专题03 二次函数与方程、不等式重难点题型专训 2026-2027学年人教版数学九年级上册

专题03 二次函数与方程、不等式重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 2 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 3 题型四、抛物线与x轴的交点问题 5 题型五、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 6 题型六、求x轴与抛物线的截线长 8 题型七、图象法确定一元二次方程的近似根 9 题型八、图象法解一元二次不等式 10 题型九、利用不等式求自变量或函数值的范围 11 题型十、根据交点确定不等式的解集 12 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数与方程关系综合 13 题型二、二次函数与不等式关系综合 14 题型三、二次函数与线段交点范围问题 15 题型四、利用二次函数与不等式关系求参数范围 16 第三部分・自我检测 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 【即时训练】 1．（2025九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 2．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）抛物线经过点，对称轴为直线，则一元二次方程的解是______． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图是函数的图像．则方程的解是___________． 知识点02 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 【即时训练】 4．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 6．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 知识点03 二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 【即时训练】 7．（2026·全国·模拟预测）函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，当时，则x的取值范围是__________． 9．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 【基础题型一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（26-27九年级上·全国·周测）若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【变式1】（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 【基础题型二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2026·陕西咸阳·一模）已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)点P在抛物线上且不与点C重合，当时，求点P的坐标． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课堂例题）已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【基础题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·全国·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 【变式2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【基础题型四 抛物线与x轴的交点问题】 【例4】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）求证：不论k取何值，抛物线与x轴总有交点． 【变式1】（2026·山东青岛·中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【变式3】（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【基础题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 【变式1】（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【变式3】（2026·四川广元·二模）二次函数 的图象如图所示，对称轴是，下列结论：①；②关于x的方程 有两个不相等的实数根；③； ④正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【基础题型六 求x轴与抛物线的截线长】 【例6】（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【变式1】（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【基础题型七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例7】（26-27九年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象直接写出： （1）方程的近似根（结果保留小数点后一位）； （2）方程的实数根； （3）方程的近似根（结果保留小数点后一位）． 【变式1】（2025九年级上·河北保定·专题练习）根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值； (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解． 【基础题型八 图象法解一元二次不等式】 【例8】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【变式2】（24-25九年级上·天津·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求抛物线解析式； (2)该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______； (3)根据图象，当时，y的取值范围是_______． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 【基础题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例9】（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江温州·二模）已知抛物线过点． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)点，是抛物线上两点． ①当时，求的值． ②当时，求的取值范围． 【变式2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知二次函数． (1)将函数化成顶点式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)求出与轴、轴交点的坐标； (3)当时，的取值范围为__________； (4)当时，的取值范围为__________． 【基础题型十 根据交点确定不等式的解集】 【例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 【变式1】（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 【变式2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)当时，求函数y的取值范围 (3)设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标； (2)根据图象，写出满足不等式的解集：________； (3)当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 【提高题型一 二次函数与方程关系综合】 【例1】（2025·山东济宁·模拟预测）函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的个数是（     ） ①；②点，在函数图象上，当时，；③一元二次方程必有一个解是；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）（多选）抛物线（为常数，）经过，两点，则对于该抛物线的下列四个结论正确的是（     ） A． B． C．若该抛物线与直线有交点，则a的取值范围是 D．对于a的每一个确定值，如果一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个 【变式2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【提高题型二 二次函数与不等式关系综合】 【例2】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 解得， 得， 【变式1】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求h的取值范围． 【变式2】（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 【变式3】（2026·浙江温州·三模）已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 【提高题型三 二次函数与线段交点范围问题】 【例3】（25-26九年级下·河南郑州·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【变式1】（2026·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为． (1)若二次函数的图象过点． ①求该二次函数的表达式； ②当时，此二次函数的最大值为P，最小值为Q，求的值； (2)已知线段的两个端点坐标分别为，，当二次函数的图象与线段有两个交点时，求m的取值范围． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点．          (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，直接写出的取值范围； (3)当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（为常数）． (1)若该函数图象与轴只有一个公共点，求的值； (2)将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象． ①则新函数的表达式为__________，并证明新函数图象始终经过一个定点； ②已知点、，若新函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【提高题型四 利用二次函数与不等式关系求参数范围】 【例4】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【变式1】（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【变式2】（2026九年级下·浙江·专题练习）已知二次函数． (1)若该函数的图象过原点． ①求的值． ②点在该函数图象上，当时，，求的范围． (2)已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【变式3】（2025九年级·辽宁沈阳·学业考试）若函数的图象与一次函数的图象恰有两个不同的公共点，则实数的取值范围是________． 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 4．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 7．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 8．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 9．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 10．（25-26九年级下·山东滨州·期中）已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 11．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标，对称轴． (2)x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)x取何值时，；x取何值时，． 12．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 13．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 14．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 15．（2026·山东临沂·二模）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写<、=或>）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 答案解析 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 【即时训练】 1．（2025九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 2．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）抛物线经过点，对称轴为直线，则一元二次方程的解是______． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数的对称性求出已知点关于对称轴的对称点，结合二次函数与一元二次方程的关系，即可得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴由抛物线对称性可得：对称轴： ∴， 解得：， ∴点关于直线的对称点坐标为， 一元二次方程的解即为抛物线中，当时对应的的值. ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的两个交点坐标为，可推出函数与函数关于y轴对称，则函数与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的两个交点坐标为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的解是， 故答案为：． 知识点02 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 【即时训练】 4．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，；当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在之间，二次函数的函数值由负变正， ∴方程的一个解x的范围是， 故选：C． 知识点03 二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 【即时训练】 7．（2026·全国·模拟预测）函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向上，当时，有最小值， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为． 故选：D． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，当时，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与不等式的关系．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键． 先求出点关于对称轴对称的点为，再由函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴当时，则x的取值范围是， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与二次不等式，运用数形结合思想是解题关键． 将不等式转化为二次函数与一次函数之间的大小比较，并结合函数的图象确定解集． 【详解】解：不等式的解集可以看作一次函数的图象不低于二次函数的图象的时对应的自变量的取值， 结合图象可知，点以及点的左侧，点以及点的右侧，符合题意， ∴关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 【基础题型一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（26-27九年级上·全国·周测）若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【答案】和/和 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 【变式1】（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标 通过求解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，再计算两点之间的距离． 【详解】解：令，得方程， 因式分解得， 解得，， 即抛物线与x轴的交点为和， ∴弦长为：． 故答案为：． 【基础题型二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别计算抛物线与x轴、y轴的公共点个数，然后相加即可． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴有1个公共点； 令，得， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点， ∴公共点总个数为． 【变式1】（2026·陕西咸阳·一模）已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与轴恒有1个交点，要使总交点数为3，则抛物线与轴需要有2个不同交点，利用一元二次方程根的判别式求解范围，结合选项得出结果． 【详解】是抛物线， 二次项系数满足，即，排除选项； 当时，代入得， 抛物线与轴恒有个交点， 要使抛物线与坐标轴共三个交点，需抛物线与轴有2个不同交点； 即一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得； 综上可得a的范围是且； 结合选项可知，只有选项的4符合要求． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)点P在抛物线上且不与点C重合，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)P点坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，二次函数的图象性质，二次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得，故，，即线段的长为； （2）先求出，又因为点P为抛物线上一点，，则点P的纵坐标为5或，然后列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴令时，则， 解得，， ∴点A，B的坐标为， ∴线段的长为； （2）解：∵二次函数与y轴交于点C ∴当时，， ∴， ∵点P为抛物线上一点，， ∴点P的纵坐标为5或， 当时，，解得，， 当时，，解得，（舍去）， ∴P点坐标为或或 【变式3】（25-26九年级下·全国·课堂例题）已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【答案】(1)； (2)顶点坐标为，最小值 (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）分别令和即可求出答案； （2）把抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）根据P到x轴的距离为2得到解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为； 当时，，解得， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线开口向上， ∴函数有最小值． （3）∵P到x轴的距离为2， 即 或 解得或 【基础题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求的值． 【答案】(1) ，顶点坐标为 (2) 或 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，包括待定系数法求解析式、顶点坐标的求解，以及函数值的运算，解决本题的关键在于利用抛物线所过的已知点求出参数，再根据抛物线上点的坐标关系建立方程并求解． （1）将点代入抛物线方程，即可解得的值；再将解析式化为顶点式或直接利用顶点坐标公式，即可求出抛物线的顶点坐标． （2）将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到 ​和​关于的表达式，根据已知条件 列出关于的方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：， 解得， 将代入抛物线方程，得到． ∵， ∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：已知点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴． 因为点在抛物线上，且， 所以将代入抛物线方程可得：， 即整理得，则有， 则或， 解得或． 【变式1】（24-25九年级上·全国·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 【答案】(1)，在 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可． （1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上； （2）求解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：， ∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得： ， 解得：. 【变式2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 【基础题型四 抛物线与x轴的交点问题】 【例4】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）求证：不论k取何值，抛物线与x轴总有交点． 【答案】证明： ∵ 即： ∴不论k取何值，该抛物线与x轴总有交点 【分析】运用与x轴有两个不同的交点，与x轴有一个交点，结合题意列式计算即可． 【详解】略． 【变式1】（2026·山东青岛·中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 【变式3】（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点，据此可进行判断，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 【基础题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 【答案】(1) (2) (3) (4)C 【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，结合图象可得答案； （2）根据二次函数的图象得出当时，的值，再检验即可； （3）根据二次函数的图象经过点，结合对称性可得答案； （4）根据二次函数的图象与直线没有交点可得答案. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴方程的解是. （2）解：由图象可得：当时，， 则的解是. 检验：二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 当时， 解得：. （3）解：∵二次函数的图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∴方程的解是. （4）解：∵二次函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有实数根. 【变式1】（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 【变式3】（2026·四川广元·二模）二次函数 的图象如图所示，对称轴是，下列结论：①；②关于x的方程 有两个不相等的实数根；③； ④正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置，确定、、的符号及相关代数式的取值范围，再逐一判断四个结论的正误． 【详解】解：由抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， ， ， 由抛物线与轴交于正半轴， ， ， 故结论①正确． 由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， 故结论②正确． 当时，，此时函数取得最大值， 由图象可知，顶点在轴上方， ， 又， ， 故结论③错误． 当时，， 由图象可知，抛物线右侧与轴正半轴的交点在和之间， 当时，， 即， ， ， 故结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共个． 【基础题型六 求x轴与抛物线的截线长】 【例6】（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 【变式1】（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 【变式2】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1)，， (2)，对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 【基础题型七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例7】（26-27九年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象直接写出： （1）方程的近似根（结果保留小数点后一位）； （2）方程的实数根； （3）方程的近似根（结果保留小数点后一位）． 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据列表描点连线的方法作出函数图象，再根据二次函数图象和一元二次方程的关系求方程的近似根即可． 【详解】解：列表如下： 描点并连线画出函数的图象如图所示． （1）根据图象可知当时，， ∴方程的近似根为 （2）根据图象可知当时，， ∴方程的实数根为 （3）根据图象可知当时，， ∴方程的近似根为 【变式1】（2025九年级上·河北保定·专题练习）根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值； (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解． 【答案】(1)， (2) 如图， 当时，函数值 (3) 【分析】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值． （1）直接根据二次函数的性质求解即可； （2）用五点法画图，再根据图象作答即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：，； （2）解：列表， x 0 1 y 0 0 由图象可知，当时，函数值； （3）解：方程的解即为与的交点横坐标， 由图象可知，． 【基础题型八 图象法解一元二次不等式】 【例8】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 【变式2】（24-25九年级上·天津·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求抛物线解析式； (2)该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______； (3)根据图象，当时，y的取值范围是_______． 【答案】(1) (2)与y轴的交点坐标为，顶点坐标为 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）将点，代入即可求解； （2）将代入解析式即可求出与y轴的交点坐标，然后将二次函数的解析式华为顶点式即可求出顶点坐标； （3首先画出图象，直接由图象可得出y的取值范围． 【详解】（1）解：把点，代入得 ，解得 ， ∴； （2）解：当时， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为； ∵ ∴顶点坐标为； （3）解：如图所示， 当时，；当时，． ∴根据图象，当时，y的取值范围是． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 【答案】(1)； (2)①1；②且 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值； ②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 【基础题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例9】（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 【变式1】（2026·浙江温州·二模）已知抛物线过点． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)点，是抛物线上两点． ①当时，求的值． ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把点代入得，； （2）①当时，把点，代入得，故；②把点，代入得，，由得，，故，故． 【详解】（1）解：把点代入得， ，解得，， ； （2）解：①当时，把点，代入得， ， 化简得，，即， 解得，， ； ②把点，代入得， ， 化简得，，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质，得到对称轴，再利用抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大列不等式求解即可． 【详解】解：点，，在抛物线上， 抛物线对称轴为， 到对称轴的距离为1， 时，，且，抛物线开口向上， 当时， ，即， 或，解得或， 当时， ，即， 平方得，，整理得， 解得， 综上，时，． 【变式3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知二次函数． (1)将函数化成顶点式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)求出与轴、轴交点的坐标； (3)当时，的取值范围为__________； (4)当时，的取值范围为__________． 【答案】(1)顶点式为，函数开口向上；顶点坐标为；对称轴为； (2)和；； (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键； （1）先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）解方程求得抛物线与轴交点的横坐标，即可确定其与轴交点的坐标，求得横坐标为0时的点坐标即为抛物线与轴交点的坐标； （3）找出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围； （4）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． 【详解】（1）解： ∵ ∴函数开口向上；顶点坐标为；对称轴为； （2）解：令，则 ∴ 解得， ∴函数与轴的交点坐标为：和； 与轴的交点坐标为：； （3）解：∵函数开口向上， ∴当时，函数图象在轴下方， ∴的取值范围为：； 故答案为：； （4）解：∵函数开口向上；顶点坐标为；对称轴为； ∴当时，在对称轴两边， ∴当时，最小值为：；当时，最大值为：， ∴， 故答案为：． 【基础题型十 根据交点确定不等式的解集】 【例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 【答案】C 【分析】将抛物线解析式配方化为顶点式，结合二次函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：对抛物线解析式配方，得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 平移不改变二次项系数的符号与大小，该抛物线二次项系数为，与的二次项系数符号不同， 说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，与选项中不符， 说法错误，不符合题意； 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，． 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 说法正确，符合题意； 对称轴在范围内，且抛物线开口向下， 当时，取最大值，与选项中最大值为不符， 说法错误，不符合题意． 【变式1】（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式为 (2)或 【分析】（1）把、代入，求出抛物线表达式，再求出，用待定系数法求出直线表达式即可； （2）根据直线与抛物线交于、两点，得出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得：， ， ∵直线经过点 B， C， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于、两点， ∴不等式的解集是或2 【变式2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)当时，求函数y的取值范围 (3)设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）写出两点式即可得出结果； （2）根据增减性，进行求解即可； （3）直接根据图象法确定范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点和， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为； ∴； （3）解：由图象可知，时，或． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标； (2)根据图象，写出满足不等式的解集：________； (3)当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数与二次函数的不等式解集、二次函数在区间上的最值问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合对称轴求对称点坐标，通过函数图象分析不等式解集，以及根据二次函数的单调性求区间内的函数值范围． （1）用待定系数法，将点、代入二次函数解析式，求出、，得到二次函数解析式；再根据对称轴公式求出对称轴，利用点关于对称轴的对称性求出点的坐标； （2）观察函数图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的的取值范围，即为不等式的解集； （3）先求出二次函数的顶点坐标，判断在区间\[[1，4]\]上的单调性，再计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的对称轴为， 点与点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即 （2）解：由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象下方， 故不等式的解集为． 故答案为：． （3）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∴当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 【提高题型一 二次函数与方程关系综合】 【例1】（2025·山东济宁·模拟预测）函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的个数是（     ） ①；②点，在函数图象上，当时，；③一元二次方程必有一个解是；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的性质和与一元二次方程的关系逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线顶点坐标为，，与轴有交点， 抛物线开口向上，，对称轴为直线， 对称轴为直线， ， 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，，且，抛物线开口向上， ， ，故①错误； ②抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大， 当时，无法确定，到对称轴的距离大小， 无法比较与的大小，故②错误； ③抛物线与轴的交点为和， 一元二次方程的解为和，即必有一个解是，故③正确； ④当时，，且，抛物线开口向上， ， 又， ，故④正确； 综上，正确的结论有2个． 【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）（多选）抛物线（为常数，）经过，两点，则对于该抛物线的下列四个结论正确的是（     ） A． B． C．若该抛物线与直线有交点，则a的取值范围是 D．对于a的每一个确定值，如果一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出抛物线的表达式，再结合二次函数的性质逐一分析各个结论即可． 【详解】解：将，代入抛物线表达式得，得， 抛物线解析式可表示为． A选项，由，可得，正确； B选项，，，故，错误； C选项，当有交点时，令，即一元二次方程有实数根， 则， ，即， ，解得，正确； D选项，一元二次方程可化为，即， 则抛物线与直线（t为常数，）的交点横坐标为整数，如图， 当时，交点横坐标为0和4；当时，交点横坐标为1和3；当时，交点横坐标为2（根为2和2，重根）； ∴如果一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个正确． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对称轴公式判断，利用抛物线的对称性及与轴交点位置判断②，根据时的函数值判断③，利用对称性判断④即可． 【详解】解： 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 方程一定有一个根在和之间，故②错误； 抛物线开口向下，与轴的右侧交点在和之间， 当时，， 即，故③错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴交点的纵坐标是2，即过点， 点关于直线的对称点为， 当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 【提高题型二 二次函数与不等式关系综合】 【例2】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的对称轴为直线；② (2)或． 【分析】（1）①将代入解析式后，直接用对称轴公式或配方法即可求解对称轴．②因为抛物线关于对称轴对称，所以如果两点横坐标之和确定，可计算两点到对称轴的距离，再结合抛物线开口方向，对称性和增减性就能比较两点纵坐标的大小． （2）先计算的长度，再根据三角形面积公式得到与的关系，因为，所以先求出该区间内的最大值，结合的条件，即可建立关于的不等式求解． 【详解】（1）解：① 当时，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线． ② 由，可得， 即连接两点的线段的中点横坐标为2.5，在对称轴的右侧． ∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且， ∴， 设点的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：令， 因式分解得， ∵， ∴解得， ∴． ∴三角形面积， ∵对任意都有， 即当时，抛物线上所有点M的纵坐标满足． ∵抛物线的对称轴同样为直线， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，S有最大值， 若，， 解得， 结合，得； 若，， 得， 解得， 结合， 得． 综上，或． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求h的取值范围． 【答案】(1) 直线 (2) 或 【分析】（1）先将抛物线一般式配方为顶点式，因为抛物线顶点式可直接得到对称轴表达式，所以代入即可计算对称轴． （2）首先明确时抛物线开口向下，所以抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．问题转化为：取值范围内的所有点到对称轴的距离，都小于等于取值范围内的所有点到对称轴的距离，由此建立关于h的不等式组求解． 【详解】（1）解： ， 对称轴为直线． 当时，对称轴为． （2）解：，抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大． 对任意，，都有， 将 代入顶点式得：， ， ， 要对所有范围内的 都满足这个不等式，只需要让范围内 的最大值小于等于 范围内 的最小值即可． 是开口向上的二次函数，范围内的最大值一定出现在端点处： 端点 处：， 端点 处：， 当 时，，最大值为 ； 当 时，，最大值为 ； 的范围是，令，则的范围是，开口向上，对称轴为； 当 时，，全为正，最小值在左端点，为 ； 当 时，，在范围内，最小值为； 当 时，，全为负，最小值在右端点，为； 情况1：当时，，展开整理得：，恒成立， 因此所有 都满足条件． 情况2：当 时，，展开整理得：， 解得 或 ，结合当前范围得． 情况3：当时，正数（ 的平方最大值），不可能成立，无解． 情况4：当时，，展开整理得：，解得 或 ，结合当前范围得 ． 综上所述 的取值范围是：或． 【变式2】（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 的取值范围是且． 【分析】（）先将点横坐标代入抛物线解析式，化简求出用表示的式子；再把含的点坐标代入直线解析式，通过移项、整理等式，推导出与的关系式； （），先分别把横坐标代入抛物线、直线解析式，得到；根据时列出不等式并整理因式分解；结合时的条件，将问题转化为在此区间恒成立，再分和两种情况讨论，利用一次函数单调性求出的取值范围，最后综合得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ， ∵点在直线上， 再将代入直线方程， ∴， 整理得； （2）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线解析式为， ∵是抛物线上的点， ∴， ∵是直线上的点， ∴， ∵， ∴， 整理得， 当时，，要使，则必须恒成立， 即， 分两种情况讨论： 当时：， ∴，不等式恒成立，满足条件， 当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小， 当时，最大， 即， 解得， ∴， 综上，的取值范围是且． 【变式3】（2026·浙江温州·三模）已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)k的取值范围为 【分析】（1）①由题意易得，然后问题可求解；②由题意易得，则有，即，然后可得，，进而作差进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点坐标为，代入一次函数可得，则有，然后可得，令，则有，进而根据题意可分当时，当时，当时，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：①由对称轴是直线可知：， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 由①可知：二次函数的表达式为，且，两点在该函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：由可知：顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在一次函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， 令，则有， ∴此函数的对称轴为直线， ∵当时，都有，即当时，都有， ∴当时，都有， 则可分：①当时，则需满足时，，即即可， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； ②当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴； ③当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； 综上所述：k的取值范围为． 【提高题型三 二次函数与线段交点范围问题】 【例3】（25-26九年级下·河南郑州·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 【变式1】（2026·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为． (1)若二次函数的图象过点． ①求该二次函数的表达式； ②当时，此二次函数的最大值为P，最小值为Q，求的值； (2)已知线段的两个端点坐标分别为，，当二次函数的图象与线段有两个交点时，求m的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）把点代入代入求解即可； ②把化为顶点式，利用二次函数的性质求出最大值为P，最小值为Q，然后相减即可； （2）令，求出，，进而可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：①把点代入， 得， ， 二次函数的表达式是； ②且， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线，离对称轴越远，函数值越小， 当时，的最大值是4，即， ∵， ∴当时，的最小值是0，即， ； （2）解：令，得， ， ， 解得，， 二次函数的图象与线段有两个交点， ． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点．          (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，直接写出的取值范围； (3)当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，理由如下： ， 当时， ，直线恒过C点2， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设抛物线和直线交点，， 联立抛物线和直线解析式得，整理，得： ， ， ， 假设存在点，使得总是平分，则一定在下方，过点作，过点作， 平分， ， ， ， 设，则：， ， ， ， ， 整理得： ， ， ， 当时，等式一定成立， 抛物线的对称轴上存在，使得总是平分. 【分析】（1）用配方法把一般式转化为顶点式，求解即可； （2）先求出的坐标，联立抛物线和直线的解析式，结合根的判别式求解即可； （3）利用角平分线得到的两个等角的正切值相等，构建方程，联立抛物线和直线的解析式，结合根与系数的关系求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，则：， 令，则，令，则， ，， ， 顶点在直线上移动， 与线段有公共点， 联立，整理，得： ， ，即：， ， 此时抛物线为 与直线的交点横坐标为，此时交点在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， 当过点时， ， 解得：或， 当时，抛物线与线段有公共点； （3）略 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（为常数）． (1)若该函数图象与轴只有一个公共点，求的值； (2)将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象． ①则新函数的表达式为__________，并证明新函数图象始终经过一个定点； ②已知点、，若新函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①； 证明：， 令含项的系数为，即， 解得，， 当时，，该点与的取值无关， 新函数图象始终经过定点； ②的取值范围为或或 【分析】（1）根据题意，得到方程，再令，即可求解； （2）①根据翻折后的抛物线的解析式的顶点不变，开口相反，可得新函数的表达式；令含项的系数为，即当时，，即可证明过定点；②先得出线段所在直线的解析式，再联立得出方程，根据新函数图象与线段只有一个公共点，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 当时，即， 解得，， 即函数图象与轴只有一个公共点时，的值为． （2）解：①， 顶点坐标为， 将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象的顶点坐标不变，开口相反， 新函数的表达式为； 证明略； ②设线段所在直线的解析式为， 将，分别代入解析式得，， 解得，， 线段所在直线的解析式为，（）， 根据题意联立得， ， 整理得，， ， 解得，，， 当时，即，此时只有一个交点，满足题意； 新函数图象与线段（）只有一个公共点，即交点为， 或， 解得，或； 综上，的取值范围为或或． 【提高题型四 利用二次函数与不等式关系求参数范围】 【例4】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先求出顶点坐标，代入一次函数得到，再根据，可得，设，最后根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵顶点在的图象上， ∴将代入得，整理得， ∵当时，都有，即， 将代入上式，化简得， 设， ∵该二次函数的二次项系数为，抛物线开口向上， ∴要使时恒成立，只需区间端点处的函数值， 当时，，整理得，解得， 当时，，整理得，解得， 取两个解集的交集，得． 【变式1】（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 【变式2】（2026九年级下·浙江·专题练习）已知二次函数． (1)若该函数的图象过原点． ①求的值． ②点在该函数图象上，当时，，求的范围． (2)已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2)的值为或． 【分析】（1）①直接将代入函数解析式计算即可； ②求出函数解析式，进而求出函数与x轴交点横坐标，根据二次函数的性质作答即可； （2）先求出二次函数对称轴，进而得到对称轴的取值范围，分两种情况根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：①∵该函数的图象过原点， ∴， 解得：； ②∵， ∴， 当时， 解得：， ∵， ∴函数开口方向向下， ∵点在该函数图象上，当时，， ∴或， ∴或； （2）解：二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 当即时， ∵， ∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大， 可知当时，最大值， 当时，最小值， ∵函数最大值与最小值的差为， ∴， 解得：； 当即时， ∵， ∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大， 可知当时，最大值， 当时，最小值， ∵函数最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为或． 【变式3】（2025九年级·辽宁沈阳·学业考试）若函数的图象与一次函数的图象恰有两个不同的公共点，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的判别式等知识，解题的关键理解题意，学会寻找特殊位置解决问题． 画出两个函数的图象，然后结合图象得到k的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象与函数的图象如图， 令， 整理得， 当直线与函数有一个交点时， 则， 解得， 同理，当直线与函数有一个交点时， 则， 解得， 观察图象可知，满足条件的k的值为：或． 故答案为：或． 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 2．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， 对称轴在 轴右侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， 抛物线与轴有两个不同的交点， 一元二次方程 有两个不相等的实数根， 综上所述，，，． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 【答案】C 【分析】将抛物线解析式配方化为顶点式，结合二次函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：对抛物线解析式配方，得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 平移不改变二次项系数的符号与大小，该抛物线二次项系数为，与的二次项系数符号不同， 说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，与选项中不符， 说法错误，不符合题意； 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，． 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 说法正确，符合题意； 对称轴在范围内，且抛物线开口向下， 当时，取最大值，与选项中最大值为不符， 说法错误，不符合题意． 4．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质及坐标特点，先求对称轴直线，直线，列方程求出，代入原抛物线关系式，根据抛物线与轴有两个公共点及抛物线与轴的交点在轴的上方列不等式，，求出，最后根据抛物线的递增情况求的取值范围． 【详解】 解：∵、， ∴抛物线对称轴是直线， ∵抛物线对称轴是直线， ， ∴抛物线， ∵抛物线与轴有两个公共点， ， ， ， 则或， 解得，或， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ， ， 则， 把代入， 得， ，且对称轴是直线， 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小， ，且， ， 则当时，， 当时，， ． 5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】确定翻折后图象的分段解析式，求出直线经过图象与轴交点及与翻折部分相切时的值，结合图象判断交点个数． 【详解】解：令， 解得 ， 当时，图象的解析式为：， 当或时，图象的解析式为：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线与相切时，联立得：， ， 解得：， 结合图象可知：当时，直线与图象共2个交点，当时，直线与图象共2个交点， 综上所述，的取值范围是或． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的解即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是． 则， 解得， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的解为． 观察图象可知，当时，x的取值范围是． 7．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，则只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则： 解得或， ∴， ∵，轴， ∴ ∴当时，自变量的取值范围是． 8．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数和二次函数的性质，结合函数图象，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，故①正确； ②∵当时，一次函数图象在二次函数图象的上面， ∴当时，，故②正确； ③根据函数图象可得：抛物线与x轴的两个交点都在的右侧， ∴把代入得， ∴不在二次函数图象上， ∴方程的一个解一定不是，故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点为，另外一个交点在的右侧，且， ∴抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴当时，函数值随着的增大而减小，故④正确； 综上，正确的是①②④． 9．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 10．（25-26九年级下·山东滨州·期中）已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 【答案】4 【分析】①由二次函数图像性质知，开口向下，则．再结合对称轴，有，即，则．据二次函数图像与轴正半轴相交得；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当时，，即可判断；③，得，当时，，即，所以，把替换成计算；④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；⑤当时，有，此时有，当时，有，此时有，则有，即可判断． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交于轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间， ∴当时，， 即，故②正确； ∵根据图像可知，当时，， 即， ∴， ∴结合，有， ∴，故③正确； ∵时，有，且此时y值达到最大， 又∵时，有， ∴， ∴成立，故④正确． 根据有四个根， 可得和各有两个根， 当时，有，此时有， 当时，有，此时有， 则有， ∵， ∴，即：的四个根和为4，故⑤错误． 综上：①②③④正确，共4个． 11．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标，对称轴． (2)x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)x取何值时，；x取何值时，． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，随的增大而减小 (3)当时，；当或时， 【分析】（1）将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴； （2）由对称轴为直线，抛物线开口向下，结合图象，确定函数的增减性； （3）可以令，解一元二次方程得出x值，再根据抛物线的开口方向，确定x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小； （3）解：令，则， 解得：， ∵抛物线开口向下， ∴当时，；当或时，． 12．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 13．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 14．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 15．（2026·山东临沂·二模）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写<、=或>）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)=；>；< (2) (3)b的值为或 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由的最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 是由向下平移1个单位得到，且与x轴交点的坐标分别为，，， ，且， ，，； （2）解：，， ， 由（1）可知：， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得或（不符合题意，舍去）， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $