第一章有理数 单元复习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第一单元《有理数》五星版单元复习讲义 人教版（2024）七年级数学上册 · 第一章 有理数（约9课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目 · 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 1.1 正数和负数；1.2 有理数及其大小比较（有理数的概念、数轴、相反数、绝对值、有理数的大小比较） 核心素养 数感、符号意识、抽象能力、几何直观（数形结合） 本单元不涉及 有理数的四则运算与乘方（负数参与的运算在第二章学习）；B6、C1的数值合计沿用小学已学的整数、小数加减法 课标对接 数与代数领域基础内容；“综合与实践”领域按项目式学习设计（见第四部分） 单元知识导航 本单元的知识主线：用正负数表示相反意义的量 → 认识有理数的分类 → 用数轴表示数 → 借助数轴理解相反数与绝对值 → 比较有理数的大小。全单元围绕“数轴”这一工具展开，是初中阶段数形结合思想的第一课。 图1　第一单元《有理数》知识网络 有理数可按“符号”或“结构”两种方式分类，理清分类是解题的基础： 图2　有理数的分类 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 正数和负数 用正负数表示具有相反意义的量；0既不是正数也不是负数 0是整数、是有理数，不能漏掉 有理数 整数和分数统称有理数；有限小数、无限循环小数都能化为分数 π是无限不循环小数，不是有理数 数轴 三要素：原点、正方向、单位长度 三要素缺一不可 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0 a的相反数是-a 绝对值 数轴上表示a的点到原点的距离，记作|a|，且|a|≥0 绝对值等于它本身的数是0和正数（非负数） 大小比较 数轴上右边的数总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小 比较负数时要先看绝对值 一、基础巩固（概念过关） A1（选择·★）下列说法正确的是（　） A．正数和负数统称为有理数 B．0既不是正数，也不是负数 C．带“－”号的数一定是负数 D．有理数分为正有理数和负有理数 A2（选择·★）如果零上5℃记作+5℃，那么零下3℃记作（　） A．+3℃　B．-3℃　C．±3℃　D．0℃ A3（填空·★）把下列各数的序号填入相应的集合里： ①-7　②0　③　④-2.5　⑤3.14　⑥ 正数集合：{　　}；负数集合：{　　}；整数集合：{　　}；分数集合：{　　}。 A4（填空·★）数轴的三要素是（　　　）、（　　　）和（　　　）；表示-3的点在原点的（　　　）侧，距离原点（　　　）个单位长度。 A5（操作·★）在数轴上表示下列各数：-3.5，-1，0，0.5，2.5。 图3　在数轴上表示各数（A5） A6（填空·★★）-(-4)的相反数是（　　　）；若a与5互为相反数，则a＝（　　　）；若|x|＝6，则x＝（　　　）。 A7（填空·★）|-9|＝（　　　），|0|＝（　　　），|3.5|＝（　　　）；绝对值最小的数是（　　　）；绝对值等于它本身的数是（　　　）。 A8（填空·★）比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）： (1) -3（　　）-5；　(2) -0.5（　　）；　(3) 0（　　）-2；　(4) -(+7)（　　）-|-7|。 A9（填空·★★）数轴上点A表示-3，点B表示2，则A、B两点间的距离是（　　　）；点A到原点的距离是（　　　）。 图4　数轴上A、B两点间的距离（A9） A10（应用·★★）某天杭州最高气温是8℃，最低气温是-3℃。把这两个温度在“温度刻度线”（数轴）上表示出来，它们之间相距多少个刻度？ 图5　温度刻度线上的最高温与最低温（A10） 二、能力提升（方法进阶） B1（填空·★★）若|x-2|+|y+3|=0，则x+y＝（　　　）。 B2（多解·★★）若|a|=3，|b|=5，且a＜b，则a-b＝（　　　）。 B3（填空·★★）数轴上到表示-1的点的距离等于3的点表示的数是（　　　）。 图6　到表示-1的点距离为3的点有两个（B3） B4（填空·★★）数轴上点A表示的数是-5，点B表示的数是7，则线段AB的中点在数轴上表示的数是（　　　）。 图7　线段AB的中点（B4） B5（多解·★★）若|a|=3，|b|=4，且a、b异号，则a+b＝（　　　）。 B6（应用·★★）某出租车一天内的收支记录为：收入记为正、支出记为负（单位：元），共4笔：+120，-45，+80，-60。 (1) 这一天的收入合计是多少元？ (2) 支出合计是多少元？ (3) 收入比支出多多少元？ 三、综合应用（素养落地） C1（跨学科·地理·★★★）珠穆朗玛峰的海拔约8848.86米，新疆吐鲁番盆地某处海拔约-154.31米（海平面记为0米）。 (1) 用正负数说明两处海拔的含义； (2) 珠峰比吐鲁番盆地该处高约多少米？ C2（应用·质检·★★）某车间生产的零件，标准直径是10mm，超过标准记为正，不足记为负。抽检5个零件，偏差分别为：+0.3，-0.2，0，+0.1，-0.4（单位：mm）。 (1) 在数轴上表示这5个偏差； (2) 哪个零件最接近标准？哪个零件与标准差距最大？ 图8　抽检零件的偏差（C2） C3（应用·水位·★★）某水库以“周一前水位”为基准，用正负数记录一周水位变化（单位：米）： 周一+2.5，周二-1.2，周三+0.8，周四-0.6，周五-1.5，周六+1.3，周日+0.7。 (1) 水位上升和下降的天数各有多少天？ (2) 哪一天水位变化幅度最大？哪一天最小？ C4（探究·★★★）如图，数轴上有A、B、C三点，分别表示-6，-2，3。 (1) A、B两点间的距离是多少？B、C两点间的距离呢？ (2) 观察A、B间的距离为4，B、C间的距离为5，用一句话说一说“两数之差的绝对值”表示什么。 图9　数轴上的A、B、C三点（C4） 综合与实践 · 项目式学习 【项目名称】一周“生活数据”记录与分析 任务1　数据记录：连续7天记录一项生活数据（如每日最高/最低气温、家庭用电量、每天的步数与目标步数的差），每天用正负数记录（例如“比前一天高2℃记作+2℃”）。 任务2　数轴呈现：把7天的数据标在数轴上。 任务3　分析比较：用绝对值比较各天变化幅度，找出变化最大和最小的一天；用大小比较找出最高值与最低值。 任务4　成果分享：写一段3～5句的分析报告，在班级交流。 课标对接：“综合与实践”领域重在解决实际问题、以跨学科主题学习为主，第四学段可采用项目式学习。本项目融合科学（气温）、财经（用电量）、信息科技（数据整理，可借助AI工具辅助制表分析）。 评价维度 分值 评价标准 数据记录规范 20 记录完整、单位明确、正负数使用正确 正负数与绝对值应用 30 能正确表示数据并比较变化幅度 数轴表示 20 数据标注准确、刻度合理 报告表达 20 结论清晰、有数据支撑 合作与反思 10 小组协作良好、有反思改进 延伸思考：如果要计算一周数据的累计总量，需要先学习第二章“有理数的运算”，届时可回到本项目继续研究。 四、月考加油站 （一）本单元复习清单（必会5条） 序号 过关标准 1 会用正负数表示具有相反意义的量 2 能对有理数正确分类（整数/分数；正/负/0） 3 会画数轴，会用数轴表示数并比较大小 4 会求一个数的相反数和绝对值，理解其几何意义 5 能解决绝对值的简单多解问题（如|x|=a型、|a|+|b|=0型） （二）月考仿真小测（限时20分钟，满分80分，每题10分） M1（填空·★）-2026的相反数是（　　　），绝对值是（　　　）。 M2（选择·★）在-2，0，1，-3.5中，最小的数是（　） A．-2　B．0　C．1　D．-3.5 M3（填空·★）若|x|=5，则x＝（　　　）。 M4（填空·★）数轴上表示-2和3的两点之间的距离是（　　　）。 图10　数轴上表示-2和3的两点间的距离（M4） M5（选择·★）下列各组数中，互为相反数的是（　） A．2和　B．-3和-|-3|　C．4和-4　D．-(-5)和5 M6（填空·★★）若|a-1|+|b+2|=0，则a+b＝（　　　）。 M7（填空·★★）绝对值小于3的整数共有（　　　）个，它们是（　　　）。 M8（操作·★★）把-3.5，0，2，-1，4.5按从小到大的顺序排列。 五、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．画知识网络：合上书本，把“有理数”单元的知识树独立画一遍（正负数、分类、数轴、相反数、绝对值、大小比较），再对照课本补漏。 2．错题归因：把错题分成三类——概念不清、方法不会、粗心大意；每类至少找出1道典型题重做，并口述理由。 3．一题多解：比较两个负数的大小时，分别用“数轴法”和“绝对值法”各做一遍，互相验证。 4．限时训练：月考仿真小测按20分钟限时完成，对照答案自评，记录丢分类型，复习时重点突破。 六、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“四步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它分析本题考查的知识点 不发送真实姓名、学校、家庭住址等隐私信息 2 变式 请AI出3道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 把AI的解析当作“小老师”，用课本知识逐条检验 发现疑点及时请教老师 4 归档 把错题与变式整理进错题本，标注对应知识点 AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 七、易错辨析（丢分点清零） 易错点 错例与反例 正确理解 0既不是正数也不是负数 误把0当作正数 0是整数、是有理数，但既不是正数也不是负数 带“－”号的数不一定是负数 误认为-a一定是负数 如-(-3)=3；当a是负数时，-a是正数 绝对值等于它本身的数 只答正数 还包括0，应为非负数 两个负数比较大小 误认为“5＞3，所以-5＞-3” 绝对值大的反而小：|-5|＞|-3|，所以-5＜-3 数轴三要素 画数轴漏掉正方向或单位长度 原点、正方向、单位长度缺一不可 若|a|=-a 误答a为负数 a≤0，即负数和0 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固 A1　B。解析：A错，有理数包括整数和分数，0不能遗漏；C错，如-(-2)=2是正数；D错，还漏掉了0。 A2　B。解析：零上与零下是具有相反意义的量，零上记正，零下记负。 A3　正数集合：{③⑤}；负数集合：{①④⑥}；整数集合：{①②}；分数集合：{③④⑤⑥}。解析：0既不是正数也不是负数，但0是整数；有限小数3.14、负小数-2.5、负分数都属于分数。 A4　原点；正方向；单位长度；左；3。解析：数轴上原点左侧表示负数，-3在原点左侧3个单位处。 A5　见图3。解析：先找原点，再按单位长度定位；0.5在0与1之间，-3.5在-3与-4之间。 A6　-4；-5；±6。解析：-(-4)=4，4的相反数是-4；只有符号不同的两个数互为相反数，a=-5；|x|=6表示x到原点的距离为6，所以x=6或-6。 A7　9；0；3.5；0；非负数（0和正数）。解析：绝对值表示点到原点的距离；绝对值等于它本身的数包括0和所有正数。 A8　(1)＞；(2)＜；(3)＞；(4)＝。解析：(1)两个负数比较，绝对值大的反而小，|-3|=3＜|-5|=5，所以-3＞-5；(2)|-0.5|=0.5，||=≈0.33，0.5＞，所以-0.5＜；(3)正数大于0，0大于负数；(4)-(+7)=-7，-|-7|=-7，相等。（数轴法：-0.5 在 的左侧，左边的数总比右边的小。） A9　5；3。解析：从-3到2，先向右3个单位到原点，再向右2个单位到2，共5个单位；点A到原点的距离为|-3|=3。 A10　11个刻度。解析：从-3到0相距3个刻度，从0到8相距8个刻度，一共3+8=11个刻度，即这一天的温差是11℃。 （二）能力提升 B1　-1。解析：|x-2|≥0，|y+3|≥0，两个非负数的和为0，只能都为0：x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3，所以x+y=-1。 B2　-2或-8。解析：|a|=3得a=3或-3，|b|=5得b=5或-5；满足a＜b的有(3,5)和(-3,5)两组，对应a-b=3-5=-2或-3-5=-8。 B3　-4或2。解析：在-1的左边3个单位处是-4，右边3个单位处是2，共有两个点（见图6）。 B4　1。解析：A、B两点相距12个单位，中点把线段分成相等的两段，每段6个单位；从-5向右数6个单位得1（或从7向左数6个单位得1）。 B5　1或-1。解析：a=3或-3，b=4或-4；异号即一正一负：3+(-4)=-1，或(-3)+4=1，所以a+b=±1。 B6　(1) 200元；(2) 105元；(3) 95元。解析：收入的多少用正数的绝对值表示：120+80=200（元）；支出的多少用负数的绝对值表示：45+60=105（元）；收入比支出多200-105=95（元）。 （三）综合应用 C1　(1) 8848.86米表示在海平面以上8848.86米；-154.31米表示在海平面以下154.31米。(2) 9003.17米。解析：从-154.31米到0米升高154.31米，从0米到8848.86米再升高8848.86米，共154.31+8848.86=9003.17（米），即两处在“海拔数轴”上的距离。 C2　(1) 见图8。(2) 偏差为0的零件最接近标准；偏差为-0.4的零件与标准差距最大。解析：5个偏差的绝对值分别为0.3、0.2、0、0.1、0.4，|0|=0最小，|-0.4|=0.4最大；|偏差|越小越接近标准。 C3　(1) 上升4天（周一、周三、周六、周日），下降3天（周二、周四、周五）。(2) 周一变化幅度最大，周四变化幅度最小。解析：正数表示上升、负数表示下降；变化幅度看绝对值：2.5、1.2、0.8、0.6、1.5、1.3、0.7，其中2.5最大、0.6最小。 C4　(1) A、B间距离为4；B、C间距离为5。(2) 两数之差的绝对值表示数轴上表示这两个数的两点间的距离（如|(-6)-(-2)|=|-4|=4，|(-2)-3|=|-5|=5）。解析：在数轴上数单位个数即可得到距离，该结论是后续学习的重要基础。 （四）月考仿真小测 M1　2026；2026。解析：-2026与2026只有符号不同，互为相反数；|-2026|=2026。 M2　D。解析：负数小于0小于正数；两个负数比较，|-3.5|=3.5＞|-2|=2，所以-3.5＜-2。 M3　±5。解析：到原点距离为5的点有两个：5和-5。 M4　5。解析：从-2到3，先向右2个单位到0，再向右3个单位到3，共5个单位（见图10）。 M5　C。解析：A中2与互为倒数；B中-|-3|=-3，与-3相等，不是相反数；C中4与-4只有符号不同，互为相反数；D中-(-5)=5，与5相等，不是相反数。 M6　-1。解析：|a-1|≥0，|b+2|≥0，故a-1=0，b+2=0，得a=1，b=-2，a+b=-1。 M7　5；-2，-1，0，1，2。解析：绝对值小于3且为整数的数有-2、-1、0、1、2，共5个。 M8　-3.5＜-1＜0＜2＜4.5。解析：正数大于0大于负数；负数比较用绝对值，|-3.5|＞|-1|，所以-3.5＜-1。 说明：本讲义题目为原创命制，情境数据（海拔、气温等）为公共常识性约值；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $