2.3.1 两条直线的交点坐标+2.3.2 两点间的距离公式 同步练【基础题】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.1 两条直线的交点坐标+2.3.2 两点间的距离公式 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　) A. B. C. D. 2.当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.直线，点，，若与线段相交，则的范围为（） A. B. C. D. 4.若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于点(3,3)对称，则直线l2一定过定点(　　) A.(3,1) B.(2,1) C.(5,5) D.(0,1) 5.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　) A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2,3) C.恒过点(－2,3)和点(2,3) D.都是平行直线 6.若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A. B. C. D. 7.若点在直线上运动，则的最小值为（） A. B. C.13 D. 8.已知，点在轴上，则的最小值为（） A. B.5 C. D. 二、多项选择题（共3小题） 9.若与的图形有两个交点，则的取值可能为(    ) A.1 B.0 C.2 D.3 10.下列说法正确的是（ ） A.直线的倾斜角为 B.经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为 C.直线恒过点 D.已知直线，，则“”的充要条件是“或” 11.已知直线：和直线：，则下列结论正确的是(    ) A.存在实数k，使得直线的倾斜角为 B.对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C.对任意的实数k，直线与直线都不重合 D.对任意的实数k，直线与直线都不垂直 三、填空题（共3小题） 12.若关于，的方程组R)有无穷多组解，则的值为                  . 13.已知△ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为                  . 14.若直线l1：x-y=0，l2：x+y-2=0，l3：5x-ky-15=0能围成一个三角形，则k的取值范围是                  . 四、解答题（共2小题） 15.已知|t|≤1，直线l1：tx-y+1=0和直线l2：x+ty+1=0相交于点P. (1)判断l1与l2的位置关系，并用t表示点P的坐标； (2)O为坐标原点，求|OP|的取值范围，并指出取最值时点P的位置. 16.直线l的方程为(m+1)x+y-2m-3=0(m∈R). (1)证明：无论m为何值，直线l过定点； (2)已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求△ABO的周长及此时直线l的截距式方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1 两条直线的交点坐标+2.3.2 两点间的距离公式 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得故交点为. 2.当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】由方程组 得两直线的交点坐标为. 因为0<k<，所以<0，>0， 所以交点在第二象限． 3.直线，点，，若与线段相交，则的范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直线方程可化为， 令，解得， 即直线过定点. ，. 直线的斜率， 当与线段AB相交时，或. 即或，解得或. 当时，直线方程为，与线段相交， 综上，的范围为. 故答案为：C. 4.若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于点(3,3)对称，则直线l2一定过定点(　　) A.(3,1) B.(2,1) C.(5,5) D.(0,1) 【答案】C 【解析】∵y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1， ∴直线l1：y＝kx－k＋1过定点(1,1)． 设定点(1,1)关于点(3,3)对称的点的坐标为(x，y)， ∴得即直线l2恒过定点(5,5)．故选C. 5.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　) A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2,3) C.恒过点(－2,3)和点(2,3) D.都是平行直线 【答案】A 【解析】(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0， 由得所以该直线过定点(－2,3). 6.若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知AB中点坐标是， ， 因为A，B关于直线l对称， 所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即， 故选：A. 7.若点在直线上运动，则的最小值为（） A. B. C.13 D. 【答案】C 【解析】由点在直线上,得. 则. 即, 这表示轴上点到定点、的距离和. 因、在轴两侧, 在中,(当且仅当在与轴交点时取等号). . 故的最小值为. 故选:. 8.已知，点在轴上，则的最小值为（） A. B.5 C. D. 【答案】B 【解析】设，则关于轴对称的点为， 所以的最小值为； 答案为B. 由关于轴对称得． 因为点在轴上,故,则． 由两点之间线段最短,得的最小值为． 由,得． 答案为B. 二、多项选择题（共3小题） 9.若与的图形有两个交点，则的取值可能为(    ) A.1 B.0 C.2 D.3 【答案】CD 【解析】表示与平行的直线，在轴上的截距为的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知. 故选：CD. 10.下列说法正确的是（ ） A.直线的倾斜角为 B.经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为 C.直线恒过点 D.已知直线，，则“”的充要条件是“或” 【答案】AC 【解析】A选项： 直线变形为，斜率. 设倾斜角为，则，解得，故A正确. B选项： 截距不为时，设直线方程为，代入得，即，方程为； 截距为时，直线过原点，设方程为，代入得，方程为. 故存在另一条符合条件的直线，B错误. C选项：直线变形为. 令，解得，与无关，故直线恒过点，C正确. D选项： 当时，不成立，直线不存在，故不符合； 当时，斜率，斜率. 由得，即，解得. 经检验，仅满足条件，故D错误. 故答案为：AC. 11.已知直线：和直线：，则下列结论正确的是(    ) A.存在实数k，使得直线的倾斜角为 B.对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C.对任意的实数k，直线与直线都不重合 D.对任意的实数k，直线与直线都不垂直 【答案】ABD 【解析】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题） 12.若关于，的方程组R)有无穷多组解，则的值为                  . 【答案】4 【解析】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即， ,， 则， 故答案为：4. 13.已知△ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为                  . 【答案】 【解析】BC的中点坐标为(0，1)， 则BC边上的中线长为=. 14.若直线l1：x-y=0，l2：x+y-2=0，l3：5x-ky-15=0能围成一个三角形，则k的取值范围是                  . 【答案】{k|k≠±5，且k≠-10} 【解析】由l1∥l3得k=5，由l2∥l3得k=-5， 由得 若点(1，1)在l3上，则k=-10. 故若直线l1，l2，l3能围成一个三角形，则k≠±5，且k≠-10. 四、解答题（共2小题） 15.已知|t|≤1，直线l1：tx-y+1=0和直线l2：x+ty+1=0相交于点P. (1)判断l1与l2的位置关系，并用t表示点P的坐标； (2)O为坐标原点，求|OP|的取值范围，并指出取最值时点P的位置. 【答案】(1)因为t×1+(-1)×t=0，所以l1⊥l2. 联立 解得x=，y=， 所以P. (2)由(1)知|OP|2=+=，因为|t|≤1，所以0≤t2≤1， 则1≤t2+1≤2，则1≤≤2， 即|OP|2∈[1，2]，则|OP|的取值范围是[1，]， 当t2=1，即t=±1时，|OP|取得最小值1，此时P(-1，0)或P(0，1)； 当t2=0，即t=0时，|OP|取得最大值，此时P(-1，1). 16.直线l的方程为(m+1)x+y-2m-3=0(m∈R). (1)证明：无论m为何值，直线l过定点； (2)已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求△ABO的周长及此时直线l的截距式方程. 【答案】(1)证明直线l的方程(m+1)x+y-2m-3=0变形为m(x-2)+x+y-3=0， 由得 故直线l恒过定点(2，1). (2)解由(m+1)x+y-2m-3=0，依题意m+1≠0，即m≠-1， 令x=0，得到y=2m+3，令y=0，得到x=，由得m>-1，所以S△ABO=(2m+3)·=， 令m+1=t>0，得到S△ABO===2t++2≥2+2=4， 当且仅当2t=，即t=时取等号，此时m=-，直线l的方程为+=1， 又A(4，0)，B(0，2)，|AB|==2， 所以当△ABO的面积最小时，△ABO的周长为6+2，此时直线l的截距式方程为+=1. 学科网（北京）股份有限公司 $