专题01 轴对称及其性质 重难点题型专训 2026--2027学年人教版八年级数学上册

专题01 轴对称及其性质重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、轴对称图形的识别 1 题型二、成轴对称的两个图形的识别 2 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 3 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 4 题型五、台球桌面上的轴对称问题 5 题型六、轴对称中的光线反射问题 6 题型七、折叠问题 7 第二部分·练提高题型 题型一、根据成轴对称性质求角度 1 题型二、轴对称性质的规律问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，已知与关于直线对称，，以及对称轴交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为________． 知识点02 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）把一个图形沿着_______折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形_______关于这条直线_________．这条直线叫做_________．折叠后重合的点叫对应点，也叫_______． 【基础题型一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）下列五种图形：①线段， ②角， ③平行四边形， ④正方形， ⑤直角梯形，是轴对称图形的有______________ ． （填序号） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列图形中，属于轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·甘肃陇南·模拟预测）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下列各种图形，分别判断是不是轴对称图形． 【基础题型二 成轴对称的两个图形的识别】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 1．（2026·贵州遵义·一模）观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【基础题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，若与关于直线对称，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·云南临沧·期中）轴对称图形中，对应点连线被对称轴______． 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图形中标出点、和关于直线的对称点． 【基础题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（26-27八年级上·全国·期中）如图，与关于直线对称，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，与关于直线 对称，且，，则的度数为_______． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1： 过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2： 连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3： 作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4： 作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 2．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（1）所示，当点在线段上时，若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（2）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，求证：． 【基础题型五 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 1．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 2．（2026·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________． 3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【基础题型六 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·全国·课前预习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 1．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    3．（25-26八年级上·河南商丘·期中）某中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【基础题型七 折叠问题】 【例1】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【例2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，将沿DE翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为________． 1．（25-26七年级下·广西贺州·期末）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广西南宁·期末）剪纸是我国经典民间艺术，剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，七年级同学根据《图形变换》知识开展《剪纸的奥秘》项目式学习活动，在剪纸实操中用到长方形长条纸带进行折叠造型：如图1的长方形纸带中，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数为________． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． (1)如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； (2)如图2，若交边于点G，，求的度数． 【提高题型一 根据成轴对称性质求角度】 【例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）在如图的“标准的箭头”中，，则与的度数都是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则的度数等于______． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线m是多边形的对称轴，其中，．求的度数． 【提高题型二 轴对称性质的规律问题】 【例1】（2026·山东威海·模拟预测）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【例2】（2026八年级·全国·模拟预测）如图所示，观察下面两组图形符号，找出它们的变化规律，在横线上画出适当的图形． （1）__________ （2） __________    1．（2026·山东济南·一模）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2024个图案_______轴对称图形（填“是”或“不是”）． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 4．（2026·河北·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 5．（25-26七年级下·山东威海·期末）将一条两边互相平行的纸带按如图方式折叠，折痕分别为，且满足．若为，则为（     ） A．100° B． C．120° D． 6．（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状_______改变，大小_______改变（填“有”或“没有”）． 7．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答：_______． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，“笑脸”关于轴对称，已知点坐标为，则它的对称点的坐标为___________． 9．（25-26八年级上·广西南宁·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为__________． 10．（2026·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字． 12．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在中，点D在BC上，分别以AB，AC为对称轴，作出点D的对称点E，F，并连接AE，AF．已知，，求的度数． 13．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 14．（25-26八年级上·全国·课堂例题）如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 15．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，点分别是四边形的边上的点．将沿直线折叠，点恰好落在边上的点（不与点重合）．设，． (1)若是方程组的解，求的周长； (2)若，为整数，求的周长的可能值． 学科网（北京）股份有限公司 专题01 轴对称及其性质重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、轴对称图形的识别 1 题型二、成轴对称的两个图形的识别 2 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 3 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 4 题型五、台球桌面上的轴对称问题 5 题型六、轴对称中的光线反射问题 6 题型七、折叠问题 7 第二部分·练提高题型 题型一、根据成轴对称性质求角度 1 题型二、轴对称性质的规律问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，已知与关于直线对称，，以及对称轴交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题思路是先利用轴对称的性质得到对应角、对应边的关系，再结合三角形内角和定理计算出相关角的度数，最后通过角的和差关系求出．解题中用到的思想是对应思想（利用轴对称的对应关系转化角的度数）；方法技巧是通过轴对称直接推导对应角相等，结合三角形内角和简化计算．解题关键是准确识别轴对称的对应角，避免角的对应关系混淆．易错点是误将非对应角当作相等角，导致角度计算错误． 【详解】∵与关于直线对称，根据轴对称的性质： ，； 在中， ∴． ∴． 故选A． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为________． 【答案】/115度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质得， ∴故答案为：． 知识点02 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）把一个图形沿着_______折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形_______关于这条直线_________．这条直线叫做_________．折叠后重合的点叫对应点，也叫_______． 【答案】 某一条直线 成轴对称 成轴对称 对称轴 对称点 【解析】略 【基础题型一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形． 【例2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）下列五种图形：①线段， ②角， ③平行四边形， ④正方形， ⑤直角梯形，是轴对称图形的有______________ ． （填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”即可求解． 【详解】解：线段的垂直平分线是对称轴，故是轴对称图形；角的角平分线所在的直线是对称轴，故是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形；正方形有4条对称轴，是轴对称图形；直角梯形不一定是轴对称图形； 故是轴对称图形的是①线段， ②角， ④正方形， 故答案为：①②④ ． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列图形中，属于轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿着一条直线折叠后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线被称作对称轴．据此判断即可． 【详解】解：对于C选项中的图形，其对称轴如下： 对于A、B、D选项中的图形，都不能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠后两部分重合，故A、B、D选项中的图形均不是轴对称图形． 综上，只有C选项中的图形是轴对称图形． 2．（2026·甘肃陇南·模拟预测）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下列各种图形，分别判断是不是轴对称图形． 【答案】①⑥⑧⑨⑪是轴对称图形，②③④⑤⑦⑩⑫不是轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的特征进行判定即可得解． 【详解】略． 【基础题型二 成轴对称的两个图形的识别】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 1．（2026·贵州遵义·一模）观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 【答案】 【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【答案】不可以 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：因为找不到一条直线使沿着这条直线对折后与互相重合， 所以不可以看作由经过轴对称得到． 【基础题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，若与关于直线对称，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， ∴只有选项B符合题意． 【例2】（25-26八年级上·云南临沧·期中）轴对称图形中，对应点连线被对称轴______． 【答案】垂直平分 【分析】本题考查了轴对称的基本性质，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．据此求解答即可． 【详解】在轴对称图形中，任何一对对应点连线都被对称轴垂直平分，这是轴对称的基本性质．因此，对应点连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】解：把③向上展开，再向左展开后如下图： 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图形中标出点、和关于直线的对称点． 【答案】 【分析】对称前后图形全等，各点、线段、角一一对应，形状、大小不变，据此找、和对应的点． 【详解】略 【基础题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（26-27八年级上·全国·期中）如图，与关于直线对称，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，且， ∴． 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，与关于直线 对称，且，，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查的知识点是轴对称的性质，三角形内角和定理；根据与关于直线对称，则依据轴对称的性质，两三角形对应边对应角都相等． 【详解】解：与关于直线 对称，， ， ， 故答案为： 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1： 过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2： 连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3： 作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4： 作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于点G，则点G为所求燃气站的位置． 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称结合线段和最小问题，三角形的内角和定理，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，则：，当在线段上时，四边形的周长最小，根据对称性结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（1）所示，当点在线段上时，若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（2）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，求证：． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 证明：∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【基础题型五 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 【例2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 1．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________． 【答案】674 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为674． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1) 如图，运动路径：，点M即为所求．    (2) 如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【基础题型六 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【例2】（26-27八年级上·全国·课前预习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期中）某中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 【基础题型七 折叠问题】 【例1】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算得到结果． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， ∴阴影部分图形的周长 ． 【例2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，将沿DE翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为________． 【答案】/44度 【分析】根据折叠的性质对应角相等：，，；先利用平角求出，算出，再在中求出，最后利用平角求． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ，， ， ， 三角形内角和为，，， ， ， ． 1．（25-26七年级下·广西贺州·期末）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到，再利用折叠的性质得到，从而求出的度数即可． 【详解】解：如图， 纸片两边平行， ， 将对边平行的纸带折叠， ， ， 解得：． 2．（25-26七年级下·广西南宁·期末）剪纸是我国经典民间艺术，剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，七年级同学根据《图形变换》知识开展《剪纸的奥秘》项目式学习活动，在剪纸实操中用到长方形长条纸带进行折叠造型：如图1的长方形纸带中，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数为________． 【答案】/度 【分析】由矩形的性质可知，由此可得出，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个的度数，由此即可算出度数． 【详解】解：四边形为长方形， ， ． 由翻折的性质可知： 图2中，，， 图3中，． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． (1)如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； (2)如图2，若交边于点G，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，得到，进行求解即可； （2）同（1）法求出的度数，再根据互余关系，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）法可得， ∴， ∵， ∴， ∴ 【提高题型一 根据成轴对称性质求角度】 【例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）在如图的“标准的箭头”中，，则与的度数都是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长分别交于点H，Q，过点G作，则，由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则所在直线为对称轴，故平分，得，再根据平行线的性质结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：延长分别交于点H，Q，过点G作，则， 由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则所在直线为对称轴，故平分， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴与的度数都是． 【例2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据轴对称的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是轴对称图形，对称轴是直线， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，由直角三角形的性质得出的度数，再根据点关于直线的对称点恰好在上得出是线段的垂直平分线，故可得出的度数，进而得出的度数，由点与点关于直线对称可知是的垂直平分线，故可得出． 【详解】解：连接， 轴于点，， ，， 点关于直线的对称点恰好在上， 是线段的垂直平分线， ， ， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则的度数等于______． 【答案】134°/134度 【分析】利用轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点， ∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD， ∵∠B＝58°，∠C＝55°，∠BAC+∠B+∠C=180° ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣58°﹣55°＝67°， ∴∠EAF＝2∠BAC＝134°， 故答案为：134°． 【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线m是多边形的对称轴，其中，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、多边形的内角和公式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据轴对称图形的性质可求得、的度数，然后用五边形的内角和减去、、、的度数即可． 【详解】解：直线是多边形的对称轴， ，， ． 【提高题型二 轴对称性质的规律问题】 【例1】（2026·山东威海·模拟预测）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 【例2】（2026八年级·全国·模拟预测）如图所示，观察下面两组图形符号，找出它们的变化规律，在横线上画出适当的图形． （1）__________ （2） __________    【答案】 【分析】本题考查轴对称图形，图形的规律，根据所给图形找出规律即可． 【详解】 解：（1）根据1，2，3，…“背靠背”，可得出图形为：， 故答案为：； （2）根据B、C、D、…“背靠背”，可得出图形为：， 故答案为：． 1．（2026·山东济南·一模）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理， 根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2024个图案_______轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了图形的变化规律以及轴对称图形，注意由特殊到一般的分析方法．这类题型在中考中经常出现．作出前四个图形的对称轴，类推即可得出结论． 【详解】解：前四个图形的对称轴如下： 由此可得按此规律摆放成的图案都是轴对称图形． 故答案为：是． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 【答案】(1)对应点：点A和点，点B和点，点C和点 (2)线段被直线m垂直平分 (3)线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上；规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． （1）根据轴对称的性质即可得出答案； （2）根据轴对称的性质即可得出答案； （3）根据轴对称的性质即可得出答案； 【详解】（1）解：对称点有和，和，和； （2）解：根据对称的性质可得，线段被直线m垂直平分； （3）解：线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上； 故可得规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A，C，D：沿着任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能互相重合，因此不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B：沿着竖直居中的直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，因此它是轴对称图形，故B符合题意． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上， ， ， ， ， ， 故选：． 4．（2026·河北·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 5．（25-26七年级下·山东威海·期末）将一条两边互相平行的纸带按如图方式折叠，折痕分别为，且满足．若为，则为（     ） A．100° B． C．120° D． 【答案】A 【分析】先利用平行线性质推出，结合折叠性质得到，最后依据平角定义用减去与的度数，算出． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质得 ， ∴． 6．（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状_______改变，大小_______改变（填“有”或“没有”）． 【答案】 没有 没有 【分析】该题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键； 直接利用轴对称图形的性质得出答案； 【详解】解：经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状没有改变，大小没有改变． 故答案为：没有，没有． 7．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答：_______． 【答案】轴对称（或翻折变换） 【分析】根据网格结构和几何变换的特点解答． 【详解】解：如图，△ABC沿虚线翻折变换得到△DEC． 故答案为：轴对称（或翻折变换）． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握网格结构和几何变换的特点是解题的关键． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，“笑脸”关于轴对称，已知点坐标为，则它的对称点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据纵坐标不变，横坐标变成相反数解答即可． 本题考查了轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据纵坐标不变，横坐标变成相反数，得点坐标为的对称点的坐标为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·广西南宁·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 10．（2026·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字． 【答案】草、木、中；举例：日、山、田、王、平. 【详解】解：根据轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，给出的汉字中，可以看成轴对称图形的是草、木、中； 类似的汉字举例：日、山、田、王、平都是轴对称图形． 12．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在中，点D在BC上，分别以AB，AC为对称轴，作出点D的对称点E，F，并连接AE，AF．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答． 由，为点分别以，为对称轴作出的对称点，得，，再根据三角形内角和的性质求出的度数，再根据轴对称的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，连接． ∵，为点分别以，为对称轴作出的对称点， ∴，． ∵，， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 【答案】(1)和和和和（任写两对即可）． (2)． (3)和，和． 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义，即可解答； （2）根据轴对称的定义，即可解答； （3）根据轴对称的定义，即可解答． 【详解】（1）解：对称点：和和和和（任写两对即可） （2）解：相等的线段：． （3）解：和，和都关于直线对称． 14．（25-26八年级上·全国·课堂例题）如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 【答案】(1) 如图所示，，即为所求， (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可作图； （2）根据入射角等于反射角，可得，，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由轴对称的性质可知． 在中，． 由轴对称性质，得． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，点分别是四边形的边上的点．将沿直线折叠，点恰好落在边上的点（不与点重合）．设，． (1)若是方程组的解，求的周长； (2)若，为整数，求的周长的可能值． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）解方程组得，由折叠的性质得，即可求解； （2）的周长为，结合三角形三边关系求出，即可求解． 【详解】（1）解： 得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为； ， ， 由折叠得， 的周长为 ； （2）解：当时， ， 由（1）得的周长为 ， ， 解得， 为整数， 为或或或， 当时，的周长为； 当时，的周长为； 当时，的周长为； 当时，的周长为； 故的周长为或或或． $