第二章 有理数及其运算（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第二章 有理数及其运算 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 有理数的基本概念 考点二 有理数的运算 考点三 科学记数法与近似数 05 重难题型突破 题型一 正负数的定义 题型二 有理数的分类 题型三 用数轴上的点表示有理数 题型四 绝对值、相反数、倒数的化简 题型五 有理数比较大小 题型六 有理数加减混合运算 题型七 有理数乘除混合运算 题型八 有理数的乘方运算 题型九 有理数混合运算 题型十 有理数的实际应用 题型十一 科学记数法 题型十二 近似数 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 第二章在期中考试中占比约40%-45%，是核心考查内容。考点与题型方面，客观题侧重正负数意义、数轴、相反数、绝对值等概念辨析；解答题必考有理数混合运算（含乘方），并常以实际应用（温度、收支）或数轴动点、绝对值化简作为中档题。难易度上，基础题约占七成，主要考查运算准确性；中档题侧重数形结合与符号讨论；压轴题多涉及数轴动点或绝对值几何意义，区分度较高。 识记 需准确说出正负数、数轴、相反数、绝对值的定义，默写加减乘除乘方法则。 理解 应借助数轴理解绝对值几何意义，解释运算律的算理及符号规则。 应用 能熟练进行含乘方的混合运算，并用有理数运算解决温差、收支等实际问题。 考点一 有理数的基本概念 1．负数与有理数分类 具有相反意义的两个量，规定一种为正（带“”，可省略），另一种为负（带“”）； 2．数轴 三要素：原点、单位长度、正方向（直线）； 作用：数轴上右边的数总比左边 ，正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而 。 3．相反数与绝对值 相反数：只有符号不同、绝对值相等的两个数（如2与-2），多重符号化简遵循“奇负偶正”； 绝对值：数轴上数对应的点到原点的距离，性质为：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是 （即，非负性）。 ⚠️概念辨析 有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都可化为分数，故属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。注意0既不是正数也不是负数，但属于有理数。 考点二 有理数的运算 1．加减运算 加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值；任何数加0得本身； 加法运算律：交换律，结合律； 减法法则：减去一个数=加上这个数的相反数：，加减混合运算先将减法转加法，再用运算律简便计算。 2．乘除运算 乘法法则：同号得 ，异号得 ，绝对值相乘；多个非0数相乘，负因数个数为奇则积负、偶则积正；有0则积为 ； 乘法运算律：交换律，结合律，分配律； 倒数：乘积为 的两个数（0无倒数，负数的倒数仍为负数）； ·示例：-2的倒数是 除法法则：法则一：同号得 、异号得 ，绝对值相除（0除以非0数得0）； 法则二：除以非0数=乘它的 （）。 3．乘方运算 定义：个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂 在乘方运算中，是 ，是 ； 符号法则：正数的任何次乘方为 ；负数的奇次乘方为 ，偶次乘方为 （如）。 ·示例： ·易错点：混淆底数范围，误将算成，忽略“负号是否在乘方括号内”对结果的影响。 4．混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。 ⚠️易混易错 　 符号法则常错，如“负负得正”误用；乘方与乘法混淆，如“-2²=-4”与“(-2)²=4”分不清；运算顺序出错，先乘方再乘除后加减；去括号时漏变号。 考点三 科学记数法与近似数 1．科学记数法 绝对值＞10的数记为（，原数整数位数）。 ·示例： 2．近似数 用“四舍五入法”取近似值。 ·示例：将3.14159精确到百分位为3.14 ⚠️易混易错 　 a×10ⁿ中，1≤|a|<10，常误写a≥10或<1；n的确定易错，大数n=整数位数-1，小数n为负；近似数精确度看末位所在位，如2.3万精确到千位，易误为十分位；有效数字从左边第一个非零数字起。 题型一 正负数的定义 典例1 （25-26七年级上·福建漳州·期中）在，0，，，2五个数中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 💡破题要诀 正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数。带“-”号的是负数，正数可省略“+”号，理解相反意义的量。 迁移应用 1．（25-26七年级上·四川资阳·期中）在 ，， ， 0 ， 中，负数的个数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如果盈利100元记作元，那么亏损70元记作______元． 3．（25-26七年级上·四川泸州·期中）若元表示支出元，则元表示_________． 题型二 有理数的分类 典例2 （25-26七年级上·四川成都·期中）在下列五个数中：，0，，，…（两个1之间依次多一个2）有理数个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 💡破题要诀 按定义分：正有理数、零、负有理数；按性质分：整数、分数。注意有限小数和无限循环小数都是分数。 迁移应用 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）下列说法：①整数是正整数和负整数的统称；②一定是正数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值等于它本身的数是1，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·浙江台州·期中）把下列各数填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧． 非负整数集合{___________}． 正数集合{___________}． 负分数集合{___________}． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）从下列各数中，选出符合条件的数填入相应的集合里： ，，，，0，，，，…… 正有理数集合：{      } 负有理数集合：{      } 正分数集合：{      } 整数集合：{      } 题型三 用数轴上的点表示有理数 典例3 （25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 💡破题要诀 画数轴三要素：原点、正方向、单位长度。正数在原点右，负数在左，零在原点。按符号定方向，按绝对值定距离。 迁移应用 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，数轴上点表示的数的相反数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小李写作业时不慎将画画用的颜料洒在了数轴上（如图），则被颜料盖住的整数有________个． 3.（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号连接下列各数： ，，，，． 题型四 绝对值、相反数、倒数的化简 典例4 （25-26七年级上·云南曲靖·期中）化简的结果正确的是（   ） A． B． C．5 D． 💡破题要诀 先定符号再算值：绝对值看正负，相反数变符号，倒数求乘积为1。多重符号从外向内化，注意零无倒数。 迁移应用 1.（25-26七年级上·广西玉林·期中）下列式子化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）化简：________． 3．（25-26七年级上·广西防城港·期中）化简下列各数． (1) (2) (3) 题型五 有理数比较大小 典例5 （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在，2，，0这四个数中，比小的数是（ ） A． B．2 C．0 D． 💡破题要诀 正数大于零大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。数轴上右边的数总比左边的数大。 迁移应用 1．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级下·广东深圳·期中）比较大小： ________ ． 3．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知下列各数：，，，，，．画出数轴，把它们分别在数轴上表示出来，并用“<”连接起来． 题型六 有理数加减混合运算 典例6 （25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． (1)； (2) 💡破题要诀 统一成加法，省略加号写省略式，再运用加法交换律、结合律，同号结合、凑整、凑零，最后按有理数加法法则计算。 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算∶ (1) (2) 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 题型七 有理数乘除混合运算 典例7 （25-26七年级上·广东茂名·期中）计算： (1)； (2)． 💡破题要诀 先定符号：奇负偶正。除法化乘法，带分数化假分数。约分优先，再算绝对值。 迁移应用 1．（25-26七年级上·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2) 3．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型八 有理数的乘方运算 典例8 （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 先定符号，负偶正、负奇负；再算绝对值乘方。分数带括号，非零零次幂为1。 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）计算 (1) (2) 2．（25-26七年级上·福建三明·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型九 有理数混合运算 典例9 （25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)． (2)． 💡破题要诀 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。同级运算从左到右，灵活运用运算律简化。 迁移应用 1．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算： (1)． (2)． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)． 题型十 有理数的实际应用 典例10 （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 💡破题要诀 审题找等量关系，设未知数列方程；注意正负意义与单位统一，解后检验是否符合实际。 迁移应用 1．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ 2．（25-26七年级上·江苏·期中）我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 3．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 题型十一 科学记数法 典例11 （25-26七年级上·湖南长沙·期中）2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 形式 a×10ⁿ，a 满足 1≤a<10。n 值看位数，原数整数位减 1 即得 -1-6。还原时小数点右移 n 位，符号不变。 迁移应用 1．（25-26七年级上·全国·期中）2025年，我国某项重大科技工程取得突破，相关投资约为125000000000元．这个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 3．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（   ） A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 题型十二 近似数 典例12 （25-26七年级上·福建泉州·期中）用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 四舍五入定精度，精确到哪位看末位；有效数字从左边第一个非零数字起，到末位止，中间零都算； 科学记数法 a×10ⁿ，有效数字只看 a。 迁移应用 1．（25-26七年级上·海南海口·期中）用四舍五入法按要求对取近似数，其中错误的是（　　） A．（精确到百分位） B．（精确到） C．（精确到个位） D．（精确到） 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法错误的是（） A．2.536保留两位小数是2.54 B．4.95精确到0.1是5.0 C．近似数3.24万精确到百分位 D．近似数精确到十位． 3．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·海南海口·期中）在，10，，，0，这六个数中，负数的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在2025年11月2日巴中经开区体育馆举行的川超比赛中，巴中队与遂宁队以战平．据统计，现场观看这场比赛的人数约为人，把写成原数是（    ） A．230 B．2300 C．23000 D．23 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列各数中与如图所示的有理数最接近的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川眉山·期中）用“>”或“”号填空：__________，__________． 5．（25-26七年级上·青海西宁·期中）若，则________．化简________． 6．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成______个． 7．（25-26七年级上·四川德阳·期中）把下列各数的序号填入相应集合内： ①，②，③4，④，⑤，⑥0，⑦…相邻两个1之间0的个数逐次加，⑧，⑨，⑩． 整数：______…； 分数：______…； 正数：______…； 非负整数：______… 8．（25-26七年级上·河北张家口·期中）计算： (1) (2) 9．（25-26七年级上·北京·期中）已知四个数：，，，． (1)化简得__________，__________，__________，__________． (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“”把连接起来是__________． 10．（25-26六年级上·上海青浦·期中）某公路检修小组从A地出发沿东西向的路面检修公路，规定检修车向东行驶的路程为正，向西行驶的路程为负，一天中行驶记录如下表．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时，检修小组距离A地多远？在A地的什么方向？ (2)记录到第______次时，检修小组距离A地最远； (3)如果检修车每千米耗油0.2升，那么共耗油多少升？ 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 3．（25-26七年级上·河北沧州·期中）定义一种新运算：，例：，则的值为________． 4．（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 5．（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 6．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果是______； （2）关于除方，下列说法错误的是______；（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算 （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； （4）计算： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 有理数的基本概念 考点二 有理数的运算 考点三 科学记数法与近似数 05 重难题型突破 题型一 正负数的定义 题型二 有理数的分类 题型三 用数轴上的点表示有理数 题型四 绝对值、相反数、倒数的化简 题型五 有理数比较大小 题型六 有理数加减混合运算 题型七 有理数乘除混合运算 题型八 有理数的乘方运算 题型九 有理数混合运算 题型十 有理数的实际应用 题型十一 科学记数法 题型十二 近似数 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 第二章在期中考试中占比约40%-45%，是核心考查内容。考点与题型方面，客观题侧重正负数意义、数轴、相反数、绝对值等概念辨析；解答题必考有理数混合运算（含乘方），并常以实际应用（温度、收支）或数轴动点、绝对值化简作为中档题。难易度上，基础题约占七成，主要考查运算准确性；中档题侧重数形结合与符号讨论；压轴题多涉及数轴动点或绝对值几何意义，区分度较高。 识记 需准确说出正负数、数轴、相反数、绝对值的定义，默写加减乘除乘方法则。 理解 应借助数轴理解绝对值几何意义，解释运算律的算理及符号规则。 应用 能熟练进行含乘方的混合运算，并用有理数运算解决温差、收支等实际问题。 考点一 有理数的基本概念 1．负数与有理数分类 具有相反意义的两个量，规定一种为正（带“”，可省略），另一种为负（带“”）； 2．数轴 三要素：原点、单位长度、正方向（直线）； 作用：数轴上右边的数总比左边大，正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。 3．相反数与绝对值 相反数：只有符号不同、绝对值相等的两个数（如2与-2），多重符号化简遵循“奇负偶正”； 绝对值：数轴上数对应的点到原点的距离，性质为：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0（即，非负性）。 ⚠️概念辨析 有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都可化为分数，故属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。注意0既不是正数也不是负数，但属于有理数。 考点二 有理数的运算 1．加减运算 加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值；任何数加0得本身； 加法运算律：交换律，结合律； 减法法则：减去一个数=加上这个数的相反数：，加减混合运算先将减法转加法，再用运算律简便计算。 2．乘除运算 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个非0数相乘，负因数个数为奇则积负、偶则积正；有0则积为0； 乘法运算律：交换律，结合律，分配律； 倒数：乘积为1的两个数（0无倒数，负数的倒数仍为负数）； ·示例：-2的倒数是 除法法则：法则一：同号得正、异号得负，绝对值相除（0除以非0数得0）； 法则二：除以非0数=乘它的倒数（）。 3．乘方运算 定义：个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂 在乘方运算中，是底数，是指数； 符号法则：正数的任何次乘方为正；负数的奇次乘方为负，偶次乘方为正（如）。 ·示例： ·易错点：混淆底数范围，误将算成，忽略“负号是否在乘方括号内”对结果的影响。 4．混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。 ⚠️易混易错 　 符号法则常错，如“负负得正”误用；乘方与乘法混淆，如“-2²=-4”与“(-2)²=4”分不清；运算顺序出错，先乘方再乘除后加减；去括号时漏变号。 考点三 科学记数法与近似数 1．科学记数法 绝对值＞10的数记为（，原数整数位数）。 ·示例： 2．近似数 用“四舍五入法”取近似值。 ·示例：将3.14159精确到百分位为3.14 ⚠️易混易错 　 a×10ⁿ中，1≤|a|<10，常误写a≥10或<1；n的确定易错，大数n=整数位数-1，小数n为负；近似数精确度看末位所在位，如2.3万精确到千位，易误为十分位；有效数字从左边第一个非零数字起。 题型一 正负数的定义 典例1 （25-26七年级上·福建漳州·期中）在，0，，，2五个数中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题根据负数的定义，即小于0的数是负数，逐个判断给出的数，统计负数的个数即可得到答案． 【详解】解：根据负数的定义：小于0的数是负数. 是负数，既不是正数也不是负数， 是负数， 是正数， 是正数． ∴ 负数共有个． 因此答案选B． 💡破题要诀 正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数。带“-”号的是负数，正数可省略“+”号，理解相反意义的量。 迁移应用 1．（25-26七年级上·四川资阳·期中）在 ，， ， 0 ， 中，负数的个数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，绝对值的化简； 先化简各数，再根据负数的定义进行判断． 【详解】解：∵，， ∴，是负数，有2个， 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如果盈利100元记作元，那么亏损70元记作______元． 【答案】 【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键；根据正负数的意义，盈利记为正数，亏损记为负数，然后问题可求解． 【详解】解：盈利元记作元，则亏损元记作元； 故答案为． 3．（25-26七年级上·四川泸州·期中）若元表示支出元，则元表示_________． 【答案】收入元 【分析】本题主要考查了正负数的意义，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据正负数表示相反意义的量这一思路，已知负数表示支出，从而推出正数表示的意义． 【详解】解：由题意，元表示支出元，可知负数表示支出，正数表示收入． 因此，元为正数，表示收入元． 故答案为：收入元． 题型二 有理数的分类 典例2 （25-26七年级上·四川成都·期中）在下列五个数中：，0，，，…（两个1之间依次多一个2）有理数个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了有理数定义，熟记概念是解题的关键． 根据有理数的定义，判断每个数是否为有理数．有理数包括整数和分数． 【详解】解：在，0，，，…（两个1之间依次多一个2）中， 有理数有，0，，有理数的个数是3个． 故选B． 💡破题要诀 按定义分：正有理数、零、负有理数；按性质分：整数、分数。注意有限小数和无限循环小数都是分数。 迁移应用 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）下列说法：①整数是正整数和负整数的统称；②一定是正数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值等于它本身的数是1，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整数的分类、绝对值的意义、相反数的定义等知识，根据相关知识逐个判断说法的正确性，即可解题． 【详解】解：∵整数包括正整数、0和负整数，故说法①不正确； ∵，当时，，这时不是正数，故说法②不正确； ∵相反数等于它本身的数只有0，故说法③正确； ∵绝对值等于它本身的数是非负数（包括0和正数），不仅是1，故说法④不正确； ∴正确的只有③，共1个． 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期中）把下列各数填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧． 非负整数集合{___________}． 正数集合{___________}． 负分数集合{___________}． 【答案】 非负整数集合； 正数集合； 负分数集合． 【分析】此题考查了有理数的分类，熟练掌握非负整数、正数、负分数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：，，， 3．（25-26七年级上·重庆·期中）从下列各数中，选出符合条件的数填入相应的集合里： ，，，，0，，，，…… 正有理数集合：{      } 负有理数集合：{      } 正分数集合：{      } 整数集合：{      } 【答案】，，；，；，；，， 【分析】先计算乘方和绝对值，再化简多重符号，最后根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】解：，，， 正有理数集合：{，，}； 负有理数集合：{，}； 正分数集合：{，}； 整数集合：{，，} 题型三 用数轴上的点表示有理数 典例3 （25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据数轴上各点的位置，确定各点表示的数的范围，进而找到表示的点． 【详解】解：， 表示的点应在和之间， 观察数轴可知：点在和之间，点在和之间，点在和之间，点在和之间， 数轴上表示的点可能是点． 💡破题要诀 画数轴三要素：原点、正方向、单位长度。正数在原点右，负数在左，零在原点。按符号定方向，按绝对值定距离。 迁移应用 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，数轴上点表示的数的相反数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是， 的相反数是2． 2．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小李写作业时不慎将画画用的颜料洒在了数轴上（如图），则被颜料盖住的整数有________个． 【答案】6 【分析】本题考查数轴和有理数，根据数轴，写出被盖住的整数即可． 【详解】解：由图可知，盖住的整数有，共6个； 故答案为：6． 3.（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号连接下列各数： ，，，，． 【答案】 数轴如下： 【分析】本题考查了求绝对值，求乘方，化简多重符号，在数轴上表示有理数． 先计算绝对值，乘方，化简多重符号，再在数轴上表示有理数即可． 【详解】解：，，，， ∴ 题型四 绝对值、相反数、倒数的化简 典例4 （25-26七年级上·云南曲靖·期中）化简的结果正确的是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的意义去括号，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 💡破题要诀 先定符号再算值：绝对值看正负，相反数变符号，倒数求乘积为1。多重符号从外向内化，注意零无倒数。 迁移应用 1.（25-26七年级上·广西玉林·期中）下列式子化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和化简多重符号，掌握绝对值和相反数的定义是解题关键．根据绝对值和相反数，判断各选项化简的正确性． 【详解】解：A、，式子化简正确，不符合题意； B、，式子化简正确，不符合题意； C、，式子化简不正确，符合题意； D、，式子化简正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．根据相反数的定义，一个数的相反数的相反数等于它本身． 【详解】解：因为表示的相反数，而的相反数是， 所以． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·广西防城港·期中）化简下列各数． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相反数． （1）根据相反数的定义化简即可； （2）根据相反数的定义化简即可； （3）根据相反数的定义化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型五 有理数比较大小 典例5 （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在，2，，0这四个数中，比小的数是（ ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小， 又∵，，，且， ∴ ， ∴比小的数是． 💡破题要诀 正数大于零大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。数轴上右边的数总比左边的数大。 迁移应用 1．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，正确； B. ∵，， ∴，正确； C. ∵，， ∴，正确； D. ∵，， 又∵，，， ∴，即，原式错误． 2.（25-26七年级下·广东深圳·期中）比较大小： ________ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义分别计算出两个幂的值，再比较所得结果的大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 3．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知下列各数：，，，，，．画出数轴，把它们分别在数轴上表示出来，并用“<”连接起来． 【答案】 解：在数轴上表示下列各数，如图， 用“<”号将这些数连接起来： 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小特点是解题的关键． 根据数轴上左边的数小于右边的数，即可解答． 【详解】略 题型六 有理数加减混合运算 典例6 （25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 💡破题要诀 统一成加法，省略加号写省略式，再运用加法交换律、结合律，同号结合、凑整、凑零，最后按有理数加法法则计算。 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需要根据运算法则，先处理括号和负号，然后进行计算． （1）根据有理数的加减混合运算计算即可求解． （2）通过组合带分数和小数部分简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先统一成分数，再利用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型七 有理数乘除混合运算 典例7 （25-26七年级上·广东茂名·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘法，再计算除法，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 💡破题要诀 先定符号：奇负偶正。除法化乘法，带分数化假分数。约分优先，再算绝对值。 迁移应用 1．（25-26七年级上·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用加法交换律与结合律进行简便运算即可； （2）将除法化为乘法并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可． 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 3．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型八 有理数的乘方运算 典例8 （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算题目中的结果，再根据有理数运算法则计算各选项结果，对比得到答案． 【详解】解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． 💡破题要诀 先定符号，负偶正、负奇负；再算绝对值乘方。分数带括号，非零零次幂为1。 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加减混合运算和有理数加减乘除乘方混合运算，按照有理数的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·福建三明·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式为，再运算加法，即可作答． （2）先运算乘方，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)64 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数乘方的运算方法为解题关键． （1）根据计算出结果即可； （2）根据计算出结果即可； （3）根据计算出结果即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 题型九 有理数混合运算 典例9 （25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 💡破题要诀 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。同级运算从左到右，灵活运用运算律简化。 迁移应用 1．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)（或或） (2) 【详解】（1）解： ， （2）解：． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算，再把除法转化为乘法，用； （2）先算中括号内为，再算，再把两个得数相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十 有理数的实际应用 典例10 （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)200块 (2)2400元 【分析】（1）根据比例尺求出房屋地面的实际长和宽，再计算出房屋地面的面积和每块地砖的面积，进而求出所需地砖的数量即可． （2）根据地砖数量和单价求出买地砖的总费用． 【详解】（1）解：房屋实际长，宽， 房屋面积为，正方形地砖面积 地砖数为 块． （2）解：费用为元． 💡破题要诀 审题找等量关系，设未知数列方程；注意正负意义与单位统一，解后检验是否符合实际。 迁移应用 1．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ 【答案】(1)检修小组最终停在距地2千米的地方 (2)当天从出发到收工回到地共耗油升，该检修小组这一天的油费是元 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）先将行驶记录的各数绝对值相加，再加上（1）中求得的回到地的路程求得总路程，然后将其与相乘并计算求得耗油量，最后把它与8相乘求得油费即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：检修小组最终停在距地2千米的地方. （2）解： （千米）， （千米）， （升）， （元）， 答：当天从出发到收工回到地共耗油6.3升，该检修小组这一天的油费是50.4元； 2．（25-26七年级上·江苏·期中）我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【答案】(1)23 (2)1111 【分析】（1）根据题意得出求出即可； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：，即二进制中的相当于十进制中的． （2）解：,即二进制中的相当于十进制中的． 3．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：第1次；， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第6次：． 答：在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为． （2）解：． 答：这次治安巡逻的时间为． 题型十一 科学记数法 典例11 （25-26七年级上·湖南长沙·期中）2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一个较大的数用科学记数法表示为的形式，其中，为正整数，的值等于原整数位数减1即可． 【详解】解：． 💡破题要诀 形式 a×10ⁿ，a 满足 1≤a<10。n 值看位数，原数整数位减 1 即得 -1-6。还原时小数点右移 n 位，符号不变。 迁移应用 1．（25-26七年级上·全国·期中）2025年，我国某项重大科技工程取得突破，相关投资约为125000000000元．这个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“125000000000”用科学记数法表示为． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（   ） A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． 将科学记数法转换为原数，再改写成以亿为单位的数即可． 【详解】解：∵1亿=， ∴元 亿． 故选：D． 题型十二 近似数 典例12 （25-26七年级上·福建泉州·期中）用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数与精确度，精确到百分位需保留两位小数，看千分位数字四舍五入． 【详解】解：（精确到百分位） 故选：D． 💡破题要诀 四舍五入定精度，精确到哪位看末位；有效数字从左边第一个非零数字起，到末位止，中间零都算； 科学记数法 a×10ⁿ，有效数字只看 a。 迁移应用 1．（25-26七年级上·海南海口·期中）用四舍五入法按要求对取近似数，其中错误的是（　　） A．（精确到百分位） B．（精确到） C．（精确到个位） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入法取近似数，精确到哪一位需对下一位数字进行四舍五入．根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】精确到百分位即保留两位小数，千分位为，，应舍去，近似数为，但选项为，错误； 精确到即万分位，十万分位为，，进位，近似数为，选项正确； 精确到个位，十分位为，，进位，近似数为，选项正确； 精确到即十分位，百分位为，，舍去，近似数为，选项正确； 故选． 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法错误的是（） A．2.536保留两位小数是2.54 B．4.95精确到0.1是5.0 C．近似数3.24万精确到百分位 D．近似数精确到十位． 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，根据四舍五入法则和近似数精确位的定义，逐项分析即可． 【详解】解：∵2.536保留两位小数，需看第三位小数6，，∴第二位小数3进1为4，得2.54，A正确； ∵4.95精确到0.1（十分位），需看百分位5，，∴十分位9进1为10，个位4进1为5，十分位写0，得5.0，B正确； ∵近似数3.24万实际表示32400，数字3.24中最后一位4对应实际值的百位，∴精确到百位，而非百分位，C错误； ∵近似数，最后一位1对应十位，∴精确到十位，D正确。 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·海南海口·期中）在，10，，，0，这六个数中，负数的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，也考查了绝对值和相反数，熟知相关知识是解题的关键． 先利用相反数、绝对值的意义计算出，，然后根据有理数的分类求解． 【详解】解：，10，，，，0，， 所以这六个数中，负数为，，共2个． 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在2025年11月2日巴中经开区体育馆举行的川超比赛中，巴中队与遂宁队以战平．据统计，现场观看这场比赛的人数约为人，把写成原数是（    ） A．230 B．2300 C．23000 D．23 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法转换为原数时，根据10的指数移动小数点位置，指数为正时小数点向右移动，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列各数中与如图所示的有理数最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可知，然后即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知， A、B、C、D中只有， 故选：B． 4．（25-26七年级上·四川眉山·期中）用“>”或“”号填空：__________，__________． 【答案】 > > 【分析】本题考查了有理数的大小比较，科学记数法，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 对于第一个空，比较两个负数，根据有理数大小比较法则，绝对值大的负数反而小；对于第二个空，比较科学记数法表示的数，先比较10的指数，指数大的数更大． 【详解】解：∵ ，，通分得，， ∵ ，∴ ， ∴ ， 故答案为：> ； ∵ ，，∵ ， ∴ ， 故答案为 ：> ． 5．（25-26七年级上·青海西宁·期中）若，则________．化简________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，化简多重符号．第一空根据绝对值的定义求解；第二空通过多重符号的化简规则计算． 【详解】解：由，得； 故答案为：； 6．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成______个． 【答案】32 【分析】本题主要考查了乘方的应用，每一次分裂后，细胞的数量是原来的2倍，求出5小时一共分裂多少次即可得到答案． 【详解】解：已知这种细胞每过1小时便由1个分裂成2 个，那么经过1小时后，细胞的数量为个． 则经过n小时，细胞就会分裂n次，每次都是前一次数量的2倍， 所以经过n小时后可分裂成个细胞． 所以经过5小时，这种细胞能由1个分裂成个， 故答案为： 7．（25-26七年级上·四川德阳·期中）把下列各数的序号填入相应集合内： ①，②，③4，④，⑤，⑥0，⑦…相邻两个1之间0的个数逐次加，⑧，⑨，⑩． 整数：______…； 分数：______…； 正数：______…； 非负整数：______… 【答案】①，②，③，⑥，⑩；⑤，⑧，⑨；②，③，④，⑦，⑧，⑨；②，③，⑥ 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数，相反数，绝对值，熟练掌握实数的分类是解题的关键．先计算，再根据整数、分数、正数、非负整数的定义分类即可． 【详解】解：②，⑩， 整数：①，②，③，⑥，⑩； 分数：⑤，⑧，⑨； 正数：②，③，④，⑦，⑧，⑨； 非负整数：②，③，⑥ 故答案为：①，②，③，⑥，⑩；⑤，⑧，⑨；②，③，④，⑦，⑧，⑨；②，③，⑥． 8．（25-26七年级上·河北张家口·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)9992 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘除混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除法运算法则计算即可； （2）按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 9．（25-26七年级上·北京·期中）已知四个数：，，，． (1)化简得__________，__________，__________，__________． (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“”把连接起来是__________． 【答案】(1)，3，1， (2) 解：． (3) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． （1）根据有理数的乘方的运算方法，相反数的求法，以及绝对值的含义和求法，化简a，b，c，d即可． （2）根据化简的结果，把这四个数在数轴上分别表示出来即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，用“”把a，b，c，d连接起来即可． 【详解】（1）解：化简a，b，c，d得，，，． 故答案为：，3，1，； （2）略 （3）解：用“”把a，b，c，d连接起来是：． 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海青浦·期中）某公路检修小组从A地出发沿东西向的路面检修公路，规定检修车向东行驶的路程为正，向西行驶的路程为负，一天中行驶记录如下表．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时，检修小组距离A地多远？在A地的什么方向？ (2)记录到第______次时，检修小组距离A地最远； (3)如果检修车每千米耗油0.2升，那么共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时距离A地1千米，在A地的东边 (2)五 (3)共耗油8.2升 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用． （1）将所有行驶记录相加，得到收工时相对于A地的位置，正数表示东，负数表示西； （2）计算每次行驶后的累计位置，并比较其绝对值，绝对值最大时距离A地最远； （3）所有行驶记录的绝对值之和为总路程，乘以每千米耗油量即得总耗油量． 【详解】（1）解：由题意得，（千米）， ∴收工时距离A地1千米，在A地的东边； （2）解：第一次距地：千米， 第二次距地：千米， 第三次距地：千米， 第四次距地：千米， 第五次距地：千米， 第六次距地：千米， 第七次距地：千米， ∴第五次距地最远， 故答案为：五； （3）解：（升）， 答：共耗油升． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，相反数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，可以确定在数轴上的位置，根据在数轴上越往右的数越大判断即可． 【详解】解：∵互为相反数的两个数到原点的距离相等， ∴可以确定在数轴上的位置如图， 根据在数轴上越往右的数越大， 只有A选项正确． 故选：A． 2．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探索，找到循环周期并计算余数是解题关键．观察3的幂次方的末位数字，发现每4次循环一次，循环顺序为，计算2025除以4的余数，根据余数即可确定末位数字． 【详解】解：因为，，，，，，，……， 所以发现规律为的末位数字按照的顺序进行循环， 因为 ， 所以的末位数字是3． 故选：B 3．（25-26七年级上·河北沧州·期中）定义一种新运算：，例：，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、含乘方的有理数混合运算等知识点，掌握含乘方的有理数混合运算法则是解题的关键． 先根据新运算的定义将原式化成含乘方的有理数混合运算的形式，然后再计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． 5．（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【答案】(1)最高分是分，最低分是分 (2)数学成绩低于80分的占的百分比是 (3)总分是分，平均分是分 【分析】（1）利用80加上记录数字中的最大数可得最高分；利用80加上记录数字中的最小数可得最低分； （2）利用负数的个数除以抽查的学生总人数即可； （3）将记录数字相加，再计算10名同学的基准总分数可得总分，再除以人数可得平均分． 【详解】（1）解：由题意得：最高分是（分）， 最低分是（分）， 答：这10名同学的数学成绩中最高分是分，最低分是分． （2）解：在记录的结果中，负数共有5个， ∴10名同学中，数学成绩低于80分的人数为5人， ∴， 答：数学成绩低于80分的占的百分比是． （3）解：总分是 （分）， 平均分是（分）， 答：10名同学数学成绩的总分是分，平均分是分． 6．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果是______； （2）关于除方，下列说法错误的是______；（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算 （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； （4）计算： 【答案】（1）；（2）③；（3），；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、正负数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用除方的意义解答即可； （2）利用除方的意义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义解答即可； （4）利用除方的意义和有理数的混合运算的法则解答即可． 【详解】解：（1）； （2）①当时，，该说法正确，不合题意； ②，，，， ∴对于任何正整数，1的圈次方都等于1，该说法正确，不合题意； ③，，，该说法错误，符合题意； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，该说法正确，不合题意； 故选：③； （3）； ； 故答案为：，； （4）由（3）知，， ∴原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 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