29.1.2过三点的圆（第1课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“过三点的圆”，核心内容包括过不在同一直线上的三点作圆的尺规作图，三角形外接圆及外心概念。课堂通过复习引入，以“一个点、两个点到三个点作圆”的递进探究构建知识支架，帮助学生理解确定圆的条件。 导学案以探究为主线，通过“思考-分析-探究-结论”培养几何直观与空间观念（数学眼光），结合中考题辨析作图依据锻炼推理能力（数学思维），多样练习与分层作业助力用数学语言表达应用，提升学习效率与学科素养。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.2过三点的圆（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆。 2.了解三角形的外心和外接圆的概念。 学习重点： 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆。 学习难点： 理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢? 分析 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小，对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题. 探究 (1)经过一个点A能不能作圆?这样的圆能作出多少个? 结论：经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个. 探究(2)经过两个点A，B能不能作圆?如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点? 结论：经过两个点A，B作圆，由于所作圆的圆心到A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个. 探究(3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆?如果能，如何确定所作圆的圆心? 分析 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C作圆，因为所作的圆要经过A，B，C三点，其圆心应 满足到这三个点的距离都相等，所以所作圆的圆心既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，显然所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点. 尺规作图 1.分别作线段AB和BC的垂直平分线l₁，l₂.设l₁，l₂相交于点O，则OA=OB=OC. 2.以点O为圆心，OA为半径，作出⊙O. ⊙O就是经过A，B，C三点的圆. 结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练(2023江西) 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（  D  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 中考演练(2023内蒙古通辽) 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°． 求作：Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求作的圆． 下列不属于该尺规作图依据的是（ D   ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 （四）巩固练习 1. 如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=55°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是（  C   ） A．100∘ B．90∘ C．110∘ D．70∘ 2. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在∠ACB的平分线上；②直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分；③∠BAC=∠ABC；④点P是△ABC的外心；⑤点P是△ABC的重心．其中正确的有（  C   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第1题图 第2题图 第3题图 3. 如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 △ADC、△BDC、△ABD_． 4. 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心? 操作方法： （1）将该工具在圆形工件上摆放一次，画出直线CD； （2）变换工具在圆上的位置，再次摆放工具，画出直线EF； （3）直线CD和直线EF的交点即为圆形工件的圆心. 5. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. 解：1.分别作边 AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于一点O， 2.以O为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为△ABC的外接圆. 连接AO并延长，交BC于点D，连接OB. 则AD⊥BC，BD=CD=1. 在Rt△ABD中，AB=2，BD=1， 由勾股定理得：AD=. 设OA=OB=x，则OD=−x， 在Rt△OBD中，由勾股定理得： (−x)2+12=x2，解得：x=， ∴△ABC的外接圆的半径为. （五）当堂检测 1.根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是（  A ） A． B． C． D． 2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（  C  ） A．点D B．点E C．点F D．点G 3.如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3= 90° ． 分析 由题意，OA=OB=OC， ∴∠1=∠OCA，∠2=∠OBC，∠3=∠OAB， ∴∠AOC=180°−2∠1，∠BOC=180°−2∠2，∠AOB=180°−2∠3， ∵∠AOC+∠BOC+∠AOB=360°， ∴180°−2∠1+180°−2∠2+180°−2∠3=360°， ∴2∠1+2∠2+2∠3=180°，则∠1+∠2+∠3=90°． 4.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC边上的中线AD=12． (1)请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△ABC的外接圆的半径． 解：（1）如图所示，⊙O即为所求； （2）如图，连接OB， ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°， ∴BD===5， 设OA=OB=x，则OD=12−x， 在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2， ∴(12−x)2+52=x2，解得：x=， 即△ABC的外接圆的半径为． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.1：第6题. B组题：习题29.1：第9题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.2过三点的圆（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆。 2.了解三角形的外心和外接圆的概念。 学习重点： 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆。 学习难点： 理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢? 分析 作圆的关键是确定 和 ，对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为 的问题. 探究 (1)经过一个点A能不能作圆?这样的圆能作出多少个? 结论： . 探究(2)经过两个点A，B能不能作圆?如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点? 结论： . 探究(3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆?如果能，如何确定所作圆的圆心? 分析 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C作圆，因为所作的圆要经过A，B，C三点，其圆心应 满足 ，所以所作圆的圆心既要在 上，又要在 上，显然所作圆的圆心就是 . 尺规作图 结论： . 三角形的外接圆 经过三角形的 可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练(2023江西) 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 中考演练(2023内蒙古通辽) 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°． 求作：Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求作的圆． 下列不属于该尺规作图依据的是（     ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 （四）巩固练习 1. 如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=55°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是（    ） A．100∘ B．90∘ C．110∘ D．70∘ 2. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在∠ACB的平分线上；②直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分；③∠BAC=∠ABC；④点P是△ABC的外心；⑤点P是△ABC的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第1题图 第2题图 第3题图 3. 如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 4. 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心? 操作方法： 5. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. （五）当堂检测 1.根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是（   ） A． B． C． D． 2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 3.如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3= ． 学习笔记 4.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC边上的中线AD=12． (1)请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△ABC的外接圆的半径． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.1：第6题. B组题：习题29.1：第9题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $