2027年高考数学一模考“百分大战”夯实基础卷（浙江专用02）

2027年高考数学一模考“百分大战”夯实基础卷 （浙江专用02） 高三数学 （考试时间：80分钟，分值：108分） 注意事项： 1．本卷共计100分左右，基本均是各个模块的基础和中档，可供限定时间基础查漏补缺，夯实透彻！ 第一部分（选择题 共42分） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B．1 C． D． 3．已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（　　） A． B．2 C．2 D．3 4．已知，则下列条件中使成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 5．若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 8．设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点．若，则（　　） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 第二部分（非选择题 共66分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9．展开式中的常数项是___________． 10．已知平面向量，，，满足，，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共4小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11．（13分）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前项和． 12．（13分）如图，在三棱台中，平面平面，．    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 13．（15分）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； (2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 14．（15分）已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一模考“百分大战”夯实基础卷 （浙江专用02） 高三数学 （考试时间：80分钟，分值：108分） 注意事项： 1．本卷共计100分左右，基本均是各个模块的基础和中档，可供限定时间基础查漏补缺，夯实透彻！ 第一部分（选择题 共42分） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有个子集可得中元素仅有个，从而得，即可求得的范围. 【详解】解：有个子集， 中的元素个数为个， ， ，即， 或，即实数的取值范围为， 故选：D. 2．若复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】将表达式变形，结合复数的除法运算及复数模的定义即可求解. 【详解】将表达式化简可得， 由复数除法运算化简可得， 则， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义及求法，属于基础题.. 3．已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题可得，即，再根据求解即可． 【详解】为等边三角形，为的中点， ，则， ， ． 故选：C． 4．已知，则下列条件中使成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一分析各选项条件和能否互推即可求解. 【详解】对于A，当时，满足，但不满足， 所以不是的充要条件，故A错误； 对于B，当时，满足，但不满足， 所以不是的充要条件，故B错误； 对于C，当时，指数函数为增函数，若，则， 当时，指数函数为减函数，若，则， 所以（且）不是的充要条件，故C错误； 对于D，若，则，即， 反之，若，则，则，所以， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D 5．若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案. 【详解】依题意，是定义在R上的奇函数，， A选项，对于函数， ，所以函数不是奇函数. B选项，对于函数， ，所以函数不是奇函数. C选项，对于函数， ，所以函数是奇函数. D选项，对于函数， ，所以函数不是奇函数. 故选：C 6．若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】分析可知函数关于直线对称，分和两种情况，结合函数的对称性分析求解即可. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称， 可知函数关于直线对称， 若，则函数关于直线对称，符合题意； 若，设， 则函数的对称轴所对应的值（）必为函数的对称轴， 又因为函数的对称轴为轴， 则，解得； 综上所述：或. 结合选项可知：A正确，BCD错误. 故选：A. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解． 【详解】因为随机变量， 则正态分布曲线关于对称， 因为， 则由正态分布曲线的对称性可得：，即，故A正确； 又， 由于，所以，故B不正确，C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 8．设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点．若，则（　　） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 【答案】BCD 【分析】对于A,利用几何关系求出焦点和准线之间的距离即可；对于B，利用几何关系求出直线的倾斜角即可；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且 故, 所以是等边三角形，所以， 设准线与轴交于点,则， 故故A错误； 对于B，因为,平行于轴， 故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为； 当点位于第四象限时，直线的倾斜角为； 所以直线的斜率是，故B正确； 对于C，因为直线的斜率是，且抛物线， 故直线的方程为：， 联立方程得：，即 设则， 故，故C正确； 对于D,由A知， ， 故 故 ,故D正确. 故选: BCD 第二部分（非选择题 共66分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 9．展开式中的常数项是___________． 【答案】 【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案. 【详解】由二项式的展开式的通项公式为， 所以， 所以当时有常数项，当时有常数项， 所以所求展开式的常数项为. 故答案为：. 10．已知平面向量，，，满足，，，则的最大值为______． 【答案】3 【解析】，，，根据，可得，从而可得点在以为直径的圆上，由即可求解. 【详解】，，， 则，， 故在以为圆心，半径为2的圆上，又， 即， 故点在以为直径的圆上， 则. 故答案为：3 四、解答题：本题共4小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11．（13分）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：由，得， 即，得， 所以数列为等差数列． (2) 【分析】（1）将变形化简后结合等差数列定义即可得； （2）利用裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）略 （2）设数列的公差为，则， 得，故， 故， 则 ， 故. 12．（13分）如图，在三棱台中，平面平面，．    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 取的中点，连接， 因为，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则． 因为，所以四边形是菱形，， 而平面，因此平面， 因为平面，所以． (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质可得平面，进而可证，结合，可证平面，可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量法可求得平面和夹角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）取中点，则， 由平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，所以， 则两两垂直，依题可建立如图所示空间直角坐标系． 在平面内作于，连接．    因为平面平面，所以平面． 在梯形中，由题意，． 在中，． 在中，， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则， 取，得． 设平面的法向量， 则， 取，得， 所以， 因此平面和夹角的余弦值是． 13．（15分）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； (2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）利用二项分布的概率和期望公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）法一：由题意得的可能取值为． ，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 因此． 法二：由题意得的可能取值为． 又，故（）． 因此． （2）设事件“次之内（含次）停止摸球”， 事件“第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“首次选择甲袋是第次摸球”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则 ． ． ． 因此． 14．（15分）已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)，且. 【分析】（1）根据椭圆上两点代入方程求解的值即可得椭圆方程； （2）设，线段的中点，分别讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时确定直线的方程与直线联立得横坐标与的关系，结合函数得的取值范围，结合圆的定义从而得的轨迹方程. 【详解】（1）由题意解得，所以椭圆的标准方程为； （2）设，线段的中点，则，， ①当时，的中垂线为轴，过点向中垂线作垂线，垂足为点，此时AM重合，不合题意； ②当时，直线的斜率，则， 所以，将代入椭圆方程得， 所以，从而或， 线段的中垂线方程为，即． 故线段的中垂线过定点 故垂足轨迹是在以为圆心，半径为的圆弧，其方程为 过点与垂直的直线为， 联立方程组消去得，因为， 所以，综上， 所以垂足轨迹方程是，且． 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $