为直线， ∵点和纵坐标相同， ∴点A、C两点关于抛物线的对称轴对称，故，即， ∴点B的横坐标为， 代入函数解析式： ； 故答案为21． 12．（2026·陕西西安·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，时，反比例函数在每个象限内随的增大而减小，结合可得两点都在第一象限，横坐标均为正，且横坐标满足不等关系，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． ， 均为正数，两点都在第一象限，横坐标均为正数，且， 即 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是． 13．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点，在反比例函数图象上，用含的代数式表示，，再根据结合勾股定理列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ， ∴ 解得， 反比例函数图象在第一象限， ， ． 14．（25-26九年级·全国·一轮复习）在中，点D是的中点，，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质．过点D作，交于F，利用平行线分线段成比例求得，证明是的中位线，利用等角对等边求得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：过点D作，交于F， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 【答案】 【分析】根据题意可知 是 的角平分线，结合正方形性质可得 ，过点 作 和 延长线的垂线，利用角平分线性质和相似三角形 求出 到 的距离，再利用 求出的长，最后在 中利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意可知 平分 ， 四边形 是正方形， ， 点 在 的延长线上， ， ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形， 平分 ， ， ∴四边形 为正方形， 在 中， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，若与相似，则点的坐标为______．    【答案】或 【分析】分两种情形：当 时，，此时，当时，，此时，分别求解即可． 【详解】解：对于抛物线，令，得，则， 令，可得，解得或， ∴，， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， 当 时，，此时， 把代入，得， 解得：，（舍去）, ∴， 把代入，得， ∴， 当时，，此时， 过点作轴于．    设， ，， ， ， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， 综上所述，满足条件的点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的知识，二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 18．（6分）（2026·安徽芜湖·一模）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值； (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据在每一象限内，y随x的增大而减小，求解即可； （2）根据题意可得或分类讨论，代入反比例函数解析式可得n的取值范围． 【详解】（1）解：，，， 在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， 当时，最小值为①， 当时，最大值为②， 由①，②得：． （2）解：到y轴的距离大于3， 或， ， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴； 当时，，且， ∴； 综上，或． 19．（8分）（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； (3)若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 【答案】(1) 如图所示：    (2) 如图所示：    (3) 【分析】（1）由题意可先得出点A、B、C关于原点对称的点； （2）点为位似中心，按位似比为即可求解： （3）分别以点A、C为圆心，长为半径画弧与轴交点即可求解． 本题主要考查点的坐标关于原点对称,位似图形及等腰三角形的定义，熟练掌握点的坐标关于原点对称及等腰三角形的定义是解题关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得：,,    20．（8分）（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 21．（10分）（2026·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 22．（10分）（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 23．（12分）（2026·福建福州·三模）如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：平移后点E不在反比例函数的图像上，理由如下： ∵，，，菱形沿轴的正方向平移，点恰好在反比例函数的图像上， ∴菱形沿轴的正方向平移，此时点D和点C重合， 即菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上， ∵菱形中， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，即， ∴平移后点的坐标为，即， 当时，反比例函数值为，而． ∴平移后点E不在反比例函数的图像上． 【分析】（1）如图：过点C作轴于点Q，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点C代入即可解答； （2）先说明菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上，然后求出平移后点的坐标为，再判断其是否在反比例函数图像即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作轴于点Q， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ， ， ，， ∴， ∵点C在反比例函数的图像上． ， ∴反比例函数的表达式为； （2）略 24．（12分）（2026·山东临沂·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． (1)操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； (2)继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 【答案】(1) (2)解：四边形是菱形．证明如下： ∵在中，，是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）先得出，再得出，，则，进而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得； （2）先得出是等边三角形，则，，再得出，，则四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （3）先求出，，，的长，再证出，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：∵在中，，，， ∴，， ∵为斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴在中，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第21章 二次函数与反比例函数~第22章 相似形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．（2026·浙江杭州·一模）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．若函数图象分布在第二、四象限，则 B．若点在函数图象上，且，则 C．若，则当时，的最大值为 D．若函数图象上有两点，满足且，则 4．（2025·四川内江·模拟预测）如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 6．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 7．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 9．（2026·河南驻马店·三模）如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，．若，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为______． 12．（2026·陕西西安·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 13．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 14．（25-26九年级·全国·一轮复习）在中，点D是的中点，，，则____________． 15．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，若与相似，则点的坐标为______．    三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 18．（6分）（2026·安徽芜湖·一模）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值； (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． 19．（8分）（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； (3)若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 20．（8分）（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 21．（10分）（2026·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 22．（10分）（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 23．（12分）（2026·福建福州·三模）如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 24．（12分）（2026·山东临沂·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． (1)操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； (2)继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $