第三章代数式素养培优卷2026～2027 学年人教版七年级上册数学

2026~2027 学年人教版七年级上册数学第三章代数式素养培优卷 （考试时间：90 分钟　　满分：100 分） 班级：＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列代数式中，书写符合规范要求的是（　　） A．a×b B．1mn C． D．x÷y 2．某商品的进价是 a 元，商店按进价提高 40% 后标价，销售时又按标价打七五折出售，则每件商品的售价是（　　） A．1.05a 元 B．1.15a 元 C．0.95a 元 D．1.40a 元 3．一个正方体的棱长是 a，把它的棱长增加 2 后，得到的新正方体的体积是（　　） A．a³＋8 B．(a＋2)³ C．a³＋2³ D．3(a＋2) 4．规定一种新运算：a※b＝2a＋b．例如 3※1＝2×3＋1＝7．根据这个规定，(1※2)※(−3) 的值是（　　） A．−1 B．1 C．5 D．11 5．观察下列各式：1×3＋1＝4＝2²，2×4＋1＝9＝3²，3×5＋1＝16＝4²，…．按照这个规律，第 n 个等式右边的底数是（　　） A．n B．n＋1 C．n＋2 D．2n−1 6．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 3．若个位上的数字是 x，则这个两位数是（　　） A．10x＋(x−3) B．10(x−3)＋x C．10(x＋3)＋x D．10x−(x−3) 7．已知 a＜0，则 、a、2a 这三个数中最大的是（　　） A． B．a C．2a D．无法确定 8．甲、乙两人分别从相距 s 米的两地同时出发，相向而行．甲的速度是每分钟 a 米，乙的速度是每分钟 b 米．出发 t 分钟后两人还未相遇，则此时两人之间的距离是（　　） A．(s−at＋bt) 米 B．s−(a＋b)t 米 C．(a＋b)t−s 米 D．s−at 米 9．某通信公司推出两种套餐：A 套餐每月固定费用 a 元，另按每分钟 b 元收取通话费；B 套餐不收固定费用，按每分钟 c 元收取通话费（c＞b）．某用户本月通话 t 分钟，则 A 套餐的费用比 B 套餐的费用多（　　） A．(a＋bt−ct) 元 B．(ct−a−bt) 元 C．(a−bt＋ct) 元 D．(a＋ct−bt) 元 10．已知 x＋y＝5，y＋z＝−2，则代数式 x＋2y＋z 的值是（　　） A．−7 B．3 C．7 D．−3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知 x−y＝−4，则代数式 (x−y)²−3(x−y) 的值是＿＿＿＿＿＿． 12．一个水池有甲、乙两个进水管和一个出水管．甲管每小时进水 a 立方米，乙管每小时进水 b 立方米，出水管每小时出水 c 立方米．若三管同时打开 t 小时，水池中的水量比原来增加＿＿＿＿＿＿立方米． 13．有一列数，它最前面的 5 个数依次是 1，3，7，15，31．用含 n 的代数式表示这列数中的第 n 个数：＿＿＿＿＿＿． 14．定义：对于代数式 A，把 A 中所有字母都换成它的相反数，再按原来的运算关系求值，所得的结果叫做 A 的反值．例如：当 x＝2 时，代数式 x² 的反值是 (−2)²＝4．则当 a＝−3 时，代数式 2a−1 的反值是＿＿＿＿＿＿． 15．如图，用大小相同的小正方形拼出下面 3 个长方形：第 1 个长方形由 1×2＝2 个小正方形拼成，第 2 个长方形由 2×3＝6 个小正方形拼成，第 3 个长方形由 3×4＝12 个小正方形拼成．按照这个规律，第 n 个长方形由＿＿＿＿＿＿个小正方形拼成． 16．观察下面这列数：，，，，，…．按照这个规律，第 n 个数是＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分．解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（8 分）数学活动课上，同学们用小正方形围成了如图所示的 3 个中空图案，每个图案的中间都空出一个小正方形．第 1 个图案一共用了 8 个小正方形，第 2 个图案一共用了 16 个小正方形，第 3 个图案一共用了 24 个小正方形． （1）照这样的围法，第 4 个中空图案一共要用多少个小正方形？ （2）用含 n 的代数式表示第 n 个中空图案所用小正方形的个数； （3）求第 n 个中空图案与第 (n−1) 个中空图案所用小正方形个数的差； （4）若某个中空图案一共用掉 200 个小正方形，求这个图案的序号． 18．（8 分）已知 m−2n＝6，求下列代数式的值： （1）5m−10n； （2）6−m＋2n； （3）； （4）． 19．（8 分）某文具店购进一批笔记本，每本的进价是 a 元，每本的售价是 b 元（b＞a）． （1）用含 a、b 的代数式表示每本笔记本的利润； （2）用含 a、b 的代数式表示卖出 60 本这样的笔记本获得的总利润； （3）当 a＝4，b＝6.5 时，求卖出 60 本笔记本获得的总利润． 20．（8 分）如图，小亮把同样的小正方形一层一层向外摆放，拼成下面 3 个“十”字架．第 1 个“十”字架中共有 5 个小正方形，第 2 个“十”字架中共有 9 个小正方形，第 3 个“十”字架中共有 13 个小正方形． （1）第 5 个“十”字架中共有多少个小正方形？ （2）写出用 n 表示第 n 个“十”字架中小正方形个数的代数式； （3）第 n 个“十”字架比第 (n−1) 个“十”字架多几个小正方形？ （4）已知某个“十”字架一共由 81 个小正方形组成，它是第几个“十”字架？ 21．（10 分）我们知道，日历中同一横行里相邻的两个数相差 1，同一竖列里相邻的两个数相差 7． （1）用一个 2×2 的方框在日历中框出 4 个数，若方框左上角的数是 a，用含 a 的代数式分别表示另外三个数； （2）用一个 3×1 的竖列框出 3 个数，若中间的一个数是 b，用含 b 的代数式分别表示另外两个数； （3）用一个 2×2 的方框框出 4 个数，若右上角的数是 m，用含 m 的代数式表示左下角的数； （4）用一个 1×4 的横行框出 4 个数，若最左边的数是 n，用含 n 的代数式表示最右边的数； （5）若一个 2×2 的方框中最小的数是 8，写出这个方框里最大的数． 22．（10 分）阅读材料：在密码学中，常把 26 个英文字母按 a→1，b→2，c→3，…，z→26 的顺序依次编号，再按某种规则把明文的字母换成数字，得到密文． 现规定一种破译规则：密文中的数 x 与明文字母的编号 n 满足 n＝2x−1． 例如：密文中的数 3 对应的明文字母编号是 2×3−1＝5，即字母 e． （1）密文中的数 8 所对应的明文字母是什么？ （2）密文中的数 12 所对应的明文字母是什么？ （3）用含 x 的代数式表示明文字母的编号 n； （4）把密文“2　1　6　3”破译成英文单词． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027 学年人教版七年级上册数学第三章代数式素养培优卷 参考答案与详细解析 一、答案速查 选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B B A B A B 填空题（每小题 3 分，共 18 分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 28 (a＋b−c)t 5 n(n＋1) 二、逐题详细解析 （一）选择题 1．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（代数式的书写规范）】 题目：下列代数式中，书写符合规范要求的是（　　） A．a×b　B．1mn　C．　D．x÷y 【答案】C 【解析】 代数式的书写主要有以下规范：数与字母相乘时乘号省略不写，并且数写在字母的前面；数如果是带分数，要化成假分数；含有除法时，通常把除法写成分数的形式． A：a×b 中出现了乘号，而且数没有写在字母前面，应写成 ab，书写不规范； B：1mn 中的 1 是带分数，应化成假分数写成 mn，书写不规范； C： 表示 ab 除以 5，除法写成了分数形式，且数写在分母上，书写规范； D：x÷y 中的除法没有写成分数形式，应写成 ，书写不规范． 所以选 C． 【易错提醒】本节最容易失分的三条规范：乘法省略乘号且数写在字母前面、带分数化成假分数、除法写成分数形式；注意 的分子是整个 ab，与 ×b 的写法不同． 2．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（实际情境中的列代数式）】 题目：某商品的进价是 a 元，商店按进价提高 40% 后标价，销售时又按标价打七五折出售，则每件商品的售价是（　　） A．1.05a 元　B．1.15a 元　C．0.95a 元　D．1.40a 元 【答案】A 【解析】 按进价提高 40% 后的标价是 a×(1＋40%)＝1.4a（元）． 再按标价打七五折，售价是 1.4a×75%＝1.4a×0.75＝1.05a（元）． 所以选 A． 【易错提醒】“打七五折”就是按标价的 75% 出售；两次百分率要一层一层地算，第二次是在第一次的结果上打折，不能把 40% 与 75% 直接加减． 3．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（几何图形中的列代数式）】 题目：一个正方体的棱长是 a，把它的棱长增加 2 后，得到的新正方体的体积是（　　） A．a³＋8　B．(a＋2)³　C．a³＋2³　D．3(a＋2) 【答案】B 【解析】 棱长增加 2 后，新正方体的棱长是 a＋2． 正方体的体积等于棱长的立方，所以新正方体的体积是 (a＋2)³． 所以选 B． 【易错提醒】“棱长增加 2”要先写出新棱长 a＋2，再按体积公式写成立方；A 项的 a³＋8 是把棱长和体积混在一起，是典型的错误． 4．　　　【知识点：3.2 代数式的值（新定义运算中的求值）】 题目：规定一种新运算：a※b＝2a＋b．例如 3※1＝2×3＋1＝7．根据这个规定，(1※2)※(−3) 的值是（　　） A．−1　B．1　C．5　D．11 【答案】C 【解析】 新定义的运算中，括号里的要先算． 先算括号里的：1※2＝2×1＋2＝4． 再算 4※(−3)＝2×4＋(−3)＝8−3＝5． 所以 (1※2)※(−3) 的值是 5． 所以选 C． 【易错提醒】新定义运算要严格按运算顺序进行；算出 1※2 的结果后，要把这个结果作为新的左数再代入一次，漏掉这一步会错选 B． 5．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（数式规律探索）】 题目：观察下列各式：1×3＋1＝4＝2²，2×4＋1＝9＝3²，3×5＋1＝16＝4²，…．按照这个规律，第 n 个等式右边的底数是（　　） A．n　B．n＋1　C．n＋2　D．2n−1 【答案】B 【解析】 把等式的序号与右边的底数一一对照： 第 1 个等式的底数是 2，第 2 个等式的底数是 3，第 3 个等式的底数是 4，… 可以看出，底数依次比序号大 1，所以第 n 个等式右边的底数是 n＋1． 检验：当 n＝4 时，底数是 5，而 4×6＋1＝25＝5²，与规律一致． 所以选 B． 【易错提醒】找规律时要先把序号与数据一一对应列出来（第 1 个→2，第 2 个→3……），再判断“比序号大几”；只看第一个等式就写成 n，会漏掉起始值． 6．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（列代数式表示数）】 题目：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 3．若个位上的数字是 x，则这个两位数是（　　） A．10x＋(x−3)　B．10(x−3)＋x　C．10(x＋3)＋x　D．10x−(x−3) 【答案】B 【解析】 题目给的是个位上的数字 x，十位上的数字需要用 x 表示出来． 因为十位上的数字比个位上的数字小 3，所以十位上的数字是 x−3． 一个两位数等于“十位上的数字×10＋个位上的数字”，所以这个两位数是 10(x−3)＋x． 取 x＝5 检验：十位上的数字是 2，这个两位数是 25，而 10(x−3)＋x＝10×2＋5＝25，符合题意． 所以选 B． 【易错提醒】本题的隐藏条件是“十位上的数字＝个位上的数字−3”，要先用含 x 的式子把它写出来；A 项把十位数字与个位数字的位置弄反了，是最常见的错误． 7．　　　【知识点：3.2 代数式的值（代数式的值的大小比较）】 题目：已知 a＜0，则 、a、2a 这三个数中最大的是（　　） A．　B．a　C．2a　D．无法确定 【答案】A 【解析】 a 是负数，可以取一个符合条件的数来比较，例如取 a＝−4． 当 a＝−4 时，＝−2，a＝−4，2a＝−8． 因为 −2＞−4＞−8，所以三个数中最大的是 ． 所以选 A． 【易错提醒】字母取负值时，不能凭“2a 比 a 大”这样的直觉判断，因为乘一个负数会使结果变小；取一个符合条件的负数试算，是解决这类“含字母的大小比较”最稳的办法． 8．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（实际情境中的列代数式）】 题目：甲、乙两人分别从相距 s 米的两地同时出发，相向而行．甲的速度是每分钟 a 米，乙的速度是每分钟 b 米．出发 t 分钟后两人还未相遇，则此时两人之间的距离是（　　） A．(s−at＋bt) 米　B．s−(a＋b)t 米　C．(a＋b)t−s 米　D．s−at 米 【答案】B 【解析】 甲 t 分钟走了 at 米，乙 t 分钟走了 bt 米，两人一共走了 (a＋b)t 米． 两地相距 s 米，两人之间的距离等于总路程减去两人走过的路程和，所以距离是 s−(a＋b)t 米． 取 s＝1000，a＝60，b＝40，t＝3 检验： 两人共走了 (60＋40)×3＝300（米），距离是 1000−300＝700（米）； 而 s−(a＋b)t＝1000−100×3＝700，符合题意． 所以选 B． 【易错提醒】“两人之间的距离”要用总路程减去两人走过的路程和，注意是 (a＋b)t 而不是 at；D 项只算了甲走的路程，漏掉了乙． 9．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（实际情境中的列代数式）】 题目：某通信公司推出两种套餐：A 套餐每月固定费用 a 元，另按每分钟 b 元收取通话费；B 套餐不收固定费用，按每分钟 c 元收取通话费（c＞b）．某用户本月通话 t 分钟，则 A 套餐的费用比 B 套餐的费用多（　　） A．(a＋bt−ct) 元　B．(ct−a−bt) 元　C．(a−bt＋ct) 元　D．(a＋ct−bt) 元 【答案】A 【解析】 A 套餐的费用由固定费用和通话费两部分组成，所以 A 套餐的费用是 (a＋bt) 元． B 套餐不收固定费用，按每分钟 c 元计费，所以 B 套餐的费用是 ct 元． “A 套餐的费用比 B 套餐的费用多多少”，要用 A 套餐的费用减去 B 套餐的费用，即 (a＋bt)−ct，写成 (a＋bt−ct) 元． 所以选 A． 【易错提醒】“甲比乙多多少”要用甲减去乙，顺序不能颠倒；列式时先把两种套餐的费用分别用含字母的式子表示出来，再做差，不要凭感觉把 a、bt、ct 随意加减． 10．　　　【知识点：3.2 代数式的值（多变量整体代换）】 题目：已知 x＋y＝5，y＋z＝−2，则代数式 x＋2y＋z 的值是（　　） A．−7　B．3　C．7　D．−3 【答案】B 【解析】 观察要计算的代数式 x＋2y＋z，其中 y 的系数是 2． 把 2y 写成 y＋y，就可以重新分组： x＋2y＋z＝(x＋y)＋(y＋z)． 把 x＋y＝5、y＋z＝−2 整体代入，得 x＋2y＋z＝5＋(−2)＝3． 所以选 B． 【易错提醒】这类题的关键是把要求的代数式改写成两个已知整体的和；本题的突破口是看出 2y 可以拆成 y＋y，从而把 x、y、z 分别配成 x＋y 与 y＋z． （二）填空题 11．（3 分）　　　【知识点：3.2 代数式的值（整体代入求值）】 题目：已知 x−y＝−4，则代数式 (x−y)²−3(x−y) 的值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】28 【解析】 代数式 (x−y)²−3(x−y) 中，(x−y) 出现了两次，可以把它看作一个整体． 因为 x−y＝−4，所以 (x−y)²＝(−4)²＝16，3(x−y)＝3×(−4)＝−12． 所以 (x−y)²−3(x−y)＝16−(−12)＝16＋12＝28． 【易错提醒】把 (x−y) 整体代入时，要注意它的值是 −4，所以第二项 3(x−y) 是负数；16−(−12) 等于 28，不要算成 4． 12．（3 分）　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（实际情境中的列代数式）】 题目：一个水池有甲、乙两个进水管和一个出水管．甲管每小时进水 a 立方米，乙管每小时进水 b 立方米，出水管每小时出水 c 立方米．若三管同时打开 t 小时，水池中的水量比原来增加＿＿＿＿＿＿立方米． 【答案】(a＋b−c)t 【解析】 三管同时打开时，水池中水量的变化可以用“每小时净增加的水量”表示． 每小时净增加的水量等于进水总量减去出水总量，即 (a＋b−c) 立方米． 所以 t 小时净增加的水量是 (a＋b−c)t 立方米． 也可以先分别算：t 小时共进水 (a＋b)t 立方米、出水 ct 立方米，再相减得 (a＋b)t−ct，两者表示同一个数量． 【易错提醒】要先想清楚“进水是增加、出水是减少”，把每小时净增加的水量写成 (a＋b−c) 再乘时间；代数式后面带单位时不要忘了加括号． 13．（3 分）　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（数式规律探索）】 题目：有一列数，它最前面的 5 个数依次是 1，3，7，15，31．用含 n 的代数式表示这列数中的第 n 个数：＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 先看相邻两个数的差：3−1＝2，7−3＝4，15−7＝8，31−15＝16． 差依次是 2、4、8、16，每次都乘 2，说明这列数不能写成 an＋b 的形式． 换一个角度，把每个数都加上 1： 1＋1＝2，3＋1＝4，7＋1＝8，15＋1＝16，31＋1＝32． 得到 2、4、8、16、32，它们分别是 2 的 1 次方、2 次方、3 次方、4 次方、5 次方． 也就是说，第 n 个数加上 1 正好等于 2 的 n 次方，所以第 n 个数是 ． 检验：当 n＝6 时，＝64−1＝63，而这列数中第 6 个数应是 31×2＋1＝63，符合规律． 【易错提醒】相邻两数的差依次是 2、4、8、16 时，这列数通常与 2 的乘方有关；把每个数写成“2 的几次方减 1”是突破口，注意第 1 个数对应的是 2 的 1 次方，不是 2 的 0 次方． 14．（3 分）　　　【知识点：3.2 代数式的值（新定义阅读与求值）】 题目：定义：对于代数式 A，把 A 中所有字母都换成它的相反数，再按原来的运算关系求值，所得的结果叫做 A 的反值．例如：当 x＝2 时，代数式 x² 的反值是 (−2)²＝4．则当 a＝−3 时，代数式 2a−1 的反值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】5 【解析】 求代数式 2a−1 的反值，就是把式中的 a 换成它的相反数，再代入求值． 当 a＝−3 时，a 的相反数是 3． 把 a＝3 代入 2a−1，得 2a−1＝2×3−1＝6−1＝5． 所以当 a＝−3 时，代数式 2a−1 的反值是 5． 【易错提醒】这类新定义题的关键是读懂“把字母换成它的相反数”这一步：本题中 a＝−3，要先把 −3 换成 3，再把 3 代入原式；直接把 −3 代进去就会得到 −7． 15．（3 分）　　　【知识点：数学活动：拼图小游戏（图形规律与列代数式）】 题目：如图，用大小相同的小正方形拼出下面 3 个长方形：第 1 个长方形由 1×2＝2 个小正方形拼成，第 2 个长方形由 2×3＝6 个小正方形拼成，第 3 个长方形由 3×4＝12 个小正方形拼成．按照这个规律，第 n 个长方形由＿＿＿＿＿＿个小正方形拼成． 【答案】n(n＋1) 【解析】 把每个长方形所用小正方形的个数与它的序号对照： 第 1 个：1×2＝2；第 2 个：2×3＝6；第 3 个：3×4＝12． 可以看出，第几个长方形就是“几乘（几加 1）”，即“序号×（序号＋1）”． 所以第 n 个长方形由 n(n＋1) 个小正方形拼成． 检验：当 n＝4 时，n(n＋1)＝4×5＝20，而第 4 个长方形拼成 4×5 的长方形，确实用 20 个小正方形，符合规律． 【易错提醒】本题相乘的两个因数都与序号有关，一个是 n，另一个是 n＋1，不要只看第一个因数就写成 n²；把这个长方形拼图看成“几行几列”，两个因数就一目了然了． 16．（3 分）　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（数式规律探索）】 题目：观察下面这列数：，，，，，…．按照这个规律，第 n 个数是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 分数形式的规律题要分两路找：先看分子，再看分母． 分子依次是 1、2、3、4、5、…，所以第 n 个数的分子是 n． 分母依次是 3、7、13、21、31，相邻两项的差依次是 4、6、8、10． 这些差每次增加 2，说明分母与平方数有关．把每个分母写成“n²＋n＋1”的形式逐一验证： 3＝1²＋1＋1，7＝2²＋2＋1，13＝3²＋3＋1，21＝4²＋4＋1，31＝5²＋5＋1． 可以看出，第 n 个数的分母是 ． 所以第 n 个数是 ． 检验：当 n＝3 时，＝，与这列数中的第 3 个数一致． 【易错提醒】分母相邻两项的差是 4、6、8、10 这样的连续偶数时，说明分母与平方数有关，把它写成“n² 加 n 加 1”是突破口；找到分母的规律后，别忘了还要把分子的规律一起写进结果． （三）解答题 17．（8 分）　　　【知识点：数学活动：拼图小游戏（图形规律探究与代数式应用）】 题目：数学活动课上，同学们用小正方形围成了如图所示的 3 个中空图案，每个图案的中间都空出一个小正方形．第 1 个图案一共用了 8 个小正方形，第 2 个图案一共用了 16 个小正方形，第 3 个图案一共用了 24 个小正方形． （1）照这样的围法，第 4 个中空图案一共要用多少个小正方形？ （2）用含 n 的代数式表示第 n 个中空图案所用小正方形的个数； （3）求第 n 个中空图案与第 (n−1) 个中空图案所用小正方形个数的差； （4）若某个中空图案一共用掉 200 个小正方形，求这个图案的序号． 【答案】（1）32 个；（2）8n 个；（3）8 个；（4）第 25 个． 【解析】 （1）观察给出的数据可以发现相邻两个图案的关系： 16−8＝8，24−16＝8，说明每多围一层就多 8 个小正方形． 所以第 4 个图案比第 3 个图案多 8 个，一共用了 24＋8＝32（个）小正方形． （2）把每个数据与图案的序号对照： 第 1 个 8 个，第 2 个 16 个，第 3 个 24 个，第 4 个 32 个， 也就是 8＝8×1，16＝8×2，24＝8×3，32＝8×4． 可以看出，第几个图案里就有几个 8． 所以第 n 个中空图案所用小正方形的个数是 8n． （3）因为每多围一层就多 8 个小正方形， 所以第 n 个中空图案比第 (n−1) 个中空图案多 8 个小正方形． （4）设这个图案是第 n 个，则 8n＝200． 所以 n＝200÷8＝25． 所以这个中空图案是第 25 个． 【易错提醒】“每相邻两个图案都相差 8 个”是本题的核心规律，第（2）问要写成 8n，不能写成 8n＋1；第（4）问是“由结果反推序号”，先把代数式等于 200 列出来再计算． 18．（8 分）　　　【知识点：3.2 代数式的值（整体代入求值）】 题目：已知 m−2n＝6，求下列代数式的值： （1）5m−10n； （2）6−m＋2n； （3）； （4）． 【答案】（1）30；（2）0；（3）2；（4）5． 【解析】 题目给出的条件是 m−2n＝6，把 (m−2n) 看成一个整体是解题的关键． （1）5m−10n 是 (m−2n) 的 5 倍，所以 5m−10n＝5(m−2n)＝5×6＝30． （2）先把 −m＋2n 写成 −(m−2n)，所以 6−m＋2n＝6−(m−2n)＝6−6＝0． （3）把分子中的 (m−2n) 整体代入，得 m−2n＋4＝6＋4＝10， 所以 ＝＝2． （4）3m−6n 是 (m−2n) 的 3 倍，所以 3m−6n＝3(m−2n)＝3×6＝18， 于是 ＝＝＝5． 【易错提醒】整体代入最常见的四种变形是：倍数（5m−10n）、添负号（6−m＋2n）、整体作分子的一部分（m−2n＋4）、倍数与常数混合（3m−6n−8）；第（2）问最容易漏掉负号，把它错算成 6＋6＝12． 19．（8 分）　　　【知识点：3.1 列代数式 + 3.2 代数式的值（实际情境综合）】 题目：某文具店购进一批笔记本，每本的进价是 a 元，每本的售价是 b 元（b＞a）． （1）用含 a、b 的代数式表示每本笔记本的利润； （2）用含 a、b 的代数式表示卖出 60 本这样的笔记本获得的总利润； （3）当 a＝4，b＝6.5 时，求卖出 60 本笔记本获得的总利润． 【答案】（1）(b−a) 元；（2）60(b−a) 元；（3）60×(6.5−4)＝60×2.5＝150（元）． 【解析】 （1）每本的利润等于每本的售价减去每本的进价， 所以每本笔记本的利润是 (b−a) 元． （2）每本的利润是 (b−a) 元，卖出 60 本的总利润是每本利润的 60 倍， 所以总利润是 60(b−a) 元． （3）当 a＝4，b＝6.5 时， 60(b−a)＝60×(6.5−4)＝60×2.5＝150． 所以卖出 60 本笔记本获得的总利润是 150 元． 【易错提醒】第（1）问求出的“每本利润”是第（2）问的基础，要先用含字母的式子把它表示出来，再乘本数；代入求值时要先算括号里的 6.5−4，再算乘法，同时注意“售价－进价”的顺序不能颠倒． 20．（8 分）　　　【知识点：数学活动：拼图小游戏（图形规律探究与代数式应用）】 题目：如图，小亮把同样的小正方形一层一层向外摆放，拼成下面 3 个“十”字架．第 1 个“十”字架中共有 5 个小正方形，第 2 个“十”字架中共有 9 个小正方形，第 3 个“十”字架中共有 13 个小正方形． （1）第 5 个“十”字架中共有多少个小正方形？ （2）写出用 n 表示第 n 个“十”字架中小正方形个数的代数式； （3）第 n 个“十”字架比第 (n−1) 个“十”字架多几个小正方形？ （4）已知某个“十”字架一共由 81 个小正方形组成，它是第几个“十”字架？ 【答案】（1）21 个；（2）(4n＋1) 个；（3）4 个；（4）第 20 个． 【解析】 （1）观察给出的数据可以发现相邻两个“十”字架的差别： 9−5＝4，13−9＝4，说明每向外多摆一层就多 4 个小正方形． 所以第 4 个共有 13＋4＝17（个），第 5 个共有 17＋4＝21（个）． （2）把每个数据写成“4 的倍数加 1”的形式： 5＝4×1＋1，9＝4×2＋1，13＝4×3＋1，17＝4×4＋1． 可以看出，序号是几，就是 4 乘几再加 1． 所以第 n 个“十”字架中小正方形的个数是 (4n＋1)． （3）因为每向外多摆一层就多 4 个小正方形，所以第 n 个比第 (n−1) 个多 4 个小正方形． （4）设这个“十”字架是第 n 个，则 4n＋1＝81． 所以 4n＝81−1＝80，n＝80÷4＝20． 所以它是第 20 个“十”字架． 【易错提醒】数据 5、9、13 相邻两项都相差 4，说明第 n 个“十”字架的小正方形个数是形如 an＋b 的一次式；把每个数据写成“4 的倍数加 1”就能定出常数 1；第（4）问要先把 81 减去 1 再除以 4，顺序错了结果就错． 21．（10 分）　　　【知识点：3.1 列代数式 + 3.2 代数式的值（实际情境中的规律列式）】 题目：我们知道，日历中同一横行里相邻的两个数相差 1，同一竖列里相邻的两个数相差 7． （1）用一个 2×2 的方框在日历中框出 4 个数，若方框左上角的数是 a，用含 a 的代数式分别表示另外三个数； （2）用一个 3×1 的竖列框出 3 个数，若中间的一个数是 b，用含 b 的代数式分别表示另外两个数； （3）用一个 2×2 的方框框出 4 个数，若右上角的数是 m，用含 m 的代数式表示左下角的数； （4）用一个 1×4 的横行框出 4 个数，若最左边的数是 n，用含 n 的代数式表示最右边的数； （5）若一个 2×2 的方框中最小的数是 8，写出这个方框里最大的数． 【答案】（1）a＋1、a＋7、a＋8；（2）b−7、b＋7；（3）m＋6；（4）n＋3；（5）16． 【解析】 （1）4 个数的位置关系是：左上角最小，右上角比它大 1，左下角比它大 7，右下角最大．所以当左上角的数是 a 时， 右上角的数是 a＋1，左下角的数是 a＋7，右下角的数是 a＋8． （2）3×1 的竖列中，相邻两个数相差 7．中间的一个数是 b， 它上面的数是 b−7，下面的数是 b＋7． （3）在 2×2 的方框中，右上角与左下角的位置关系是“下一行、左一列”． 以右上角是 9 为例：下一行是 16，再往左一列是 15，而 15−9＝6，说明左下角的数比右上角的数大 6． 所以当右上角的数是 m 时，左下角的数是 m＋6． （4）1×4 的横行中，相邻两个数相差 1．最左边的数是 n， 往右依次是 n＋1、n＋2、n＋3，所以最右边的数是 n＋3． （5）2×2 的方框中，最小的数在左上角，最大的数在右下角． 以最小的数是 8 为例：这一行往右是 9，下一行对应的是 15、16，所以最大的数是 16． （也可以这样算：右下角比左上角大 1＋7＝8，所以最大的数是 8＋8＝16．） 【易错提醒】日历题的两条隐藏规律是“横差 1、竖差 7”；第（3）问不必先求出 a 的值，只要弄清右上角与左下角的位置关系（相差 6）就能直接写出结果；第（5）问中 2×2 方框里“最大数比最小数大 8”是常用结论，不要误算成大 7． 22．（10 分）　　　【知识点：数学活动：密码中的数学（用代数式表示破译规则）】 题目：阅读材料：在密码学中，常把 26 个英文字母按 a→1，b→2，c→3，…，z→26 的顺序依次编号，再按某种规则把明文的字母换成数字，得到密文． 现规定一种破译规则：密文中的数 x 与明文字母的编号 n 满足 n＝2x−1． 例如：密文中的数 3 对应的明文字母编号是 2×3−1＝5，即字母 e． （1）密文中的数 8 所对应的明文字母是什么？ （2）密文中的数 12 所对应的明文字母是什么？ （3）用含 x 的代数式表示明文字母的编号 n； （4）把密文“2　1　6　3”破译成英文单词． 【答案】（1）字母 o；（2）字母 w；（3）n＝2x−1；（4）cake． 【解析】 （1）密文中的数是 8，把它代入 n＝2x−1，得 n＝2×8−1＝15， 字母表中第 15 个字母是 o． （2）密文中的数是 12，把它代入 n＝2x−1，得 n＝2×12−1＝23， 字母表中第 23 个字母是 w． （3）破译规则本身就是一个代数式：用 x 表示密文中的数，用 n 表示明文字母的编号，则 n＝2x−1． （4）密文中的数依次是 2、1、6、3，逐个代入 n＝2x−1： 2 对应的编号是 2×2−1＝3，字母表中第 3 个字母是 c； 1 对应的编号是 2×1−1＝1，字母表中第 1 个字母是 a； 6 对应的编号是 2×6−1＝11，字母表中第 11 个字母是 k； 3 对应的编号是 2×3−1＝5，字母表中第 5 个字母是 e． 把这四个字母按密文的顺序依次连起来，得到的英文单词是 cake． 【易错提醒】破译规则 n＝2x−1 本身就是一个含字母的代数式，把密文中的数代入就能求出明文字母的编号；数序号时可以把 a～m、n～z 分成两段，减少数错；第（4）问要注意字母必须按密文的先后顺序排列，不能打乱． 学科网（北京）股份有限公司 $