专题06 轴对称章末48道压轴题型专训（8大题型）-2026-2027学年人教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练　

专题06 轴对称章末48压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、轴对称中的光线反射问题 1 题型二、最短路径问题 2 题型三、等腰三角形的性质和判定综合应用 3 题型四、等边三角形的判定和性质 4 题型五、等腰三角形的存在性问题 5 题型六、利用轴对称变换性质的几何推理题 6 题型七、轴对称图案自主设计 7 题型八、轴对称综合压轴题型 8 【经典例题一 轴对称中的光线反射问题】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 【答案】点是使路程最短的饮马点． 【分析】本题考查了轴对称的性质及两点之间线段最短，解题的关键是利用轴对称将折线路程转化为直线段路程． 作点关于河边的对称点，连接与河边所在直线l交于点；利用轴对称得，结合两点之间线段最短，知为最短路程． 【详解】解：作点关于河边所在直线l的对称点， 连接，与河边所在直线l交于点， 点与关于河边对称， ， ， 由两点之间线段最短，得为最短路径， 故点是使路程最短的饮马点． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称．         (1)在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） (2)如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 【答案】(1)如图：对称轴即为所求； (2)90 【分析】（1）对称轴是入射光线与反射光线夹角的角平分线，尺规作图方法：以入射光线和反射光线的公共交点为圆心，任意长为半径画弧，分别交两条光线于两点；分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角内部交于一点；连接顶点和交点得到直线，即为所求对称轴，保留作图痕迹即可． （2）根据反射性质和平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：根据反射性质，可得：，， ∵， ∴， ∴， 化简得， 在中：． 3．（26-27七年级·全国·阶段练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】 有，捷径：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】略 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 4．（25-26七年级下·山西大同·阶段检测）综合与探究 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】 如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则_____________，_____________； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 【答案】(1)， (2) ，证明如下： 入射角等于反射角，等角的余角相等，且， ． ，， ． ； (3) 【分析】（1）根据入射角等于反射角以及平行线的性质，可求出、的度数； （2）结合（1）可证，即可得出入射光线与反射光线的位置关系； （3）延长，交于点，结合三角形内角和求的度数即可； 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴； （2）略 （3）解：延长，交于点，如图所示： 入射角等于反射角，等角的余角相等， ． 若要反射光线正好与水平地面垂直， ． ． 5．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： (1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． (2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①根据光的反射规律得，结合平角的定义即可解答； ②由反射规律得，， 结合平行线的性质即可解答； （2）①由反射规律得，， 结合平角的定义即可求出，， 过点作，根据和平行线的性质得出即可求解； ②设，，由反射规律得，， 则，，同①可得，再表示出，即可解答； 【详解】（1）解：①根据光的反射规律得：， ∵， ∴； ②由反射规律得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得； （2）解：①由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ②设，， 由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴（或等价形式等也正确）． 6．（25-26八年级上·河南周口·期中）项目式学习 项目主题：探究入射光线和反射光线的夹角度数与两块平面镜的夹角度数之间的关系，原理：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角． 研究步骤：①将两块平面镜如图竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； ②在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角度数为（如图2）； ③多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值 ④数据分析，形成结论． 问题解决： (1)根据表中信息，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，写出的值． 【答案】(1) ，理由如下：如图2，根据平面镜反射光线规律，知，， ∴， 又， ∴，即． (2) 【分析】本题考查了平面镜反射定律的应用，掌握平面镜反射定律中反射角等于入射角是解题的关键． （1）猜想：．　根据平面镜的反射定律及三角形内角和定理验证即可； （2）将代入（1）问中的结论，计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）略 （2）由（1）知， 当，． 【经典例题二 最短路径问题】 7．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母） (2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程） 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据轴对称的性质及网格特征，找出点、、的对应点、、，顺次连接即可； （2）连接，交直线于，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间，线段最短即可得出的最小值为，可得点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 9．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）在正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标是，请解答下列问题： (1)将向下平移单位长度，画出平移后的并写出点的对应点的坐标； (2)画出关于轴对称的并写出的坐标； (3)在轴上求作一点，使最小(不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)见解析 【分析】（1）按“向下平移，横坐标不变，纵坐标减”的规律平移顶点，作图并求坐标； （2）按“关于轴对称，纵坐标不变，横坐标相反”的规律作对称点，作图并求坐标； （3）作关于轴的对称点，连接与，与轴的交点即为使最小的点． 【详解】（1）解：如图为． 点的坐标为， 则将向下平移单位长度后，点的坐标为． （2）解：如图为． 由（1）可知点的坐标为， 则将关于轴对称后，点的坐标为． （3）解：如图，点即为所求． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1) 点即为所求． (2) 点、、、即为所求． 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点， （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点， 11．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】(1) (2) 如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 路程为 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）如图2，连接，由题意可知点B关于直线的对称点为C，可得，当E，P，C三点共线且时取得最小值，结合等边三角形性质可求得最小值； （2）如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，， ∵等边中， 是的平分线， ∴，平分线段， ∴是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为C，， ∴， 当E，P，C三点共线时，取得最小值为， 当时，取得最小值， 是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 由对称的性质，得， ，，，， ∴， ∵草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 12．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1) 如图， (2) 如图， 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）略 （2）略 【经典例题三 等腰三角形的性质和判定综合应用】 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）得， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴ 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可得证． （2）由（1）得，确定为等腰三角形，再由图形及角之间的关系得出，利用等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 14．（2026·广东东莞·模拟预测）某考古队在西安一处汉代制陶作坊遗址进行发掘．如图，为了科学记录遗迹分布，他们需要测算一个由三个重要陶器碎片聚集点所构成的区域的面积．由于发掘区泥泞且需保护文物，队员无法直接进入三角形区域内部测量．考古队使用电子测距仪在平坦坚实的区域外，设定了一条穿过点的东西向基准线，从点分别向基准线作垂线，垂足分别为点和点，通过调整点位使得，同时通过测量得到米，请你结合以上的信息计算该区域（）的面积． 【答案】 【分析】证明，进而证明为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：在和中，， ， ， 在中，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 15．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）某校数学兴趣小组在研究等腰三角形的性质时，发现了一个有趣的问题：在等腰三角形中，，平分交于点．小明想知道，如果作的平分线，与相交于点，那么点是否在的垂直平分线上？请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：请在下图中作出的平分线，使其与相交于点（保留作图痕迹，不写作法）． 第二步：请完成下面的证明过程． 证明：， ． 平分，平分， ，． ∴ ， ∴ ， ∴点在的垂直平分线上． 【答案】第一步：即为所求 第二步： 证明：， ． 平分，平分， ，． ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【分析】第一步，按作角平分线的作图方法作图即可． 第二步，按照证明过程补充完整即可． 【详解】解：作图略 证明略． 16．（2026·重庆·模拟预测）学习了等腰三角形的性质后，小南进行了拓展性研究，他发现等腰三角形两个底角的角平分线相等．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：确定条件并构造角平分线． 在中，已知，小南作的角平分线交AC于点D．请你利用尺规作图，作的角平分线交于点E（不写作法，保留作图痕迹） (2)第二步：利用全等三角形证明． 证明： 平分 ，平分 ， 在 和 中： 【答案】(1) (2)①；②；③；④． 【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法即可解答； （2）首先由得出；接着根据角平分线性质得到；进而通过等量代换证得，结合已知条件，为后续利用ASA证明提供了关键依据． 【详解】（1）如图，先以点为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交于点，交于点，再分别以点、点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，使其与相交于点，则射线即为的角平分线． （2）略． 17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【答案】(1) 证明：由折叠可知 ∵， ∴， ∴． (2) 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕． (3) 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕． ③过点再次折叠纸片，使得点落在射线上．展平纸片，得到折痕即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与探究 请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是 （填序号）． ①平行四边形；     ②矩形；      ③菱形；      ④正方形． (2)【特例探究】如图1，在邻等对补四边形中，，．求证：； (3)如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为邻等对补四边形． (4)【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，直接写出的度数． 【答案】(1)④ (2) 证明：邻等对补四边形， ， ， ， ， ， ； (3) 证明：在四边形中，， 如图，在上截取，连接， 平分， ， ， ， , ，， ， ， ， 四边形为邻等对补四边形； (4)的度数为或或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义逐项分析即可； （2）证明即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，推出，，即可得到结论； （4）分四种情况：①当，时；②当时；③当时；④当时，；分别求解即可． 【详解】（1）解：①平行四边形邻边不一定不相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义； ②矩形邻边不一定不相等，对角互补，不满足邻等对补四边形的定义； ③菱形邻边相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义； ④正方形邻边相等，对角互补，满足邻等对补四边形的定义； （2）略 （3）略 （4）解：在中，，，， 四边形是邻等对补四边形， ①当，时，如图， ，，； ②当时，如图， ，，，，，； ③当时，同②； ④当时，，如图， ； 综上所述，的度数为或或． 【经典例题四 等边三角形的判定和性质】 19．（26-27八年级·上海嘉定·阶段练习）等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】等边三角形， 理由：为等边三角形， ． 在与中， ， ． ，． ， ， 是等边三角形． 【分析】先证得，再证，从而得出是等边三角形． 【详解】略 20．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． (1)求证：； (2)若 ，，求 平移的距离． 【答案】(1)证明： (2)平移的距离为6 【分析】（1）利用同角的余角相等和全等三角形的性质推导，从而得证； （2）利用三角形内角和推导，从而得到，继而证明为等边三角形，结合即可得解． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ，． ， 为等边三角形， ， ，即平移的距离为6． 21．（25-26八年级上·河南信阳·期末）教材再现：如图1所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以得到是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，这样一个定理； (1)若交换上述命题的题设和结论将得到一个新命题，请你把这个新命题补充完整，在直角三角形中，如果___________，那么___________； (2)聪明的小明仿照图1中的推理方法，发现（1）中的命题是真命题，请对照图2写出（1）中命题的已知和求证，并给出证明． 【答案】(1)一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的锐角等于 (2) 解：已知：在中，，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据题意补充即可； （2）延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【详解】（1）解：此命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； 故答案为：一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的锐角等于； （2）略 22．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段练习）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知平分，于点，于点． (1)探究：如图2，点是上任意一点（不与、重合），连接、，问题：请判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，连接，问题： ①垂直平分吗？请说明理由； ②若，，求的周长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) ①垂直平分，理由如下： 如图，设与交于点， 由（1）可得， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴垂直平分； ②的周长为 【分析】（1）容易证明，则，，进一步可证明，从而得到； （2）①由（1）可得，则，容易证明，因此垂直平分； ②容易判断出是等边三角形，因此． 【详解】（1）略 （2）解：① 略 ②∵平分， ∴， 由①可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 23．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 【答案】【问题提出】2；【问题拓广】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的综合，辅助线是解题关键． 【问题提出】过点P作交于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案； 【问题拓广】过点P作交的延长线于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点P作交于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ； （2）过点P作交的延长线于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ． 24．（2026·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 根据已知条件作等边三角形 学习了等边三角形的有关知识后，老师提出了如下问题． 问题1：如图1，已知线段．求作：，使其为等边三角形． 小聪的作法：如图2，分别以点，为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： 根据作法，得． 是等边三角形．（依据） 小明的作法：如图3，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线；以点为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： …… 问题2：如图4，为直线外一点，直线于点．求作：，使为等边三角形，且点，均在直线上． …… 任务： (1)填空：材料中的依据是指：______ (2)请补全材料中小明的作法的理由． (3)请在图4中画出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)三条边都相等的三角形是等边三角形（或等边三角形的定义） (2)根据作法，得直线是的垂直平分线，，点在直线上． ． ． 是等边三角形． (3)如图，即为所求；（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理或定义求解； （2）由作图得直线是的垂直平分线，，推出，即可证明是等边三角形； （3）分别以点D和点H为圆心，以为半径画弧交于点M，然后以点D为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点G，P，然后分别以点G，P为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点N，连接并延长交直线l于点E，以点H为圆心，为半径画弧，交l于点F，连接即可． 【详解】（1）解：材料中的依据是指：三条边都相等的三角形是等边三角形（或等边三角形的定义）； （2）略 （3）解：作图略； 如图，连接， 由作图得， ∴是等边三角形 ∴ 由作图得，平分 ∴ 由作图得， ∵直线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形． 【经典例题五 等腰三角形的存在性问题】 25．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知，如图：中，的平分线相交于点，过点作交于． (1)直接写出图中所有的等腰三角形．指出与间有怎样的数量关系？ (2)在（1）的条件下，若，，求的周长； (3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问（1）中与间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)、是等腰三角形，； (2)周长为； (3) ，理由： ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】本题主要考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）利用角平分线和平行线的即可得出结论； （2）利用（1）的结论即可得出结论； （3）利用角平分线和平行线推出，，再推出与间的关系即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∴； （2）∵由（1）知，， 又∵，， ∴； （3）略 26．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，已知中，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动． (1)若，经过秒后，此时与是否全等？请说明理由． (2)若，当，为何值时，能够使与全等？请说明理由． (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求此时的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)存在点，为等腰三角形，的度数是或或时，使为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明； （1）因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度； （1）由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得的度数．需要分类讨论：、、三种情况． 【详解】（1）解：秒， 厘米 厘米，为中点， 厘米 又厘米 ， ， 在与中， ， ≌； （2）解：， ， 又， 要使≌，只能， ≌， ． 点的运动时间秒， 此时厘米秒． （3）解：存在点，使为等腰三角形．理由如下： 中，，， ． 当时，为等腰三角形 当时，为等腰三角形，此时． 当时，为等腰三角形， 综上所述，的度数是或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 27．（25-26七年级下·山东济南·期末）在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等）      (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若，，是否存在这样的x的值，使得是以为腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质定理证明； （2）根据，求得，然后分、两种情况，列方程解答即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴，， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得，， 综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于、翻转变换的性质是解题的关键． 28．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）已知线段，如图1所示．在利用尺规作图探究三角形全等的判定方法的过程中，小颖的作图过程是这样的：作，在射线上截取，以为圆心，以长为的半径画弧，交射线于点（点在点左侧）．连接．    (1)请在图2中，利用尺规补充完整小颖的作图过程； (2)在（1）完成的作图中，直接写出与中，相等的角和相等的边； (3)在（1）完成的作图中，与之间的大小存在怎样的数量关系？请用等式表示出来，并说明理由． 【答案】(1) 如图所示，即为所求；    (2)相等的角为：，相等的边为 (3) ，理由如下： 由（2）可知，， 又∵， ∴． 【分析】（1）按要求作图即可； （2）根据操作及等边对等角即可求解； （3）利用平角定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）由作图过程可知：， 则， 即：相等的角为：，相等的边为； （3）略 【点睛】本题考查尺规作图——作线段，等边对等角等知识点，根据题意作出图形是解决问题的关键． 29．（25-26八年级上·广东云浮·期末）综合与实践 【主题】分割三角形． 【工具】剪刀、带刻度的直尺、三角形纸片． 【情境】是否存在这样的三角形，用剪刀只剪一刀，就可以将其剪成两个等腰三角形？如果存在，试探究这样的三角形具备的特征． 【特例感知】如图1，在中，，，用剪刀只剪一刀，将剪成两个等腰三角形，应该怎么剪？ （1）小涵同学操作如下：如图2，在边A上取一点，使，然后沿着线段剪开，则所得的两个三角形即为等腰三角形．请你帮小涵说明理由． （2）在图1中画出另一种剪法，并写出剪切步骤． 【深入探究】 （3）如图3，在中，．若满足用剪刀只剪一刀，就可以将其分成两个等腰三角形，则的内角之间存在一定的数量关系，请写出其中一个并给出证明． 【答案】 （1）理由： ， 是等腰三角形． 又， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）如图1，即为另一种剪法的剪痕． 第一步：在边上取一点，使； 第二步：沿着剪开，即可得到两个等腰三角形． （3），或 ∠或 证明：如图3，在边上取一点E，使得， 则为等腰三角形， ∴若为等腰三角形，则满足条件，有以下情况： 情况一：若 ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得； 情况二：若 ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 情况三：若 ∴， ∵，即， ∴， ∴， 此时，，不符合题意， ∴的内角满足或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用． （1）根据题意可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质可得，即可求解； （2）在边上取一点，使，沿着剪开，即可得到两个等腰三角形 （3）分三种情况讨论即可得到解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 30．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是： 性质：∵， ∴， 判定：∵， ∴． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即： （1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线： （3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； 由此3个真命题，小明得到三个新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅲ． ． （1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题： ； （2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证： 命题Ⅰ：中，D是边上的中点，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅲ： ； ①请你写出命题Ⅲ的几何语言； ②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 【答案】Ⅲ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （1）如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）中，平分，D是边上的中点，求证：是等腰三角形； ①在中，平分，D是边上的中点，求证：是等腰三角形； ②小明猜想的三个命题都是真命题，证明如下： 命题Ⅰ、证明:∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 命题Ⅱ、证明:∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 命题Ⅲ、证明:过点D作于点E，于点F， ∵平分，， ∴， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【详解】解：（1）根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）①略 ②略 【经典例题六 利用轴对称变换性质的几何推理题】 31．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，已知四边形纸片，小明按如图所示的方法折纸，能否折出经过点且平行于的折痕吗？说说你的理由． 【答案】 解：能折出经过点A且平行于的折痕， 理由如下： 如图：设第一条折痕交边于点M，第二条折痕交边于点N，两条折痕相交于点E， 由折叠可知： ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用平行线的判定方法是解题的关键． 如图：设第一条折痕交边于点M，第二条折痕交边于点N，两条折痕相交于点E，由折叠的性质可得，最后根据同旁内角互补、两直线平行即可解答． 【详解】略 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等： （1）设与的交点为点，根据轴对称的性质得，由可得结论； （2）连接，，，根据轴对称的性质知，当，，三点共线时，有最小值，为的长，从而可求周长的最小值． 【详解】（1）解：设与的交点为点， ∵点，关于对称， ∴，， ∴， ∴． ∵点，关于对称， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，，，如图所示． ∵点，关于对称， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴要使周长最小，即的值最小． ∵， ∴当，，三点共线时，有最小值，为的长， ∴此时点与点重合． ∵点，关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 33．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 【答案】(1) (2)证明：在中，，， ， 由翻折可得，， ， ， ， ， ． (3)的度数为，或 【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求解； （2）根据翻折可得，再利用垂直可得，即可证明； （3）分类讨论，当时、时，当时，结合三角形的内角和和外角的性质解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵沿翻折后得到， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图1， 当时， ∴， ∴， ∴； 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为、或． 34．（25-26八年级上·上海·期末）定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“差余角”． (1)已知，，若是和的“差余角”，则________． (2)现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一动点（不与、重合）．连接，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“差余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．试探究点在变动的过程中是否存在，，中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)25 (2)①；②或 【分析】本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“差余角”的定义是解题的关键． （）根据“差余角”的定义即可求解； （）根据“差余角”的定义即可求解；存在．分三种情况根据“差余角”的定义解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“差余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； ②存在． 由折叠可得，，， 设，则， 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，，无解 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“差余角”；当时，为和的“差余角”． 35．（25-26七年级下·广东茂名·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)，45 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据内错角的定义即可得到与是内错角，先推导出，再根据折叠的性质，得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答； （3）先推导出，再求出，根据将纸片沿折痕EF折叠，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图1 ∵点E与点A重合，使点恰好落在线段上， ∴与是内错角， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图 ， ， ， ， ； （3）解：如图 ， ， ， ， ∵将纸片沿折痕折叠， ， ， ． 36．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）数学活动课上，老师带领学生们研究画平行线的方法． 王芳同学提供了通过折纸的方式画平行线．方法如图，第一步按照图方式折叠，折痕经过点，折叠后使点的对应点落在线段上；第二步如图方式折叠，折痕经过点，并且使直线与折叠后的对应直线重合．展开得到图，则直线． (1)请用学过的知识，证明结论．（注：直线与正方形相交于，两点，与线段相交于点，直线与正方形相交于，两点） (2)通过不断地尝试，过点再也折不出其它折痕与平行，其中的数学道理是______； (3)接下来，老师带着同学们继续探究，在图的基础上，连接，如图过点再一次折叠，使线段与线段所在直线重合，折痕与线段相交于点，如果在线段上取一点，在射线上取一点，连接．探究、、的关系． 【答案】(1)见解析 (2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (3)或． 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，即可证明； （2）根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行解答即可； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，根据折叠的性质，结合平行线的性质分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵折痕经过点P，折叠后使点的对应点落在线段上， ∴， ∵折痕经过点，并且使直线与折叠后的对应直线重合， ∴， ∴，即． （2）解：∵点为直线外一点， ∴过点有且只有一条直线与直线平行， ∴其中的数学道理是：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． （3）解：如图，当点在线段上时，过点作， ∵过点再一次折叠，使线段与线段所在直线重合， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 整理得，； 如图，当点在的延长线上时，过点作， ∵， ∴， 同理可得，，，， ∴， 整理得，； 综上所述：或． 【经典例题七 轴对称图案自主设计】 37．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在数学漫步之旅第7集中可以设计一些复杂不可预测的图形游戏，也可以设计一些美的图形，在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称（沿虚线折叠能完成重合）． 【答案】 如图， 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】略 38．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上． (1)若把线段BC平移后，对应线段恰好为，请画出线段； (2)请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用…表示）． 【答案】(1) 如图，线段AM即为所求． (2) 如图，点D以及对称轴，如图所示． 【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可； （2）根据轴对称图形的性质解决问题即可． 【详解】（1）（1）略． （2）（2）略． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，轴对称图形的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称图形的性质解决问题，属于中考常考题型． 39．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 【答案】(1)①②是 (2) (3) 【分析】（1）①连接交于点，连接并延长交于点；②根据等腰三角形的性质可得关于成轴对称； （2）根据正方形的对称性，所在的直线是正方形的对称轴，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则； （3）构造等腰三角形，以所在的直线为对称轴，根据（1）的方法画图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 40．（25-26八年级上·吉林通化·期中）项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 用纸竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为（如图2），测得．下面结论错误的是___________（单选题） A．平分    B．     C．    D． 驱动任务三 将制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良． （1）若，则风筝的面积是___________． （2）为了使风筝更美观，需要在风筝上画上蝴蝶图案，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，两轴交点O为原点建立平面直角坐标系，在的左侧选一点画上蝴蝶的一只眼睛，在（___________）上画另一只眼睛，才能使图案更美观． 项目小结 为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结、用到的数学知识为：对应点所连线段被对称轴___________． 【答案】任务一：图形如图所示： 任务二：C ； 任务三：（1）（2） ；项目小结：垂直平分 【分析】本题考查轴利用方格纸作图，轴对称性质，四边形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：根据轴对称变换的性质作出图形； 任务二：利用轴对称图形的性质判断即可； 任务三：（1）四边形的面积，可证得四边形的面积等于四边形两对角线乘积的一半，据此求解即可；（2）关于轴对称，利用轴对称图形的性质确定位置 项目小结：根据轴对称性质补全问题即可． 【详解】任务一：略 任务二：∵ ∴在的垂直平分线上， ∴，故D正确； ∵，， ∴， ∴， 即平分， 故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故B正确， 但无法推出， 故选：； 任务三：（1）四边形的面积 ． 故答案为：； （2）关于轴对称，∵， ∴， 故答案为：； 项目小结：对应点的连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 41．（25-26七年级下·山东青岛·期末）【生活实际】 小明在科学课上制作了一个简易万花筒．他将两面长方形平面镜的一条长边重合，组成了一个夹角可以变化的字形镜面．当他在镜子前放置一个小物体时，可以看到物体和它在镜子中的像共同组成的对称图案． 【数学模型】 为了研究这个现象，我们把镜子抽象成直线，把物体和它的像抽象成点．如下图所示，射线和射线表示两面镜子，它们的夹角．点代表放在镜前的小物体．点是点关于镜面的对称点（即物体在镜中的像），点是点关于镜面的对称点． 【模型应用】 请你运用所学的轴对称知识，探究以下问 (1)连接，，________（用含的代数式表示）； (2)在（1）的基础上，连接，请判断是什么特殊三角形？________． 【拓展延伸】 如图所示，当张角大小是的因数时，观察到的物体数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． (3)当________时，镜子中的像和物体共同围成一个六边形；此时，若点在________位置上时，该六边形是一个正六边形． 【答案】(1)2m (2)等腰三角形 (3)60；平分线 【分析】（1）利用轴对称性质得到两组相等角，拆分，通过等量代换推导出与的关系式； （2）依据轴对称对应线段相等，等量代换得出，依据等腰三角形定义判定三角形形状； （3）根据成像总个数规律列式求出，结合正六边形边长相等的特征确定点的位置． 【详解】（1）解：连接、、， ∵与关于直线对称， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （3）解：由图可得当时，实物与像的个数一共有个； 当时，实物与像的个数一共有个； 当时，实物与像的个数一共有个； ∴当时，实物与像的个数一共有个； ∵实物与像一共个， ∴， ∴， 如图，设交于点，交于点， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴点在的平分线上。 42．（25-26七年级下·山西晋中·期末）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．     B．     C．     D．   任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．   任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．   任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 【答案】任务一：C； 任务二：如图所示，即为所求；    任务三：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断； 任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图； 任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； 项目反思：结合以上任务即可解决问题． 【详解】解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C， 故答案为：C； 任务二：略 任务三：，， ， 竹条的长为， 故答案为：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 【经典例题八 轴对称综合压轴题型】 43．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按下列要求画图： (1)请画出，使它与关于直线成轴对称； (2)若点是直线上一动点，找点使最小． 【答案】(1) 如图1，即为所求． (2)如图， 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）连接，交直线于点，连接，此时最小． 44．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点． (1)在图中作出关于x轴对称的图形，并写出点，，的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的长度最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）作出A，B，C关于x轴的对称点，，即可． （2）作点C关于y轴的对称点，连接交y于点P，点P即为所求，的最小值． 【详解】（1）如图所示． ． （2）作点C关于y轴的对称点，连接交y于点P，点P即为所求，的最小值．      【点睛】本题考查作图-轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 45．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． (1)在图中作出△ABC以及关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； (2)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为5，求点P的坐标． 【答案】(1)图见解析，点A1（﹣1，5），B1（3，0），C1（4，3）； (2)（﹣1，0）或（﹣5，0）． 【分析】（1）根据A，B，C的坐标画出三角形即可，利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用三角形的面积公式求出PB＝2，可得结论． 【详解】（1）解：如图，△ABC，△A1B1C1即为所求．点A1（﹣1，5），B1（3，0），C1（4，3）； （2）∵△ABP的面积为5， ∴， ∴PB＝2， ∵B（﹣3，0）， ∴点P的坐标（﹣1，0）或（﹣5，0）． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 46．（25-26八年级上·北京东城·期末）已知：在中，．点与点关于直线对称，连接交直线于点． (1)当时，如图1．用等式表示，与的数量关系是： ，与的数量关系是： ； (2)当是锐角()时，如图2；当是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①；见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，得出，，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，，进而得出； （2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：，点与点关于直线对称， ，，， 则 ，， ，， ∴．   故答案为：；． （2）选择图2时． ①补全图形如图2，      图2 ②数量关系：． 证明：在上取点，使，连接． 点与点关于直线对称， ，． ，．． ， ． ， ． ， ． ． ． ， ．   选择图3时． ①补全图形如图3，           图3- ②数量关系：．   证明：在的延长线上取点，使，连接． 点与点关于直线对称， ，． ，． ， ．   ， ． ， ． ， ． ． ． ， ． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 47．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请完成下列问题： (1)分别写出点A，点C的坐标； (2)作出关于x轴的对称图形，并写出的坐标为　 　． (3)求的面积； (4)在y轴上找一点P，使最小． 【答案】(1)， (2)作图见解析， (3)3.5 (4)作图见解析 【分析】（1）根据点的坐标的表示方法求解； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点连线即可； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （4）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）如下图，作点A、B、C关于y轴对称的点的坐标特征得到，连接即为所求； （3）由题意可知：的面积； （4）如（2）图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于P点， 两点之间线段最短， 最小， 点P即为所求． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 48．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知：，根据折叠的性质设，，根据平角的定义可得，，解方程求出，，结合四边形的内角和是，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称章末48压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、轴对称中的光线反射问题 1 题型二、最短路径问题 2 题型三、等腰三角形的性质和判定综合应用 3 题型四、等边三角形的判定和性质 4 题型五、等腰三角形的存在性问题 5 题型六、利用轴对称变换性质的几何推理题 6 题型七、轴对称图案自主设计 7 题型八、轴对称综合压轴题型 8 【经典例题一 轴对称中的光线反射问题】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 2．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称．         (1)在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） (2)如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 3．（26-27七年级·全国·阶段练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 4．（25-26七年级下·山西大同·阶段检测）综合与探究 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】 如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则_____________，_____________； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 5．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： (1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． (2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． 6．（25-26八年级上·河南周口·期中）项目式学习 项目主题：探究入射光线和反射光线的夹角度数与两块平面镜的夹角度数之间的关系，原理：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角． 研究步骤：①将两块平面镜如图竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； ②在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角度数为（如图2）； ③多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值 ④数据分析，形成结论． 问题解决： (1)根据表中信息，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，写出的值． 【经典例题二 最短路径问题】 7．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母） (2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程） 9．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）在正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标是，请解答下列问题： (1)将向下平移单位长度，画出平移后的并写出点的对应点的坐标； (2)画出关于轴对称的并写出的坐标； (3)在轴上求作一点，使最小(不写作法，保留作图痕迹)． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 11．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 12．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【经典例题三 等腰三角形的性质和判定综合应用】 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)求证：． 14．（2026·广东东莞·模拟预测）某考古队在西安一处汉代制陶作坊遗址进行发掘．如图，为了科学记录遗迹分布，他们需要测算一个由三个重要陶器碎片聚集点所构成的区域的面积．由于发掘区泥泞且需保护文物，队员无法直接进入三角形区域内部测量．考古队使用电子测距仪在平坦坚实的区域外，设定了一条穿过点的东西向基准线，从点分别向基准线作垂线，垂足分别为点和点，通过调整点位使得，同时通过测量得到米，请你结合以上的信息计算该区域（）的面积． 15．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）某校数学兴趣小组在研究等腰三角形的性质时，发现了一个有趣的问题：在等腰三角形中，，平分交于点．小明想知道，如果作的平分线，与相交于点，那么点是否在的垂直平分线上？请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：请在下图中作出的平分线，使其与相交于点（保留作图痕迹，不写作法）． 第二步：请完成下面的证明过程． 证明：， ． 平分，平分， ，． ∴ ， ∴ ， ∴点在的垂直平分线上． 16．（2026·重庆·模拟预测）学习了等腰三角形的性质后，小南进行了拓展性研究，他发现等腰三角形两个底角的角平分线相等．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：确定条件并构造角平分线． 在中，已知，小南作的角平分线交AC于点D．请你利用尺规作图，作的角平分线交于点E（不写作法，保留作图痕迹） (2)第二步：利用全等三角形证明． 证明： 平分 ，平分 ， 在 和 中： 17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 18．（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与探究 请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是 （填序号）． ①平行四边形；     ②矩形；      ③菱形；      ④正方形． (2)【特例探究】如图1，在邻等对补四边形中，，．求证：； (3)如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为邻等对补四边形． (4)【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，直接写出的度数． 【经典例题四 等边三角形的判定和性质】 19．（26-27八年级·上海嘉定·阶段练习）等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 20．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． (1)求证：； (2)若 ，，求 平移的距离． 21．（25-26八年级上·河南信阳·期末）教材再现：如图1所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以得到是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，这样一个定理； (1)若交换上述命题的题设和结论将得到一个新命题，请你把这个新命题补充完整，在直角三角形中，如果___________，那么___________； (2)聪明的小明仿照图1中的推理方法，发现（1）中的命题是真命题，请对照图2写出（1）中命题的已知和求证，并给出证明． 22．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段练习）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知平分，于点，于点． (1)探究：如图2，点是上任意一点（不与、重合），连接、，问题：请判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，连接，问题： ①垂直平分吗？请说明理由； ②若，，求的周长． 由（1）可得， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， 23．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 24．（2026·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 根据已知条件作等边三角形 学习了等边三角形的有关知识后，老师提出了如下问题． 问题1：如图1，已知线段．求作：，使其为等边三角形． 小聪的作法：如图2，分别以点，为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： 根据作法，得． 是等边三角形．（依据） 小明的作法：如图3，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线；以点为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： …… 问题2：如图4，为直线外一点，直线于点．求作：，使为等边三角形，且点，均在直线上． …… 任务： (1)填空：材料中的依据是指：______ (2)请补全材料中小明的作法的理由． (3)请在图4中画出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题五 等腰三角形的存在性问题】 25．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知，如图：中，的平分线相交于点，过点作交于． (1)直接写出图中所有的等腰三角形．指出与间有怎样的数量关系？ (2)在（1）的条件下，若，，求的周长； (3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问（1）中与间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 26．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，已知中，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动． (1)若，经过秒后，此时与是否全等？请说明理由． (2)若，当，为何值时，能够使与全等？请说明理由． (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求此时的度数，若不存在，请说明理由． 27．（25-26七年级下·山东济南·期末）在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等）      (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若，，是否存在这样的x的值，使得是以为腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． 28．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）已知线段，如图1所示．在利用尺规作图探究三角形全等的判定方法的过程中，小颖的作图过程是这样的：作，在射线上截取，以为圆心，以长为的半径画弧，交射线于点（点在点左侧）．连接．    (1)请在图2中，利用尺规补充完整小颖的作图过程； (2)在（1）完成的作图中，直接写出与中，相等的角和相等的边； (3)在（1）完成的作图中，与之间的大小存在怎样的数量关系？请用等式表示出来，并说明理由． 29．（25-26八年级上·广东云浮·期末）综合与实践 【主题】分割三角形． 【工具】剪刀、带刻度的直尺、三角形纸片． 【情境】是否存在这样的三角形，用剪刀只剪一刀，就可以将其剪成两个等腰三角形？如果存在，试探究这样的三角形具备的特征． 【特例感知】如图1，在中，，，用剪刀只剪一刀，将剪成两个等腰三角形，应该怎么剪？ （1）小涵同学操作如下：如图2，在边A上取一点，使，然后沿着线段剪开，则所得的两个三角形即为等腰三角形．请你帮小涵说明理由． （2）在图1中画出另一种剪法，并写出剪切步骤． 【深入探究】 （3）如图3，在中，．若满足用剪刀只剪一刀，就可以将其分成两个等腰三角形，则的内角之间存在一定的数量关系，请写出其中一个并给出证明． 30．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是： 性质：∵， ∴， 判定：∵， ∴． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即： （1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线： （3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； 由此3个真命题，小明得到三个新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅲ． ． （1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题： ； （2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证： 命题Ⅰ：中，D是边上的中点，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅲ： ； ①请你写出命题Ⅲ的几何语言； ②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 【经典例题六 利用轴对称变换性质的几何推理题】 31．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，已知四边形纸片，小明按如图所示的方法折纸，能否折出经过点且平行于的折痕吗？说说你的理由． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 33．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 34．（25-26八年级上·上海·期末）定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“差余角”． (1)已知，，若是和的“差余角”，则________． (2)现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一动点（不与、重合）．连接，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“差余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．试探究点在变动的过程中是否存在，，中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 35．（25-26七年级下·广东茂名·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 36．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）数学活动课上，老师带领学生们研究画平行线的方法． 王芳同学提供了通过折纸的方式画平行线．方法如图，第一步按照图方式折叠，折痕经过点，折叠后使点的对应点落在线段上；第二步如图方式折叠，折痕经过点，并且使直线与折叠后的对应直线重合．展开得到图，则直线． (1)请用学过的知识，证明结论．（注：直线与正方形相交于，两点，与线段相交于点，直线与正方形相交于，两点） (2)通过不断地尝试，过点再也折不出其它折痕与平行，其中的数学道理是______； (3)接下来，老师带着同学们继续探究，在图的基础上，连接，如图过点再一次折叠，使线段与线段所在直线重合，折痕与线段相交于点，如果在线段上取一点，在射线上取一点，连接．探究、、的关系． 【经典例题七 轴对称图案自主设计】 37．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在数学漫步之旅第7集中可以设计一些复杂不可预测的图形游戏，也可以设计一些美的图形，在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称（沿虚线折叠能完成重合）． 38．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上． (1)若把线段BC平移后，对应线段恰好为，请画出线段； (2)请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用…表示）． 39．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 40．（25-26八年级上·吉林通化·期中）项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 用纸竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为（如图2），测得．下面结论错误的是___________（单选题） A．平分    B．     C．    D． 驱动任务三 将制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良． （1）若，则风筝的面积是___________． （2）为了使风筝更美观，需要在风筝上画上蝴蝶图案，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，两轴交点O为原点建立平面直角坐标系，在的左侧选一点画上蝴蝶的一只眼睛，在（___________）上画另一只眼睛，才能使图案更美观． 项目小结 为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结、用到的数学知识为：对应点所连线段被对称轴___________． 41．（25-26七年级下·山东青岛·期末）【生活实际】 小明在科学课上制作了一个简易万花筒．他将两面长方形平面镜的一条长边重合，组成了一个夹角可以变化的字形镜面．当他在镜子前放置一个小物体时，可以看到物体和它在镜子中的像共同组成的对称图案． 【数学模型】 为了研究这个现象，我们把镜子抽象成直线，把物体和它的像抽象成点．如下图所示，射线和射线表示两面镜子，它们的夹角．点代表放在镜前的小物体．点是点关于镜面的对称点（即物体在镜中的像），点是点关于镜面的对称点． 【模型应用】 请你运用所学的轴对称知识，探究以下问 (1)连接，，________（用含的代数式表示）； (2)在（1）的基础上，连接，请判断是什么特殊三角形？________． 【拓展延伸】 如图所示，当张角大小是的因数时，观察到的物体数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． (3)当________时，镜子中的像和物体共同围成一个六边形；此时，若点在________位置上时，该六边形是一个正六边形． 42．（25-26七年级下·山西晋中·期末）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．     B．     C．     D．   任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．   任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．   任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 【经典例题八 轴对称综合压轴题型】 43．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按下列要求画图： (1)请画出，使它与关于直线成轴对称； (2)若点是直线上一动点，找点使最小． 44．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点． (1)在图中作出关于x轴对称的图形，并写出点，，的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的长度最小． 45．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． (1)在图中作出△ABC以及关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； (2)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为5，求点P的坐标． 46．（25-26八年级上·北京东城·期末）已知：在中，．点与点关于直线对称，连接交直线于点． (1)当时，如图1．用等式表示，与的数量关系是： ，与的数量关系是： ； (2)当是锐角()时，如图2；当是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 47．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请完成下列问题： (1)分别写出点A，点C的坐标； (2)作出关于x轴的对称图形，并写出的坐标为　 　． (3)求的面积； (4)在y轴上找一点P，使最小． 48．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $