八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第13章 三角形～第15章 轴对称）

八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第13章 三角形~第15章 轴对称 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在玩游戏过程中，小朋友离地面的最大距离是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，D为的中点，E为边上一点，连结．若，，，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图①，仅通过折叠的方法检验纸带的两条边线，是否平行．进行如下操作： （1）把纸带沿着翻折（如图②），折痕与，分别交于点，，（点与点为对应点）与交于点； （2）再沿翻折（如图③），使与所在直线重合．小聪说：若，则；小敏说：若翻折后与相差（点与点为对应点），则直线，的夹角为，则（     ） A．两种说法都对 B．小聪的说法对，小敏的说法错 C．两种说法都错 D．小聪的说法错，小敏的说法对 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 15．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等腰中， ，点D在上，过点C作交的延长线于点E，交的平行线于点F ，若 则 ________． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点在线段延长线上，为线段上一点，的平分线于点，和的平分线相交于点，设，则的度数为_________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 18．（6分）（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 19．（8分）（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 20．（8分）（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 21．（10分）（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 22．（10分）（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 23．（12分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点，分别在射线，上，连结，． (1)如图1，点，分别在边，上，求证：是直角三角形； 【变式应用】 (2)如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连结交于点，且，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连结，且，若，求的度数． 24．（12分）（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的三边关系、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，，则，然后分且和且两种情况，分别根据题意列方程组求解并运用三角形的三边关系验证即可． 【详解】解：设，，则． 当且时，即，解得； ∴，， ∵， ∴能构成三角形，即，符合题意； 当且时，即，解得． ∴，， ∵， ∴不能构成三角形，即，不符合题意； 综上，． 故选：B． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在玩游戏过程中，小朋友离地面的最大距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据点是的中点得出，根据等边对等角得出，，根据三角形内角和定理得出，可得小朋友离地面的最大距离是，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，根据三角形中位线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴小朋友离地面的最大距离是， ∵，支柱垂直于地面， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴小朋友离地面的最大距离是． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和求，由题目条件得，再利用三角形的高、角平分线进行角度计算即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 是的高， ， 在中，， 即， ，, ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，D为的中点，E为边上一点，连结．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接．利用三角形中位线定理可得且，结合已知条件推导出，从而利用等腰三角形性质和平行线性质求解． 【详解】取的中点，连接， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ，， ，， ，且， ，即， ， ， ， 为等腰三角形， 点在线段上， ， ， ． 8．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系，然后求解即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 9．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图①，仅通过折叠的方法检验纸带的两条边线，是否平行．进行如下操作： （1）把纸带沿着翻折（如图②），折痕与，分别交于点，，（点与点为对应点）与交于点； （2）再沿翻折（如图③），使与所在直线重合．小聪说：若，则；小敏说：若翻折后与相差（点与点为对应点），则直线，的夹角为，则（     ） A．两种说法都对 B．小聪的说法对，小敏的说法错 C．两种说法都错 D．小聪的说法错，小敏的说法对 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，结合平行线的判定定理判断小聪的说法；利用三角形的外角性质及折叠的性质推导直线夹角与角度差的关系，判断小敏的说法． 【详解】解：对于小聪的说法，由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，故小聪的说法正确； 对于小敏的说法，由折叠可知，， ∵点在上， ∴ ∴， ∵翻折后与相差（点与点为对应点）， ∴ 由折叠可知，， ∴， 设直线与的夹角为， 若直线与不平行， 设它们相交于点，在中， 由三角形外角的性质可知， ， ∴， 即直线与的夹角为， 故小敏的说法正确 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证得，推出，，即可判断①②；由，，得到，进而推出，求得，，由，得到，，从而得到，即可判断③． 【详解】解：∵在中，，，点P是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出、的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：物体与像关于平面镜对称， 可得：， 解得：， ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 15．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等腰中， ，点D在上，过点C作交的延长线于点E，交的平行线于点F ，若 则 ________． 【答案】 【分析】延长，两线交于点H，先证明，再证明，不妨设，确定，不妨设，解答即可． 【详解】解：延长，两线交于点H， ∵等腰中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ 不妨设， ∴， ∴， ∴， 不妨设， ∴，, ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点在线段延长线上，为线段上一点，的平分线于点，和的平分线相交于点，设，则的度数为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理可得，根据等腰三角形的三线合一定理可以求出，根据直角三角形两锐角互余可得：，根据角平分线的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ∵， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． 【详解】（1）解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 18．（6分）（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，，， (2)如图，点P即为所求， 【分析】（1）作出各顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可，两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数； （2）连接，由轴对称得，进而可得，因此点，P，B三点共线时，最短． 【详解】（1）略 （2）略 19．（8分）（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴是等边三角形． (2)3 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得出，由三角形内角和定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可证明是等边三角形； （2）由，得，由，得则，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是上的高线． ∴， ∴， ∴． 20．（8分）（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先中线的性质确定，将的周长比的周长少5的数量转化成边的数量关系得到，可求解． 【详解】（1）解：， ． 又为的角平分线， ． 为边上的高， ， ． （2）解：为边上的中线， ． 又的周长比的周长少5，， ， ， ． 21．（10分）（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 22．（10分）（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：① ，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证 ，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 23．（12分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点，分别在射线，上，连结，． (1)如图1，点，分别在边，上，求证：是直角三角形； 【变式应用】 (2)如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连结交于点，且，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连结，且，若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 是直角三角形； (2) (3) 【分析】（1）等量代换得到，求出，即可证明； （2）设，表示出，然后结合角平分线的定义和三角形内角和定理得到，进而求解即可； （3）首先表示出，，然后结合求出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ， 平分， ， 又，， ， ， ； （3）解：∵， ， ， ，， ， ∴， ， ， ∴， ． 24．（12分）（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)． 证明： ，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． (2) (3)所有满足条件的的长为或或． 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $