专题03 画轴对称的图形 重难点题型专训（1个知识点+7大题型+自我检测） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题03 画轴对称的图形重难点题型专训（1个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、画轴对称图形 1 题型二、镜面对称问题 2 题型三、坐标系中的对称 3 题型四、坐标与图形变化——轴对称 4 题型五、线段问题 5 题型六、面积问题 6 题型七、角度问题 7 第二部分·练提高题型 题型一、坐标系中轴对称变换综合题 1 题型二、斜对称轴下作轴对称图形 2 第三部分・自我检测 知识点01 坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用关于轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数的规律求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称的点的坐标为． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点与点关于y轴对称，则__________． 【答案】5 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出的值． 【详解】解：点与点关于轴对称， 两点纵坐标相等，可得． 【基础题型一 画轴对称图形】 【例1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形定义进行补图即可． 【详解】解：如图所示： 共4种， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形画出满足题意的三角形，再统计即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下： 即可以画5个． 故答案为：5． 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分别以线段为对称轴，线段为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，画线段可得轴对称图形． 【详解】解；如图，符合题意的线段有，共4条． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，在图中可画出_____个以格点为顶点的三角形与成轴对称．    【答案】5 【分析】解答此题首先找到对称轴，等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 【详解】解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、共5个，     如图：    故答案为：5． 3．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，，，． (1)求证：； (2)将沿直线l翻折得到，请你用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， 又， ． (2)如图所示即为所求． 【分析】（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）分别以点B和C为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别连接即可． 【详解】（1）略． （2）略． 【基础题型二 镜面对称问题】 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是________．    【答案】浙A7936 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是找到对称轴，进而得出相应的结果． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可知图中所示车牌号应为浙A7936， 故答案为：浙A7936． 1．（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为_____． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键；根据镜面对称进行求解即可． 【详解】解：根据题意，平面镜里看到其对面墙上电子钟显示数与实际的时间显示数成轴对称，据此可知实际时间为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【答案】小兰利用镜面对称（轴对称），将镜子放在如图位置，镜子中就会得到正确的等式，如图所示， 【详解】略 【基础题型三 坐标系中的对称】 【例1】（26-27八年级上·天津·期中）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 【例2】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的对称，正确把握对称的性质是解题关键． 点关于点对称时，对称中心是两点的中点，利用中点公式列方程求解． 【详解】解：设对称点的坐标为，则点是点和点的中点． 根据中点公式，得： 对于坐标：，解得； 对于坐标：，解得． 故对称点的坐标为． 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一种新型的运算法则，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是理解两种运算改变了哪个坐标的符号．根据变换定义，先计算内层函数，再计算外层函数g的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)直接写出关于点中心对称的的坐标； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（不要求写出做法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据平移的性质分别作出，，的对应点，，，顺次连接即可； （2）根据关于坐标原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，直接求解即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点， 点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：观察图象可知，，，， 根据关于坐标原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数可得：，，； （3）解：在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， 则，点即为所求． ，，， ， 为等腰直角三角形， ． 【基础题型四 坐标与图形变化——轴对称】 【例1】（25-26八年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的的坐标为． 【例2】（26-27八年级下·全国·课后作业）若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点， ∴点P关于x轴对称的点的坐标是． 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：∵与关于轴对称， 点在的边上， ∴点在上的对应点的坐标是． 3．（26-27八年级上·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】(1) (2)，， (3)或 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）根据点关于轴对称的坐标特征即可求出、、的坐标． （3）作关于x轴的对称点，连接，与轴的交点即是；作关于x轴的对称点，连接，与轴的交点即是． 【详解】（1）略 （2）解：和关于轴对称， 和的每个点坐标只变横坐标， ，，， ，，． （3）解：①为最小，是动点，作点关于x轴的对称点 最小， 三点共线最小， 连接，与交轴的交点即是点，如图所示， ②为最小，是动点，作点关于x轴的对称点， 最小， 三点共线最小， 连接，与交轴的交点即是点，如图所示， 【基础题型五 线段问题】 【例1】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为__________ 【答案】 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，根据即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于， 则即为的周长最小值．作延长线， ∵ ∴共线，共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即，当的周长最小时，的度数为． 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 2．（2026八年级·全国·专题练习）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，点E为射线AD上一点，∠BAD=15°，连接BE，CE，则CE－BE的最大值为__________． 【答案】4 【解析】略 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 【答案】(1) 解：如图：即为所求， (2) 解：如图：点即为所求， 由图可得：； 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路线问题，解题关键是熟练掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称变换的性质，找出的对应顶点，然后依次连接，即可求解； （2）将点关于轴的对称点与点连接交轴于点，则点即为所求．再根据图形直接得出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型六 面积问题】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 【答案】 【分析】作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线，结合图形的对称性列式计算即可． 【详解】解：作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线 由题意得：，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：. 1．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)， 四边形如图所示， (3)21 【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标，然后顺次连接，，，各点即可得四边形； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由图得； （2）解：，点C与点D关于x轴对称， （3）解：由（2）图得， ． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1)如图，直线和 即为所求； ， (2) 如图，点P即为所求； ， (3)24 【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用梯形的面积公式计算即可； 【详解】（1）略 （2）连接，交直线l于点P，连接 此时，为最小值， 最小， 即的周长最小，则点P即为所求； （3）四边形的面积为： ． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 【基础题型七 角度问题】 【例1】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接， ∴此时，周长最小，为线段的长度， 根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（26-27八年级·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)或 (2)①或；②或 【分析】（1）分两种情况：点M在下方和点M在上方，分别画出示意图，求出的关系式，再根据“奋进角”的定义建立方程求解即可； （2）①由轴对称的性质可得，根据平角的定义可推出，再根据“奋进角”的定义建立方程求解即可；②由轴对称的性质可得，由“奋进角”的定义可推出；设，则，，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点M在下方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或； 如图所示，当点M在上方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或（舍去）； 综上所述，的度数为或； （2）解：①由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ②由轴对称的性质可得， ∵与为“奋进角”，， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， 综上所述，的度数为或． 【提高题型一 坐标系中轴对称变换综合题】 【例1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 【例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出、的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：物体与像关于平面镜对称， 可得：， 解得：， ． 1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据点的平移规律，左减右加，上加下减，写出、、的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点. 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； ∴， 即； （3）略 2．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标中，已知点的坐标为，点的位置如图所示，点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点． (1)写出图中点的坐标__________；在图中描出点，并写出的坐标： (2)画出关于轴的对称图形，并连接，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析，四边形的面积为 【分析】（1）先从网格图中直接读取点的坐标；再根据点平移到点的过程，通过逆向平移计算出点的坐标； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征(横坐标互为相反数，纵坐标不变)，求出的坐标并画出对称图形；再确定四边形的顶点坐标，将其转化为梯形，利用梯形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：点的坐标：从图中可以直接读出，点在横坐标为、纵坐标为的位置， ∴. 点的坐标：已知点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴逆向平移来求的坐标：向右平移个单位，再向下平移个单位， 即：， ∴； （2）解：∵，点坐标为(由第一问平移结果) 又∵关于轴对称的点的坐标规律：横坐标取反，纵坐标不变， ∴关于轴的对称点， 关于轴的对称点， 依次连接，得到，并连接，如图： ． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，第一、三象限的角平分线记为，第二、四象限的角平分线记为． (1)请在图1中分别标出点、点关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标； (2)若点关于的对称点为，试猜想点的坐标，并利用图2证明你的猜想； (3)若点关于的对称点为，请直接写出点的坐标为______． 【答案】(1) 点的位置如图1；； (2) 猜想：点关于的对称点为， 证明：连接， 过点作轴交x轴于点G，过点作轴交y轴于点H，如图2， ∵点关于的对称点为， ∴，， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点； (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，直角坐标系下点的坐标，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是添加适当的辅助线证明全等． （1）根据轴对称图形的性质画出图形并写出点的坐标即可； （2）添加辅助线，由角角边的证明方法证明与全等，由此可得，，由此可得的坐标； （3）由角角边的证明方法证明与全等，由此可得坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， 过点作轴交y轴于点E，过点作轴交x轴于点F，如图3， 同理可证，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【提高题型二 斜对称轴下作轴对称图形】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．把经过点垂直于轴的直线记作直线，点，关于直线的对称点分别为点，，连接和，当在某一范围内取值时，的值总保持不变，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，点到坐标轴的距离，正确理解“轴距”的定义是解题的关键． 先根据对称的性质求出，进而求出当，即时，，当时，，同理当时，，当时，，由此讨论求解即可． 【详解】∵点、关于直线的对称点分别为点E、F， ∴， ∴当，即时，， ∴当时，， 同理当时，，当时，， ∴当时，，符合题意； 当时，不是定值，不符合题意； 当时， ，符合题意； 综上所述，当或，的值不变，为4． 故答案为：或． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）数和形是数学研究的两个主要对象，我们经常运用数形结合和转化的思想方法来解决一些数学问题．在平面直角坐标系中，有任意两点，，如何求，两点的距离？ 如图1，过点，分别向轴，轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点．在中，由勾股定理得：．其中，，所以，两点间的距离． 根据以上探究，解答下列问题： (1)在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离______； (2)在平面直角坐标系中，若，，且，则的值为______； (3)如图2，在直角坐标系中，已知点，，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上．求的周长的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题，两点之间距离公式，解题的关键是理解题意，掌握材料中的方法． （1）根据材料中的公式求解即可； （2）利用两点之间距离公式得到关于的方程，即可求解； （3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：，， ， ，两点间的距离为， 故答案为：； （2），，且， ， 解得：或， 故答案为：或； （3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的周长最小，的周长的最小值即为的周长， ， ，， ， ， ， ， 的周长的最小值为． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在方格纸中，已知线段的两个端点为，． (1)画出线段关于y轴对称后的线段； (2)写出点的坐标； (3)若将线段再向下平移2个单位，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标不变画出图形即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征进行解答即可； （3）根据“上加下减”即可得到答案． 【详解】（1） 解： （2）解：关于y轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标不变， ； （3）解：将线段再向下平移2个单位， ． 3．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． (1)作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； (2)连接，则直线与线段的关系是__________； (3)在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； 、、； (2)直线垂直平分线段； (3)． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，线段垂直平分线，轴对称的性质，掌握作轴对称图形的基本作法是解题的关键． （）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接，再根据点的位置写出坐标即可； （）根据轴对称性质即可求解； （）先找出中点，延长，交直线于点，根据网格即可求出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由轴对称性质可知，则直线与线段的关系是直线垂直平分线段， 故答案为：直线垂直平分线段； （3）解：如图，先找出中点，延长，交直线于点， 由网格可得：点的坐标． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】画出△ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可． 【详解】解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为轴对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 3．（2026·海南海口·模拟预测）如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可得出答案． 【详解】解：与关于y轴对称，M的坐标为， 点N的坐标是． 4．（25-26八年级上·北京·期中）某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题．根据轴对称分析即可得到答案． 【详解】根据题意，所需步道最短，应过点或点作对称点，再连接另一点，与直线的交点即为休息站，故选项A、B、D均错误，选项C正确， 故选：C． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段检测）已知与点关于x轴对称，则______． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 8．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为______________． 【答案】 【分析】如图，过作轴于，证明，可得，在直线上运动，作关于直线的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，如图，过作轴于，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴在直线上运动， 作关于直线的对称点，连接， ∴，， ∴当三点共线时，取最小值， 如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 11．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 【答案】 如图所示， ． 【分析】本题考查了轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到点B、点C的坐标，连接交y轴于点D，连接，，可知点D的坐标为，求出，，即可求出的值． 【详解】解：∵点A的坐标为，点A关于y轴的对称点为点B， ∴点B的坐标为， ∵点B关于x轴的对称点为点C， ∴点C的坐标为． 如图所示，连接交y轴于点D，连接，，则点D的坐标为， 由图可知 ，，，， ∴，， ∴． 12．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知， (1)作关于直线的轴对称图形； (2)作出中边上的高． 【答案】(1)如图，即为所作： (2)如图，高即为所作． 【分析】（1）分别作出、、关于直线的对称点，依次连接即可； （2）过点作所在直线的垂线段，垂足为，即为所求高． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26八年级下·广西桂林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向上平移5个单位得到，画出； (2)请画出关于轴对称的； (3)请写出，的坐标． 【答案】(1)如图所示，即为所求作， ； (2)如图所示，即为所求作， ； (3)， 【分析】（1）先将点，，向上平移5个单位得到点，，，顺次连接点，，，得到； （2）先将点，，关于轴对称得到点，，，顺次连接点，，，得到； （3）观察图象，依次写出，的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：三个顶点的坐标分别为，，， 向上平移5个单位得到， 由图象可知，，，， 关于轴对称得到， 由图象可知，，，． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，直线为第一、三象限的角平分线，点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”，记作；点关于直线的对称点称为点的“线对称点”，记作．例如：点的“轴对称点”为点，“线对称点”为点． (1)点的“轴对称点”的坐标为______，“线对称点”的坐标为______． (2)点的“轴对称点”一定在第_______象限． (3)点在轴负半轴，点分别是点的“轴对称点”和“线对称点”．若这三点围成的三角形的面积为36，求线段的长． 【答案】(1)； (2)三 (3)12 【分析】本题主要考查坐标系中点的对称变换以及三角形面积的计算。需要理解轴对称和线对称的概念， 并能根据给定的坐标计算对称点的坐标。同时， 利用三角形面积公式解决实际问题． （1）根据“轴对称点”和“线对称点”的概念，直接写出答案即可； （2）先确定点所在的象限，再根据“轴对称点”的概念进行判定； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，分别表示出线段，的长度，根据面积公式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）∵，， ∴点位于第四象限， ∵点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”， ∴点的“轴对称点”一定在第三象限， 故答案为：三． （3）根据题意可作如图所示的． 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 所以， 所以（负值已舍去）， 所以． 15．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出与关于直线l成轴对称的； (2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； (3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 如图所示，可以作3个． (3) 如图，点P即为所求． 【分析】（1）先画出点C和点B关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）先画出点C关于直线的对称点，再连接，与l相交于点P． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 画轴对称的图形重难点题型专训（1个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、画轴对称图形 1 题型二、镜面对称问题 2 题型三、坐标系中的对称 3 题型四、坐标与图形变化——轴对称 4 题型五、线段问题 5 题型六、面积问题 6 题型七、角度问题 7 第二部分·练提高题型 题型一、坐标系中轴对称变换综合题 1 题型二、斜对称轴下作轴对称图形 2 第三部分・自我检测 知识点01 坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点与点关于y轴对称，则__________． 【基础题型一 画轴对称图形】 【例1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，在图中可画出_____个以格点为顶点的三角形与成轴对称．    3．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，，，． (1)求证：； (2)将沿直线l翻折得到，请你用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【基础题型二 镜面对称问题】 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是________．    1．（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为_____． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【基础题型三 坐标系中的对称】 【例1】（26-27八年级上·天津·期中）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于对称的点的坐标是______． 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)直接写出关于点中心对称的的坐标； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（不要求写出做法，保留作图痕迹）． 【基础题型四 坐标与图形变化——轴对称】 【例1】（25-26八年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级下·全国·课后作业）若点关于轴的对称点是，则______________． 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 3．（26-27八年级上·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【基础题型五 线段问题】 【例1】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为__________ 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 2．（2026八年级·全国·专题练习）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，点E为射线AD上一点，∠BAD=15°，连接BE，CE，则CE－BE的最大值为__________． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 【基础题型六 面积问题】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 1．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【基础题型七 角度问题】 【例1】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 【提高题型一 坐标系中轴对称变换综合题】 【例1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 2．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标中，已知点的坐标为，点的位置如图所示，点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点． (1)写出图中点的坐标__________；在图中描出点，并写出的坐标： (2)画出关于轴的对称图形，并连接，求四边形的面积． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，第一、三象限的角平分线记为，第二、四象限的角平分线记为． (1)请在图1中分别标出点、点关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标； (2)若点关于的对称点为，试猜想点的坐标，并利用图2证明你的猜想； (3)若点关于的对称点为，请直接写出点的坐标为______． 【提高题型二 斜对称轴下作轴对称图形】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．把经过点垂直于轴的直线记作直线，点，关于直线的对称点分别为点，，连接和，当在某一范围内取值时，的值总保持不变，则的取值范围是______． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）数和形是数学研究的两个主要对象，我们经常运用数形结合和转化的思想方法来解决一些数学问题．在平面直角坐标系中，有任意两点，，如何求，两点的距离？ 如图1，过点，分别向轴，轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点．在中，由勾股定理得：．其中，，所以，两点间的距离． 根据以上探究，解答下列问题： (1)在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离______； (2)在平面直角坐标系中，若，，且，则的值为______； (3)如图2，在直角坐标系中，已知点，，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上．求的周长的最小值． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在方格纸中，已知线段的两个端点为，． (1)画出线段关于y轴对称后的线段； (2)写出点的坐标； (3)若将线段再向下平移2个单位，写出点的坐标． 3．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． (1)作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； (2)连接，则直线与线段的关系是__________； (3)在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·海南海口·模拟预测）如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·北京·期中）某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 6．（2025八年级上·全国·专题练习）平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 7．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段检测）已知与点关于x轴对称，则______． 8．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为______________． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 11．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 12．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知， (1)作关于直线的轴对称图形； (2)作出中边上的高． 13．（25-26八年级下·广西桂林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向上平移5个单位得到，画出； (2)请画出关于轴对称的； (3)请写出，的坐标． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，直线为第一、三象限的角平分线，点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”，记作；点关于直线的对称点称为点的“线对称点”，记作．例如：点的“轴对称点”为点，“线对称点”为点． (1)点的“轴对称点”的坐标为______，“线对称点”的坐标为______． (2)点的“轴对称点”一定在第_______象限． (3)点在轴负半轴，点分别是点的“轴对称点”和“线对称点”．若这三点围成的三角形的面积为36，求线段的长． 15．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出与关于直线l成轴对称的； (2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； (3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 学科网（北京）股份有限公司 $