3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时）（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线的简单几何性质（第1课时），核心内容包括范围、对称性、顶点、离心率、渐近线及等轴双曲线。课堂通过类比椭圆性质引导学生探究，结合Geogebra软件演示渐近线，用表格填空和归纳总结构建知识脉络。 资料特色在于注重数学思维（类比推理）与直观想象（信息技术演示），通过高考真题巩固知识，培养数学运算核心素养。错题反思设计促进自主学习，帮助学生系统掌握双曲线性质及应用，提升分析解决问题能力。

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） （导学案） （1）掌握双曲线的简单几何性质． （2）理解双曲线的渐近线及离心率的意义． （3）根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养． 教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 焦距 a，b，c的关系 范围 对称性 顶点 轴长 离心率 渐近线 [说明]　(1)双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标(实轴端点坐标)、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关． (2)双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程． 知识点二　等轴双曲线 (1) 的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为 ； ②渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于 ，离心率e＝ ． 类比：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，你可以发现双曲线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 教师：归纳总结，得出双曲线的第一个几何性质：范围：双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域． 类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求双曲线的顶点. 预设：在方程①中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点，；令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把，两点画在轴上. 两个重要概念： 线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长． 教师：归纳总结，得出双曲线的第三个几何性质：顶点，焦点在x轴：，焦点在y轴：. 探究：利用信息技术画出双曲线和两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？ 教师：通过Geogebra软件进行演示. 思考：经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，求矩形的两条对角线所在直线的方程. 渐近线定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 教师：归纳总结，得出双曲线的第四个几何性质：渐进线，双曲线的渐近线方程为，即；双曲线的渐近线方程为，即． 教师：下面学习双曲线的简单几何性质五：离心率，回顾椭圆离心率的定义，得出双曲线离心率的定义. 教师：肯定同学们的预猜，类比椭圆的离心率范围：，推导双曲线的离心率的范围. 思考：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 追问：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？ 预设：双曲线离心率 离心率越大，的值越大，渐近线的斜率越大， 双曲线的“张口”越大. 等轴双曲线：在双曲线中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 易知，等轴双曲线的离心率都为. 师生：归纳总结，学生类比焦点在x轴上双曲线几何性质，焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质，完成下表 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x≤-a，x≥a，y∈R 顶点 (±a，0) (0，______) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ 焦点 (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴：______，对称中心：____ 渐近线 离心率 e＝ e＝________ 学生：类比，完成以上表格. 预设： 例4 求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．． 1.（25-26高二下·浙江·开学考试）若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 4.（25-26高三下·河北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5.（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） （导学案） （1）掌握双曲线的简单几何性质． （2）理解双曲线的渐近线及离心率的意义． （3）根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养． 教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 范围 x≤－a，或x≥a，y∈R y≤－a，或y≥a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长为2a，虚轴长为2b；实半轴长为a，虚半轴长为b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x [说明]　(1)双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标(实轴端点坐标)、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关． (2)双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程． 知识点二　等轴双曲线 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为x2－y2＝±a2(a＞0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝． 类比：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，你可以发现双曲线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 学生：尝试着观察双曲线的图，以及类比椭圆的探究方法，与同桌讨论分析，得出答案. 预设：范围是，或，纵坐标的范围是. 要求：请尝试着利用双曲线方程证明你的结论. 学生：从双曲线方程入手，借助，即可得出横坐标的范围. 预设：由方程①可得 ， 于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即，． 所以或，． 教师：归纳总结，得出双曲线的第一个几何性质：范围：双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域． 类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求双曲线的顶点. 学生：进行知识迁移，类比椭圆求顶点的办法，得出双曲线的顶点坐标. 预设：在方程①中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点，；令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把，两点画在轴上. 两个重要概念： 线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长． 教师：归纳总结，得出双曲线的第三个几何性质：顶点，焦点在x轴：，焦点在y轴：. 探究：利用信息技术画出双曲线和两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？ 教师：通过Geogebra软件进行演示. 学生：通过教师借助信息技术的动态化演示，学生得出结论. 预设：发现点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于0． 思考：经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，求矩形的两条对角线所在直线的方程. 学生：思考，并尝试着求出该直线方程. 预设：矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交． 渐近线定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 教师：归纳总结，得出双曲线的第四个几何性质：渐进线，双曲线的渐近线方程为，即；双曲线的渐近线方程为，即． 教师：下面学习双曲线的简单几何性质五：离心率，回顾椭圆离心率的定义，得出双曲线离心率的定义. 学生：回顾椭圆离心率的定义，预猜双曲线离心率定义如下： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率. 教师：肯定同学们的预猜，类比椭圆的离心率范围：，推导双曲线的离心率的范围. 学生：根据的大小关系：可得出， 思考：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 学生：尝试画出不同离心率的双曲线，观察图象得出结论. 预设：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小． 追问：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？ 学生：继续观察图象，教师借助信息技术演示相关变换.同时，尝试从离心率的公式入手推导出结论. 预设：双曲线离心率 离心率越大，的值越大，渐近线的斜率越大， 双曲线的“张口”越大. 等轴双曲线：在双曲线中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 易知，等轴双曲线的离心率都为. 师生：归纳总结，学生类比焦点在x轴上双曲线几何性质，焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质，完成下表 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x≤-a，x≥a，y∈R 顶点 (±a，0) (0，______) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ 焦点 (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴：______，对称中心：____ 渐近线 离心率 e＝ e＝________ 学生：类比，完成以上表格. 预设： 例4 求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：把双曲线的方程化为标准方程． 由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为． 1.（25-26高二下·浙江·开学考试）若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用双曲线的性质即可求解. 【详解】由双曲线方程为 ，可得 ， 由题意焦距 ，得 ， 根据双曲线性质 ，代入得 ，解得 ，即 ， 焦点在轴的双曲线渐近线方程为 ，整理得 . 2.（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为， 所以，即. 所以双曲线的离心率. 3.（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的实轴、虚轴、根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 4.（25-26高三下·河北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的焦距 【详解】由题意得，. 所以，. 所以. 5.（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $