直线与圆方程题型专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三直线与圆方程题型训练 题型一 直线方程及距离公式 1.（26-27高三上·安徽·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】直线可化为，斜率为，所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即.故选：B 2.（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或，又，所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 3.（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【详解】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为，所以“将军饮马”的最短总路程为5. 4.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即，化简可得直线的方程为. 5.（26-27高三上·上海普陀·开学考试）过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 【详解】直线：整理为斜截式：.可得直线斜率为，倾斜角为， 设所求直线斜率为，因为两直线的夹角为，所以所求直线的倾斜角为和，所以所求直线斜率或.直线过点，所以点斜式方程为或，即直线方程为或. 6.（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 7.（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【详解】根据点到直线的距离公式可得.故答案为：. 8.（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D. 9.（山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上，所以即.故选：D. 10.（26-27高三上·浙江·阶段检测）写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 【详解】将直线方程化成一般式，得，设点到直线的距离为1， 则有，即有，解得或，所以所求点的坐标为或. 11.（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 【详解】点到直线的距离为：，直线：绕着点旋转一周所不能经过的点，等价于到该点的距离小于点到直线的距离，即不能经过的点构成的平面区域是一个以点为圆心，以为半径的圆的内部，则不能经过的点构成的平面区域的面积为：. 12.（26-27高三上·贵州·阶段检测）设直线系，其中．若正方形的四条边都在中的直线上，则该正方形的面积是______． 【详解】由直线方程，可知点在直线上，因此直线与圆有公共点；又原点到直线的距离为，可知直线系中的每一条直线与圆相切； 故直线系为单位圆的所有切线组成；所以当正方形的四条边都在直线系内时，可知单位圆为正方形的内切圆，所以正方形边长为2，其面积为4． 13.（多选题）（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【详解】对于A，将代入的方程，解得，所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误；对于C，由得，解得，此时所以与的距离，故C错误；对于D，如图所示，设分别是直线上的一点，则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 故选：AD 14.（多选题）（26-27高三上·广东广州·开学考试）数学中将具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系.现有直线系，下列说法正确的是（    ） A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 【详解】将直线化为， 则点到直线的距离，所以直线系方程的几何意义是：所有直线到定点的距离恒为，因此直线系就是圆的所有切线的集合. 选项A：对直线系：，取：得，即；取：得，即，两直线的交点为.再取，得，即，而点不在直线上，因此所有切线不可能共定点，因此A错误；选项B：取定点（圆心），它到中任意直线的距离都是，因此不可能在任何一条的直线上，因此B正确；选项C： 中的直线可围成两类正三角形：一类是圆的外切正三角形：如，边长为，面积为；另一类是三条切线分布在圆的同侧、围成的更小的正三角形，如，它的边长为，面积为，因此C错误； 选项D： 对任意，因为圆都存在外切正边形，正边形的每条边都是该圆的切线，也就是都属于直线系，因此D正确.故选：BD 15.（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由圆的方程，配方得，因此圆心为，半径. 计算平行直线距离：将直线整理为，，由平行线距离公式得两直线距离.因为四个交点构成正方形，故直线截圆所得弦长等于两平行线距离，因两直线关于圆心对称，所以圆心到每条直线的距离.如图： 代入弦长公式计算：弦长，代入，，，得，两边平方得，解得，即.再将代入，得. 16.（2026·江苏·模拟预测）已知圆：与轴的交点为，，与轴的交点为，，为圆在第一象限内圆弧上一点，记到的距离为，到的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【详解】 由题意，设，则， 则直线的方程为：，即，则，因为，因为，则， 即，即，则 所以， ，A错， ，B错， ，C错，，D对. 17.（2026·海南海口·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【详解】因为，所以点在线段垂直平分线上.又因为圆心也在线段垂直平分线上，所以直线就是的垂直平分线.因为，所以，因为，所以. 由题意得直线过点，那么直线为，一般形式为.那么. 18.（多选题）（2026·山西忻州·模拟预测）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 【详解】设，则.点到直线的距离为，点到直线的距离为.对于A，.故A正确.对于B，由于，且， 所以.因此.当且仅当时取等，故B正确.对于C，若，则.平方得，化简得.单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误.对于D，由，得.故D正确.故选：ABD 19.（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【详解】，，因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上，设中位线的方程为，根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为，，解得，即，当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 20.（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， .所以这两条直线之间的距离的最大值为. 21.（多选题）（2026·江苏淮安·模拟预测）在中，，的内心，下列说法正确的有（   ） A．的内切圆的半径为3 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为，故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或，其中时，表示的是直线，舍去，所以直线方程为，即，故B正确；当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即，则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去，所以直线方程为，即，故C正确；联立，解得，所以，设外接圆的方程为，所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确.故选：BCD 题型二 圆的方程相关问题 1.（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】线段的中点为，故圆心为．又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 2.（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 【详解】由圆心在直线上可设，且圆的半径设为；又圆与轴相切，所以， 则被轴截得的弦长为，解得,所以圆的半径为. 3.（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______． 【详解】由圆，其半径为2，所以，又，则. 4.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 【详解】由点在圆上，且，则，解得．所以圆的半径为． 5.（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）若圆的一条对称轴为直线，则______. 【详解】圆即,由题设，圆心在直线上，则. 6.（26-27高三上·安徽·阶段检测）半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 【详解】半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的半径.设圆的圆心坐标为， 则，解得（舍去，此时与圆重合）或.所以圆的圆心坐标为.故圆的标准方程为. 7.（2026·陕西咸阳·三模）若圆：关于直线：对称的圆与y轴相切，则______. 【详解】圆的圆心，半径.设圆心关于直线：的对称点为， 则，解得，所以对称圆的圆心为，半径仍为1. 因为对称圆与y轴相切，所以，解得或. 8.山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B. 9.（全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 【详解】法一：∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴， ，解得，∴，， 的方程为.故答案为： 法二：由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.故答案为： 10.（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r,因为圆过原点，所以有，即.因为圆与圆外切，所以有， 所以有，两边同时平方得：，即， 当时，，即，不成立，舍去.当时，，即，则， 所以圆的标准方程为. 11.（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为，其中，设， 代入 得方程解得 或 .选项 A：圆心 ，，符合条件；选项 B：圆心 ，，符合条件；选项 C：圆心 ，，符合条件；选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 12.（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆C的半径为，则，即，则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上，即在上，设， 则，解得，则，又，故其标准方程为. 题型三 弦长问题 1.（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径，则圆心到直线 的距离为，因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 2.（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【详解】由直线被圆截得的弦长为，得圆心到直线的距离为，因此，整理得，解得，所以直线的斜率. 3.（26-27高三上·重庆·开学考试）若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【详解】由圆，得圆心，半径，则圆心到直线的距离，记直线与圆相交两点为，则弦长， 因为，所以，所以劣弧所对圆心角为，优弧所对圆心角为，由于弧长与对应圆心角成正比，所以优弧长度与劣弧长度的比值为. 4.（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为，因为圆截轴所得的弦长为，   所以，即. 5.（多选题）（26-27高三上·安徽·开学考试）已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 【详解】已知圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径，弦长公式：，其中为圆心到直线的距离， 对于A选项，，故圆与圆外切，没有公共弦，故A选项错误； 对于B选项，直线过点，代入得，直线方程：，圆心到直线距离：圆心到直线距离：所以，又两圆半径相等，故弦长恒成立，B选项正确；对于C选项，由B知，当直线过点，则， 因为，故，又所以，由弦长公式，，解得，所以，当时，. 当直线为水平线时，，因为，即，即，整理得，解得或所以，当和时，， 综上，满足条件的直线多于2条，故C错误；对于D选项，当，直线，即，，所以，， 因为，当时取得等号，所以，，当时取得等号，即取得最大值，此时直线，截两圆弦长均为直径，，故D选项正确.故选：BD 6.（多选题）（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（   ） A．直线过定点 B．存在实数，使直线与曲线无公共点 C．直线被曲线截得的弦长的最小值为 D．当时，直线被曲线截得的弦长最大 【详解】设曲线上任意一点，则，，因为，可得，整理得，即曲线是以为圆心，半径为的圆，对于A，将直线方程，变形为，因为该式对任意恒成立，则满足，解得，即直线恒过定点，所以A正确；对于B，由定点到圆心的距离为，即点在圆的内部，所以不存在实数，使直线与曲线无公共点，所以B错误；对于C，因为直线过定点，且，即圆心到直线的最大距离为，结合圆的性质，可得弦长的最小值为，所以C正确；对于D，当时，直线的方程为，即，此时圆心在直线上，即直线过圆心，此时直线被曲线截得的弦长为圆的直径，此时为最大弦长，所以D正确.故选：ACD 7.（多选题）（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 【详解】圆的圆心，半径，则圆心到直线的距离，因为，所以直线上不存在点，使得，故A错误； 因为，所以直线与圆相交，所以弦长为，故B正确；因为圆上的点到直线的最大距离为，故C正确；过圆心作直线的垂线，则垂线的斜率为，所以直线方程为，联立，可解得，所以垂足坐标为，故D正确.故选：BCD 8.（多选题）（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 【详解】∵ ⊙的方程为，半径，圆心到轴的距离为，到轴的距离为， 由弦长公式可得，，且弦长存在，则，，即，.对选项A：∵，即，不能取任意实数，A错误.对选项B：若，则，即，只要满足，即可，符合条件的圆心有无数个， B正确.对选项C：若圆心在⊙上，则，∴，，则， 因为，由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，∴的最大值为，C正确.对选项D：∵，，令，，∴.∵圆心在直线上，∴，代入得：，结合弦长存在的约束，可得当时，取得最小值，此时取最大值，故，由基本不等式可得∴，即，∴，当且仅当（即，结合可解得，满足）时等号成立.故的最大值为，D正确.故选：BCD 9.（26-27高三上·福建莆田·开学考试）直线被圆所截得的弦长为_____． 【详解】圆可化为，所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为. 10.（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【详解】圆 的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得，所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 11.（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）圆被直线截得的弦长为4，则所有满足条件的实数的和为____________． 【详解】已知圆的方程为，转化为标准方程得：， 所以圆心坐标为，半径，根据点到直线的距离公式知：，又因为直线与圆相交的弦长公式为，代入已知条件，所以，即，，，解得：或，最后求和得. 12.（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【详解】由，令，得，所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径，由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交，因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离，当取最大值时，弦长最短，则当时， ，此时最短弦的长度为. 13.（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【详解】化圆的一般方程为标准方程，因此圆心为，半径.已知弦长，则弦长的一半为,根据垂径定理，圆心到直线的距离满足，代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 14.（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，当时，最小， ，此时.故选：C 15.（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为，当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D 16.（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径，的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长，说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，.则，即，结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时，即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 题型四 切线问题 1.（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆.圆即，表示以为圆心，半径为4的圆.两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3. 2.（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径，点到直线：的距离为. 分析充分性：若，则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性：若直线与圆相切，则，即，解得或，必要性不成立.综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 3.（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【详解】因为圆的圆心，半径，由题意可得， 整理得， 4.（2026·山东聊城·一模）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 【详解】圆，圆心，圆的半径．若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直，由几何关系可知，此时，即，即，解得或（舍）． 5.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【详解】因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则， 可得，则，，即为钝角，所以 6.（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1．因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，所以，，，，所以，．当时，取最小值，，此时取最大值，又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值，又，所以． 7.（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由圆，得圆心，半径，由题意，四边形的面积为，在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可，此时，即， 所以，，则四边形的面积的最小值为 8.（全国I卷·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，当直线时，， ，此时最小．∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D. 9.（全国II卷·高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B. 10.（多选题）（26-27高三上·河北唐山·开学考试）圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆的半径为2 B． C．直线与两圆都相切 D．两圆公共弦所在直线的方程为 【详解】圆：，圆心，半径，圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确；，故选项B错误； 直线与两圆都相切，直线与圆相切圆心到直线距离等于半径，点到直线距离：，对：，相切，对：，相切，直线和两圆都相切，故选项C正确；两圆公共弦所在的直线的方程：，化简得：，公共弦方程是，故选项D错误.故选：AC 11.（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即.由圆心到切线距离等于半径：，两边平方：，整理得.代入得，化简得.综上所述，切线方程为或.故选：AC 12.（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【详解】由：，化简可得，所以，的圆心，半径，故A错误；对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确；对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确；对于D，由，化简得：，所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误.故选：BC 13.（多选题）（2026·河北张家口·二模）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 【详解】圆C的方程可化为，，对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确；对于B选项，圆C的方程可化为，令，解得所以圆C过定点，所以B选项正确；对于C选项，，当时，，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，所以C选项正确；对于D选项，，所以D选项正确.故选：BCD 14.（多选题）（2026·安徽黄山·一模）点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．的最小值为3 D．的最大值为1 【详解】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确；B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线最大距离为，正确；C，由切线长公式，可得，所以的最小值为，错误；D，如图所示，连接，则，设，则在直角中，设，则，且， 因为，令，则，则，又因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以，即的最大值为，正确.故选：ABD    15.（多选题）（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则,且半径，所以圆必过坐标原点， 又因为圆与直线相切，所以,又因为坐标原点到直线的距离，所以的最小值为，所以圆的面积的最小值为， 对于A，因为，不满足题意；对于B，，不满足题意； 对于C，，满足题意；对于D，，满足题意.故选：CD 16.（多选题）（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 【详解】由圆可知，圆心，半径，圆心到直线的距离，因为，所以直线与圆相离，如图所示， 因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为，设，则，在中，，要使最大，即最大，则取得最小值，即，所以，因为为锐角，所以，所以，即最大度数为，故A选项正确；根据题意，，所以，在中，由勾股定理可得，所以当最小时，即取最小值，即取最小值，所以，所以，所以四边形的面积的最小值为，故B选项错误；设点，因为点在直线上动，所以，即，圆展开为根据切点弦方程公式，直线的方程为，又，所以，即，所以，解得，，即直线过定点，所以C选项正确；根据直线与圆相切的性质，可得，又，所以，垂足为，且为中点，在中，利用等面积法可得，所以，所以，当取得最小值时，取得最小值，即时，，故D选项正确.综上所述，选项ACD正确. 17.（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得，解得. 18.（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离，而可化为，故此圆的圆心为，半径为，可化为，故此圆的圆心为，半径为，所以，故. 19.（26-27高三上·安徽·开学考试）过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 【详解】圆的圆心为，半径，点到直线的距离， 连接，由切圆于点，得，，则，所以的最小值为. 20.（26-27高三上·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【详解】圆：的圆心，半径，圆心到直线：的距离，因为直线与圆相切，所以，即，解得． 21.（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A，则切线长. 22.（26-27高三上·四川成都·开学考试）若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，，因为，，所以，且相似比为：，所以，则，，，所以 23.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为．设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2，得，解得．所以的方程为． 联立，消去化简的：，解得，故，即，所以．所以的方程为：，即：．所以的最小值为点到直线的距离，即． 题型五 直线与圆的位置关系相关问题 1.（2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由，得，因为方程表示圆，所以，解得.所以圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，若直线与圆相交可得，则可得，解得.所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 2.（26-27高三上·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 【详解】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，，所以，所以，即，圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为：，所以圆与直线相交，相交弦长为：. 3.（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】圆，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为, ，所以直线与圆相交，又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个.如图所示： 4.（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【详解】∵圆，∴圆心，半径；关于直线对称，且原点在直线上， ，，则，故在圆上， 联立，解得，，，∵，∴，得，所以直线方程为，圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 5.（26-27高三上·河南·开学考试）已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】根据四个圆的方程，在同一平面直角坐标系中，作出图象： 易知这四个圆两两相切，记直线与这四个圆的公共点个数为．当直线的方程为时，； 当直线的方程为时，；考虑证明不合题意．注意到圆与直线最多有两个公共点，故当时，直线必与其中三个圆有两个公共点，且与另外一个圆有至少一个不同的公共点． 若存在这样的直线，显然其斜率存在，设直线的方程为．不妨设与，，均有两个公共点，则，，，此时，，两式相加得，即，而，解得，于是，即与相离，矛盾，故的最大值为6． 6.（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】圆化为标准式：圆心，半径, 圆，圆心，半径，两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距，若两圆外离，则，即，解得或；若两圆内含，则，无解．因此两圆无公共点的条件是． 7.（向量和圆结合）（26-27高三上·北京·开学考试）已知向量，，，若向量满足且，则符合条件的向量的个数为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【详解】设，所以，则或.不妨设，为坐标原点，，，，则.由于，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 由于，所以，当时，此时， 则点也在射线上（过点远离点），由于点在圆内，所以射线与圆有一个交点，即符合条件的向量有1个.同理，当时，此时则点也在射线上（过点远离点），由于点在圆内，所以射线与圆有一个交点，即符合条件的向量有1个，综上，符合条件的向量的个数为2. 8.（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【详解】由题可知，圆心为，半径为，过圆心作，垂足为，又，则，所以在中，，则， 即圆心到直线的距离，解得或. 9.（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题圆C：，圆心，圆心到直线l：的距离为，若l与C有公共点，则 10.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）． 11.（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为： 12.（多选题）（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为3 B．直线恒过定点 C．当时，直线截圆所得弦长为6 D．存在，使得直线与圆相离 【详解】对于A，变形为，即圆心坐标为，半径为3，故A正确；对于B，当时，，所以直线恒过定点，故B正确；对于C，当时，直线方程为，圆心在直线上，故直线截圆所得弦长为直径6，故C正确； 对于D，因为直线恒过定点，此点与圆心的距离为，，所以定点在圆内，过圆内一点的任意直线一定和圆相交， 所以直线不可能与圆相离，故D错误.故选：ABC 13.（多选题）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确；对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确；对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误；对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确.故选：ABD 14.（多选题）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上，所以.故A正确；对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确；对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误；对D，.故D正确.故选：ABD 15.（多选题）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心C在直线上，选项A，当时，，即在圆内，过点A不存在圆C切线，A错误；选项B，，则在以为圆心，2为半径的圆上，当时，，，因此圆B与圆C相交，即圆C上有点P，满足，B正确；选项C，，则P在以为直径的圆上，圆心为，半径为，取，即，，显然，即圆M与圆C相交，所以圆C上有点P，满足，C正确；选项D，，设，则，化简得，即在以为圆心，2为半径的圆上， 由于，从而取任意实数，都有圆N与圆C外离，所以不存在P，满足，D错误.故选：BC 16.（多选题）（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 【详解】对于A选项，由得，则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确；对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误；对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为，因为，故，解得，因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确；对于D选项，由C选项可得，则，，则，令，则，令，为开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上，单调递增，所以，因此没有最大值，故D选项错误.故选：AC 17.（多选题）（2026·安徽滁州·二模）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 【详解】对A：将代入，可得，故直线必过点，故A正确；对B：对，令，则，故过点，又，故与垂直，结合直线过点，可得点在以为直径的圆上，圆心为，半径，故点在圆上，故B正确；对C：由B知，点在圆上，由斜率存在，故的轨迹不过点，故点的轨迹方程为，且不过点，的轨迹所在圆的圆心为，半径，到直线距离，则点到直线距离最小值为，由图可得，此时点不为，故C错误；对D：圆的圆心为，半径，则，，故圆与圆相外切，即有三条公切线，故D正确.故选：ABD 18.（多选题）（2026·广东汕头·三模）已知曲线，圆，曲线由，，组成，则（    ） A．当时，与圆O无公共点 B．当与圆O有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 【详解】依题意可知为圆，为圆，为圆，这3个圆的半径均为2，且．当时，，则圆O与这3个圆都外离，所以与圆O无公共点，A正确．当与圆O有6个公共点时，圆O与这3个圆都相交，则解得，B正确．设过原点的直线为直线，若直线曲线，，都相交，即，无解，不存在过原点的直线与无公共点，C正确．因为到直线的距离为且与其平行的直线为：，：， 且到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为，所以直线，与共有6个公共点，即上有6个点到直线的距离为，D错误．故选：ABC 19.（26-27高三上·浙江·开学考试）新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看做将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则k的一个取值可以是________． 【详解】原点关于对称的点坐标设为，则，解得，故折叠后的圆弧所在圆的圆心为，半径为2，故折叠后的圆弧所在圆的方程为， 恒过点，若直线与相切，则有， 解得，联立与可得， 当时，，故，故直线的斜率为，结合图象可知，当时，满足直线与该图形的边缘恰有4个交点，其中，， 故，所以k的一个取值可以为. 题型六 直线与圆中最值及范围问题 1.（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为，到直线的距离为的点有且仅有 个，∵圆心到直线的距离为：，   故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. 2.（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【详解】法一：令，则，代入原式化简得， 因为存在实数，则，即，化简得，解得，故 的最大值是， 法二：，整理得，令，，其中， 则，，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得 3.（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2，所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为，所以，即，所以直线上至少存在一点使得，所以点到直线的距离小于， 即，解得，所以的取值范围是. 4.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 5.（26-27高三上·江西宜春·开学考试）已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】易知圆：的圆心为，半径为；显然，因此点在圆的内部；点，都在直线上，且该直线过圆心；若，由对称性可知在直线两侧分别可构造出两组且互相平行的直线，此时可构成两个以为一边的平行四边形；除此之外，当与垂直且互相平分时可构成一个以为对角线的平行四边形，综上可知，一共可以构成三个平行四边形，显然不合题意；若， 此时在直线两侧无法构造出，此时无法构成以为一边的平行四边形；因此只有当与垂直且互相平分时可构成一个平行四边形，此时为平行四边形的对角线，且的中点到圆心的距离不大于半径，所以，解得；当时，或，此时弦的长为，两点重合，不合题意；因此可得的取值范围是. 6.（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于,当时,,当时,,所以,,所以.圆的圆心为,半径,圆心到直线的距离为,即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为,点P到直线的距离的最小值为,所以面积的最大值为,最小值为,所以面积的取值范围是. 7.（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】 已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径，由直线和，可知互相垂直且均经过定点，又因为，，所以四边形是一个矩形，且，因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，检验：当三点共线时，，直线的方程为，即，直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为 和 ，结合题意可知应在离较远的一侧，取，此时，，所以，经检验，当时，有最大值为，故A正确. 8.（向量和圆结合）（26-27高三上·浙江·开学考试）设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】由题意得：，又，所以，设，如图所示， 由，所以，所以，所以，所以四点共圆，又过点三点的圆的圆心在轴上，所以，连接，由，所以，解得，所以过点三点的圆的方程为，由，令，连接，所以，又点在圆上，且满足，所以，，所以. 9.（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为实数、满足，则， ，取点、、，则，，即，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 10.（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中，又，则，所以的最大值为． 11.（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点，由，，得，.由，代入得，整理得，即点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 直线整理为一般式，因为直线上存在满足条件的点，故直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离.由点到直线距离公式得，所以， 整理得，即，解得，故的取值范围为. 12.（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，   因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为，令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率，由，可得，则圆心到直线的距离为，令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 13.（2026·江苏泰州·模拟预测）若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆，则该圆的圆心为，半径为，对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大，若，则在中，，则，所以若直线上存在一点，使得， 则等价于圆心为到直线的距离，即，解得：， 所以实数的取值范围是. 14.（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】取的中点，则， ，要求的最小值，就是求的最小值，圆的圆心为，半径为， ，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，点为直线上的动点，的最小值为圆心到直线的距离减去半径，，，故选项C正确. 15.（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，过圆心向直线作垂线，垂足为，当时，则，又圆的半径，可得，又直线过定点，且点在圆上，若要使得，则圆心到直线的距离，且即可；所以，且，解得且，所以实数的取值范围为.    16.（多选题）（2026·安徽芜湖·一模）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 【详解】由题设，圆，圆心为原点，半径为1，所以，当直线过原点时所得最大，为2，A对，显然点在圆内，若直线过该点，则该点与点所在直线与直线垂直时，最小，为，B对，由，则其中点与圆心的距离，所以中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则方程为，C错，若原点到直线的距离为，即中点在圆上，且，设，则，与垂直的一个单位向量为，而，则，又，所以，而关于对称，则，所以，，则且，所以时，最大值为，D对.   故选：ABD 17.（多选题）（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知点，，圆，点P在圆C上运动，点Q满足，其中O为坐标原点.则下列说法正确的是（    ） A． B．点Q的轨迹方程为 C．点Q到直线距离的最小值为 D．的取值范围是 【详解】选项A：因为，可得，即，所以，则A正确. 选项B：设，，则，，，因为，所以，，即，，因为在圆：上， 所以，因为，，所以，即，则B正确.选项C：点的轨迹是圆心为，半径的圆，因为圆心到直线的距离为，所以点到直线的最小距离为，则C错误.选项D：，由选项B知，点的轨迹方程为，圆心为，半径为，则的取值范围是，则的取值范围是，则D正确.故选：ABD 18.（多选题）（26-27高三上·广东湛江·开学考试）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为；因为圆与圆有公共点， 所以，又，所以 由，可得，由可得，所以， 所以的最小值为，最大值为.故选：BC 19.（多选题）（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则（    ） A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 【详解】如图，设直线与圆的切点为，依题意， 对A，以为直径的圆的半径为，点到直线的距离为. 到直线的距离，又，故以为直径的圆与直线相离.故A错误；对B，因为.又，所以.所以.故B正确；对C，因为，所以，因为，所以，又，所以.故C正确； 对D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离为，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，使最小.设，，，点关于直线的对称点为.易得直线：，联立，消去整理得，整理得，因.则.所以，，同理，. 所以 ，. 故当时，取得最小值，所以.故D正确.故选：BCD 20.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______． 【详解】因为，则，又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称， 所以，，所以，由圆得半径，圆心为， 设，所以，当时，取最大值，为，即的最大值为. 21.（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为，则，解得，即，由得，其圆心为，半径，则，当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 22.（2026·湖北武汉·模拟预测）已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 【详解】由圆，可得圆心为，半径，点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线，切点为，连接，则，又因为，所以，即，即，即，因式分解得，解得，即点横坐标的取值范围为. 23.（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【详解】圆的圆心为，半径.圆的圆心为，半径.由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切，所以，即， 设，所以 ，其中（为锐角），所以， 24.（2026·山西忻州·模拟预测）已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________. 【详解】根据题意，把，，的坐标，分别代入，，，方程组两式平方相加得， ，即 ，，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆.，即 ，表达式的几何意义可以理解为到直线的距离的倍.而的最大值是圆上一点到直线最大距离的倍，所以圆心到直线的距离，圆上一点到直线的最大距离为，故的最大值为. 25.（2026·广东广州·三模）已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于两点，且，过原点的直线交圆于两点，则的最小值为__________. 【详解】解：设过原点的切线的切点为，圆半径为，中点为， 则，所以 ，则的最小值，即为求的最小值， 设，点到直线的距离，则， 而，当且仅当取到最小值，所以最小值为3． 26.（2026·安徽安庆·一模）动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【详解】根据题意，动直线经过定点，动直线经过定点,则有，所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点，.又，故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率，求出过点与圆相切的切线斜率即可，设切线为，即.根据切线条件构造方程，即，解得，所以的最小值为，所以的最小值为. 27.（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 【详解】已知直线恒过定点A，即对任意恒成立， 则，解得，所以定点A的坐标为.由，可知P、A、Q三点共线，设弦的中点为，连接，如图，则，即，所以 ，由此可得E的轨迹方程为，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，则到l的最小距离为，过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N，则R是的中点，所以 ，即，则 28.（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上，两圆心距，则两圆内含，，，则． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三直线与圆方程题型训练 题型一 直线方程及距离公式 1.（26-27高三上·安徽·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5.（26-27高三上·上海普陀·开学考试）过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 6.（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 7.（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 8.（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 9.（山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 10.（26-27高三上·浙江·阶段检测）写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 11.（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 12.（26-27高三上·贵州·阶段检测）设直线系，其中．若正方形的四条边都在中的直线上，则该正方形的面积是______． 13.（多选题）（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 14.（多选题）（26-27高三上·广东广州·开学考试）数学中将具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系.现有直线系，下列说法正确的是（    ） A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 15.（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 16.（2026·江苏·模拟预测）已知圆：与轴的交点为，，与轴的交点为，，为圆在第一象限内圆弧上一点，记到的距离为，到的距离为，则（   ） A． B． C． D． 17.（2026·海南海口·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 18.（多选题）（2026·山西忻州·模拟预测）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 19.（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 20.（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 21.（多选题）（2026·江苏淮安·模拟预测）在中，，的内心，下列说法正确的有（   ） A．的内切圆的半径为3 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 题型二 圆的方程相关问题 1.（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 3.（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______． 4.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 5.（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）若圆的一条对称轴为直线，则______. 6.（26-27高三上·安徽·阶段检测）半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 7.（2026·陕西咸阳·三模）若圆：关于直线：对称的圆与y轴相切，则______. 8.山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 9.（全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 10.（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 11.（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 12.（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 弦长问题 1.（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 2.（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·重庆·开学考试）若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 4.（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5.（多选题）（26-27高三上·安徽·开学考试）已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 6.（多选题）（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（   ） A．直线过定点 B．存在实数，使直线与曲线无公共点 C．直线被曲线截得的弦长的最小值为 D．当时，直线被曲线截得的弦长最大 7.（多选题）（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 8.（多选题）（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 9.（26-27高三上·福建莆田·开学考试）直线被圆所截得的弦长为_____． 10.（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 11.（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）圆被直线截得的弦长为4，则所有满足条件的实数的和为____________． 12.（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 13.（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 14.（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 15.（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 16.（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型四 切线问题 1.（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 4.（2026·山东聊城·一模）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 5.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 6.（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7.（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.（全国I卷·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 9.（全国II卷·高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 10.（多选题）（26-27高三上·河北唐山·开学考试）圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆的半径为2 B． C．直线与两圆都相切 D．两圆公共弦所在直线的方程为 11.（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 12.（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 13.（多选题）（2026·河北张家口·二模）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 14.（多选题）（2026·安徽黄山·一模）点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．的最小值为3 D．的最大值为1 15.（多选题）（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（    ） A． B． C． D． 16.（多选题）（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 17.（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 18.（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 19.（26-27高三上·安徽·开学考试）过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 20.（26-27高三上·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 21.（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 22.（26-27高三上·四川成都·开学考试）若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 23.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 题型五 直线与圆的位置关系相关问题 1.（2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.（26-27高三上·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 3.（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 5.（26-27高三上·河南·开学考试）已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6.（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.（向量和圆结合）（26-27高三上·北京·开学考试）已知向量，，，若向量满足且，则符合条件的向量的个数为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 8.（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 9.（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 11.（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 12.（多选题）（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为3 B．直线恒过定点 C．当时，直线截圆所得弦长为6 D．存在，使得直线与圆相离 13.（多选题）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 14.（多选题）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 15.（多选题）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 16.（多选题）（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 17.（多选题）（2026·安徽滁州·二模）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 18.（多选题）（2026·广东汕头·三模）已知曲线，圆，曲线由，，组成，则（    ） A．当时，与圆O无公共点 B．当与圆O有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 19.（26-27高三上·浙江·开学考试）新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看做将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则k的一个取值可以是________． 题型六 直线与圆中最值及范围问题 1.（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 3.（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5.（26-27高三上·江西宜春·开学考试）已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8.（向量和圆结合）（26-27高三上·浙江·开学考试）设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9.（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10.（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 11.（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12.（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13.（2026·江苏泰州·模拟预测）若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14.（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15.（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16.（多选题）（2026·安徽芜湖·一模）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 17.（多选题）（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知点，，圆，点P在圆C上运动，点Q满足，其中O为坐标原点.则下列说法正确的是（    ） A． B．点Q的轨迹方程为 C．点Q到直线距离的最小值为 D．的取值范围是 18.（多选题）（26-27高三上·广东湛江·开学考试）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 19.（多选题）（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则（    ） A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 20.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______． 21.（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 22.（2026·湖北武汉·模拟预测）已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 23.（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 24.（2026·山西忻州·模拟预测）已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________. 25.（2026·广东广州·三模）已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于两点，且，过原点的直线交圆于两点，则的最小值为__________. 26.（2026·安徽安庆·一模）动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 27.（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 28.（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 1 学科网（北京）股份有限公司 $