精品解析：河南湘豫联考2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷

10月高三数学 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则不等式“”是不等式“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数在区间上的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是一个垂直于水平地面的长方形大门的门框，现测得长为，是立于门前垂直于水平地面的测量标杆，高为，点，，在水平地面上，在标杆顶点处测得点的仰角为，点的仰角为，且测得，则门框的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 某科技园引入“光伏+储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________. 14. 已知函数，，若对于任意，，恒成立，则正实数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知奇函数（，），的图象的两个相邻对称中心之间的距离为. （1）求的解析式； （2）若把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，然后把所得图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.设，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）若的极小值小于1，求的取值范围. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）证明：； （2）若，是的平分线，交于点，为的中点，求的值； （3）若，求周长的取值范围. 18. 已知函数的导函数为，与函数的图象关于直线对称，且. （1）求函数的解析式（含参数）； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，，且，求证：. 19. 定义： ①若定义域内任意满足，则称函数为对合函数. ②若函数在区间上有定义，，，，则称为区间上的凸函数. ③对的导函数再次求导，得到的函数称为的二阶导函数，记作.若在区间上恒成立，则称在区间上是凸函数. 设函数（，），. （1）当时，证明：在区间上为凸函数. （2）判断函数是不是对合函数？若是，请证明，并指出的单调性；若不是，请举出反例. （3）结合定义②，设，，，满足，. （i）证明：当时，；当时，. （ii）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月高三数学 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】根据全称量词命题否定的定义，可得命题“，”的否定是“，”. 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合， 因为，，得. 所以. 3. 已知，则不等式“”是不等式“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，即，所以， 所以，可得成立，反之不成立， 因此不等式“”是不等式“”的必要不充分条件. 4. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数性质求出参数，再验证所得参数确实使为偶函数，最后求． 【详解】因为为偶函数，所以． 由得解得． 当时， 令，则所以为奇函数． 又为奇函数，故为偶函数，因此满足题意． 于是. 5. 设，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的公式化简，结合平方关系求. 【详解】，， 又， 6. 函数在区间上的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， 令，即，得. 所以在上单调递减. 7. 如图，是一个垂直于水平地面的长方形大门的门框，现测得长为，是立于门前垂直于水平地面的测量标杆，高为，点，，在水平地面上，在标杆顶点处测得点的仰角为，点的仰角为，且测得，则门框的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，过点作于点，作于点，则，. 设，则，，由，得.易得，， 又，， 所以由余弦定理可得，解得（舍去负根）. 所以. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，并利用导数分析函数的单调性比较代数式大小. 【详解】设，， 则恒成立，所以在上单调递增. 所以时，，即. 因为，所以. 设，， 则， 所以在上单调递增. 所以，即， 即. 构造函数，，则. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减. 所以， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增. 所以，即，即. 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以， 所以，故A正确. 对于B，， 所以，，故B错误. 对于C，， 所以，故C正确. 对于D，由，得， 所以， 所以，故D正确. 10. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由结合三角恒等变换和正弦定理求得，求出判断选项A；利用正弦定理求外接圆的半径判断选项B；由正弦定理得，结合角的范围求的取值范围判断C选项；设，，结合正弦定理和三角恒等变换得，由的范围求的取值范围. 【详解】锐角中，，， ，，. 因为，所以， 化简得，所以. 由，得，由正弦定理得， 所以，则，所以. 对于A，，，A错误； 对于B，由正弦定理得（为外接圆的半径），即，解得，B正确； 对于C，因为为锐角三角形，所以， 得，则. 由正弦定理，得， 所以，即的取值范围为，C正确； 对于D，设，，由为锐角三角形，得，则. 由正弦定理得，则，. 所以， 即的取值范围是，D正确. 11. 定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合函数图象可知，方程有4个不同的实数根时的取值范围为，再求出函数在上有2个不同的零点时的条件即可. 【详解】如图，画出在上的图象，观察图象可知，， 令，当时，方程有4个不同的实数根， 方程在上有8个不同的实数根， 所以函数在上有2个不同的零点， 所以解得. 实数的取值范围为，是AC选项中集合的子集. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13. 某科技园引入“光伏+储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________. 【答案】2000 【解析】 【详解】由题意可知，容量配置与维护成本为0.2x元，容量不足风险成本为元， 因此每天的综合调度成本. 又， 当且仅当时，等号成立. 故每天的综合调度成本最低时，储能电池的额定容量应设计为. 14. 已知函数，，若对于任意，，恒成立，则正实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：通过换元的方式，将恒成立转化为恒成立，再借助定义域范围求解即可； 方法二：借助和差化积公式，将恒成立转化为恒成立，再分类讨论的范围即可. 【详解】方法一：令，，则，，，， 则. 要使上式对任意恒大于0，令，则需①. 因为，所以.根据①，得，所以. 则只需，即②. 因为，所以.根据②，得，所以. 验证：当时，，，故原不等式恒成立.所以正实数的最大值为. 方法二：由，得， 所以.① 当时，，，所以.此时， 结合余弦函数的对称性：即可，所以.② 当时，.若，显然矛盾. 若，原不等式为，，，， 此时不成立，不符合题意.综上所述，正实数的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知奇函数（，），的图象的两个相邻对称中心之间的距离为. （1）求的解析式； （2）若把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，然后把所得图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.设，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期求，再利用奇函数性质求解析式. （2）根据函数平移及伸缩变换得到解析式，再将条件转化为求实数的取值范围. 【小问1详解】 方法一：因为图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以的最小正周期为，即. 所以. 又为上的奇函数，所以， 即，解得. 所以. 方法二：由，知其定义域为. 又为奇函数，所以，解得. 所以. 因为图象的两个相邻对称中心之间的距离为，所以的最小正周期为. 由，得. 所以. 【小问2详解】 将的图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），可得的图象， 将函数的图象向左平移个单位长度，即得的图象， 然后把的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 因为对任意，总存在，使得成立， 所以. 显然. 下面求的最大值， ，其中. 易得. 所以，解得或. 当时，，则，显然不符合题意. 故实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）若的极小值小于1，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为1. （2）. 【解析】 【分析】（1）方法一（导数法）,求导判断区间内单调性，找到极值点，再比较极值点、区间端点函数值，得到最值；方法二（换元法），换元把分式函数转化为对勾型函数，利用导数研究新函数单调性，再求值域； （2）先求导找临界点，结合分析单调性，确定极小值点为,代入极小值点算出极小值，列不等式，结合已知条件解不等式，舍去不符合范围的解得到的取值范围. 【小问1详解】 方法一：因为，所以. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 又，，， 所以在区间上的最大值为，最小值为1. 方法二：，， 令，则，， 则. 所以. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 故在区间上的最大值为，最小值为1. 【小问2详解】 由，得的定义域为. 易知.令，得，得或 当时，，间断点，得，且 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以的极小值点为. 由，又，得或（舍去）. 故的取值范围为. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）证明：； （2）若，是的平分线，交于点，为的中点，求的值； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1）方法一：由去分母得. 由余弦定理得. 所以，再由正弦定理得. 因， 代入整理得，即. 又，，所以. 因此仅有，即； 方法二：由去分母得 由正弦定理得（*） 因 ， 代入（*），得，因，则得， 又，，所以. 因此仅有，即； 方法三：因为即， 所以由余弦定理得， 因， 则， ∴ ，∵ ， ，∴， ∵，∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化，借助于和角公式与倍角公式化简即可得证； （2）结合图形和角平分线性质，借助于正弦定理和余弦定理求出线段，或者通过建系，求出相关点的坐标，利用两点间距离公式计算，或者利用中线向量和数量积运算计算； （3）利用正弦定理化边为角，结合和角公式与余弦函数的性质计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 方法一：由，，得. 因为是的平分线，所以， 所以，，，. 在中，由正弦定理得，所以. 由为的中点，得. 在中，由余弦定理得， 即. 在中，由直角三角形斜边中线的性质，得. 所以，所以. 方法二：由，，为的平分线， 得，，. 建立如图所示的平面直角坐标系， 设，则，，， 所以. 方法三：设，在中， ∴，， 得到， ∴，故. 【小问3详解】 由正弦定理得，因，， 则，. 得到. 因为 ， 所以 ， 因，所以，则，所以. 故周长的取值范围为. 18. 已知函数的导函数为，与函数的图象关于直线对称，且. （1）求函数的解析式（含参数）； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，，且，求证：. 【答案】（1） （2） （3）根据题意，得方程有两个实数根，， 即有两个实数根.令， 则的定义域为，. 令，解得；令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 所证不等式用割线放缩的方法，这两条割线为图象的最低点与及的连线， 即与. 设两割线，与直线交点的横坐标分别为，，解方程可得，， 所以.当时，，所以； 当时，. 令，则.由，得； 由，得.所以在上单调递减，在上单调递增. 而， 所以，即.， 根据单调性，可得，，所以，证明完毕. 【解析】 【分析】（1）利用反函数性质求函数解析式， （2）分离参数，将不等式转化成构造函数，找到极值点，判断单调性，算出最小值，得出参数范围. （3）先化简方程，消去参数，再根据割线放缩证明双变量不等式. 【小问1详解】 设点为的图象上一点， 则它关于直线对称的点在的图象上，则. 所以，即. 又， 所以，且，得，. 故. 【小问2详解】 根据题意，存在正实数，使得，即成立. 由，不等式两边同时除以，得. 即. 令， 则. 易得，，则的符号完全由决定. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，即. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 定义： ①若定义域内任意满足，则称函数为对合函数. ②若函数在区间上有定义，，，，则称为区间上的凸函数. ③对的导函数再次求导，得到的函数称为的二阶导函数，记作.若在区间上恒成立，则称在区间上是凸函数. 设函数（，），. （1）当时，证明：在区间上为凸函数. （2）判断函数是不是对合函数？若是，请证明，并指出的单调性；若不是，请举出反例. （3）结合定义②，设，，，满足，. （i）证明：当时，；当时，. （ii）当时，证明：. 【答案】（1）证明：因为，，， 所以，. 所以在上为凸函数. （2）证明：因为， 所以是对合函数. 令，有. 因为，，所以当时，. 所以在上单调递减，而函数在上单调递增， 故函数在上单调递减； （3）证明：（ⅰ）方法一：由（2）知为对合函数，则. 因为，由（2）知在上单调递减，因为，，， 所以，即. 又，所以，即. 由，两边取次幂，可得，即. 设，，则. 当时，，，即； 当时，，，即. 方法二：∵ 且 ∴， 因为 由不等式性质得 ∴ 故，即 故当时∴；当时∴ （ⅱ）设，，，由（1）知在上为凸函数， 则由②，对任意，，即. 因为，所以函数在上严格单调递增， 对上述不等式两边同时开次方，得. 因为，，所以. 根据（ⅰ）可得时，， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）利用凸函数的导数定义③即可判断； （2）利用对合函数的定义计算推理即可得证，再通过求导判断其单调性； （3）（ⅰ）利用对合函数得，根据函数单调性推得，结合条件推出，两边取次幂，整理后根据的范围即可得证或利用不等式性质进行证明；（ⅱ）设，，，由凸函数定义可得该函数为凸函数，则有，两边开次方后，结合（ⅰ）的结论进行不等式放缩即可得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $