精品解析：湖南省多校联考2025-2026学年高一上学期12月阶段考试数学试题

湖南高一年级12月阶段考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当取得最小值时，（ ） A. B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式计算可得结果. 【详解】，当且仅当，即时，等号成立， 则当取得最小值时，． 故选：A. 2. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得，再求并集即可. 【详解】， 所以不等式的解集为，即， 又，所以． 故选：B 3. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】选项A：函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 令，则由， 可知函数为奇函数，A不正确， 选项B：由，所以函数的定义域为， 由该函数的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，B不正确， 选项C：函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 令， 则由， 所以函数为偶函数，C正确， 选项D：函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 令，则由 ， 所以函数为奇函数，D不正确， 故选：C. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的取值范围可求解出的定义域，再根据的取值范围可求解出的定义域. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 由，得，所以的定义域为． 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性及单调性，利用排除法求解. 【详解】因为， 所以函数图象关于直线对称，排除BD； 当时，，令，则为增函数，为减函数， 根据复合函数的单调性可知，当时，单调递减，故排除C. 故选：A 6. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再通过判断两个解集之间的包含关系，确定条件类型. 【详解】由，得， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：C. 7. 如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 8. 人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，是关于的一次函数，若满足时恒成立，则有，，进而可求得的取值范围. 【详解】由题意得，是关于的一次函数， 且有时恒成立，则有，解得， 取交集得，因此输入特征值的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 等价于 B. “”的否定是“” C. 命题“偶函数的图象关于y轴对称”是真命题 D. 若是幂函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据根式不等式、特称命题的否定、偶函数的性质、幂函数的性质与指对幂运算逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，等价于，故A错误； 对于B，“”的否定是“，故B正确； 对于C，命题“偶函数的图象关于y轴对称”是真命题，故C正确； 对于D，因为f（x）＝是幂函数，所以，得，则，D正确． 故选：BCD. 10. 已知函数，则的零点所在区间可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据零点存在定理分别判断各选项. 【详解】由已知， 则， ， 则，即函数在区间内不一定有零点，A选项错误； ， 则，即函数在区间内一定有零点，B选项正确； 又 ， 则，即函数在区间内一定有零点， 即函数在内一定有零点，C选项正确； ， ， 则，即函数在区间内一定有零点，D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知函数满足，，且，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 函数的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得，再令以及可得A错误，B正确；结合可求得，利用判别式法可求得其值域，可判断C正确，D错误． 【详解】对于A，令，得，因为，所以，A错误． 对于B，令，得， 因为，所以， 令，得，所以，B正确． 令，得， 所以，所以， 由可知，整理得． 当时，； 当时，，解得， 所以y的取值范围为， 故函数的最小值为，最大值为，C正确，D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：代入直接可求得结果；解法二：先求解出的解析式，然后代入可得结果. 【详解】解法一：代入，可得，所以， 解法二：因为，令，则， 所以，即， 所以， 故答案为：. 13. 若（），则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 8 【解析】 【分析】根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；根据基本不等式“1”的用法直接求解即可得的最小值. 【详解】因为（）， 所以，当且仅当时等号成立，联立方程得. 所以， 所以，即的最大值为2． ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8． 故答案为：； 14. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，当时，恒成立．若，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题设不等式结构特征构造函数，由的单调性和奇偶性以及、即可得出不等式的解集. 【详解】对任意且，不妨令，则， 则由得， 设函数，则，所以在上单调递增， 因为为上的奇函数，所以， 所以为上的奇函数，所以在上单调递增； 因为 ，， 所以，； 所以由得，即，所以； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）76；（2）1 【解析】 【分析】（1）由分数指数幂的运算和对数的运算性质化简可得结果； （2）由对数的运算法则和性质化简可得结果. 【详解】（1）． （2）因为， 所以，则， 所以． 16. 已知某企业只生产A产品，当年投入成本为万元时，获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，该企业获得的纯利润为万元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当时，求该企业获得的纯利润； （3）为了让该企业获得更高的纯利润，在和中，你认为应该选择哪一个？请说明你的理由． 【答案】（1）； （2）7万元； （3）应该选择，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意设出，再根据企业年投入成本为万元时获得的利润解出，即可得解； （2）将代入函数解析式即可； （3）比较与时函数值的大小即可. 【小问1详解】 依题意可设，则， 因为当年投入成本为5万元时，该企业获得的纯利润为8.4万元， 所以，解得， 所以y关于x的函数表达式为. 【小问2详解】 由（1）知时，，所以当时，该企业获得的纯利润为万元． 【小问3详解】 应该选择．理由如下： 因为，所以， 所以，故应该选择． 17. 已知函数且． （1）求函数的定义域． （2）证明：函数为偶函数． （3）设函数在上的值域为，在上的值域为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由对数函数定义域的定义列不等式求得定义域，从而得到函数的定义域； （2）由偶函数定义即可证明； （3）判断函数在上单调性，即可求得集合，分类讨论底数的不同取值，得到函数在的单调性，求得集合，根据题意建立不等式组，解得的取值范围． 【小问1详解】 由，得，解得， 由，得， 所以的定义域为． 【小问2详解】 因为， 所以， 且， 由（1）知函数定义域为关于原点对称， 所以函数为偶函数． 【小问3详解】 因为，在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以在上的值域为． 又在上为增函数，所以． 当时，． 当时，在上单调递减，且函数值均为负数， 所以不满足． 当时，在上单调递增，则， 因为，所以， 解得． 18. 已知函数，． （1）若与在上均为增函数，求的取值范围； （2）若，求的单调区间； （3）若函数恰有4个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数单调性与二次函数单调性，列出不等式，求解即可． （2）先由求出的值，再分段分析的单调性即可． （3）复合函数零点转化，令，由，解得的值，再分析的解的个数即可． 【小问1详解】 因为在上为增函数，所以，即． 因为在上为增函数，所以，即． 故的取值范围为． 【小问2详解】 因为，所以，则． 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，，且，所以在上单调递减． 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问3详解】 设，则由，解得或． 当时，的实根只有． 若，则，此时方程只有一个解，即只有1个零点； 若，则，此时方程有两个解，即有2个零点． 当时，的实根为，，且． 若，则，若，则， 所以方程有2个解，方程有2个解， 所以方程有4个解，即有4个零点． 综上，的取值范围为． 19. 设是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，当时，，则称为到的双界函数． （1）设，，． （i）证明：当时，是到的双界函数． （ii）若是到的双界函数，求的取值范围． （2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值． 【答案】（1） （i）证明：当，即时， 所以， 所以， 即，因为， 所以，所以当时，是到的双界函数； （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据双界函数的定义即可得证； （ii）由题意得，即恒成立，得，进而求解； （2）由是到的双界函数得当时，，即，进而求即可求解. 【小问1详解】 （i）略 （ii）若是到的双界函数，则当， 即时，即恒成立， 当时，所以对任意的恒成立， 所以，所以， 所以， 当时，，与矛盾，不满足题意， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 依题意得，当时，， 所以，所以， ， 函数在上单调递增，且为偶数， 所以在区间上分别递增， 又因为， 所以在上的最小值为， 所以， 由，得， 所以在上的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南高一年级12月阶段考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当取得最小值时，（ ） A. B. 2 C. 1 D. 4 2. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 等价于 B. “”的否定是“” C. 命题“偶函数的图象关于y轴对称”是真命题 D. 若是幂函数，则 10. 已知函数，则的零点所在区间可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足，，且，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______． 13. 若（），则的最大值为______，的最小值为______． 14. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，当时，恒成立．若，，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 已知某企业只生产A产品，当年投入成本为万元时，获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，该企业获得的纯利润为万元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当时，求该企业获得的纯利润； （3）为了让该企业获得更高的纯利润，在和中，你认为应该选择哪一个？请说明你的理由． 17. 已知函数且． （1）求函数的定义域． （2）证明：函数为偶函数． （3）设函数在上的值域为，在上的值域为，若，求的取值范围． 18. 已知函数，． （1）若与在上均为增函数，求的取值范围； （2）若，求的单调区间； （3）若函数恰有4个零点，求的取值范围． 19. 设是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，当时，，则称为到的双界函数． （1）设，，． （i）证明：当时，是到的双界函数． （ii）若是到的双界函数，求的取值范围． （2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $