3.2.1 双曲线及其标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 （导学案） 教学目标： 1. 通过类比椭圆的形成过程，抽象概括双曲线的定义，理解定义中“距离之差的绝对值”以及左右支的限制条件，发展数学抽象素养。 1. 掌握双曲线标准方程，理解参数a,b,c的几何意义及关系式 ，能区分双曲线与椭圆中a,b,c的关系，提升直观想象素养。 1. 能够运用定义法、待定系数法求解双曲线的标准方程，在方程化简、参数求解的过程中提高数学运算素养。 教学过程： 课程导入：平面内与两定点的距离的和等于常数2(2>||>0)的点的轨迹.那么平面内与两定点的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么呢？我们做一个拉链实验来观察一下 M> M M< M 任务一 双曲线标准方程 定义： 一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola)．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 探究1：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 那么，焦点，的坐标分别是 M到两焦点的距离之差的绝对值为2a（0<2a<2c） 类比椭圆，用集合语言表述双曲线 因为M= M= 所以 化简得 同除以得 由双曲线得定义知，，即，所以 令，其中，代入上式得 结论：双曲线的标准方程 我们称方程是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里． 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ 如图，双曲线的焦距为，焦点分别是，，，的意义同上，这时双曲线的标准方程是 【例1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 练习1、已知点，，动点P满足条件.则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 总结：有绝对值|时，轨迹是完整的双曲线 没有绝对值时，轨迹是双曲线右支 没有绝对值时，轨迹是双曲线左支 【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1） 焦点在x轴上，a=4，b=3 （2） 焦点在坐标轴上，经过M(1,2)，N(,)两点 （3） 与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； 总结：双曲线标准方程的求法 （1）定义法：利用双曲线的定义求标准方程，应先验证动点到两定点距离之差是不是常数，且该常数（定值）小于两定点间的距离，若符合，则根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，从而写出双曲线的标准方程. （2）待定系数法：根据条件设出双曲线的标准方程为 -＝1（a＞b＞0）或 -＝1（a＞b＞0），然后求出待定的系数代入方程即可。 （3）共焦点系法：与双曲线 -＝1有公共焦点的双曲线方程为 -＝1 任务二 利用双曲线定义求点到焦点的距离 【例3】双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则 练习3、双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则 任务三 双曲线中的焦点三角形问题 【例4】若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P是双曲线上的一点 （1）∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． （2） 若∠PF2F1＝90°，求△F1PF2的面积． 总结：求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)法一：利用公式S＝sin∠θ ①根据双曲线的定义求出|2a； ②利用余弦定理表示出，，之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； (2)法二：利用公式S＝|| 练习4．若，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且，试求的面积． 任务四 双曲线的轨迹问题 【例5】点A坐标（-5，0），点B坐标（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们斜率之积是 ，求点M的轨迹方程 总结：双曲线第三定义 双曲线上异于左右顶点的一点M, 与双曲线左右顶点A, B连线的斜率积为定值 = 练习5、设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，求点的轨迹方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 （导学案） 教学目标： 1. 通过类比椭圆的形成过程，抽象概括双曲线的定义，理解定义中“距离之差的绝对值”以及左右支的限制条件，发展数学抽象素养。 1. 掌握双曲线标准方程，理解参数a,b,c的几何意义及关系式 ，能区分双曲线与椭圆中a,b,c的关系，提升直观想象素养。 1. 能够运用定义法、待定系数法求解双曲线的标准方程，在方程化简、参数求解的过程中提高数学运算素养。 教学过程： 课程导入：平面内与两定点的距离的和等于常数2(2>||>0)的点的轨迹.那么平面内与两定点的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么呢？我们做一个拉链实验来观察一下 M> M M< M 任务一 双曲线标准方程 定义： 一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola)．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 探究1：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 那么，焦点，的坐标分别是 ， M到两焦点的距离之差的绝对值为2a（0<2a<2c） 类比椭圆，用集合语言表述双曲线 因为M= M= 所以 化简得 同除以得 由双曲线得定义知，，即，所以 令，其中，代入上式得 结论：双曲线的标准方程 我们称方程是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里． 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ 如图，双曲线的焦距为，焦点分别是，，，的意义同上，这时双曲线的标准方程是 【例1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 因为双曲线的焦点轴上，所以设它的标准方程为， 由，得，又，因此， 所以，双曲线的标准方程为． 练习1、已知点，，动点P满足条件.则动点P的轨迹方程为（    ） 由，结合双曲线定义可知 动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以，动点的轨迹方程为. A． B． C． D． 总结：有绝对值|时，轨迹是完整的双曲线 没有绝对值时，轨迹是双曲线右支 没有绝对值时，轨迹是双曲线左支 【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程： （4） 焦点在x轴上，a=4，b=3 －＝1 （5） 焦点在坐标轴上，经过M(1,2)，N(,)两点 ＝1 （6） 与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； 根据题意，设所求双曲线的标准方程为， ，即．① 双曲线经过点， ．② 由①②得，， 双曲线的标准方程为． 方法二 设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 总结：双曲线标准方程的求法 （1）定义法：利用双曲线的定义求标准方程，应先验证动点到两定点距离之差是不是常数，且该常数（定值）小于两定点间的距离，若符合，则根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，从而写出双曲线的标准方程. （2）待定系数法：根据条件设出双曲线的标准方程为 -＝1（a＞b＞0）或 -＝1（a＞b＞0），然后求出待定的系数代入方程即可。 （3）共焦点系法：与双曲线 -＝1有公共焦点的双曲线方程为 -＝1 任务二 利用双曲线定义求点到焦点的距离 【例3】双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则 易知点在双曲线右支上，由双曲线的定义得，因为， 所以，即，又因为，所以 练习3、双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则 由题意可得，即，又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9，又，所以． 任务三 双曲线中的焦点三角形问题 【例4】若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P是双曲线上的一点 （1）∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：双曲线的不妨设，则 ，而 得 故 （3） 若∠PF2F1＝90°，求△F1PF2的面积． PF2， P点横坐标x=5，带入方程－＝1中得y=，则PF2= 则S＝||= 总结：求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)法一：利用公式S＝sin∠θ ①根据双曲线的定义求出|2a； ②利用余弦定理表示出，，之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； (2)法二：利用公式S＝|| 练习4．若，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且，试求的面积． 由双曲线定义知, 两边同时平方,得. 在中,由余弦定理得， 所以， 所以． 任务四 双曲线的轨迹问题 【例5】点A坐标（-5，0），点B坐标（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们斜率之积是 ，求点M的轨迹方程 【详解】设， ∵点的坐标分别是， ∴直线的斜率， 同理，直线的斜率， ∴， 化简，得点的轨迹方程是 ， 总结：双曲线第三定义 双曲线上异于左右顶点的一点M, 与双曲线左右顶点A, B连线的斜率积为定值 = 练习5、设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，求点的轨迹方程 设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设，则，整理可得， 学科网（北京）股份有限公司 $