3.2.2 第2课时 双曲线几何性质的应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线几何性质的应用，涵盖直线与双曲线的位置关系、弦长问题及中点弦问题。通过类比直线与椭圆位置关系设计探究问题，引导学生从公共点个数、方程联立等角度构建知识联系，形成学习支架。 以探究式学习为主线，设置“梳理教材-典例解析-练习巩固”分层环节，帮助学生用数学眼光观察位置关系，用数学思维推理弦长与中点弦问题，用数学语言规范解题过程，提升抽象能力、推理能力和应用意识。

3.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线几何性质的应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.利用方程思想研究直线与双曲线的交点问题. 2.结合距离公式及方程思想解决弦长问题和中点弦有关问题等. 一、直线与双曲线的位置关系 探究1　类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有哪几种位置关系？ 探究2　画出一条直线与双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？ 探究3　类比直线与椭圆的位置关系，如何判断直线与双曲线的位置关系？ ⚪梳理教材 一般地，设直线l：y＝kx＋m（m≠0），双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），联立、化简，得（b2－a2k2）x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. （1）当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线交于一点. （2）当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝（－2a2mk）2－4（b2－a2k2）（－a2m2－a2b2）. 若Δ＞0⇒l与C有两个公共点，此时相交. 若Δ＝0⇒l与C有一个公共点，此时相切. 若Δ＜0⇒l与C无公共点，此时相离. ⚪温馨提示　（1）相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交. （2）消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若直线与双曲线只有1个交点，则直线与双曲线相切.（　 ） （2）直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.（　 ） （3）过点A（1，0）作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.（　 ） 【典例1】　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． ⚪解题感悟 　　（1）解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. （2）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. （3）注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 【练习1】　若直线l过点（3，0）且与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线有（　 ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 二、弦长问题 探究4　若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？ ⚪梳理教材 直线与双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长. 方法二：利用弦长公式. 设斜率为k（k≠0）的直线l与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝ ＝·｜y1－y2｜ ＝. 【典例2】　（1）求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长. （2）已知双曲线方程为x2－＝1，过右焦点F的直线l与双曲线交于M，N两点，且｜MN｜＝4，求直线l的方程. ⚪解题感悟 　　解决双曲线中有关弦长问题时，多数考虑应用弦长公式. 【练习2】　已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）与双曲线－＝1的渐近线相同，且经过点（2，3）. （1）求双曲线C的方程； （2）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且倾斜角为的直线l与双曲线C交于A，B两点，求△F1AB的面积. 三、中点弦问题 探究5　能否像椭圆一样，用“点差法”推导双曲线中点弦公式？ ⚪梳理教材 解决与双曲线的中点弦有关问题的两种方法 （1）根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系解决. 【典例3】　设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　 ） A.（1，1） B.（－1，2） C.（1，3） D.（－1，－4） ⚪解题感悟 　　若双曲线－＝1（a＞0，b＞0），一条弦所在直线的斜率为k，弦的中点坐标为（x0，y0），则有结论：·k＝，此结论有助于解决中点弦的问题. 【练习3】　已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B（1，1）平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. ⚪课堂达标 1.直线y＝（x－）与双曲线x2－9y2＝9交点的个数是（　 ） A.0 B.1 C.2 D.4 2.直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　 ） A.1 B.2 C.1或2 D.0 3.过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则｜AB｜的值为（　 ） A.8 B.4 C.4 D.2 4.已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A（2，3）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（　 ） A.4x－3y＋1＝0 B.2x－y－1＝0 C.3x－4y＋6＝0 D.x－y＋1＝0 5.经过点P（，2）且与双曲线4x2－y2＝1仅交于一点的直线条数是（　 ） A.4 B.3 C.2 D.1 6.双曲线－＝1的通径长为 . 7.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则｜AB｜＝ . 解析版 ⚪学习目标　1.利用方程思想研究直线与双曲线的交点问题. 2.结合距离公式及方程思想解决弦长问题和中点弦有关问题等. 一、直线与双曲线的位置关系 探究1　类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有哪几种位置关系？ 提示：三种.分别为相交、相切、相离. 探究2　画出一条直线与双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？ 提示：当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但并非相切关系，所以不能用公共点个数来区分. 探究3　类比直线与椭圆的位置关系，如何判断直线与双曲线的位置关系？ 提示：一般地，联立直线与双曲线方程，其解的个数即可判断直线与双曲线的位置关系，但要注意，当有一个解时，要注意分清是二次方程有一个解还是联立后二次项系数为0得到一个解，若是前者则相切，若是后者则相交. ⚪梳理教材 一般地，设直线l：y＝kx＋m（m≠0），双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），联立、化简，得（b2－a2k2）x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. （1）当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线交于一点. （2）当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝（－2a2mk）2－4（b2－a2k2）（－a2m2－a2b2）. 若Δ＞0⇒l与C有两个公共点，此时相交. 若Δ＝0⇒l与C有一个公共点，此时相切. 若Δ＜0⇒l与C无公共点，此时相离. ⚪温馨提示　（1）相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交. （2）消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若直线与双曲线只有1个交点，则直线与双曲线相切.（　✕　） （2）直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.（　√　） （3）过点A（1，0）作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.（　✕　） 【典例1】　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解：联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). (1)由 得－<k<且k≠±1， 此时方程(*) 有两个不同的实数解， 即直线l与双曲线有两个不同的公共点． (2)由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交， 有且只有一个公共点． 故当k＝±或k＝±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)由得k<－或k>， 此时方程(*)无实数解， 即直线l与双曲线无公共点． ⚪解题感悟 　　（1）解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. （2）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. （3）注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 【练习1】　若直线l过点（3，0）且与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线有（　C　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x－3），与双曲线方程联立并化简得（4－9k2）x2＋54k2x－81k2－36＝0，要使直线l与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或有两个相等实根，∴4－9k2＝0或Δ＝0（不成立），解得k＝±.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝3，由双曲线的右顶点为（3，0）可知，此时直线l与双曲线也只有一个公共点.综上，这样的直线有3条.故选C. 二、弦长问题 探究4　若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？ 提示：有.过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长最短，最短为. ⚪梳理教材 直线与双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长. 方法二：利用弦长公式. 设斜率为k（k≠0）的直线l与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝ ＝·｜y1－y2｜ ＝. 【典例2】　（1）求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长. 解：联立消去y并整理得 3x2－2x－5＝0. ① Δ＝（－2）2－4×3×（－5）＝64＞0，可设方程①的解为x1，x2（x1≠x2）， ∴x1＋x2＝，x1x2＝－. ∴截得的弦长d＝｜x1－x2｜＝ ＝×＝. （2）已知双曲线方程为x2－＝1，过右焦点F的直线l与双曲线交于M，N两点，且｜MN｜＝4，求直线l的方程. 解：由题知F（2，0），当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，此时不妨设M，N的坐标分别为（2，3），（2，－3）， ∴｜MN｜＝6≠4，与已知矛盾. 故直线l的斜率存在，设l：y＝k（x－2）， M（x1，y1），N（x2，y2）. 联立 消y得（3－k2）x2＋4k2x－4k2－3＝0. ∴ ∴｜MN｜＝ ＝ ＝＝4， 解得k＝±. ∴直线l的方程为y＝±（x－2）. ⚪解题感悟 　　解决双曲线中有关弦长问题时，多数考虑应用弦长公式. 【练习2】　已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）与双曲线－＝1的渐近线相同，且经过点（2，3）. （1）求双曲线C的方程； （2）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且倾斜角为的直线l与双曲线C交于A，B两点，求△F1AB的面积. 解：（1）设双曲线C的方程为－＝λ（λ≠0，λ≠1）， 将点（2，3）代入，得－＝λ，解得λ＝－，即x2－＝1. （2）由题意，可得F1（－2，0），F2（2，0），直线AB的方程为y＝2－x. 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，Δ＝72＞0， 则x1＋x2＝－2，x1x2＝－， 由弦长公式得｜AB｜＝｜x1－x2｜＝×＝6. 因为点F1（－2，0）到直线AB：x＋y－2＝0的距离d＝＝2，所以＝·｜AB｜·d＝×6×2＝6. 三、中点弦问题 探究5　能否像椭圆一样，用“点差法”推导双曲线中点弦公式？ 提示：设A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，点M（x0，y0）为线段AB的中点，那么 两式相减可得＝， 即kAB·＝. ⚪梳理教材 解决与双曲线的中点弦有关问题的两种方法 （1）根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系解决. 【典例3】　设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　D　） A.（1，1） B.（－1，2） C.（1，3） D.（－1，－4） 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则线段AB的中点M（，）， 可得kAB＝， kOM＝＝. 因为A，B在双曲线上，则 两式相减得（－）－＝0， 所以kAB·kOM＝＝9. 对于选项A， 可得kOM＝1，kAB＝9，则直线AB的方程为y＝9x－8， 联立方程消去y并整理得72x2－144x＋73＝0， 此时Δ＝（－144）2－4×72×73＝－288＜0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B，可得kOM＝－2，kAB＝－，则直线AB的方程为y＝－x－， 联立方程消去y并整理得45x2＋90x＋61＝0， 此时Δ＝902－4×45×61＝－2 880＜0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C，可得kOM＝3，kAB＝3，则直线AB的方程为y＝3x， 由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则y＝3x为双曲线的渐近线方程， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，kOM＝4，kAB＝，则直线AB的方程为y＝x－， 联立方程消去y并整理得63x2＋126x－193＝0， 此时Δ＝1262＋4×63×193＞0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确.故选D. ⚪解题感悟 　　若双曲线－＝1（a＞0，b＞0），一条弦所在直线的斜率为k，弦的中点坐标为（x0，y0），则有结论：·k＝，此结论有助于解决中点弦的问题. 【练习3】　已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B（1，1）平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 解：不存在，理由如下： 方法一：设被点B（1，1）平分的弦所在的直线方程为y＝k（x－1）＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得（k2－2）x2－2k（k－1）x＋k2－2k＋3＝0， ∴k2－2≠0，且Δ＝[－2k（k－1）]2－4（k2－2）·（k2－2k＋3）＝24－16k＞0， 解得k＜，且k≠±. 设弦的两端点为M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1＋x2＝. ∵点B（1，1）是弦MN的中点， ∴＝1，∴k＝2＞. 故双曲线上不存在被点B（1，1）平分的弦. 方法二：设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 且 由①－②得（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）·（y1－y2）＝0， ∴kMN＝＝2， ∴直线MN的方程为y－1＝2（x－1）， 即y＝2x－1. 联立消去y，得2x2－4x＋3＝0. 又Δ＝－8＜0， ∴直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B平分的弦. ⚪课堂达标 1.直线y＝（x－）与双曲线x2－9y2＝9交点的个数是（　B　） A.0 B.1 C.2 D.4 解析：由题得，双曲线渐近线方程为y＝±x，直线过定点（，0）且平行于双曲线的一条渐近线，故直线与双曲线有且只有1个公共点，故选B. 2.直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　A　） A.1 B.2 C.1或2 D.0 3.过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则｜AB｜的值为（　C　） A.8 B.4 C.4 D.2 解析：双曲线x2－y2＝4的焦点为（±2，0），把x＝2代入，解得y＝±2，∴｜AB｜＝2－（－2）＝4. 4.已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A（2，3）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（　A　） A.4x－3y＋1＝0 B.2x－y－1＝0 C.3x－4y＋6＝0 D.x－y＋1＝0 解析：设弦的两端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则2－＝2，2－＝2， 两式相减，得2（x1－x2）（x1＋x2）－（y1－y2）·（y1＋y2）＝0. 又点A为弦PQ中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝6， 所以8（x1－x2）－6（y1－y2）＝0⇒kPQ＝＝， 因此直线PQ的方程为y－3＝（x－2）， 即4x－3y＋1＝0， 经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交，且弦PQ被点A平分. 因此符合题意的直线方程为4x－3y＋1＝0. 故选A. 5.经过点P（，2）且与双曲线4x2－y2＝1仅交于一点的直线条数是（　A　） A.4 B.3 C.2 D.1 解析：双曲线的渐近线为y＝±2x，点P（，2）在双曲线外，所以过点P可引双曲线的两条切线，也可作两条与渐近线平行的直线，故所求的直线有4条. 6.双曲线－＝1的通径长为　2　. 解析：由通径公式得，＝＝2. 7.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则｜AB｜＝　4　. 解析：由双曲线方程可得右焦点为（2，0），渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，故｜AB｜＝4. 页 学科网（北京）股份有限公司 $