专题01 圆的有关概念 重难点题型专训 2026--2027学年人教版九年级数学上册

专题01 圆的有关概念重难点题型专训（3个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、圆的基本概念辨析 1 题型二、圆的周长和面积问题 2 题型三、判断点与圆的位置关系 3 题型四、利用点与圆的位置关系求半径 4 题型五、点与圆上一点的最值问题 5 题型六、三角形外接圆的概念辨析 6 题型七、求三角形外心坐标 7 题型八、求特殊三角形外接圆的半径 8 题型九、判断三角形外接圆的圆心位置 9 题型十、判断确定圆的条件 10 题型十一、确定圆心(尺规作图) 11 第二部分·练提高题型 题型一、点与圆的位置关系综合 1 题型二、圆中的最值综合 2 第三部分・自我检测 知识点01 圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 知识点02 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 【即时训练】 1．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是______． 知识点03 确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 【基础题型一 圆的基本概念辨析】 【例1】（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·广东广州·期末）在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是_____ ． 1．（2026·吉林长春·二模）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径作，交线段的延长线于点，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线，交于点、，连结、、、，、若，则四边形的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）为的直径，点、在上，若，______． 3．（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，点A，N在半圆O上，四边形，均为矩形，，．a与b的大小关系是怎样的？ 【基础题型二 圆的周长和面积问题】 【例1】（2026·辽宁·模拟预测）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 1．（2026·浙江温州·模拟预测）用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的，其中每两个相邻的同心圆的半径的差等于中间最小圆的半径．每相邻两个圆之间围成一个圆环，从外向里顺次叫做1环、2环、3环……8环、9环，最小圆里面的圆盘形区域，叫做10环．一枪射出去，打中的环数越高，说明枪法越好．那么请问1环的面积是10环面积的多少倍？ 【基础题型三 判断点与圆的位置关系】 【例1】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【例2】（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 1．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 3．（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【基础题型四 利用点与圆的位置关系求半径】 【例1】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】（2026·上海·模拟预测）如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是_______． 3．（2026·江苏扬州·二模）图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形． (1)初步感知：如图1，将绕点A逆时针旋转得到对应的，连接，显然是等边三角形．若点P是边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转后的对应点Q ，此时点Q （填“在”或“不在”）边上； (2)迁移运用：如图2，点P是内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边，其中点C在边上，点D在边上，并写出必要的文字说明； (3)继续思考：如图3，中，，，，点P在边上，，点D是线段上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在上，则的半径r的取值范围是 ． 【基础题型五 点与圆上一点的最值问题】 【例1】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 【例2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2026·浙江舟山·模拟预测）左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【基础题型六 三角形外接圆的概念辨析】 【例1】（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【例2】（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，填空： （1）是的______________三角形． （2）是的______________圆． （3）圆心O是的______________的交点． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，，在边，上分别有两个动点C、D．连接，以为直角边作等腰直角三角形，当的长度保持不变且等于时，则的最大值是____________________．    3．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 【基础题型七 求三角形外心坐标】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，过边长为1的正方形格点A、B、C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　） A．点（5，0） B．点（2，3） C．点（6，1） D．点（1，3） 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 1．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 3．（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx＋48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）点A的坐标是 　 　，点B的坐标是 　 　； （2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC． ①求点D的坐标（用含t的式子表示）； ②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系； （3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx＋48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离． 【基础题型八 求特殊三角形外接圆的半径】 【例1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【例2】（2026·上海静安·模拟预测）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 1．（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 2．（2026·湖北·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为上一点，F为上一点．，且，过点D作，垂足为G，连接，则的最小值为_____． 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【基础题型九 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（　　） A．D点是△ABC的内心 B．D点是△ABC的外心 C．E点是△ABC的内心 D．E点是△ABC的外心 【例2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是___． 1．（2026·广西梧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　） A．34 B．12 C．6+3 D．6 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 3．（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间有什么关系． 【基础题型十 判断确定圆的条件】 【例1】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【例2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 1．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，矩形中，，、分别为、上点，交于，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是______，面积的最大值为______． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知正方形，E，F为平面内两点． [探究建模] (1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：； [类比应用] (2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段，之间的数量关系； [拓展迁移] (3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于点G．若，，请直接写出的长． 【基础题型十一确定圆心（尺规作图）】 【例1】（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）有一个残破的圆形轮子如图所示．现在要浇铸一个和它半径一样的轮子，需要确定它的圆心．请在图中用尺规作出它的圆心． 【例2】（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，在某居民小区的一片空地上有三棵古树，现准备在这片空地上建一个圆形广场．为保护古树，设计时要求古树恰好都在圆形广场的边缘外处．如果由你来设计这个圆形广场，你会怎样确定这个圆形广场的圆心呢？ 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，不写作图步骤，保留作图痕迹． (1)在图中画出外接圆的圆心O； (2)在上找一点M，使得直线是的切线． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)点在边上时（如图1） ①求证：点在边的垂直平分线上； ②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长； ③如图3，点从运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长： (2)当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 【提高题型一 点与圆的位置关系综合】 【例1】（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26九年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为______． 1．（25-26九年级上·浙江温州·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）杨老师设计了一个“转盘”游戏：如图1，把转盘划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1，2，3，4；先后两次转动转盘，待转盘停止后，得到指针指向的数字分别为a和b，若点落在以点O为圆心，半径为3的圆内，则获得纪念品． (1)请你用树状图或列表的方法分析，玩一次游戏能获得纪念品的概率； (2)琪琪和嘉嘉两人都想获得这份纪念品，为了增加获奖机会，闹着要杨老师修改游戏规则：如图2，将的半径变为，如果点落在内，则琪琪获得纪念品，如果落在外，则嘉嘉获得纪念品．你认为新的游戏规则公平吗？请说明理由． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【提高题型二 圆中的最值综合】 【例1】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【例2】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 1．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，点是上一点，且． (1)的最大值为 ； (2)若与相切，延长，交边于点，过点作于点，求的长． 2．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 3．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图①，线段，点为平面内一动点，连接．若，则线段的最小值为_____（用含的式子表示）． 问题探究 （2）如图②，某村街道的右侧有一块开阔的空地，当地政府为了弘扬传统文化、打造当地旅游特色村，将在此处建设一处文化街区．已知：空地边界与街道的夹角为，且，，，计划在空地的一角打造以“非遗文化创意手工展”为主题的长廊，长度为，若空地边界上的点为出入口，点分别为两个休息点，且为的中点，出入口到休息点各有一条通道．请问：是否存在满足条件的点，使得通道的长度之和最短？若存在，求此时的长度之和；若不存在，请说明理由．（图中各点均在同一平面内，街道与通道的宽、休息点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 1．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的直径，点，在上，且点在的异侧，连接，，．若，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽·二模）如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（　　） A．3 B．4 C．3 D．3+ 3．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 4．（2026·河南周口·二模）引理：在中，若为的中点，则．（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（    ） A． B．38 C．40 D．68 5．（2026·河北保定·二模）如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D、E、F、G四点中有一点是ΔABC的外心，该点到线段AB的距离是（    ） A． B． C． D．1 6．（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是__________． 8．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 9．（2026·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 10．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 11．（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，在中，，为直径．求证． 12．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知，，经过 B，C两点，圆心O 在线段 上.    (1)在图中作出点O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求 的半径 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）（1）①倍圆问题；如图1，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的两倍的圆； ②均分问题：如图2，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹） （2）若的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ． 14．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图1，当，时，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，取的中点H，点Q为线段上的一动点，连接，将沿翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 15．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段检测）【问题提出】 （1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 专题01 圆的有关概念重难点题型专训（3个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、圆的基本概念辨析 1 题型二、圆的周长和面积问题 2 题型三、判断点与圆的位置关系 3 题型四、利用点与圆的位置关系求半径 4 题型五、点与圆上一点的最值问题 5 题型六、三角形外接圆的概念辨析 6 题型七、求三角形外心坐标 7 题型八、求特殊三角形外接圆的半径 8 题型九、判断三角形外接圆的圆心位置 9 题型十、判断确定圆的条件 10 题型十一、确定圆心(尺规作图) 11 第二部分·练提高题型 题型一、点与圆的位置关系综合 1 题型二、圆中的最值综合 2 第三部分・自我检测 知识点01 圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 4． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 知识点02 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 【即时训练】 1．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故答案为：． 知识点03 确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 【答案】 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 【详解】解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【基础题型一 圆的基本概念辨析】 【例1】（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 【例2】（25-26九年级上·广东广州·期末）在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先理解题意，在直线的上方作等边三角形，连接．结合等边三角形的性质，证明，故点D的运动轨迹是以O为圆心，以长为半径的圆，当D、O、A共线时，的值最大，最大值为，即可作答． 【详解】解：如图，在直线的上方作等边三角形，连接． ∵，都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心，以长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，的值最大，最大值为． 故答案为：5． 1．（2026·吉林长春·二模）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径作，交线段的延长线于点，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线，交于点、，连结、、、，、若，则四边形的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知垂直平分，结合圆的性质可知、为互相垂直的直径，利用对角线互相垂直的四边形面积公式求解． 【详解】解：由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线． 点为的圆心，点、在上 为的直径，为中点 直线过点，且 点、在上 为的直径 ． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）为的直径，点、在上，若，______． 【答案】/104度 【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据圆的概念、等边对等角可得，，根据三角形内角和定理可得，，根据角的和差关系可求出，然后根据求出的度数即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，点A，N在半圆O上，四边形，均为矩形，，．a与b的大小关系是怎样的？ 【答案】相等 【分析】连接，，根据矩形的性质，易得，，再根据半径相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，均为矩形，，， ，， 点A，N在半圆O上， ， 则a和b的大小关系是相等． 【基础题型二 圆的周长和面积问题】 【例1】（2026·辽宁·模拟预测）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 【例2】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 1．（2026·浙江温州·模拟预测）用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的中心为点O，连接，过点O作于点M，由正方形的面积为，得，根据正方形的性质，得，设，则直角三角形的另一条直角边的长为，根据题意，得，求解即可； 【详解】解：设正方形的中心为点O，连接，过点O作于点M， 由正方形的面积为，得， 根据正方形的性质，得， 设， 根据题意，四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”， 故直角三角形的另一条直角边的长为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 根据长度不能为负数，故舍去， ∴， ， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为：． 2．（25-26九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【详解】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的，其中每两个相邻的同心圆的半径的差等于中间最小圆的半径．每相邻两个圆之间围成一个圆环，从外向里顺次叫做1环、2环、3环……8环、9环，最小圆里面的圆盘形区域，叫做10环．一枪射出去，打中的环数越高，说明枪法越好．那么请问1环的面积是10环面积的多少倍？ 【答案】19 【分析】本题考查了圆的面积的计算，理解题意，掌握圆的面积的计算是关键． 根据题意，设最小圆的半径为r，最大圆的半径为，次大圆的半径为，根据圆的面积公式，圆环面积的计算即可求解． 【详解】解：设最小圆的半径为r，最大圆的半径为，次大圆的半径为， 1环的面积为： 10环面积为： 1环的面积与10环面积的倍数关系： 【基础题型三 判断点与圆的位置关系】 【例1】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 【例2】（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 1．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，进而根据得，即可判断；由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可判断；由得，，，四点共圆，即得，得到，即得到，得，即可判断；证明四边形为矩形，可得，即得是等腰直角三角形，设，则，得，即可判断，综上即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 如图，连接、， ，点为的中点， ， ， ，故选项错误； 如图，∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为，故选项正确； 如图，， ，，，四点共圆， ∵，，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∴， ，故选项错误； ∵， ， ∵，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ， ∴四边形为矩形， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为，故选项错误． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 【答案】点在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，以点为圆心，为半径画圆，且， ∴， ∴点与的位置关系是点在内， 故答案为：点在内． 3．（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【答案】点P在圆上；点Q在圆外；点R在圆内； 【分析】连接，利用勾股定理计算的长度，即可作出判断． 【详解】解：连接，如图， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， 在中，，则点P在圆上； 在中，，则点Q在圆外； 在中，，则点R在圆内； 【基础题型四 利用点与圆的位置关系求半径】 【例1】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，熟练掌握两圆的位置关系是解题的关键．首先求出的半径的取值范围为，再根据两圆的圆心距是10，分内切和外切两种情况进一步即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵点在内，点在外， ∴的半径的取值范围为， 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是，即， ∴， 解得， 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是，即， ∴， ∴， 综上可知，的半径的取值范围是或， 故选：C． 【例2】（2026·上海·模拟预测）如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】，，， ， ， △△， ， ， ， ，，， ， 要使得以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交， 则圆E的半径的范围为：， 又要使得点A在圆E外，则圆E的半径：， 又， ． 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江温州·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，由旋转可得，，，再证明，得到，从而得到点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，当点C运动至与的交点处时，取得最小值为，再根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，， ∵，经过点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点C运动至的延长线与的交点处时， 取得最大值为， 当点C运动至与的交点处时， 取得最小值为， 在中，， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．（2026·江苏扬州·二模）图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形． (1)初步感知：如图1，将绕点A逆时针旋转得到对应的，连接，显然是等边三角形．若点P是边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转后的对应点Q ，此时点Q （填“在”或“不在”）边上； (2)迁移运用：如图2，点P是内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边，其中点C在边上，点D在边上，并写出必要的文字说明； (3)继续思考：如图3，中，，，，点P在边上，，点D是线段上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在上，则的半径r的取值范围是 ． 【答案】(1)作图见详解，在 (2)作图和文字说明见详解 (3)或 【分析】（1）根据题意作出对应的点Q，利用旋转的性质可得出点Q在边上； （2）根据题意作出对应的等边即可； （3）先确定点E的运动轨迹，利用旋转的性质，等边三角形的性质，解30度直角三角形的性质，矩形的判定与性质及勾股定理求出相关线段的长度，再分情况讨论：当过点时，与只有一个交点；当过点时，与有两个交点，且属于临界情况；当与相切时，与只有一个交点，求出不同情况下的半径，从而得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，点Q即为所求： ∵点P在边上，绕点A逆时针旋转得到， ∴， 将点P绕点A逆时针旋转后，则， ∴， ∴点Q在边上． （2）解：如图所示，等边即为所求： 文字说明： ①连接，分别以点O、P为圆心，长为半径画弧，两弧交于点Q，得等边； ②在的左侧作，交于点D； ③在上截取，连接，，； ④即为所画等边三角形． 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． （3）解：∵点D为线段上的动点，点D绕点P顺时针旋转得到点E， ∴当点D与点B重合时，点E在线段上，即点，，；此时是等边三角形， 当点D与点A重合时，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即点E的运动轨迹是与线段夹角为的线段， ∵， ∴， 如图，过点A作交于点N，过点作交于点K，过点P作交于点M， ∵，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 同理可得，在中，，， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，则，，则， 在中，， ∴， 过点C作交于点H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 当过点时，与只有一个交点， ∴， 在中，， ∴； 当过点时，与有两个交点，且属于临界情况， ∴， 在中，， ∴； 当与相切时，与只有一个交点， ∴， 综上所述，的半径r的取值范围是或． 【基础题型五 点与圆上一点的最值问题】 【例1】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 【答案】D 【分析】先由、得，确定E在以B为圆心4为半径、F在以B为圆心1为半径的圆上；分别用圆上点到定点距离最值判断A、B、C选项均错；取小圆与交点G，由证明得，转化为，根据两点之间线段最短，D、E、G共线时取最小值斜边，故D正确． 【详解】解：点E和正方形在同一平面内，， 点E在以B为圆心，为半径的圆上，点F在以B为圆心，为半径的圆上， 如图1， ，， 当D，E，B三点共线时，取得最小值， 在中，， 的最小值为，故A错误； ，，， 当A，F，B三点共线时，取得最小值， 的最小值为，故B错误； 由题意可知， 当取得最大值时，即可取得最大值， 如图2， 当D，E，B三点共线时，取得最大值，最大值为， 的最大值为，故C错误； 如图3，点F所在的圆与交于点G，连接， ， 在与中， ， ， ， ， ， 当D，E，G三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为5，故D正确． 【例2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据折叠的性质得到，即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N，可知的最小值是，根据三角形内角和定理及等角对等边得到，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠到， ∴， 即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上． 如图，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N， 可知的最小值是． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值． 2．（2026·浙江舟山·模拟预测）左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 【答案】 150 18000 【分析】连接，根据题意可得，则，由勾股定理可得，据此求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，有最大值，当有最小值时，有最小值， ∴的最大值为，的最小值为； ∴若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为． 3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】(1) (2)45 (3)不变；理由： 如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 的值不变； (4)，5 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质和旋转的性质证明，进而得到、，根据三角形内角和定理得到，再利用三角形中位线定理求出是等腰直角三角形，从而求出的度数； （3）同（2）证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，从而求出的值； （4）过点D作于点H，以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出长，根据直角三角形斜边中线的性质求出长，从而求出的最大值和最小值． 【详解】（1）略； （2）解：如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， ； （3）略； （4）解：如图2，过点D作于点H， 以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分， 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 由旋转的性质得：、， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， 点为的中点， ， 的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的运用是解题的关键． 【基础题型六 三角形外接圆的概念辨析】 【例1】（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 【例2】（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，填空： （1）是的______________三角形． （2）是的______________圆． （3）圆心O是的______________的交点． 【答案】 内接 外接 三边垂直平分线 【分析】直接根据三角形的外接圆与外心相关概念分别分析得出即可． 【详解】解：（1）由题意得，是的内接三角形； （2）由题意得，是的外接圆； （3）∵是的外接圆， ∴圆心O是的三边垂直平分线的交点． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】甲的作法：先连接，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断甲的作法正确；乙的作法：先连接，再利用中点的性质和作法得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断乙的作法正确． 【详解】解：甲的作法： 如图，连接， ， ． 点O为中点， ， 点O是的外心， 甲的作法正确； 乙的作法： 如图，连接， 点O为中点， ． 由作法可知，， ， 点O是的外心， 乙的作法正确． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，，在边，上分别有两个动点C、D．连接，以为直角边作等腰直角三角形，当的长度保持不变且等于时，则的最大值是____________________．    【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、圆周角定理等知识，作的外接圆，圆心为，连接，，，，得到是等腰直角三角形，求出，，根据得到当、、共线时，最大，计算的长可得结论． 【详解】解：如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，，      ∵，即为圆周角， ， ∴等腰直角， ∴， ， ∴， ∴半径， ∵是等腰直角三角形， ，， ， 由勾股定理得：， ， ∴当、、三点共线时的值最大，最大值为， 的最大值是， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 【答案】(1)解：①如图，外心即为所求； ② (2) (3) (4)解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. 【分析】（1）①分别作的垂直平分线，交点即为所求；②利用线段的垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （2）连接，结合外心的性质，等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （3）先画图，再结合外心与等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可； （4）根据（1）（2）（3）进行归纳总结即可. 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， ∵为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （3）解：如图，为三角形的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大角为. （4）略 【基础题型七 求三角形外心坐标】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，过边长为1的正方形格点A、B、C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　） A．点（5，0） B．点（2，3） C．点（6，1） D．点（1，3） 【答案】D 【分析】先确定圆弧的圆心的位置，再利用切线的判定可得：只有时，与圆相切，从而可得当时，满足条件，从而可得答案. 【详解】解：如图，∵过格点A，B，C作一圆弧，而的垂直平分线交于点   ∴三点组成的圆的圆心为：， ∵只有时，与圆相切， ∴当时， 此时满足 ∴ ∴点的坐标为：（1，3）， ∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（1，3）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质与判定，三角形外接圆圆心坐标的确定，掌握圆的切线的判定方法是解题的关键. 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，推出，得到，点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，连接，，求出，设，求出，过点作，三角函数求出，设，得到只有时，最小为0，即最小为6．当时，即：时，最小，即可得到答案． 【详解】解：如图，是等边三角形， ，， 点、分别从、以相同的速度向、A运动， ， 在和中，， (SAS)， ， ， 点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，， ， 连接，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，， ，， 过点作， ， 在△中，，， ， ，， 设， ， 只有时，最小为0，即最小为6． 当时，即：时，最小， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【答案】(1)如图，    (2)， (3)（答案不唯一） 【分析】（1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案； （2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可； （3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：连接，，，作，的垂直平分线，交于点， ∴即为所求，； （2）解：∵，，， ∴；，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， ∴设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 当时，， ∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，一次函数的应用，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键． 3．（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx＋48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）点A的坐标是 　 　，点B的坐标是 　 　； （2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC． ①求点D的坐标（用含t的式子表示）； ②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系； （3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx＋48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离． 【答案】（1），；（2）①；②与轴相切，证明见解答；（3）． 【分析】（1）令，则，可得答案； （2）①如图2，根据“三角形中，等角对等边”可得，进而可根据等腰三角形旋转得出，可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组求解即可得出答案； ②根据⊙D到y轴的距离等于半径，利用切线的判定定理即可得出结论； （3）根据题意可得该抛物线顶点为，建立方程求出，从而得出：，，，过的内心作于点，于点，于点，则，利用，可求得，进而得出，再由是的外心，可得，运用两点间距离公式即可求得答案． 【详解】解：（1）令，则， 解得：，， 点在点左侧， ，， 故答案为：，； （2）①如图2，， ， ，， ， 在中，令，得， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，得， 解得：，（舍去）， ； ②与轴相切，理由如下： ， 点到轴的距离为8， 的半径为8， 与轴相切． （3）对于任意实数，不等式恒成立，且抛物线经过点， 该抛物线顶点为， ， 抛物线顶点为， ， 解得：， ， ，， ，， ， 过的内心作于点，于点，于点， 则， ， ， 解得：， ， 是的外心， 是的中点， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴及直线的交点坐标，顶点坐标，二次函数图象和性质，三角形的内心和外心，三角形面积，中点公式，勾股定理，圆的切线判定等，涉及知识点较多，综合性强，有一定难度，是一道典型的中考数学压轴题． 【基础题型八 求特殊三角形外接圆的半径】 【例1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 【例2】（2026·上海静安·模拟预测）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 1．（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 2．（2026·湖北·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为上一点，F为上一点．，且，过点D作，垂足为G，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】题目主要考查矩形的性质，三角形外接圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 延长与的延长线交于M，连接，作的外接圆，设O为圆心，连接交于P，过点O作于N，根据相似三角形的判定和性质得出，然后利用勾股定理得出，由圆外一点到圆上的距离得：当点G与点P重合时，为最小，最小值为线段的长，结合图形利用相似三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：延长与的延长线交于M，连接，作的外接圆，设O为圆心，连接交于P，过点O作于N，如图所示： , ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，, ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴为的直径，点O为的中点， ∴的半径， ∵， ∴， 点G始终在上运动， 由圆外一点到圆上的距离得：当点G与点P重合时，为最小，最小值为线段的长， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 【基础题型九 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（　　） A．D点是△ABC的内心 B．D点是△ABC的外心 C．E点是△ABC的内心 D．E点是△ABC的外心 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是△ABC的外心，据此即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∵CD是△ABC中线， ∴D点是△ABC的外心． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 【例2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 1．（2026·广西梧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　） A．34 B．12 C．6+3 D．6 【答案】A 【分析】如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形，再证明是等边三角形，再分别求解即可得到答案. 【详解】解：如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形， 是等边三角形， 故选： 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键. 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 3．（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间有什么关系． 【答案】如图， 锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外部． 【详解】略 【基础题型十 判断确定圆的条件】 【例1】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【例2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 1．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，矩形中，，、分别为、上点，交于，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接， 设点为的中点，可得点四点共圆，即得，进而可得，得到，即可得，再利用勾股定理求出即可求出． 【详解】解：连接， 设点为的中点， ∵， ∴点四点共圆，如图所示， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是______，面积的最大值为______． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的相关知识三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设相交于点，先证明，得到，求出，即可得到；设到的距离为，，以为底边，当最大时，面积的最大，四点共圆，当垂直且通过圆心时，的值最大，求出面积的最大值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，设相交于点， 在中，，， 绕点沿顺时针方向旋转后得到， ，，， ，， ， ， ， ； 设到的距离为， ，以为底边，当最大时，面积的最大， ， 四点共圆， ， 为此圆直径， 当垂直且通过圆心时，的值最大， 此时， 面积的最大值为； 故答案为：，． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知正方形，E，F为平面内两点． [探究建模] (1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：； [类比应用] (2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段，之间的数量关系； [拓展迁移] (3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于点G．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)猜想：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）证明，可得结论； （2）证明，然后问题可求证； （3）连接，取的中点O，连接．证A、E、C、D四点共圆，得，然后证，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，取的中点O，连接，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴A、E、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【基础题型十一确定圆心（尺规作图）】 【例1】（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）有一个残破的圆形轮子如图所示．现在要浇铸一个和它半径一样的轮子，需要确定它的圆心．请在图中用尺规作出它的圆心． 【答案】如图，点O为所求圆心． 【分析】在圆上取两条弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】略 【例2】（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，在某居民小区的一片空地上有三棵古树，现准备在这片空地上建一个圆形广场．为保护古树，设计时要求古树恰好都在圆形广场的边缘外处．如果由你来设计这个圆形广场，你会怎样确定这个圆形广场的圆心呢？ 【答案】如图，点O即为圆形广场的圆心 【分析】根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：将三棵古树看作三个点，分别连接其中两棵古树得到两条线段，作出这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为经过三棵古树的圆的圆心，该点就是所求圆形广场的圆心，以该点为圆心，以到古树的距离减去为半径作圆，即可满足古树都在圆形广场边缘外处的要求． 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，不写作图步骤，保留作图痕迹． (1)在图中画出外接圆的圆心O； (2)在上找一点M，使得直线是的切线． 【答案】(1) 圆心O即为所求； (2) 如图所示，点即为所求． 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——线段垂直平分线，三角形外接圆的定义，圆的切线的定义等，解题的关键是掌握基本的尺规作图． （1）作三角形两条边的垂直平分线的交点即可； （2）连接，利用线段的垂直平分线找出线段的中点，以中点为圆心，线段的一半为半径画圆，与的交点即为切点． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 【答案】(1) 解：如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，则为所在圆的圆心． (2) 如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，圆周角定理的应用，切线的判定． （1）如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，可得为所在圆的圆心． （2）如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ∵为直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)点在边上时（如图1） ①求证：点在边的垂直平分线上； ②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长； ③如图3，点从运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长： (2)当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 【答案】(1) ①证明：为直径，； 点在圆上， 连接， ， 点在的垂直平分线上； ② 如图所示：    ； ③点运动的轨迹为线段，线段 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，线段垂直平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等．此题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）①证明即可证明点在边的垂直平分线上；②作的垂直平分线，作切点与A所连线段的垂直平分线，即可找到圆心；③由由是等腰直角三角形，证明，进而即可求解； （2）先证明，设，则，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：①略 ②设与边相切于点E，则， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴； ③连接，； 始终是的中点， 是等腰直角三角形， ∴， 连接、交于点，则， ∴， ∵， ∴， ； 当点与点重合，点与点重合，当点与点重合，点与点重合， 点运动的轨迹为线段，． （2）解：连接,，过点H作， 由（1）③可得：， ，， ∴， ∵， 设，则，，， 解得：，， ∴． 【提高题型一 点与圆的位置关系综合】 【例1】（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识．如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为______． 【答案】/ 【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为线段与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴， ∵为直径， ∴， 由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动， 当M点为线段与的交点时， 点M到的距离最短为， ∴面积的最小值为：． 故选：． 【点睛】本题考查坐标与图形，点和圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹． 1．（25-26九年级上·浙江温州·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）杨老师设计了一个“转盘”游戏：如图1，把转盘划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1，2，3，4；先后两次转动转盘，待转盘停止后，得到指针指向的数字分别为a和b，若点落在以点O为圆心，半径为3的圆内，则获得纪念品． (1)请你用树状图或列表的方法分析，玩一次游戏能获得纪念品的概率； (2)琪琪和嘉嘉两人都想获得这份纪念品，为了增加获奖机会，闹着要杨老师修改游戏规则：如图2，将的半径变为，如果点落在内，则琪琪获得纪念品，如果落在外，则嘉嘉获得纪念品．你认为新的游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平．理由如下： ∵⊙O的半径为，且到点的距离为，和到点的距离为，和到点的距离为，和到点的距离为，到点的距离为，和到点的距离为，和到点的距离为，到点的距离为，和到点的距离为，到点的距离为， ∴点落在⊙O内的有6种情况，落在⊙O外的有8种情况， ∴P（⊙O内）=，P（⊙O外）=． ∵，即琪琪和嘉嘉两人获得纪念品的概率不相同， ∴新的游戏规则不公平． 【分析】（1）先画出树状图，得到所有等可能性的结果数，然后得到获得纪念品的结果数即可求解； （2）根据树状图分别求出落在圆内和圆外的概率，即可判断． 【详解】（1）解：画树状图得： ∴共有16种等可能的结果， ∵⊙O的半径为，到点的距离为，和到点的距离为，和到点的距离为，和到点的距离为，到点的距离为，和到点的距离为，和到点的距离为，到点的距离为，和到点的距离为，到点的距离为， ∴玩一次游戏能获得纪念品的有4种情况， ∴玩一次游戏能获得纪念品的概率为=． （2）略 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【提高题型二 圆中的最值综合】 【例1】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 【例2】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接． ∵，， ∴， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 1．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，点是上一点，且． (1)的最大值为 ； (2)若与相切，延长，交边于点，过点作于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质、圆外一点到圆上距离的最值、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、证明三角形相似是解题的关键； （1）根据圆外一点到圆上距离的最值解答即可； （2）证明，求出，进而可得，易得，可得，再利用相似三角形的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴当A、C、D三点共线，且点D是的延长线与的交点时，最大，最大为； 故答案为： （2）解：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 2．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，作辅助圆是解决问题的关键． （1）根据点与圆上点的最值问题解答即可； （2）根据题意可得总费用，连接，求出，再作于点E，于点G，作于H，求出，即可得到当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小，求出解题即可． 【详解】（1）当点C在与的交点时，点C到的距离最小，则的面积最小． ，的半径为2， ， ， 面积的最小值， 故答案为：6； （2）由题意得：， ， 总费用 ， 连接 ，， ， ， ， ， 作于点E，于点G， ， 作于H， 又， ， 当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小， 边上的高， ， ， 总费用（元）， 答：总费用的最小值为元． 3．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图①，线段，点为平面内一动点，连接．若，则线段的最小值为_____（用含的式子表示）． 问题探究 （2）如图②，某村街道的右侧有一块开阔的空地，当地政府为了弘扬传统文化、打造当地旅游特色村，将在此处建设一处文化街区．已知：空地边界与街道的夹角为，且，，，计划在空地的一角打造以“非遗文化创意手工展”为主题的长廊，长度为，若空地边界上的点为出入口，点分别为两个休息点，且为的中点，出入口到休息点各有一条通道．请问：是否存在满足条件的点，使得通道的长度之和最短？若存在，求此时的长度之和；若不存在，请说明理由．（图中各点均在同一平面内，街道与通道的宽、休息点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可； （2）如图所示，延长，交于点O，连接，求出，得到点N在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动，在上取点，使，连接交于点，连接，得到，如图，当点，P，N，O四点共线时，取得最小值，即的长度，然后解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵线段，点为平面内一动点，， ∴ ∴当点A，C，B三点共线时，有最小值，即； （2）如图所示，延长，交于点O，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为的中点 ∴ ∴点N在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动 在上取点，使，连接交于点，连接， ∵ ∴点和点M关于对称 ∴ ∴ ∴如图，当点，P，N，O四点共线时，取得最小值，即的长度 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，求圆外一点到圆上最值问题，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的直径，点，在上，且点在的异侧，连接，，．若，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平行线的性质求出，再由半径相等得到等腰三角形，最后借助三角形内角和求出． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ 在中，． 2．（2026·安徽·二模）如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（　　） A．3 B．4 C．3 D．3+ 【答案】C 【分析】由定边对等角，判断、、三点共圆，由中位线的性质当取最大值时，即取最大值时，根据圆内最长弦为直径即可求解． 【详解】解：由题知、、三点共圆， M，N分别为AB，BC的中点， ， 当过圆心即是直径时（如图所示），取得最大值，此时取的最大值， ， 此时是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三点共圆的判定，三角形中位线性质，勾股定理，圆周角定理，圆内最长弦的判定；能判断点的运动轨迹，熟练掌握好相关的基础知识是解决本题的关键． 3．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 4．（2026·河南周口·二模）引理：在中，若为的中点，则．（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（    ） A． B．38 C．40 D．68 【答案】C 【分析】如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，根据矩形的性质可得CD=AB=OE，AD=BC，根据中线长公式可得=2PE2+2AE2，可得PE最短时取最小值，根据线段的和差关系可求出PE的长，即可得答案． 【详解】如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值， ∵四边形ABCD是矩形，，， ∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4， ∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8， ∴PE=2， ∵点E为AD中点， ∴=2PE2+2AE2， ∴的最小值为2PE2+2AE2=2×22+2×42=40， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、点与圆的位置关系及中线长公式，根据点与圆的位置关系得出PE的最小值是解题关键． 5．（2026·河北保定·二模）如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D、E、F、G四点中有一点是ΔABC的外心，该点到线段AB的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答． 【详解】解：如图， 每个小三角形都是正三角形， ，， ， 为直角三角形， 是的中点，， 点是斜边的中点，点是边的中点， ∴， ∵的外心是斜边的中点， ∴即点为的外心， 又∵，， ∴， ∴点E到线段AB的距离， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外心和等边三角形性质、三角形中位线定理，掌握等边三角形的性质、直角三角形的外心的位置是解题的关键． 6．（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：连接，如下图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， 在直角中，， ∴， 由图可知，的取值范围为：， 故答案为：． 8．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 9．（2026·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 【答案】 /90度 2 【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解； （2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ .∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为． （2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 10．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个半圆的直径为，再根据圆的面积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，第1个半圆的直径为， 第2个半圆的直径为， 第3个半圆的直径为， 以此类推， 第5个半圆的直径为， 第个半圆的直径为， ∴第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为. 11．（26-27九年级上·浙江温州·课后作业）如图，在中，，为直径．求证． 【答案】证明：连接． ∵都是的直径， ∴，． 又∵ ， ∴， ∴， ∴． 【分析】因为都是的直径，所以，．结合对顶角相等的条件，证明和全等．由全等三角形对应角相等，得到内错角相等，根据平行线的判定定理即可证得． 【详解】略 12．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知，，经过 B，C两点，圆心O 在线段 上.    (1)在图中作出点O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求 的半径 【答案】(1) 如图，点O即为所作；    (2)5 【分析】本题主要考查三角形外接圆，圆的有关概念以及勾股定理和垂直平分线的作法 （1）作出的垂直平分线交于点O，则点O即为所作； （2）根据勾股定理求出的长，再求出，进一步得出，再由勾股定理得出即可. 【详解】（1）略 （2）在中，， ， ∴ 又 ∴ ∴， 由勾股定理得， 的半径为5. 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）（1）①倍圆问题；如图1，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的两倍的圆； ②均分问题：如图2，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹） （2）若的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ． 【答案】 （1）①如图 ②如图，以为半径作圆（或以为斜边作等腰直角三角形）． （2）， 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据倍圆和均分圆的性质可得所作圆的半径，再求周长即可． 【详解】解：（1）①作直径，过O作AB的垂线交圆与D，连接，以O为圆心，为半径画圆， ②略 （2）的半径为5， 原来圆的面积为， 倍圆问题中，所作圆面积为原来圆的2倍，设所作圆半径为， ，得， 所作倍圆的圆周长为， 均分问题中，所作圆面积为原来圆的倍，设所作圆半径为， ，得， 所作均分圆的圆周长为． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图1，当，时，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，取的中点H，点Q为线段上的一动点，连接，将沿翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 解：如图， 作于，连接，在上截取， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； (3) 【分析】（）作于，可得，解直角三角形即可求解； （）作于，连接，在上截取，可得，可推出四点共圆，得到，，进而可得，得到，又根据，可得，即可求证； （）由折叠可得，从而推出点在以为圆心，为半径圆上运动，进而得到当与相切时，最大，此时，作于，求得，根据，可得，得到，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图， 作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以为圆心，为半径圆上运动， ∴当与相切时，最大，此时， 作于，由()知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，同弧对的圆周角相等，折叠的性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段检测）【问题提出】 （1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值． 【答案】（1）2； （2），理由如下： ，， ，， ． ， ， ， ． （3）青石板小路的最小值为． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系即可求解； （2）由，，得到，，再根据相似三角形的判定与性质即可求解； （3）以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点，得到，求出，连接交于点，连接交于点，连接，则m，当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）依题意可知，当点在上时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：； （2）略 （3）m， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上 如图，以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点， ，， ， ， ， ， 为的直径，， ， ∴点在以为直径的圆上，记圆心为． 连接交于点，连接交于点，连接，则m， 当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合， ，， ， 在中，， ， 故青石板小路的最小值为． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． $