综合与实践 第1课时 猜想、证明与拓广（课件）2026-2027学年北师大九年级数学上册

猜想、证明与拓广 6 北师版九年级上册 1 问题导入 任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？ 你是怎样解决这个问题的？ 已知正方形 所求正方形 （周长倍增） 所求正方形 （面积倍增） 边长/cm 1 2 周长/cm 4 8 面积/cm2 1 4 2 猜想：对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。 请你尝试验证猜想！ 猜想：对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。 证明：设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2。 ①若周长加倍，新正方形的周长为8a，边长为2a，此时面积为(2a)2=4a2，是原面积的4倍，不满足2倍要求； ②若面积加倍，新正方形的面积为2a2，边长为a，此时周长为4a，是原周长的倍，不满足2倍要求。 因此不存在周长和面积同时为原正方形2倍的正方形。 探索新知 问题1：从上述问题出发，你能提出哪些更一般的问题或猜想？你能解决你的问题或验证你的猜想吗？ ①任意给定一个等边三角形，是否存在另一个等边三角形，它的周长和面积分别是已知等边三角形周长和面积的2倍？ ②任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？ …… 猜想与证明 问题2：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？ （1）你想怎样解决这个问题？先独立思考，再与同伴交流解决这个问题的思路。 （2）选择一些具体的矩形试一试，你有什么发现和猜想？能证明你的猜想吗？ 已知矩形的长为2、宽为1，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？请列式求解。 解：原矩的边长为2、宽为1，则周长为6，面积为2。所以新矩形的周长为12、面积为4。 设新矩形的长为x，则宽为6−x，面积为x(6−x)。 根据题意得 x(6−x)=4。 解得 x1=3+， x2=3−。 两个根均为正数，因此存在。 再换一组数值，是否同样存在周长和面积同时加倍的矩形？ 已知矩形的长为4、宽为3，则周长为14，面积为12。所以新矩形的周长为28、面积为24。 设新矩形的长为x，则宽为14−x，面积为x(14−x)。 根据题意得 x(14−x)=24，整理得 x2−14x+24=0。 解得 x1=2， x2=12。 两个根均为正数，因此存在。 对于一个任意的矩形是否成立？请你证明。 证明：设原矩形的长为m、宽为n（m>0，n>0），则周长为2(m+n)，面积为mn。 所以新矩形的周长为4(m+n)，面积为2mn。 设新矩形的长为x，则宽为2(m+n)−x，面积为x[2(m+n)−x]。 根据题意得 x[2(m+n)−x]=2mn，整理得 x2−2(m+n)x+2mn=0。 ∵Δ=[−2(m+n)]2−4×1×2mn=4(m+n)2−8mn=4(m2+n2)>0， ∴方程有两个不相等的实数根。 又∵x1+x2=2(m+n)>0，x1x2=2mn>0， ∴两根均为正实数。 因此任意矩形都存在周长和面积同时加倍的矩形。 拓广与证明 1.你能将上述“猜想与证明”的问题2加以拓广，并提出自己的猜想吗？你能验证你的猜想吗？ 问题2：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？ 一半、3倍…… 2.任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ （1）你有怎样的猜想？请选择一些具体的矩形试一试。 （2）你的猜想需要修正吗？与同伴进行交流。 （3）如何证明你的猜想？ 已知矩形的长为2、宽为1，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？请列式求解。 解：原矩的边长为2、宽为1，则周长为6，面积为2。所以新矩形的周长为3、面积为1。 设新矩形的长为x，则宽为1.5−x，面积为x(1.5−x)。 根据题意得 x(1.5−x)=1，整理得x2−1.5x+1=0。 ∵Δ=[−1.5]2−4×1×1=−1.75<0， ∴方程无实数根，因此不存在。 再换一组数值，是否有相同结论？ 已知矩形的长为6、宽为1，则周长为14，面积为6。所以新矩形的周长为7、面积为3。 设新矩形的长为x，则宽为3.5−x，面积为x(3.5−x)。 根据题意得 x(3.5−x)=3，整理得 x2−3.5x+3=0。 解得 x1=2， x2=1.5。 两个根均为正数，因此存在。 对于一个任意的矩形结论是否成立？请你证明。 证明：设原矩形的长为m、宽为n（m>0，n>0），则周长为2(m+n)，面积为mn。 所以新矩形的周长为(m+n)，面积为mn。 设新矩形的长为x，则宽为(m+n)−x，面积为x[(m+n)−x]。 根据题意得 x[(m+n)−x]=mn，整理得2x2−(m+n)x+mn=0。 Δ=(m+n)2−4×2×mn=(m+n)2−8mn=m2−6mn+n2， 要使结论成立，Δ≥0，即m2−6mn+n2 ≥0。 两边同时除以n2，得()2−6+1≥0。 令k=>0，则 k2−6k+1≥0。 ∵k2−6k+1=0的解为 k1=3+2，k2=3−2， ∴不等式k2−6k+1≥0的解为 k≥3+2或0<k2<3−2。 ∵k=是原矩形的长宽之比， ∴当≥3+2或0<<3−2时，Δ≥0，存在这样的矩形； 当3−2<<3+2时，Δ<0，存在这样的矩形。 反思与再拓广 1.在解决上述问题的过程中，你遇到了什么困难？是如何克服的？积累了哪些解决问题的经验？ 2.你还能提出哪些可以继续研究的问题？与同伴交流你提出的新问题及探索过程。 课堂小结 通过本节数学活动的研究，你有什么收获？ 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $