31.2.2(第1课时)两角分别相等的两个三角形相似（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的 两个三角形相似 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 在学习三角形全等的判定时，我们通过减少条件，重点研究了它们的三个元素（两边一角、两角一边、三边和三角）分别相等的情况，得到了SAS，ASA，AAS，SSS等判定方法. 全等是相似的特殊情况，对于三角形相似，有没有与三角形全等类似的判定方法呢？ 类比判定三角形全等的研究思路，我们分情况讨论. 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 合作探究 直观上，如果保持一个三角形三个角的大小不变，改变这个三角形的大小，那么这个三角形的形状不变，得到的三角形与原三角形相似. 一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°. 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 思考 由此你能得到三角形相似的判定方法吗？证明你的结论. 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 猜想： 在两个三角形中，如果它们的两个角分别相等，那么它们的三个角分别相等.可以发现，两个角分别相等的两个三角形相似. C A B A' B' C' 你能证明这一结论吗？ 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 合作探究 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上，截取 A′D=AB， 过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′. C A A' B B' C' D E 试证明△ABC∽△A′B′C′. ∵∠B=∠B′， ∴∠A′DE=∠B. 又∵ A′D=AB，∠A=∠A′， ∴△A′DE ≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′ . 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 三角形相似的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 特别地，在直角三角形中： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 思考 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形△ADE与△ABC相似，这样的直线有几条？ 情况1 情况2 B C A D E E B C D ∴ △ ADE∽ △ABC ∴ △AED∽ △ABC ∵∠A=∠A，∠AED=∠C ∵∠A=∠A，∠AED=∠B ①作DE，使∠AED=∠C ②作DE，使∠AED=∠B A 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 思考 如图， ，请指出图中的相似三角形． 解： ， ， ； ， ， ． 判定三角形相似时，特别注意公共角！ 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，Rt△ABC中，∠C=90°. AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D.求AD的长. 解： ∵ ED⊥AB ∴ ∠EDA=90 ° 又∵ ∠C=90 ° ∴ ∠EDA=∠C 又∵ ∠A= ∠A ∴ △AED ∽ △ABC ，∴ ∴ AD=4 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，在 中，点D在BC边上， ．点E在AD边上， ． (1)求证： ； (1)证明： ， ． ， 又 ， ． 又 ， ． 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 (2)若 ， ， ，求CD的长． (2)解： ， ， ， ， ， ． ． ． 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，在 中， ，E,F分别是边AB,BC上的点，连接CE,AF，相交于点D，已知 ， ．(1)求证： ； (1)证明：∵ ， ， ， ， ，四边形BEDF内角和为360°， ， ， ， ； 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 (2)若BC=6，AF=6，求△BCE的面积． (2)解：∵BC=6，BF=CF ， ，由（1）知 ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BC=1,∠ABC的平分线交AC于点D. (1) 求证：△ABC∽△BCD. 证明：∵AB=AC，∠A=36°, BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC. 在△ABC和△BDC中, ∠A=∠DBC，∠C=∠C. ∴△ABC∽△BCD. 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 (2) 求AC的长. (2) 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 文化溯源 黄金三角形 顶角为 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 文化溯源 黄金三角形 顶角为 瘦高型 矮胖型 B C A ①AB=AC ② ③顶角= 底角= D ①AB=AC ② ③顶角=108 底角= 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 文化溯源 黄金三角形与黄金梯形、五角星 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 顶角是的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边和腰的比为黄金比，如图，请在“黄金三角形ABC”的边AB上求作一点D，使得 ． 思路溯源 【分析】 作 ，使CD交于AB点D，再根据∠A为公共角，即可得到 ． D 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，C是线段BD上的一点，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC. 求证：△ABC∽△CDE. E A 1 B C D 2 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD ∴∠ABC=∠CDE=90° ∴∠1+∠A=90° ∵AC⊥EC ∴∠1+∠2=90° ∴∠A=∠2(同角的余角相等) ∴△ABC∽△CDE 这里是“一线三角” 的相似模型！ 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 (1)证明：如图：连接OD， ∵AC是☉O的切线，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即BD平分∠ABC； 如图，在 中， ，点O在斜边BC上，经过点B的☉O与直角边AC相切于点D，交BC点E，交AB于点F，连接DE,BD．(1)求证：BD平分∠ABC； 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 (2)求证： . (2)证明：∵BC是☉O的直径，∴ ， ∴ ， ∵AC是☉O的切线，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 证明:连接AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= ∠D， 同理 ∠C= ∠B， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴, 即PA ·PB = PC · PD. O D C B A P 相交弦定理 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ☉O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD. 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 相交弦定理 圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长度的乘积相等. 设P是☉O内弦AB , CD的交点， 则PA ·PB = PC · PD. O D C B A P 数学语言 △ 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 本课总结 拓展 两角分别相等的 两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 内容 图形 C A B A' B' C' 黄金三角形 “一线三角”相似模型 相交弦定理 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，AD 和 CE分别是△ABC的边BC、AB上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 解：∵AD 和 CE分别是△ABC的边BC、AB上的高， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ， 即图中相似三角形的对数为6对． 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm，求BD的长. 解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°, ∴∠ADB=∠CAB. ∴△ABD∽△CBA, 解得 BD=1.6(cm). ∴ ， 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16. (1)求证：△ABC∽△DAC; (2)求CD的长. (1)证明： ∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C, ∴△ABC∽△DAC. (2)解：∵△ABC∽△DAC， ∴CD=4. 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图， ∠ABD=∠C ， AD=4 ， AC=9，求AB的长. A B C D 解： ∴ △ABD ∽ △ACB. ∴ , ∴ AB2 =AD · AC, ∵ AD=4 ，AC=9 ， ∴ AB2 = 36. ∴ AB =6. ∵∠ABD=∠C， ∠ A= ∠ A ， 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，以四边形ABCD的边AD为直径的☉O正好经过C，且与边AB相交于点E，BC是☉O的切线，连接OC，AC，EC， ， ． (1)求证： ； (1)证明：∵ ， ， ， ， ， ， ∴ ． 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 (2)当 时，求CD的长． (2)解：BC是☉O的切线， ， ， ， ， ， ∵四边形ADCE为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， . 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 如图，AB是☉O的直径，弦 ，垂足为P，连接AC,BC， 求证： ． 证明： ∵，AB是☉O的直径，弦 ，垂足为P， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ∴ ． 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 规范解答 (2)解：∵CD为直径， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，∴的半径为 ． 如图，在☉O中，弦AB与直径CD相交于点E，连接BC,AD． (1)求证： ；(2)连接AC，若 ， ，求☉O的半径． (1)证明：∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ； 31.2.2(第1课时) 两角分别相等的两个三角形相似 $