3.2.2 双曲线的简单几何性质导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学目标： （1）掌握双曲线的简单几何性质． （2）理解双曲线的渐近线及离心率的意义． （3）根据几何条件求出双曲线的方程，通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合思想，培养数学运算的核心素养． 教学过程： 课程导入：数学的浩瀚宇宙中，椭圆的几何性质犹如璀璨星辰，我们曾从图形、方程 范围等多个维度对其进行探索，领略了数学之美与规律.而双曲线作为圆锥曲线家族的重要成员，与椭圆有着千丝万缕的联系和独特差异。冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线的性质，研究建造冷却水塔呢？ 任务一 双曲线的性质 探究1：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，你可以发现双曲线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 探究2：类比求椭圆顶点的方法，根据方程 -＝1（a＞0，b＞0）求双曲线的顶点坐标 令，得，因此双曲线和轴有两个交点 令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴 ， 但我们也把，两点画在轴上. 线段叫做 ，它的长等于， 叫做双曲线的实半轴长； 线段叫做 ，它的长等于， 叫做双曲线的虚半轴长． 【例1】求双曲线的焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴和虚轴的长分别为 ， ，焦距为 练习1、求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，渐近线方程． 探究3：经过双曲线实轴两顶点，作轴的平行线，经过虚轴两 点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形。画出双曲线和矩形对角线两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？ 定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线即逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 总结： 标准方程 性 质 图形 焦点 ______________ ______________ 焦距 _______________ 范围 或 ， 或 ， 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 _________________ _________________ 轴 实轴：线段 = ；虚轴：线段 = ； 半实轴长：，半虚轴长： 渐近线 【例2】若双曲线的的焦距是4，求双曲线的渐近线方程. 练习2、已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，求双曲线的虚轴长. 任务二 双曲线的渐近线应用 【例3】求与双曲线有相同的渐近线,且经过点的双曲线的标准方程. 结论：与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（,焦点在轴上,,焦点在y轴上） 练习3、求渐近线方程为y=±2x，且经过点A（1, 2）的双曲线的标准方程. 【例4】已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4,实轴长为6,则的值为 结论：焦点到渐近线距离为b 练习4、已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为,求双曲线的渐近线方程. 【例5】已知两条渐近线相互垂直且经过点（2,0），求双曲线标准方程. 结论：如果a=b，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a，这样实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，双曲线方程为 练习5、已知双曲线的左、右焦点分别为, ,过的直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为,交另一条渐近线于,且为的中点,求双曲线的渐近线方程. 任务三 双曲线的离心率 探究1：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何 特征？ 思考1：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？ 双曲线离心率 因为，所以= 可得离心率越大，的值越大，渐近线的斜率越大，双曲线的“张口” 【例6】已知双曲线的渐近线与轴的夹角为，求双曲线的离心率. 练习6、已知是双曲线：的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，求双曲线标准方程. 3.2.2 双曲线的简单几何性质（答案） 教学目标： （1）掌握双曲线的简单几何性质． （2）理解双曲线的渐近线及离心率的意义． （3）根据几何条件求出双曲线的方程，通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合思想，培养数学运算的核心素养． 教学过程： 课程导入：数学的浩瀚宇宙中，椭圆的几何性质犹如璀璨星辰，我们曾从图形、方程 范围等多个维度对其进行探索，领略了数学之美与规律.而双曲线作为圆锥曲线家族的重要成员，与椭圆有着千丝万缕的联系和独特差异。冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线的性质，研究建造冷却水塔呢？ 任务一 双曲线的性质 探究1：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，你可以发现双曲线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 探究2：类比求椭圆顶点的方法，根据方程 -＝1（a＞0，b＞0）求双曲线的顶点坐标 令，得，因此双曲线和轴有两个交点 令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴 没有公共点 ， 但我们也把，两点画在轴上. 线段叫做 双曲线的实轴 ，它的长等于， 叫做双曲线的实半轴长； 线段叫做 双曲线的虚轴 ，它的长等于， 叫做双曲线的虚半轴长． 【例1】求双曲线的焦点坐标为 （-）， （,） ，顶点坐标为 （-3,0） ，（3，0） ，实轴和虚轴的长分别为 6 ， 4 ，焦距为 练习1、求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，渐近线方程． 把双曲线的方程化为标准方程． 由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是，；渐近线方程为． 探究3：经过双曲线实轴两顶点，作轴的平行线，经过虚轴两 点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形。画出双曲线和矩形对角线两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？ 发现点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于0． 定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线即逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 总结： 标准方程 性 质 图形 焦点 ______(±c，0)________ _______(0，±c)_______ 焦距 ______2c_________ 范围 x≤-a 或，x≥a ， y≤-a，y≥a 或 ， 对称性 对称轴： ：x轴与y轴 ；对称中心： 原点 顶点 ______(±a，0)___________ _______(0，±a)__________ 轴 实轴：线段 = 2a ；虚轴：线段 2b = ； 半实轴长：，半虚轴长： 渐近线 【例2】若双曲线的的焦距是4，求双曲线的渐近线方程. 【详解】由双曲线方程为 ，可得 ， 由题意焦距 ，得 ， 根据双曲线性质 ，代入得 ，解得 ，即 ， 焦点在轴的双曲线渐近线方程为 ，整理得 . 练习2、已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，求双曲线的虚轴长. 6 任务二 双曲线的渐近线应用 【例3】求与双曲线有相同的渐近线,且经过点的双曲线的标准方程. ＝1 结论：与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（,焦点在轴上,,焦点在y轴上） 练习3、求渐近线方程为y=±2x，且经过点A（1, 2）的双曲线的标准方程. ＝1 【例4】已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4,实轴长为6,则的值为 【详解】右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为， 所以，即的方程为. 结论：焦点到渐近线距离为b 练习4、已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为,求双曲线的渐近线方程. 【详解】根据题意，可设一条渐近线为， 取，， 所以，解得：，因为， 故， 因此双曲线的渐近线方程为． 【例5】已知两条渐近线相互垂直且经过点（2,0），求双曲线标准方程. -＝1 结论：如果a=b，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a，这样实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，双曲线方程为 练习5、已知双曲线的左、右焦点分别为, ,过的直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为,交另一条渐近线于,且为的中点,求双曲线的渐近线方程. 详解】根据对称性，不妨设与渐近线垂直，则直线的斜率为， 为的中点，为中点，，则，即， 整理得到，故渐近线方程为. 故答案为：. 任务三 双曲线的离心率 探究1：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何 特征？ 思考1：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？ 双曲线离心率 因为，所以= 可得离心率越大，的值越大，渐近线的斜率越大，双曲线的“张口” 越大 【例6】已知双曲线的渐近线与轴的夹角为，求双曲线的离心率. 【详解】由题知，双曲线方程为， 则渐近线为， 因为渐近线与轴的夹角为， 所以，即， 又，所以，. 练习6、已知是双曲线：的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，求双曲线标准方程. 【详解】设， 代入双曲线方程可得， 所以， 不妨取一条渐近线，则到直线的距离， 因为， 所以， 解得, 所以双曲线的方程为， 学科网（北京）股份有限公司 $