专题8.4 两条直线的位置关系（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题8.4 两条直线的位置关系（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 两条直线平行及其应用】 1 【题型2 两条直线垂直及其应用】 2 【题型3 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 2 【题型4 直线的交点问题】 3 【题型5 点到直线的距离公式】 3 【题型6 两条平行直线间的距离】 4 【题型7 与距离有关的最值问题】 4 【题型8 点、线间的对称问题】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 两条直线平行及其应用】 1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知直线，直线 ，则 “ ” 是 " "的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【题型2 两条直线垂直及其应用】 5．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知直线，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．-2 6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 8．（25-26高二上·甘肃天水·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【题型3 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 9．（25-26高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 12．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若的顶点，，，则边上的高所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型4 直线的交点问题】 13．（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型5 点到直线的距离公式】 17．（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 18．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，则坐标原点O到直线l的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 19．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）“”是“点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 20．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【题型6 两条平行直线间的距离】 21．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知直线与，则与之间的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 22．（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（    ） A．1 B．7 C．1或 D．或7 23．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 24．（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型7 与距离有关的最值问题】 25．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 26．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 28．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 点、线间的对称问题】 29．（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．1 C． D．或 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）经过点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）直线和的交点坐标为_____________. 10．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知直线与平行，则的值是_____________. 11．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）直线与直线之间的距离为_____________. 12．（25-26高二上·广西来宾·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为_____________. 一、单选题 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 2．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 3．（2026陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 4．（25-26高二上·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为___________. 6．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为___________. 三、解答题 7．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 8．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 两条直线的位置关系（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 两条直线平行及其应用】 1 【题型2 两条直线垂直及其应用】 3 【题型3 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 4 【题型4 直线的交点问题】 6 【题型5 点到直线的距离公式】 7 【题型6 两条平行直线间的距离】 9 【题型7 与距离有关的最值问题】 10 【题型8 点、线间的对称问题】 12 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 两条直线平行及其应用】 1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 【答案】A 【解题思路】根据平行直线的性质进行求解即可. 【解答过程】因为直线与直线互相平行， 所以有且， 解得， 故选：A. 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知直线，直线 ，则 “ ” 是 " "的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据题意，由，列出方程，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】由直线 ，直线 ， 若，则满足且，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 3．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【解题思路】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解答过程】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行得到，解出值后再验证即可. 【解答过程】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上，. 故选：B. 【题型2 两条直线垂直及其应用】 5．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知直线，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．-2 【答案】C 【解题思路】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【解答过程】由，， 可知，解得. 故选：C. 6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直得到方程，求出或，从而得到答案. 【解答过程】“直线与直线互相垂直”的充要条件为： 或. 因为“”是“或”的充分不必要条件， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A． 7．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【解题思路】利用两直线的位置关系求解. 【解答过程】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C. 8．（25-26高二上·甘肃天水·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直列出方程，求解即可. 【解答过程】若直线与直线垂直， 则，即，解得或0． 故选：A． 【题型3 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 9．（25-26高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【解答过程】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 10．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两直线垂直关系确定所求直线的斜率，然后结合经过的点的坐标求出结果即可. 【解答过程】因为直线变形为，其斜率为， 所以与其垂直的直线的斜率为3，设其方程为. 又该直线经过点，所以，解得. 故所求直线的方程为，即. 故选：B. 11．（2026·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【解答过程】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C. 12．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若的顶点，，，则边上的高所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求得边所在直线的斜率，再根据垂直关系求得边上的高所在直线的斜率，再结合点斜式方程，即可求解. 【解答过程】设边上的高所在直线为直线，斜率为， 因为，，则， 又直线为边上的高所在直线，所以，则，所以， 又边上的高所在直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 【题型4 直线的交点问题】 13．（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线的交点坐标，就是方程组的解，列出方程组，求出结果即可. 【解答过程】由题意得，解得，所以交点坐标为. 故选：A. 14．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 15．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出两直线的交点，然后根据垂直设出直线l的方程，将交点代入即可得出答案， 【解答过程】， 所以两直线交点为， 又与直线垂直，所以设l， 将代入得， 所以直线l的方程为， 故选：B. 16．（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 【题型5 点到直线的距离公式】 17．（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【解答过程】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D. 18．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，则坐标原点O到直线l的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】直接利用点到直线的距离公式即可得到答案. 【解答过程】坐标原点O到直线l的距离为. 故选：B. 19．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）“”是“点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 【答案】A 【解题思路】由点到线的距离公式列出等式求得，即可判断. 【解答过程】解：点到直线的距离：； 点到直线的距离：， 由，得，即， 解得或，即或。 故“”是“点A、B到直线距离相等”的充分不必要条件. 故选：A. 20．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【解答过程】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 【题型6 两条平行直线间的距离】 21．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知直线与，则与之间的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】先得到，再利用两平行线间距离公式进行求解. 【解答过程】因为，所以直线， 设两条平行线间的距离为d， . 故选：D． 22．（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（    ） A．1 B．7 C．1或 D．或7 【答案】C 【解题思路】根据两平行线直线之间的距离公式计算即可求解. 【解答过程】由题意知，， 所以两直线间的距离为，解得或. 故选：C. 23．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【解题思路】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案. 【解答过程】对于 ：斜率 ， 对于 ：，斜率 ， 因为，所以， 即：， 因此， 的方程为：，即， 两条平行直线之间的距离为： . 故选：A. 24．（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】先根据直线平行计算求参，再应用平行线间距离公式计算求解. 【解答过程】因为直线与直线平行，所以，且，所以， 所以直线与直线平行， 两直线间的距离为，且， 所以，所以. 故选：C. 【题型7 与距离有关的最值问题】 25．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【解答过程】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 26．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案. 【解答过程】直线，由，解得，则直线过定点， 所以点P到直线l的距离d的最大值为. 故选：A. 27．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【解答过程】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D. 28．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【解答过程】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 【题型8 点、线间的对称问题】 29．（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对称点思想列方程组求解坐标. 【解答过程】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 30．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【解答过程】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 31．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【解答过程】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A. 32．（25-26高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【解答过程】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 一、单选题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据直线平行的条件列出方程以及不等式求解，即得答案. 【解答过程】由题意得，且， 整理得，且，解得或，且， 所以或. 故选：D. 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据两直线平行求出的值，再由两直线间的距离公式求解. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，即， 则，也就是， 所以两直线间的距离为. 故选：D. 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【解答过程】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C. 4．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）经过点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线的垂直关系，可得所求直线的斜率为，再根据点斜式方程，即可求解. 【解答过程】由题意，直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求的直线方程为， 即. 故选：A. 5．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【解答过程】若，则，解得或， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则当时，， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 6．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，点到直线的距离取最大值，且最大值为，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】直线过定点， 当时，即当时，即当时， 点到直线的距离取最大值，且最大值为. 故选：D. 7．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【解答过程】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B. 8．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线平行求出，设出直线，根据直线l到的距离与l到的距离相等列出等式解出，进而求出答案. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得，故直线， 而直线可以写成，设直线， 因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得， 故直线，即直线l的方程为. 故选：D. 二、填空题 9．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）直线和的交点坐标为_____________. 【答案】 【解题思路】联立两直线的方程即可求解. 【解答过程】联立，解得， 故交点坐标为， 故答案为：. 10．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知直线与平行，则的值是_____________. 【答案】或 【解题思路】根据两直线平行计算即可，注意排除两直线重合. 【解答过程】直线与平行， 所以，解得：或, 当时，直线方程为：， 直线方程为：,两条直线平行且不重合，符合条件 当时，直线方程为：， 直线方程为：,两条直线平行且不重合，符合条件； 则的值是或. 故答案为：或. 11．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）直线与直线之间的距离为_____________. 【答案】 【解题思路】根据平行线间的距离公式计算可得结果. 【解答过程】将直线转化为，可知， 由平行线间的距离公式，可得与之间的距离为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·广西来宾·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为_____________. 【答案】 【解题思路】先求出点关于轴的对称点，然后求出反射光线所在直线的斜率，进而求出直线方程. 【解答过程】易知点关于轴的对称点为， 因为反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为. 故答案为：. 一、单选题 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【解题思路】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【解答过程】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D. 2．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【解答过程】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则， 故的周长等于， 故选：C. 3．（2026陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【解题思路】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可. 【解答过程】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C. 4．（25-26高二上·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分别求得点关于轴的对称点为和点关于轴的对称点为，以及关于轴的对称点为，得到的方程，进而求得的坐标， 【解答过程】由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 二、填空题 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意，求得的重心和外心，进而求得的欧拉线的方程，结合两直线平行，即可求解. 【解答过程】由的顶点为， 可得的重心为，即为， 由为直角三角形，所以外心在斜边的中点，即， 又，所以三角形的欧拉线方程为，即， 因为直线与平行， 可得，解得或. 当时直线与重合，不符合题意； 当时直线与平行，符合题意； 综上可得. 故答案为：. 6．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图，    所以. 故答案为：. 三、解答题 7．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）先求出交点坐标，再根据两直线平行关系设直线方程，代点即可计算即可. （2）分两种情况：横纵截距均为0时以及横纵截距均不为零时，分别求出直线的方程即可. （3）根据两直线垂直关系求出直线的方程，进而求出三角形的周长即可. 【解答过程】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 设与直线平行的直线的方程为且， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为； （2）由（1）直线过点， ①横纵截距均为0时，设直线方程为， 即，解得，即； ②横纵截距均不为零时，设横截距为，则纵截距为，则直线方程为， 将代入得，则， 则直线方程为，即； 综上，直线的方程为或. （3）由（1）直线过点， 由直线和题意可设直线的方程为， 将点代入可得，可得，即直线的方程为， 令，可得；令，可得， 即直线在，轴上的交点分别为，， 所以，又，， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为.    8．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【解题思路】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【解答过程】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【解答过程】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【解答过程】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【解题思路】根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $