八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材浙教版，举一反三，测试范围：第1章 三角形～第3章 一元一次不等式）

八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形~第3章 一元一次不等式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·海南海口·期中）关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 6．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 7．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在玩游戏过程中，小朋友离地面的最大距离是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）对于不相等的两个实数、，定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则的取值范围为（     ） A．或 B．或 C． D． 9．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示的长方体中，，，．的中点处有一粒米，一只蚂蚁沿着长方体表面（包括底面）从点处爬到点处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 12．（2026·安徽阜阳·二模）如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则的长为__________． 15．（25-26七年级下·北京·期末）关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等腰中， ，点D在上，过点C作交的延长线于点E，交的平行线于点F ，若 则 ________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 18．（6分）（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 19．（8分）（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 20．（8分）（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把矩形纸片折叠，使点B恰好落在边上，折痕为，且，． (1)求的长； (2)求折痕的长． 21．（10分）（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 22．（10分）（25-26七年级下·四川眉山·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 23．（12分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点，分别在射线，上，连结，． (1)如图1，点，分别在边，上，求证：是直角三角形； 【变式应用】 (2)如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连结交于点，且，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连结，且，若，求的度数． 24．（12分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，， ， ，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和求，由题目条件得，再利用三角形的高、角平分线进行角度计算即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 是的高， ， 在中，， 即， ，, ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·海南海口·期中）关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，两边同乘得：， 移项合并得：， ∴. 解不等式②得：. ∴不等式组的解集为. ∵不等式组有个整数解， ∴满足条件的整数解为， ∴． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 【答案】B 【分析】利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度． 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 6．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 7．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在玩游戏过程中，小朋友离地面的最大距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据点是的中点得出，根据等边对等角得出，，根据三角形内角和定理得出，可得小朋友离地面的最大距离是，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，根据三角形中位线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴小朋友离地面的最大距离是， ∵，支柱垂直于地面， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴小朋友离地面的最大距离是． 8．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）对于不相等的两个实数、，定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则的取值范围为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据新运算的规则，分两种情况对和的大小关系分类讨论，解一元一次不等式后取并集即可得到的取值范围． 【详解】解：当，即时，根据新运算定义得， ， ， 解得， 结合前提，得此种情况下； 当，即时，根据新运算定义得， ， ， 解得， 结合前提，得此种情况下； 综上所述，的取值范围为或． 9．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示的长方体中，，，．的中点处有一粒米，一只蚂蚁沿着长方体表面（包括底面）从点处爬到点处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算不同路径长度，比较大小即可． 【详解】解：∵为中点，， ∴； 分三种情况讨论： 将底面与右侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； 将底面与后侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； 将前侧面与右侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； ∵， 故最短路程为． 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证得，推出，，即可判断①②；由，，得到，进而推出，求得，，由，得到，，从而得到，即可判断③． 【详解】解：∵在中，，，点P是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 12．（2026·安徽阜阳·二模）如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，，再结合勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，且，从而即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则的长为__________． 【答案】2 【分析】延长、相交于点E，根据三角形内角和180°解得，由含30°的直角三角形性质解得 的长，在中，由勾股定理解得AE的长，最后由线段的和差解题． 【详解】解：如图，延长、相交于点E， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∴． 【点睛】本题考查含30°直角三角形的性质、勾股定理、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15．（25-26七年级下·北京·期末）关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 【答案】 ①④ 【分析】先解不等式组得到解集为 ，再逐个验证四个命题即可. 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 ， ① 当时，代入得 ，解集为，故命题①正确； ② 当时，，， 则不等式解集为， ∴整数解为，共个，不是个，故命题②错误； ③ 不等式组有解，则，解得，不是，故命题③错误； ④  ∵不等式组恰有个整数解，为整数， ∴是整数， 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，则整数解个数不足， 当时，，则整数解个数超过， ∴满足条件的整数最小值为，最大值为，差为，命题④正确， 综上，真命题的序号是①④. 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等腰中， ，点D在上，过点C作交的延长线于点E，交的平行线于点F ，若 则 ________． 【答案】 【分析】延长，两线交于点H，先证明，再证明，不妨设，确定，不妨设，解答即可． 【详解】解：延长，两线交于点H， ∵等腰中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ 不妨设， ∴， ∴， ∴， 不妨设， ∴，, ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． 【详解】（1）解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 18．（6分）（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 19．（8分）（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴是等边三角形． (2)3 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得出，由三角形内角和定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可证明是等边三角形； （2）由，得，由，得则，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是上的高线． ∴， ∴， ∴． 20．（8分）（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把矩形纸片折叠，使点B恰好落在边上，折痕为，且，． (1)求的长； (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据翻折变换的对称性可知，然后根据矩形的性质和中的勾股定理求出，即可解答； （2）设，分别表示出、，然后在中利用勾股定理求出即可；在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把纸片折叠，使点B恰好落在边上， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ． ， ∴， ∴. （2）解：设，则，， 在中， ， 即． 解得．故． 在中，由勾股定理得， ∴ 21．（10分）（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 22．（10分）（25-26七年级下·四川眉山·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)赠甲书包1个，乙书包3个 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据数量＝总价÷单价结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）先假设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意：总利润=总销售额-总成本，其中赠送的书包不产生销售收入，但其成本已包含在总成本中，则可列出方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得． 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得． 解得． ∵， ∴． ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110． ∴该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：分三种情况： ①购进甲种书包88个，乙种书包112个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立； ②购进甲种书包89个，乙种书包111个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得，， 故甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． ③购进甲种书包90个，乙种书包110个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立． 综上，甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 23．（12分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点，分别在射线，上，连结，． (1)如图1，点，分别在边，上，求证：是直角三角形； 【变式应用】 (2)如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连结交于点，且，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连结，且，若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 是直角三角形； (2) (3) 【分析】（1）等量代换得到，求出，即可证明； （2）设，表示出，然后结合角平分线的定义和三角形内角和定理得到，进而求解即可； （3）首先表示出，，然后结合求出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ， 平分， ， 又，， ， ， ； （3）解：∵， ， ， ，， ， ∴， ， ， ∴， ． 24．（12分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，， ， ，求的长． 【答案】(1)①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， 点为和的共同顶点， 可以由旋转得到； ②； (2) 【分析】（1）①先证明，再证明，可得结论；②绕点按顺时针方向旋转得到，证明，再结合勾股定理可得答案； （2）将绕点逆时针旋转得，作于，连接， 进而可得，，，， ，证明，得，再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：①略 ②绕点按顺时针方向旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $