专题02 消元——解二元一次方程组重难点题型专训（2知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 消元——解二元一次方程组重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 方程组相同解问题 题型八 三元一次方程组的定义及解 拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值 拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴 拓展训练三 新定义二元一次方程组压轴 拓展训练四 整数解限定最值压轴 知识点一：二元一次方程组的解法 1. 消元思想 ​ 核心思路：化二元为一元，逐一求解 2.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 3.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组： 2．（24-25七年级下·广东广州·月考）解方程组 知识点二：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 2．（25-26七年级上·全国·期末）解方程组： 【经典例题一 代入消元法】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·北京延庆·期中）已知关于的方程组的解是，则的值为___________． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·月考）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2025七年级下·浙江·模拟预测）如下表，是小明同学探究关于的代数式（其中，为常数）的值变化规律的情况，则的值是________． 3．（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【经典例题二 加减消元法】 【例1】（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为______． 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知a，b都是有理数，观察表格中的运算，则m的值为____． a，b的运算 运算的结果 －4 10 m 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组： 解： ，得③……第一步 ，得……第二步 解得……第三步 将代入①，得……第四步 所以原方程组的解为……第五步 (1)任务一：嘉嘉解方程组用的方法是 ；（填“代入法”或“加减法”） (2)任务二：第 步开始出现错误． (3)任务三：写出正确的解方程组的过程． 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是______． 1．（2025·四川乐山·模拟预测）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是______． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【经典例题四 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1）______， （2）______． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（    ） A．4， B．4，2 C．，2 D．， 2．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为__________． 3．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26八年级上·河南郑州·月考）对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 1．（24-25七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 3．（2025七年级下·重庆綦江·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【经典例题六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 2．（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为________． 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 【经典例题七 方程组相同解问题】 【例1】（24-25七年级下·山东德州·期中）已知方程组与有相同的解，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级上·广东河源·月考）已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【经典例题八 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【例2】（2025七年级下·湖南长沙·模拟预测）已知，当时，；x=6时，；时，．则当时，y的值为 _____． 1．（24-25七年级下·福建莆田·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 2．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知，则_______ ． 3．（25-26七年级下·山东淄博·月考）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知代数式，当时，其值是3；当时，其值也是3．则代数式的值是（　　） A． B．7 C．6 D． 【例2】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）已知代数式，当时，其值为；当时，其值为1；当时，其值为10；则当时，其值为_______． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25八年级上·广东佛山·月考）已知关于x、y的方程组和的解相同，则代数式值为______． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在代数学习中，常常需要对一个代数式进行变形，从而实现恒等代换、简化计算、研究性质等目的．例如：已知代数式，可将代数式进行变形，，从而建立、之间的内在联系．下列表格中利用不同的的值去探索代数式，之间的关系： 0 1 2 3 4 ① 1 3 5 ② 1 3 (1)补充表格中①、②对应的数值； (2)观察发现，当时，代数式的取值为；而当时，代数式的取值与相同，我们称代数式相对于代数式“取值右移”，此时右移值为1．若代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，求代数式． (3)若代数式相对于代数式“取值左移”，且左移值为2，求对应，的值． 【拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【例2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程中的，而解得，乙看错方程中的，而解得，则原方程组的解为____________． 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 2．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 3．（25-26八年级上·山西太原·期末）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 【拓展训练三 新定义二元一次方程组压轴】 【例1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为_____． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 3．（24-25七年级下·吉林·期末）新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． (1)请写出方程的共轭二元一次方程； (2)若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 【拓展训练四 整数解限定最值压轴】 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）小明设计了一台数值转换机，只要依次输入整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，，，，，则最后输出的结果是55； ②若将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是11，最小值是； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，5，，全部输入完毕后显示的最后结果设为，若的最小值为，那么的最大值是． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）． （1）__________（用含的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为__________． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a为实数） (1)若方程组的解始终满足y＝a+1，求a的值； (2)已知方程组的解也是方程bx+3y＝1（b为实数，b≠0且b≠﹣6）的解 ①探究实数a，b满足的关系式； ②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）规定：关于x，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，答下列问题： (1)已知，，，则是“合作线”的“团结点”的是______； (2)设，是“合作线”的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解； (3)已知h，t是实数，且，若是“合作线”的一个“团结点”，求S的最大值与最小值的和． A基础训练 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知方程组的解x、y满足方程，求k的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北保定·月考）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 B 提高训练 6．（25-26七年级下·河南周口·月考）方程组 的解是______． 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）李明、王超两位同学同时解方程组李明解对了，得，王超抄错了m得则原方程组中a的值为___． 9．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）已知方程组的解是，则求方程组的解时，将方程组变换为，在利用整体法则求出方程组的解为，类比以上方法，已知方程组的解是，求出方程组的解______． 10．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是______． C 培优训练 11．（2025七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，求的值． 13．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 15．（25-26七年级下·吉林长春·月考）阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 消元——解二元一次方程组重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 方程组相同解问题 题型八 三元一次方程组的定义及解 拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值 拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴 拓展训练三 新定义二元一次方程组压轴 拓展训练四 整数解限定最值压轴 知识点一：二元一次方程组的解法 1. 消元思想 ​ 核心思路：化二元为一元，逐一求解 2.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 3.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法．利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 解得： 把代入①， 原方程组的解是 2．（24-25七年级下·广东广州·月考）解方程组 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，可选用加减消元法进行求解，掌握消元法的步骤即可正确解答． 【详解】解： 由 ，得 ， 解得： ； 把代入①，得 ， 解得： ； ∴方程的解为：． 知识点二：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【分析】将③代入①消去z，可得，再结合②根据加减消元法求出，然后将x的值代入方程求出另外两个未知数的值即可． 【详解】解：， 把③代入①，得， 整理得：， ，得，解得：， 把代入③，得， 把代入④，得， ∴原方程组的解为． 2．（25-26七年级上·全国·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 【经典例题一 代入消元法】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 ，即． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·北京延庆·期中）已知关于的方程组的解是，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，由题意得，解得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·月考）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 2．（2025七年级下·浙江·模拟预测）如下表，是小明同学探究关于的代数式（其中，为常数）的值变化规律的情况，则的值是________． 【答案】 【分析】根据表格数据分别得到和时的代数式值，先求出与的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 即的值是． 3．（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 【经典例题二 加减消元法】 【例1】（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 【例2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，估计无理数的取值范围，解题的关键是掌握以上运算法则． 先解二元一次方程组，求出用m表示的x和y，再计算并代入不等式，解出m的取值范围，最后根据m为整数确定其值． 【详解】解：解方程组， ，得， 即， 解得， 代入第二个方程， 即， 解得， 所以， 由，得， 即， ∵，， 即，， ∴，， ∴， 由于m为整数， 所以． 故答案为：1． 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：联立方程得：， 得：， 将代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知a，b都是有理数，观察表格中的运算，则m的值为____． a，b的运算 运算的结果 －4 10 m 【答案】－1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解答本题的关键． 根据表格中和的运算结果，列出二元一次方程组，解出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：由表格得： 得：，解得：， 得：，解得：， 故原方程的解为 则 ， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组： 解： ，得③……第一步 ，得……第二步 解得……第三步 将代入①，得……第四步 所以原方程组的解为……第五步 (1)任务一：嘉嘉解方程组用的方法是 ；（填“代入法”或“加减法”） (2)任务二：第 步开始出现错误． (3)任务三：写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)加减法 (2)一 (3)，过程见解析 【分析】（1）根据具体的解题步骤判断求解即可； （2）根据方程两边同时乘以2，计算判断即可． （3）根据方程组的求解步骤，规范求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解题用的是加减法； （2）解：，得，漏乘常数致错， 故错在第一步； （3）解：①，得． ②+③，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以方程组的解为． 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题运用整体换元的思想，根据二元一次方程组解的定义，将所求方程组中的整体部分对应原方程组的未知数，再根据原方程组的已知解列方程求解即可． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， ∵原方程组 的解为 ， ∴对于方程组，其解为， ∴， 解第一个方程得：，即， 解第二个方程得：， ∴所求方程组的解为 【例2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是______． 【答案】 【分析】令，，根据题意可知方程组的解为，即得出，解出x、y即可． 【详解】解：令，， 则方程组可变为：， ∵方程组的解是， ∴方程组的解为， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 1．（2025·四川乐山·模拟预测）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组是解题的关键．根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则，， ， 解得：， ∴，， ∴方程组的解为：． 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是______． 【答案】 【分析】本题考查特殊法解二元一次方程组，理解题中乙的想法是解题的关键．根据题中乙的想法将方程组化为：，结合已知条件得到，进行求解即可． 【详解】解：方程组可化为：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：； ∴方程组的解为． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用整体求值法进行求解即可； （2）利用整体求值法求出的值，结合，列出关于的方程进行求解即可； （3）利用整体求值法化简方程组，再进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得； （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得； （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴． 【经典例题四 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1）______， （2）______． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（    ） A．4， B．4，2 C．，2 D．， 【答案】A 【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解． 【详解】解：由题意可得：-2a+10=2， ∴a=4， ∴4x+5y=2①， 又由老师的话可得x=y+5②， ②代入①可得：4y+20+5y=2， 解得：y=-2，代入②得x=3， 把x=3，y=-2代入bx-7y=8可得：3b+14=8， 解得：b=-2， ∴，的值分别为4、-2， 故选A ． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解复原，把代入可得，再进一步解题即可. 【详解】解：由题意可得：， 方程组的解为：， ∴， 解得：， ∴原方程组为：， ②①得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； 故答案为：． 3．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·河南郑州·月考）对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 1．（24-25七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 3．（2025七年级下·重庆綦江·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）先把原方程去括号整理得出，再由题意得出，解方程即可； （2）先整理原方程，再把公共解代入方程，可得出方程的解与a的值无关，即可说明无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【详解】（1）解： 整理得：， 由题意得：， 解得． （2）解：把化为下面的形式：， ∵， ∴，即， ∴当时，二元一次方程的解与a的值无关， ∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【经典例题六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解． 【详解】已知关于、的方程组， 解得：， 当时，， 变形为无意义， 不可能等于，故正确； 当时，方程组的解为， 代入方程， 左边， 右边， 左边右边， 当时，方程组的解也是方程的解，故正确； 当，时，代入方程组得， 解得：，无实数解， 不存在某一个值，使得，，故错误； ， ， 的最小值为，故正确． 【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 【答案】 【分析】将两个方程相减可得，再根据可得答案． 【详解】解：， ，得． ∵， ∴， 解得． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，再根据x和m均为整数的条件，结合整除的性质求解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， ， 为整数，也为整数， ， 当时，，无对应选项， 当时，，符合条件． 2．（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为________． 【答案】4 【分析】利用加减消元法求出方程组的解，再把方程组的解代入方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得． 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由定义得到方程组，再解方程组即可； （）将，； ，，代入方程中，求出这个二元一次方程，即可写出这个方程的共轭二元一次方程； （）将方程组的解代入，再由加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， 则， 解得； （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是； （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， 即． 【经典例题七 方程组相同解问题】 【例1】（24-25七年级下·山东德州·期中）已知方程组与有相同的解，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个方程组的解相同，可重组一个只含、的方程组，求出它们的解，再把解代入含、的方程，得方程组并求出、的值． 【详解】解：方程组与有相同的解， ∴方程组与有相同的解， 解方程组， 得， 得， 得， 将代入得，，解得， 该方程组的解为， 把代入方程组， 得，解得． 【例2】 （25-26八年级上·广东河源·月考）已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________． 【答案】 【分析】通过设，把关于的方程组转化为已知解的关于的方程组，再解关于的方程组得到答案． 【详解】解：方程组可变形为， 令， 则关于的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴，解得． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：联立， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：0． 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 【经典例题八 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【例2】（2025七年级下·湖南长沙·模拟预测）已知，当时，；x=6时，；时，．则当时，y的值为 _____． 【答案】2 【分析】本题考查解三元一次方程组． 根据题意列出三元一次方程组，求出，得到，将代入计算即可． 【详解】解：根据x，y的取值，联立方程： ， 解得：， ∴， 当时，． 故答案为：2． 1．（24-25七年级下·福建莆田·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 【答案】A 【分析】本题主要考查代数方程的建立和求解，以及逻辑推理能力．通过设立方程组求解各卡片上的数值，再比较各数大小即可确定正确选项． 【详解】解：设五张卡片上的数分别， 根据题意列出方程：， 由方程①得，代入方程⑤得， 由方程②得，代入方程③得， 将和代入方程④：，解得：， 则， 比较各数大小：为最小值，故选项A正确． 其他选项中，非最小，，，均不成立． 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程组，解方程后，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·山东淄博·月考）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （3）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （4）先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再依次求解． 【详解】（1）解： 得：， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （2）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （3）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （4）解： 得：， 得：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为． 【拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知代数式，当时，其值是3；当时，其值也是3．则代数式的值是（　　） A． B．7 C．6 D． 【答案】D 【分析】将，其值是3，，其值是3分别代入代数式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解，即可得到a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得： 解得： ∴ 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组和代数式求值，利用了消元的思想，掌握加减消元法是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）已知代数式，当时，其值为；当时，其值为1；当时，其值为10；则当时，其值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值和三元一次方程组的解法，根据已知条件建立关于、、的方程组是解题的关键．利用已知条件列出关于a，b的方程组，解出a，b的值，再代入计算代数式的值． 【详解】解：当时，代数式的值为，即， 当时，代数式的值为1，即，代入，得， 当时，代数式的值为10，即，代入，得，即， 解方程组，得， 因此代数式为， 当时，代数式的值为， 故答案为． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法求出，，代入，根据不论m取何有理数，的值始终不变，列出关于n的方程，解方程求出n，再代入化简后的进行计算即可． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴， ∵不论m取何有理数，的值始终不变， ∴， 解得：， ∴这个值为：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东佛山·月考）已知关于x、y的方程组和的解相同，则代数式值为______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，根据方程组解的定义得到解相同得新方程组和，先求解方程组得x、y的值，再代入方程组中求出a、b，最后代入得结论． 【详解】 解：关于x、y的方程组和的解相同， ∴方程组和的解也相同． 解方程组，得． 把代入方程组， 得． 解这个方程组，得． ∴ ． 故答案为：24． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在代数学习中，常常需要对一个代数式进行变形，从而实现恒等代换、简化计算、研究性质等目的．例如：已知代数式，可将代数式进行变形，，从而建立、之间的内在联系．下列表格中利用不同的的值去探索代数式，之间的关系： 0 1 2 3 4 ① 1 3 5 ② 1 3 (1)补充表格中①、②对应的数值； (2)观察发现，当时，代数式的取值为；而当时，代数式的取值与相同，我们称代数式相对于代数式“取值右移”，此时右移值为1．若代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，求代数式． (3)若代数式相对于代数式“取值左移”，且左移值为2，求对应，的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【分析】（1）把代入，把代入即可求解； （2）代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，所以，整理即可； （3）由题意可得，整理后列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：①：，故填； ②：，故填； （2）解：依题意，得． （3）解：依题意，得， 则有， 解得，． 【拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程中的，而解得，乙看错方程中的，而解得，则原方程组的解为____________． 【答案】 【分析】把甲的解代入②，求出b的值，把乙的解代入①，求出a的值，最后将a和b的值代入原方程求解即可． 【详解】解：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组为：， 由④可得：， 将代入③得：， 解得：， ∴， ∴原方程组的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解二元一次方程组，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解，以及解二元一次方程组的方法和步骤． 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的错解问题，甲乙都看错了一个方程，但是所得的解还是另一个正确方程的解，据此代入求出，，最后再利用加减法解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵甲解题时看错了①中的m，解得， ∴把代入得，， 解得； ∵乙解题时看错了②中的n，解得， ∴把代入得， 解得， ∴原方程组为， 得，， 解得， 把代入，解得， ∴原方程组的解． 2．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 3．（25-26八年级上·山西太原·期末）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 【答案】(1)加减消元法 (2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2 (3)见解析 (4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． （1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法； （2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误； （3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案； （4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法． （2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2． （3）解：①×2得：，③ ②+③得：， 解，得， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． （4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【拓展训练三 新定义二元一次方程组压轴】 【例1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出关于a、b的方程组，难度一般，根据题意求出，即可求解． 【详解】由题意得：，解得 ∴ 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过解方程组得到和，根据与都是正整数求出符合条件的正整数的值，最后根据再由验证即可． 【详解】解：， ①+②得，， ∴， 把代入得， ∵方程组的解与都是正整数， ∴或或或， ∴a的值为或0或1或2， ∴正整数的值的值只能是1或2， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 3．（24-25七年级下·吉林·期末）新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． (1)请写出方程的共轭二元一次方程； (2)若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确进行计算是解题关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义解答； （2）将与的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程。 【详解】（1）（1）由共轭二元一次方程的定义可得，方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）（2）在方程中，当时，； 当时，， 所以，解得 所以方程为， 它的共轭二元一次方程为． 【拓展训练四 整数解限定最值压轴】 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）小明设计了一台数值转换机，只要依次输入整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，，，，，则最后输出的结果是55； ②若将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是11，最小值是； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，5，，全部输入完毕后显示的最后结果设为，若的最小值为，那么的最大值是． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，二元一次方程组的应用，通过列举计算并验证是解题的关键．根据有理数的减法法则计算即可判断①；利用和计算，可求得最大值和最小值，可判断②；分三种情况讨论，可判断③． 【详解】解：①根据题意， ，故①错误； ②将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入， ， ， 则最大值为11，最小值为，故②正确； ③，5，是三个互不相等的正整数， 若，这时不存在最小值为的情况； 若，则，，即，，无解， 若，则，，即，，解得：，，故③正确． 综上，正确的有②③， 故选：C． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）． （1）__________（用含的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为__________． 【答案】 / 10 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键． （1）两式相加化简即可得出结果； （2）解方程组，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根据题意即可解答． 【详解】解：（1）， 两式相加得：， ， 故答案为：； （2）， ①②得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 方程组的解也是方程的解， ， ， q为整数，且q不等于0或， 或， p是整数， 时，有最大整数值，则有最大整数值， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)； (3)时，的最小值为． 【分析】（1）利用加减消元法，将第一个方程两边同乘2后与第二个方程相加，消去未知数，求出关于的代数式，再将代入原方程，求出关于的代数式，从而得到方程组的解。 （2）将（1）中得到的、关于的代数式代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值。 （3）将、关于的代数式代入，得到关于的二次函数，再通过配方法将二次函数化为顶点式，利用平方的非负性求出的最小值及对应的的值。 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 将代入②，得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：∵该方程组的解满足， ∴，解得：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴时，的最小值为． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a为实数） (1)若方程组的解始终满足y＝a+1，求a的值； (2)已知方程组的解也是方程bx+3y＝1（b为实数，b≠0且b≠﹣6）的解 ①探究实数a，b满足的关系式； ②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①ab+6a+2b=4；②最大值是10，最小值是-22 【分析】（1）方程组消去x表示出y，代入y=2a-1中计算即可求出a的值； （2）①求出方程组的解，代入中计算即可求出a与b的关系式；②由a与b的关系式表示出b，根据a，b为整数确定出b的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：， ②-①得：3y=6a-3，即y=2a-1， 把y=2a-1代入y=a+1中得：2a-1=a+1， 解得：a=2； （2）解：①把y=2a-1代入方程组第一个方程得：x=a+2， 方程组的解为， 代入得：ab+2b+6a-3=1，即ab+6a+2b=4； ②由ab+6a+2b=4可得： = =， ∵a，b都是整数， ∴，，，，， 当，即时，b取得最大值10， 当，即时，b取得最小值． 【点睛】此题考查了解二元一次方程（组），熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）规定：关于x，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，答下列问题： (1)已知，，，则是“合作线”的“团结点”的是______； (2)设，是“合作线”的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解； (3)已知h，t是实数，且，若是“合作线”的一个“团结点”，求S的最大值与最小值的和． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，以及非负数的应用． （1）将，，分别代入中，能使方程成立的是“团结点”； （2）利用“团结点”和“合作线”的定义，列出方程组求得m，n的值，然后将m，n的值代入二元一次方程求得正整数解； （3）利用“团结点”和“合作线”的定义，分别得出s与和s与的关系式，利用非负数的意义得到s的最大值和最小值，则s的最大值与最小值的和可求． 【详解】（1）解：将，，C(1,2)代入方程，只有是方程的解， ∴“合作线”的团结点的是． 故答案为：． （2）解：将，代入方程得： ． 解得：． 代入方程得：． ∴此方程的正整数解为：． （3）解：∵， ∴，． ∵是“合作线”的一个“团结点”， ∴． ∴，或． ∵，， ∴由，可得s有最大值12． 由，可得s有最小值． ∴s的最大值与最小值的和为． A基础训练 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入法解方程组，将方程①变形用含x、a的式子表示出y，进而再代入方程②，用含a的式子表示出x的值，从而即可用含a的式子表示出y，据此即可求出x、y的比值了． 此题考查解二元一次方程组的方法，用含a的式子表示出x、y的值是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 代入②得，， ， ， ， ∴，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知方程组的解x、y满足方程，求k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相加，得出与的关系，再结合已知方程求出、的值，最后代入方程求出．解题思路为利用方程组中方程的运算建立与已知方程的联系，进而求解．本题主要考查了二元一次方程组的求解以及方程的代入运算，熟练掌握方程组中方程的运算和整体代入思想是解题的关键． 【详解】解： 可得， ， 因为， 所以， 解得， 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ， ∴； 故选A． 4．（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是观察题目特点，灵活运用换元法求解．两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答，即可获得答案． 【详解】解：对于方程组，可设，， 可得， 结合题意可知， 解得． 故选：C． 5．（24-25七年级下·河北保定·月考）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 【答案】D 【分析】如图，根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，可得，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，∵每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了方程组的应用，正确理解题意、根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等得出方程组是关键． B 提高训练 6．（25-26七年级下·河南周口·月考）方程组 的解是______． 【答案】 【详解】解：， 把代入得：，解得：， ∴方程组的解为：． 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 【答案】 【分析】先将表格中两组x，y的值代入二元一次方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，确定原方程，再将代入原方程，即可求出表中“？”表示的数． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， 因此原二元一次方程为， 当时，代入得， 解得． 即表中“？”表示的数为． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）李明、王超两位同学同时解方程组李明解对了，得，王超抄错了m得则原方程组中a的值为___． 【答案】-5 【分析】把李明和王超计算结果代入方程ax+by=2，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】把和代入ax+by=2得： ， ①+②得：b=4， 把b=4代入①得：2a+12=2， 解得：a=-5． 故答案为：-5． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 9．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）已知方程组的解是，则求方程组的解时，将方程组变换为，在利用整体法则求出方程组的解为，类比以上方法，已知方程组的解是，求出方程组的解______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分析阅读数学材料的能力，能够读懂阅读材料分析清楚示范材料是解题的关键． 根据示例运用换元思想可列出简易方程，再解方程即可解答． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组可变形为， ∴， 解得：， 故答案为． 10．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，解题的关键是能通过两个表格将关于x，y的二元一次方程组变为，解方程组即可得出答案． 【详解】解：∵从第一个表格中可知，当时，，时，， ∴， 解得：， 把代入得： ， 整理得：， ∵从第二个表格中可知，当时，，时，， ∴， 解得：， 把代入得： ， 整理得：， ①和②组成方程组， 解得： 故答案为：． C 培优训练 11．（2025七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法（或消元思想）是解题的关键． （1）可通过代入消元法，由第一个方程用含的式子表示，再代入第二个方程求解． （2）先对第二个方程去分母、去括号等整理成标准二元一次方程形式，再结合第一个方程，用代入消元法求解． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 所以方程组的解为； （2）解：， 由得， 化简得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 所以方程组的解为． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意将问题转化为解方程组，求出相应值的个数是解题关键．设有p个取1，q个取，根据题意得出关于p、q的二元一次方程组，再把p、q及x的值代入求解即可． 【详解】解：设有p个取1，q个取， ， ， 解得， 原式． 13．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)③④ (2) (3)2或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可； （2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可； （3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意； ②， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意； ③化为：， ， ， ∴， ∴是“阶梯方程”，故③符合题意； ④， ， ，， ∴， ∴是“阶梯方程”，故④符合题意， 故答案为：③④； （2）解：∵， ∴， ∴变为：， ， ， ∵等式a为任意数时都成立， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴这组解为：； （3）解：∵， ∴， ∴方程组化为， 由②得：，③代入①得： ， ， ， ， ， 把代入③得：， ∵y为整数， ∴或， 解得：或或2或3， ∵，， ∴或2或3， 当时，，此情况不存在； 当时，； 当时，； ∴a的整数值为：2或3． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】（1）消元；等式的性质 （2）二 （3） 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 15．（25-26七年级下·吉林长春·月考）阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）先移项，然后根据矩阵的定义即可得出答案． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：二元一次方程组即写成矩阵形式为 ∴ （3）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $