专题8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系（8重难点题型+高分技法+高考真题）专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“位置关系判定—核心量计算—综合应用”为主线，系统整合直线与圆、圆与圆的8大重难点题型，通过方法提炼与真题演练，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆位置关系|6题|几何法(d与r)、代数法(Δ)、定点判断法|从位置关系判定切入，建立距离与半径的关联| |圆的弦长问题|6题|垂径定理、两点距离、弦长公式|基于勾股定理推导弦长公式，强化代数与几何融合| |圆的切线问题|8题|切线斜率关系、距离公式、切线方程模型|从点在圆上/外分类讨论，培养分类思想| |圆与圆位置关系|6题|圆心距与半径关系判定法|类比直线与圆，拓展到两圆位置关系体系| |公共弦与公切线|15题|方程相减求公共弦、公切线条数判定|综合应用位置关系，提升数学模型构建能力|

专题8-3 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、坐标法的应用——直线与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 4．（2026·全国一卷·高考真题）（多选题）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为，，，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.2 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由导数求函数的最值（含参）、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【详解】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确.    【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误. 5．（2026·全国二卷·高考真题）（多选题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【难度】0.68 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 6．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 重难点题型1 直线与圆的位置关系的判断 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系． （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断． （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 1．（2026·河北·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、充要条件的证明 【详解】当时，圆的方程，即， 圆心为，半径，圆心到直线的距离， 此时圆与直线相切，满足充分性； 当直线与圆相切时， ，∴或，圆心为，半径， 圆心到直线的距离与半径相等，即， ∴，两边同时平方整理得，∴或（舍去）， 此时，满足必要性. ∴“”是“直线与圆相切”的充要条件. 2．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 3．（2026·北京·三模）过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设出直线的方程，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出直线的斜率，即可得解. 【详解】将化为标准方程为, 所以可得圆心，半径. 因为直线过原点且与圆相切，所以可知直线的斜率一定存在，设为， 则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径可得， 两边同时平方，整理可得，即，解得， 所以满足条件的直线的斜率之和为. 4．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 5．（2026·陕西安康·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，若恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、切线长、二倍角的余弦公式 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，然后根据圆的切线性质，结合三角函数关系得到关于的表达式，再通过分析表达式求出的最大值，最后根据不等式恒成立的条件确定的取值范围即可. 【详解】 因为，所以， 所以圆心，半径， 由，设，化简得， 即点恒在直线上， 所以圆心到直线距离：， 因为直线与圆相离，所以过必可作两条切线， 所以：，设，则， 所以， ， 所以，所以， 令， 因为，所以，且， 所以， 因为在单调递增，所以时最小， ， 所以， 又因为恒成立，所以 所以实数的取值范围为. 6．（2026·吉林长春·模拟预测）已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】两圆圆心，，半径，算出圆心距；由切圆知，到距离恒为，推出到距离；根据弦长公式，越大弦长越小，代入，求得． 【详解】 圆的圆心，半径, 圆的圆心，半径, ， 直线与圆相切，即定点到直线的距离恒等于， 设圆心到直线的距离为， 由定点到定距离的直线，到的距离， 则，即， 解得， 所以， 越大，越小，即取最大值时，最小， ． 重难点题型2 圆的弦长问题 弦长问题： ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 1．（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 2．（2026·重庆江津·三模）若抛物线的准线为，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】求出抛物线的准线方程，再利用几何法求出弦长. 【详解】抛物线的准线，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以圆截直线所得弦长为. 3．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知圆C的方程为，设一个公差为的项等差数列的各项均为圆过点的弦长，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】圆的弦长与中点弦、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先判断点与圆的位置关系，可知点在圆内，得到最长弦长和最短弦长，再根据等差数列的定义，分别求出公差，即可求出其范围. 【详解】由题意知，圆C的圆心为，半径为5，圆心C到点的距离为4，所以点在圆内． 圆中最长的弦为圆的直径，长度为10； 当与弦垂直时弦长最短，其长为， 所以弦长的取值范围为. 当，时，； 当，时，； 因此，公差d的取值范围为． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、已知方程求双曲线的渐近线、圆的弦长与中点弦 【详解】已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和， 双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点， 由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称， 因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等. 由圆可知，圆心坐标为，半径， 将其中一条渐近线化为一般式：， 则圆心到渐近线的距离， 则弦长. 6．（2026·四川眉山·模拟预测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 重难点题型3 圆的切线问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.8 【知识点】切线长、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 2．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、已知切线求参数 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 3．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 4．（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、二倍角的余弦公式 【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，结合二倍角公式可得的值． 【详解】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，， 所以． 所以， 故选：D 5．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、切点弦及其方程 【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】    如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 6．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、过圆外一点的圆的切线方程、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 7．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】切线长、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 8．（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 【答案】7 【难度】0.7 【知识点】切线长、圆的对称性的应用、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先利用圆的对称轴过圆心求出的值，再根据切线长公式即可求得结果. 【详解】由圆，可得， 所以圆心，半径为， 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 即，解得，即， 则，所以切线长为. 重难点题型4 直线与圆的综合问题 直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题． 1．（2026·北京大兴·三模）若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆、直线过定点问题、求两圆的交点坐标 【分析】求出直线所过定点，根据对称性得到，进而得到点的轨迹方程，结合向量数量积的坐标表示、圆与圆的位置关系及圆上的点到定点距离的最值求解判断即可. 【详解】由，得，所以直线恒过点. 点关于动直线的对称点为，则直线是线段的垂直平分线，所以. 设，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，轨迹方程为. ①，，则. 由圆的方程可知，的范围为， 所以的取值范围是，①正确. ②当时，即，表示以原点为圆心，以为半径的圆，    联立，解得或，即或. 当时，，直线的方程为，存在； 当时，，直线的方程为，存在； 故当时，符合条件的点有2个，②错误. ③当取到最大值时，，此时在延长线上，坐标为. 此时的中点为，， 所以，即，解得，③正确. 2．（2026·江苏扬州·三模）已知圆，点P在直线上．若圆C上存在两点A，B，使得是等边三角形，则点P的横坐标的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】依题意存在点使得，过作圆的切线，切点为，连接，则，又，即可得到，设，根据距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】   圆，圆心为原点，半径. 在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线， 切点为，连接，则，又，所以， 即，即. 即，因式分解得， 解得，即点横坐标的取值范围为. 3．（2026·北京昌平·二模）已知圆，则圆的半径为_______；若直线上存在点，使得过点向圆引的两条切线互相垂直，则的取值范围为_________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、求点到直线的距离 【分析】先把圆方程配方求出圆心(2,3)与半径,由两条切线互相垂直推得动点到圆心距离为2,即在以圆心为定点、2为半径的圆上,再转化为直线与该圆有公共点,利用圆心到直线距离不大于半径列不等式,化简解得的取值范围. 【详解】圆的方程：，配方得：，因此圆的圆心为，半径. 设点，过引圆的两条切线互相垂直，则两条切线与半径构成正方形. 圆心到点的距离：. 即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆：. 直线上存在点，等价于直线与圆有公共点. 故圆心到直线的距离，距离公式：. 平方化简：，展开得：. 整理得：. 4．（2026·安徽合肥·三模）已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 【答案】18 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】圆C的圆心，半径， 由题意互相垂直且均经过定点， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当等号成立， 检验，当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得或， 结合题意可知，此时，解得或， 当时，直线，此时， 当时，直线，此时， 经检验，当或，时有最大值为. 5．（2025·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时，__________．（结果精确到） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、三角函数在生活中的应用、已知正（余）弦求余（正）弦、向量夹角的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，设出点，利用直线的夹角公式，表示出直线与的夹角的正切，再利用换元法令以及直线与圆的位置关系，求出的范围，再结合函数单调性，得到当最大时点的坐标，再根据向量夹角公式，求出，再利用同角三角函数的基本关系，计算出，即可得解. 【详解】    不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设. ，， 结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设， 则两直线夹角的正切值公式为： 则：， ， 又因为在圆上，故， 因此，， 令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得. 由于点在第一象限的圆上，易知，因此， 故. 由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大. 当时，结合，解得，即. ， ， 又因为， 解得， 故答案为：. 重难点题型5 圆与圆的位置关系 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、求两圆的交点坐标 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 2．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由相切性质可计算出圆的半径的最小值，则可求出点坐标，即可得其标准方程. 【详解】设圆C的半径为，则，即， 则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上， 即在上，设， 则，解得， 则，又，故其标准方程为. 3．（25-26高三上·河南·期末）已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（   ） A．相交 B．内切 C．内含 D．外切 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、椭圆定义及辨析 【分析】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、，根据椭圆的定义及三角形中位线的性质得到，即可判断. 【详解】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、， 所以，又， 因此， 又以为直径的圆的半径，圆心为， 以为直径的圆的半径，圆心为， 即，所以以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为内切. 故选：B 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆相交的性质直接得出. 【详解】由题意知：圆心与圆心， 则圆心距， 因为圆与圆有两个交点， 所以， 解得：. 故选：D 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如下图，平面直角坐标系中，，圆过坐标原点，圆与圆外切．则圆的面积等于______；已知抛物线与圆，圆均恰有1个公共点，则______． 【答案】 /0.5 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、由圆的位置关系确定参数或范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由两圆关系确定圆L的方程，从而得到圆L的半径，利用圆的面积公式即可求解圆的面积，根据抛物线与圆L恰有一个公共点且，利用导数几何意义写出该点处曲线的公切线方程，结合直线与公切线垂直关系、与公切线的距离列方程组求m值，进而可求p. 【详解】由题设，圆Q为，显然与有一个公共点， 而，由圆Q与圆L外切，则圆L的半径为， 所以圆L为， 所以圆L的半径为，面积为， 要使与圆L恰有一个公共点且， 抛物线可得：，故过的公切线方程为， 所以，而，则， 由，即①， 又L到切线的距离为②， 联立①②并整理得：， 易知：，则. 故答案为：； 6．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 重难点题型6 两圆的公共弦问题 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 3．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】相交圆的公共弦方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率. 【详解】因为，，所以两圆方程相减可得， 由题意知的一条渐近线为，即， 双曲线的离心率． 故选：C． 4．已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由题知，弦所在直线方程为，且在弦所在直线上，进而得. 【详解】解：因为圆与圆交于A、B两点， 所以弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，平分圆的周长， 所以，在弦所在直线上，即， 所以. 故选：C 5．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 6．（25-26高二下·上海·期中）若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 【答案】 【难度】0.74 【知识点】相交圆的公共弦方程、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由两圆的方程相减整理即得两圆的公共弦方程，依题意可得，再由双曲线的离心率定义求解即得. 【详解】由圆与圆， 两方程相减，得， 即得恰为双曲线的一条渐近线，则有， 故的离心率为. 7．（2026·陕西宝鸡·一模）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由两条直线平行求方程、相交圆的公共弦方程 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，从而可设出直线l的方程，将点的坐标代入即可求解. 【详解】将两圆的方程和作差， 公共弦所在的直线方程为，整理得. 因为直线l与公共弦平行，所以可设直线l的方程为， 因为直线l过点，将的坐标代入l的方程可得，解得， 所以直线l的方程为. 故答案为：. 重难点题型7 两圆的公切线问题 1．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 3．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线长、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 4．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 5．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】由两圆的位置关系即可确定公切线的条数. 【详解】由题意圆是以为圆心1为半径的圆； 即是以为圆心3为半径的圆； 圆心距满足，所以两圆相离， 所以两圆的公切线条数为4. 故选：D. 6．（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 【答案】（或，） 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】由题知两圆位置关系为外切，有三条公切线，进而作出图象，结合图象可设公切线方程为，再根据相切关系建立方程，，两式作比得，再分类求解即可. 【详解】由题知的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 所以，故两圆位置关系为外切，有三条公切线. 如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为， 则由直线与相切得：，即， 由直线与相切得：，即， 所以，即， 所以， 当时，，代入整理得，解得或， 此时公切线方程为（）或， 当时，，代入整理得，解得，此时公切线方程为（）， 综上，所求的公切线方程为，或 故答案为：（或，） 7．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程______． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 8．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 重难点题型8 圆与圆的综合问题 1．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、确定数列中的最大（小）项、由圆的位置关系确定参数或范围、由递推关系式求通项公式 【分析】先根据题设条件，结合直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系得到，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求得，转化问题为恒成立，设，进而分析数列的单调性即可求解. 【详解】由点在函数的图象上， 得， 而与y轴相切，则的半径， 同理可得，，的半径， 由于与外切，所以， 则， 即， 则， 因为，所以，则， 又，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则，即， 由，则，即恒成立， 设，则， 所以， 因为函数在上为减函数， 且时，，时，，则时，，即， 则， 则的最大项为， 即，解得. 2．（2026·安徽合肥·一模）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.35 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的弦长与中点弦 【分析】根据的长度和圆的方程可得点P的轨迹，再分析与圆的位置关系进而即得. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由P是弦AB的中点，且，则， 所以， 故点P在以为圆心，以为半径的圆上． 又在圆上存在点P恰为线段AB的中点， 则两圆有公共点，可得，即， 解得或． 则实数m的取值范围为． 3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为______． 【答案】507 【难度】0.42 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、裂项相消法求和、平面解析综合 【分析】曲线上的点 满足 ，根据圆与外切，可得等式，两式联立可得，求得数列的通项，从而可得数列的通项，利用裂项相消法可得，最后由数列单调性分析和恒成立条件即可求出最小正整数 . 【详解】根据题意，曲线 上的点 满足 ； 因为圆 与轴相切，圆心纵坐标为，故半径 ； 圆与的圆心距， 半径之和为 ， 因为圆与外切， 所以，化简得：， 将 代入上式可得： 又因为，所以，即， 所以数列为等差数列，首项： ，公差 ； 通项： 所以 所以， ，随 增大递增，极限为 ， 即 对所有 成立； 恒成立条件： 恒成立，需 ，即； 故最小正整数 结论：满足条件的最小正整数为 507. 4．（2026·浙江温州·二模）已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【详解】由圆，得圆心，半径， 又由圆，得，半径， 圆心距，当两圆外离时公切线最多，共有4条， 所以满足， 即存在这样的，故第一空答案为； 由3个公切线交点在轴上，注意到到的距离为1，恰好是的切线， 若也是的公切线，则到的距离为，得，符合外离条件， 此时是一条公切线，它和另外三条公切线的交点都在轴上，满足题意，    设斜率存在的公切线为，由公切线条件可得： ，作商可得：， 可得或， 整理得：或， 当时，代入， 当时，代入， 所以当时，， 当时，， 从而可得三条公切线方程分别为： 由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 则，点到直线的距离为， 所以另外三个交点围成的三角形面积为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8-3 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2026·全国一卷·高考真题）（多选题）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为，，，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 5．（2026·全国二卷·高考真题）（多选题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 6．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 重难点题型1 直线与圆的位置关系的判断 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系． （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断． （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 1．（2026·河北·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 3．（2026·北京·三模）过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西安康·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，若恒成立，则实数的取值范围为________． 6．（2026·吉林长春·模拟预测）已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 重难点题型2 圆的弦长问题 弦长问题： ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 1．（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·重庆江津·三模）若抛物线的准线为，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知圆C的方程为，设一个公差为的项等差数列的各项均为圆过点的弦长，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 6．（2026·四川眉山·模拟预测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 重难点题型3 圆的切线问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 7．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 8．（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 重难点题型4 直线与圆的综合问题 直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题． 1．（2026·北京大兴·三模）若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·江苏扬州·三模）已知圆，点P在直线上．若圆C上存在两点A，B，使得是等边三角形，则点P的横坐标的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·北京昌平·二模）已知圆，则圆的半径为_______；若直线上存在点，使得过点向圆引的两条切线互相垂直，则的取值范围为_________. 4．（2026·安徽合肥·三模）已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 5．（2025·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时，__________．（结果精确到） 重难点题型5 圆与圆的位置关系 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·期末）已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（   ） A．相交 B．内切 C．内含 D．外切 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如下图，平面直角坐标系中，，圆过坐标原点，圆与圆外切．则圆的面积等于______；已知抛物线与圆，圆均恰有1个公共点，则______． 6．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 重难点题型6 两圆的公共弦问题 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 4．已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 5．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 6．（25-26高二下·上海·期中）若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 7．（2026·陕西宝鸡·一模）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 重难点题型7 两圆的公切线问题 1．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 4．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 7．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程______． 8．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，______． 重难点题型8 圆与圆的综合问题 1．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为______． 4．（2026·浙江温州·二模）已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $