2.2 认识有理数　讲义　2024—2025学年鲁教版（五四制）数学六年级上册

《2 认识有理数》讲义 同学们，咱们现在开始学习六年级上册第二章有理数及其运算中的认识有理数这部分内容啦。 一、有理数是什么呢？ 咱们先来讲个小故事吧。有一天我去超市买东西，我带了50元钱，这50元就是一个很确定的数。然后我看到苹果3元一斤，我想买10斤，那我得花30元，这里的3和10还有30都是很明确的数。像这样在我们日常生活中经常用到的数，比如0、1、2、3这些整数，还有像1.5、2.5这样的小数，它们都可以表示一些实际的数量，这些数就是有理数的一部分哦。 有理数就是整数和分数的统称。整数就像我们刚刚说的0、1、2、3这样的数，还有 －1、 －2、 －3这些负数。那分数呢？比如说我把一个蛋糕平均分成4份，我拿了其中的1份，那这个1/4就是分数。分数还包括像 －1/2这样的负数分数。 1、 整数 整数又可以分为正整数、0和负整数。正整数就是我们平常数数的时候1、2、3这样不断变大的数，它们在生活里到处都是。比如说我们班级里有40个同学，这里的40就是正整数。0呢，它比较特殊，它既不是正数也不是负数，但是它在很多计算里都非常重要。就像我去超市，如果我什么都不买，那我花的钱就是0元。负整数呢，就像是我欠别人钱的时候。假如我向同学借了5元钱，那这个时候我就可以用 －5来表示我欠的钱数。 2、 分数 分数也有正分数和负分数之分。正分数像刚刚说的1/4、3/5这些，它们表示把一个东西分成几份，然后取其中的一部分。那负分数呢，就像 －2/3这样的。我再给大家举个例子，我有一个装水的桶，这个桶如果装满水是1升，但是现在里面只有半升水了，那我可以说桶里的水是1/2升。如果这个桶是漏的，水在不断减少，那我可以想象有个负数分数来表示减少的部分。 二、有理数在生活中的例子 咱们再深入说说有理数在生活中的例子。比如说温度，夏天的时候气温可能是30摄氏度，这里的30就是正整数，它是有理数。到了冬天，有时候气温会下降到 －5摄氏度，这个 －5就是负整数，也是有理数。还有我们在看地图的时候，海拔高度也会用到有理数。比如说海平面的高度我们规定为0米，那有些地方的海拔是100米，有些地方可能是 －10米，这些100和 －10都是有理数。 再比如说我们在跑步比赛的时候，裁判会记录每个选手的跑步时间。如果一个选手跑100米用了12秒，这里的12就是正整数，是有理数。要是这个选手抢跑了，按照规定要被罚 －1秒（这是为了方便理解假设的情况），这个 －1就是负整数，也是有理数。 还有在计算体重的时候，如果一个同学的体重是45千克，这45就是正整数。要是这个同学想减肥，计划每个月减2千克，那这个2就是正整数，要是把减肥这个减少的过程用数来表示，就可以用 －2千克来表示每个月减少的重量，这个 －2就是负整数，它们都是有理数。 三、有理数的表示方法 1、 数轴 数轴是一个很神奇的东西，它可以把有理数很清楚地表示出来。就像一条长长的线，中间有个点是0，0的左边是负数，0的右边是正数。比如说1就在0的右边一格的地方， －1就在0的左边一格的地方。我们可以把任何一个有理数在数轴上找到它对应的点。就像我刚刚说的去超市买东西花的钱数，如果我花了5元，那就在数轴上正数这边找到5对应的点；要是我没花钱，那就是0对应的点；要是我得到了5元的退款（就像商家多收了钱退给我），那可以想象在负数这边 －5对应的点，不过这种得到退款的情况在数轴上表示负数只是为了方便理解数的概念。 2、 有理数的符号 有理数前面的符号也很重要。正整数前面的“＋”号我们一般都省略不写，像3我们就直接写3，但是它其实是 ＋3。负整数前面一定要写“ ”号，像 －5就表示负5。分数也是一样的，正分数像3/4前面的“＋”号省略，负分数像 －1/3前面的“ ”号不能省略。这个符号就像方向标一样，告诉我们这个数是在正数那边还是负数那边。 四、有理数的大小比较 1、 正数和正数比较 正数比较大小很简单，就像我们平常数数一样，数字越大这个数就越大。比如说3比2大，5比4大。就像我们在比谁的零花钱多的时候，如果小明有5元零花钱，小红有3元零花钱，那小明的零花钱就比小红的多。 2、 负数和负数比较 负数比较大小就有点不一样了。负数的数字越大，这个数反而越小。比如说 －5就比 －3小。我给大家举个例子，假如有两个小朋友在挖洞，洞的深度用负数表示，小深挖的洞深度是 －3米，小李挖的洞深度是 －5米，那小李挖的洞就比小深的洞深，但是从数的大小来说 －5是小于 －3的。 3、 正数和负数比较 正数肯定是大于负数的。这就像在比赛中，正数代表赢的分数，负数代表输的分数，那赢的肯定比输的要好呀。比如说3大于 －2，不管是在温度上，3摄氏度肯定比 －2摄氏度要暖和；还是在钱数上，3元肯定比欠2元要好得多。 五、有理数的运算 1、 加法 有理数的加法有几种情况。 （1）同号相加 如果是两个正数相加，那就很简单，直接把数字相加就行了。比如说2 ＋ 3 ＝ 5。就像我有2个苹果，又得到了3个苹果，那我一共就有5个苹果。如果是两个负数相加，也是把数字相加，但是结果是负数。比如说 －2 ＋ （－3) ＝ －5。这就像我欠了2元钱，又欠了3元钱，那我一共就欠了5元钱。 （2）异号相加 异号相加的时候要先确定结果的符号，然后用大的数字减去小的数字。比如说3+（－2) ＝ 1。这就像我有3元钱，但是我又欠了2元钱，那最后我还剩下1元钱。要是 －3 ＋ 2 ＝ －1，就像我欠了3元钱，我只有2元钱，那我还欠1元钱。 2、 减法 有理数的减法可以转化为加法来做。比如说3 2就等于3+（－2) ＝ 1。这就像我本来有3个东西，拿走2个，就相当于我有3个东西然后又少了2个，就是1个。那如果是3 （－2)呢，就等于3+2 ＝ 5。这就像我本来有3个东西，别人欠我的2个东西还回来了，那我就有5个东西了。 3、 乘法 （1）同号相乘 同号相乘得正数。比如说2×3 ＝ 6，（－2)×（－3) ＝ 6。就像我每次得到2元钱，得到了3次，那我一共得到6元钱；如果我每次少欠2元钱（也就是得到2元钱的概念在这种情况下），少欠了3次，那我就相当于得到了6元钱。 （2）异号相乘 异号相乘得负数。比如说2×（－3) ＝ －6。这就像我每次欠3元钱，欠了2次，那我就一共欠了6元钱。 4、 除法 有理数的除法也和乘法有类似的规则。 （1）同号相除 同号相除得正数。比如说6÷2 ＝ 3，（－6)÷（－2) ＝ 3。就像我有6元钱，分给2个人，每人得到3元钱；如果我欠了6元钱，平均分给2个人欠，那每人欠3元钱。 （2）异号相除 异号相除得负数。比如说6÷（－2) ＝ －3。这就像我有6元钱，要分给 －2个人（这里 －2个人只是为了说明规则，实际生活中没有 －2个人的概念），那就是每人欠3元钱的概念。 六、课程重点和难点 1、 重点 （1）理解有理数的概念，包括整数和分数，以及正整数、0、负整数、正分数、负分数的区别。这是基础中的基础，就像盖房子要先打好地基一样，如果这个概念不理解清楚，后面的学习就会很困难。 （2）掌握有理数在数轴上的表示方法。数轴是一个非常重要的工具，它可以帮助我们直观地理解有理数的大小关系、加减法等运算。 （3）熟练掌握有理数的四则运算规则。这在数学计算中是非常重要的，无论是在解决数学问题，还是在日常生活中的计算，都离不开有理数的四则运算。 2、 难点 （1）负数概念的理解。对于同学们来说，负数可能比较抽象，因为在日常生活中我们接触到的很多数量都是正数或者0。像 －5元钱、 －3摄氏度这些负数的概念，需要大家多从生活中的例子去理解，比如欠别人钱、温度低于0摄氏度等情况。 （2）有理数的减法运算。把减法转化为加法来做这个概念可能有点绕，需要同学们多做一些练习题来熟练掌握。比如说3 （－2)转化为3+2这个过程，要理解为什么可以这样转化，以及在不同的题目中如何正确地运用。 （3）有理数运算中的符号确定。在有理数的乘法和除法运算中，符号的确定是一个容易出错的地方。同号得正、异号得负这个规则要牢记，并且在复杂的计算中要准确地运用。 同学们，有理数在我们的生活和数学学习中都非常重要。希望大家通过今天的学习，能够很好地认识有理数，并且熟练掌握相关的知识和运算。如果有不懂的地方，一定要多问老师和同学哦。 学科网（北京）股份有限公司 $$