第3章 二次根式 单元测试试卷 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

二次根式单元测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．有下列各式：，，（a≥0），，，其中一定是二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.若有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＝2 C．x≥0 D．x≥2 3.下列二次根式能与合并的是（　　） A． B． C． D． 4.计算的结果是（　　） A． B．1 C． D．3 5.下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6.如图，数轴上点A表示的数为a，化简的值是（　　） A．2a﹣5 B．2a C．5 D．﹣2a 7.如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD的面积是27，， 图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 8.估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 9.若实数x满足，化简|2﹣x|+|3﹣x|的结果是（　　） A．5﹣2x B．2x﹣5 C．1 D．﹣1 10.已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简为（　　） A．3a B．2b﹣a C．a+2b D．a﹣2b 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．代数式有意义，则x的取值范围是　 ． 12.若与最简二次根式可以合并，则m＝　 ． 13.已知b＞0，化简　 　． 14.计算：＝ 　． 15.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 　． 16.若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是　 　． 17.若最简二次根式可以合并，则使有意义的x的取值范围是 　． 18.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 　． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）下列式子是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 20．（6分）已知x，y为实数，且． （1）确定x、y的值； （2）求代数式（2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y）的值． 21．（8分）计算： （1）； （2）． （3）． 22．（8分）如果最简二次根式与是同类二次根式． （1）求出a的值； （2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|． 23．（9分）A市为做好城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众 获得感、幸福感、对市内绿地进行改建．如图，我市某公园有一块长方形绿地ABCD，AB的长为 的长为，绿地内有一块长方形花坛（图中阴影部分），长为，宽为． （1）求长方形ABCD的周长； （2）除花坛外的绿地（图中空白部分）另作他用，需要40元/m2的定期维护费，求定期维护的总费用． 24．（9分）.阅读下面问题： ； ； . （1）求的值； （2）计算：. 25．（10分）我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出了著名的秦九韶公式，它与海伦公式实质相同，因此我们 也称其为海伦﹣秦九韶公式． 海伦﹣秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 如图，在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4． （1）p＝　　 ． （2）求△ABC的面积． （3）学习了勾股定理，尝试用其它方法求△ABC的面积． 26．（10分）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的 东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找 到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使 得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次根式单元测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．有下列各式：，，（a≥0），，，其中一定是二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：，被开方数是﹣7＜0，不是二次根式；，被开方数10＞0，是二次根式； （a≥0），根指数是3，不是二次根式；，x2+3＞0，是二次根式； ，当m+2＜0时不是二次根式；所以一定是二次根式的有2个.故选：B． 2.若有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＝2 C．x≥0 D．x≥2 解：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数可知：x﹣2≥0，解得x≥2， ∴x的取值范围是x≥2．故选：D． 3.下列二次根式能与合并的是（　　） A． B． C． D． 解：的被开方数是3， A、的被开方数是6，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意． B、2，它的被开方数是2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意． C、的被开方数是10，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意．， D、2，的被开方数是3，与的被开方数相同，是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意． 故选：D． 4.计算的结果是（　　） A． B．1 C． D．3 解：原式==＝3﹣2＝1，故选：B． 5.下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意．故选：B． 6.如图，数轴上点A表示的数为a，化简的值是（　　） A．2a﹣5 B．2a C．5 D．﹣2a 解：由数轴可知，0＜a＜5，∴a﹣5＜0， ∴.故选：C． 7.如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD的面积是27，， 图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 解：小正方形边长为： ， ∴这个小正方形的周长为：4．故选：D． 8.估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B． 9.若实数x满足，化简|2﹣x|+|3﹣x|的结果是（　　） A．5﹣2x B．2x﹣5 C．1 D．﹣1 解：∵，∴|x﹣2|＝2﹣x， 由绝对值的性质可得x﹣2≤0，即x≤2， ∵x≤2，∴2﹣x≥0，3﹣x＞0， ∴|2﹣x|＝2﹣x，|3﹣x|＝3﹣x， ∴|2﹣x|+|3﹣x|＝（2﹣x）+（3﹣x）＝5﹣2x． 故选：A． 10.已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简为（　　） A．3a B．2b﹣a C．a+2b D．a﹣2b 解：由数轴得b＜0，a＞0，|a|＜|b|， ∴b﹣a＜0，a+b＜0， ∴ ＝a+|b﹣a|﹣|a+b| ＝a+a﹣b﹣（﹣a﹣b） ＝a+a﹣b+a+b ＝3a.故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．代数式有意义，则x的取值范围是　 ． 解：若代数式有意义，则，解得.故答案为：． 12.若与最简二次根式可以合并，则m＝　 ． 解：∵，且与最简二次根式可以合并，∴m+1＝3，∴m＝2. 故答案为：2． 13.已知b＞0，化简　 　． 解：∵b＞0，∴原式＝3b．故答案为：3b． 14.计算：＝ 　． 解：原式＝＝4﹣2＝2.故答案为：2. 15.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 　． 解：根据实数a、b在数轴上的位置可知，b＜0＜a，∴b﹣a＜0， 则． 故答案为：0． 16.若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是　 　． 解：∵1＜＜2，∴1＜3﹣＜2， ∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣， ∴（2+a）•b＝（2+）（2﹣）＝2．故答案为：2. 17.若最简二次根式可以合并，则使有意义的x的取值范围是 　． 解：∵最简二次根式可以合并，∴2a+3＝23﹣2a，∴4a＝20，∴a＝5， 由题意得：4a﹣2x≥0，∴20﹣2x≥0，∴x≤10.故答案为：x≤10． 18.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 　． 解：由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0， ∴ .故答案为：2． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）下列式子是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解：（1）不是最简二次根式，原式； （2）是最简二次根式； （3）不是最简二次根式，原式＝4； （4）是最简二次根式； （5）不是最简二次根式，原式＝12； （6）不是最简二次根式，原式． 20．（6分）已知x，y为实数，且． （1）确定x、y的值； （2）求代数式（2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y）的值． 解：（1）由题可知，x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1， 把x＝1代入， 解得y＝﹣2，∴x＝1，y＝﹣2； （2）（2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y） ＝2x2+2xy﹣xy﹣y2﹣x2+y2 ＝x2+xy， 将x＝1，y＝﹣2代入得，原式＝12+1×（﹣2）＝﹣1． 21．（8分）计算： （1）； （2）． （3）． 解：（1）. （2）＝4﹣5+4﹣4+2＝5﹣4． （3）． 22．（8分）如果最简二次根式与是同类二次根式． （1）求出a的值； （2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|． 解：（1）由题意可知：4a﹣5＝13﹣2a，解得a＝3. （2）∵a＝3， ∴3≤x≤6 ∴x﹣2≥1，x﹣6≤0 原式＝|x﹣2|+|x﹣6| ＝x﹣2﹣（x﹣6） ＝4. 23．（9分）A市为做好城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众 获得感、幸福感、对市内绿地进行改建．如图，我市某公园有一块长方形绿地ABCD，AB的长为 的长为，绿地内有一块长方形花坛（图中阴影部分），长为，宽为． （1）求长方形ABCD的周长； （2）除花坛外的绿地（图中空白部分）另作他用，需要40元/m2的定期维护费，求定期维护的总费用． 解：（1）长方形ABCD的周长为2（AB+BC） ， 答：长方形ABCD的周长为． （2） ＝78﹣（32﹣4） ＝50（m2）， 40×50＝2000（元）. 答：定期维护的总费用为2000元． 24．（9分）.阅读下面问题： ； ； . （1）求的值； （2）计算：. 解：（1）原式＝. （2）原式＝． 25．（10分）我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出了著名的秦九韶公式，它与海伦公式实质相同，因此我们 也称其为海伦﹣秦九韶公式． 海伦﹣秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 如图，在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4． （1）p＝　　 ． （2）求△ABC的面积． （3）学习了勾股定理，尝试用其它方法求△ABC的面积． 解：（1）由条件可知：； 故答案为：； （2） ； （3）过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图所示： 设CD＝x， 在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣x2＝32﹣x2＝9﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝AB2﹣（BC+x）2＝42﹣（2+x）2＝16﹣4﹣4x﹣x2， ∴9﹣x2＝16﹣4﹣4x﹣x2， ∴， ∴， ∴． 26．（10分）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的 东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找 到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使 得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 解：（1）； （2）； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∵a，x，y为正整数， ∴或， 当时，a＝x2+3y2＝12+3×52＝76， 当时，a＝x2+3y2＝52+3×12＝28， 综上：a的值为：76或28． 1 学科网（北京）股份有限公司 $