精品解析：辽宁大连市甘井子区2026-2027学年九年级上学期10月阶段性随堂练习数学试题

2026-2027学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级 数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 3．本试卷检测进度为：《一元二次方程》、《二次函数》、《反比例函数》． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故选：D． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 4. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，图象分布，图象与点的关系，熟练掌握性质和分布是解题的关键． 利用反比例函数的性质，图象的分布等解答即可．根据反比例函数的性质，，图象经过点，位于第一、三象限，在每个象限内随增大而减小；当时，，故D错误. 【详解】解：A、∵，， ∴当时，，图象经过点， ∴A正确； B、， ∴图象位于第一、第三象限， ∴B正确； C、∴在每个象限内，随增大而减小， 当时（第三象限），随增大而减小， ∴C正确； D、当时，例如，，故， ∴D错误． 故选：D． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 6. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的函数值计算方法是解题的关键． 先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过计算各点的函数值来比较大小． 【详解】解：∵ 二次函数， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ， 故选：A． 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 8. 二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键．利用数形结合思想，二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意，二次函数的图象与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 9. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数图象的上下位置关系以及交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，所以不等式的解集是或． 10. 如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高，代入求出即可． 【详解】解：∵线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点， ∴当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高， 则， 解得：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式，即可求出k的取值范围. 【详解】解：根据题意得：， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式求参数的取值范围. 12. 抛物线，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为直线，根据对称轴、二次函数的性质及题意即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且二次项系数为正数1， ∴当时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， 即． 13. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 据此我们可以推知一元二次方程的根是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据表格中的数据得出抛物线的对称轴为直线，根据对称性得出关于直线的对称点为，从而得出一元二次方程的根． 【详解】解：∵时，，时，， ∴与是抛物线上关于对称轴对称的两个点， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∵关于直线的对称点为， ∴一元二次方程的根是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的性质，解题的关键是根据表格中数据得出抛物线的对称轴为：直线． 14. 某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故答案为：4． 15. 如图，正方形的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点B的坐标，过点A作轴于点，点C作轴于点，构造全等三角形，得到，再证明，设，则,得到，根据反比例函数的值相等列方程求解即可. 【详解】解：在中，令，则，令，则， ∴，直线与轴交点为， ∴， 过点A作轴于点，过点C作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∴， ∴， ∵点A，点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数解析式是． 三．解答题（本题共8小题，共75分，写出必要的推理步骤和运算过程） 16. 按要求完成各题 （1）用适当的方法解方程：； （2）若、分别是方程的解，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）由一元二次方程根和系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形运算计算即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵、分别是方程的解， ∴，， ∴． 17. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）运动开始后，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，当为何值时，的面积等于？ 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识． （1）根据题意得到，根据勾股定理列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，根据勾股定理得， 解得（舍去），． 答：当为2时，的长度等于； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去）． 答：当为1时，的面积等于． 18. 已知二次函数． （1）请填写表中空格处的数值； （2）结合表格，画出这个二次函数的图象； （3）结合图象可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】（1） 填表如下： （2） 解：画函数图象如下： （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象、利用图象求函数值的取值范围． 根据表中的自变量求出函数值，填表即可； 根据中表格中的数据列表、连线，即可得到二次函数的图象； 利用函数图象得出当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时， 19. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 某地区木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色． 素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨x元/件． 问题解决 （1）任务1：该木雕月销售量为__________件（用含x的代数式表示）； （2）任务2：该商店月销售利润为W元，请列出W与x的函数关系式； （3）任务3：该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？ 【答案】（1） （2） （3）该木雕的售价上涨10元/件 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可列出代数式； （2）根据“销售利润单件利润销售量”，即可求解； （3）根据题意，列出一元二次方程，求解检验即可． 【小问1详解】 解：每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件， 当每件木雕的售价上涨x元时，月销售量将减少件， 则该木雕月销售量为件； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理得； 【小问3详解】 解：根据题意得， 解得，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该木雕的售价上涨10元/件． 20. 在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示． （1）当力F为时，求F所做的功W； （2）写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将图像上点的坐标代入公式，直接计算功W即可； （2）把定值功代入公式变形，写出s关于F的反比例函数解析式并注明自变量范围即可； （3）根据位移小于列出不等式，结合求解出力的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由图可知，当时， ∴； 【小问2详解】 解：∵且， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，即 ， 解得． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代入反比例函数即可求解． 【小问1详解】 解：因为点在直线上， 所以， 解得， 故点坐标为， 将点A坐标代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解： ∵点A坐标为， 又， 即， ， 故点纵坐标为3或， 将代入得，， 将代入得，， 所以点的坐标为或． 22. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】（1）方程是有爱方程，理由如下： ，，， ， 方程是“有爱方程”； （2） 证明：方程是“有爱方程”， ， 原方程为， ， ， ， 是原方程的解； （3），． 【解析】 【分析】（）通过“有爱方程”定义即可求解； （）由“有爱方程”定义可得，则原方程为，然后解方程即可； （）由是关于的“有爱方程”，则，又是该“有爱方程”的一个根，所以，从而得，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是关于的“有爱方程”， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， 由得， 把代入得， 化简得， 解得，． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点是线段下方的抛物线上一动点，过点作，交于，当线段最长时，求此时的长度及点的坐标． （3）点为对称轴上的两个点，设这两个点纵坐标分别为、且，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，若点的纵坐标为． ①用含的式子表示点的坐标：__________； ②当正方形的边与抛物线在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出的取值． 【答案】（1） （2）， （3）①，；②或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再求出直线的解析式，设点，表示出点的坐标，进而表示出的长，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）①根据旋转和正方形的性质解答即可；②分点在抛物线上或点在抛物线上或点在抛物线上三种情况，利用二次函数的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵与轴交于点， ∴， 设直线为，把代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴点纵坐标为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴ 当时，取得最大值，最大值， 此时； 【小问3详解】 解：①∵抛物线的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为对称轴上的两个点，，点的纵坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形， ∴，点和点的纵坐标相同，点和点的纵坐标相同， ∴点和点的横坐标为， ∴，； ②∵正方形的边与抛物线在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴点在抛物线上或点在抛物线上或点在抛物线上， 当点在抛物线上时，如图， 把点代入抛物线，得， 解得； 当点在抛物线上时，如图， 把点代入抛物线，得， 解得， 当时，，此时点在抛物线上，不符合题意； 当点在抛物线上时，如图， 把点代入抛物线，得， 解得； 综上，的取值为或． 24. 已知抛物线过，，． （1）求此抛物线的解析式． （2）若为抛物线的顶点，直线与抛物线对称轴交于H点，在抛物线上是否存在一点T使得与的面积相等．若存在，请求出T点坐标；若不存在，请说明理由． （3）点（横坐标为）在抛物线上，其最大值为，最小值为．若对于任意，恒成立，请写出实数的所有整数值． 【答案】（1） （2）存在，点T的坐标分别为，，， （3）实数t的整数值分别为0、1、2 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点T作x轴的垂线与直线交于点P，先求出直线的解析式，再根据二次函数的性质求出，，设点，则，，，最后列出方程，求解即可； （3）根据二次函数的性质，分三类情况讨论，分别用含t的式子表示出最大值和最小值，再根据列出不等式，求解取整数即可． 【小问1详解】 解：经过点，，， ，解得， 则此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 对称轴是直线， 当时，， 抛物线顶点， 当时，， ， ， 设点，则， 如图，过点T作x轴的垂线与直线交于点P， ， 则， ， ， 当时，解得，； 当时，解得，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，点T的坐标分别为，，，； 【小问3详解】 解：①当时，， 最大值m在处取得，， 最小值n在处取得，， ， ， ， ， 满足条件的整数； ②当时，， 最大值m在处取得，， 最小值n在处取得，， ， ， ， ， 满足条件的整数； ③当时，， 最大值m在抛物线顶点处取得，， 当时， 最小值n在处取得，， ， ， ， ， 满足条件的整数； 当时， 最小值n在处取得，， ， ， ， ， 没有满足条件的整数； 综上所述，实数t的整数值分别为0、1、2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级 数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 3．本试卷检测进度为：《一元二次方程》、《二次函数》、《反比例函数》． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 10. 如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（ ） A. B. C. 5 D. 7 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围为________. 12. 抛物线，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_______ ． 13. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 据此我们可以推知一元二次方程的根是_________． 14. 某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 15. 如图，正方形的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为______． 三．解答题（本题共8小题，共75分，写出必要的推理步骤和运算过程） 16. 按要求完成各题 （1）用适当的方法解方程：； （2）若、分别是方程的解，求的值． 17. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）运动开始后，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，当为何值时，的面积等于？ 18. 已知二次函数． （1）请填写表中空格处的数值； （2）结合表格，画出这个二次函数的图象； （3）结合图象可知，当时，的取值范围是___________． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 某地区木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色． 素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨x元/件． 问题解决 （1）任务1：该木雕月销售量为__________件（用含x的代数式表示）； （2）任务2：该商店月销售利润为W元，请列出W与x的函数关系式； （3）任务3：该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？ 20. 在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示． （1）当力F为时，求F所做的功W； （2）写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 22. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点是线段下方的抛物线上一动点，过点作，交于，当线段最长时，求此时的长度及点的坐标． （3）点为对称轴上的两个点，设这两个点纵坐标分别为、且，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，若点的纵坐标为． ①用含的式子表示点的坐标：__________； ②当正方形的边与抛物线在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出的取值． 24. 已知抛物线过，，． （1）求此抛物线的解析式． （2）若为抛物线的顶点，直线与抛物线对称轴交于H点，在抛物线上是否存在一点T使得与的面积相等．若存在，请求出T点坐标；若不存在，请说明理由． （3）点（横坐标为）在抛物线上，其最大值为，最小值为．若对于任意，恒成立，请写出实数的所有整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $