专题02 代数式8大题型67题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材湘教版

专题02 代数式 基础·固本强基 题型1 代数式的概念与列代数式 题型2 代数式的值 题型3 整式的概念 题型4 整式的加法与减法（重点） 提升·进阶突破 题型5 整式的化简求值（重点） 题型6 整式加减中的“无关型”问题 题型7 整式的加减与去括号法则（难点） 拔高·压轴破难 题型8 数字与图形的规律探究（难点） 题型9 新定义运算（难点） 题型10 代数式与数轴、绝对值综合化简（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 代数式的概念与列代数式（共5小题） 【模型】 数量关系转化模型（文字语言 符号语言）。 【步骤】 ① 抓住题干关键词（如和、差、倍、分、平方、倒数等）；② 按照运算顺序逐步列出代数式；③ 检查书写规范（如乘号省略、数字在前、带分数化假分数、带单位需加括号等）。 【易错】 ① 混淆“两数的平方差”（ ）与“两数差的平方”（ ）；② 列式后带有单位时，忘记给和或差的代数式加括号。 1．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：的带分数系数应化为假分数，不符合书写要求． 与均将除法运算写为分数形式，符合书写要求． 中相同字母相乘应写为幂的形式，不符合书写要求． 符合要求的代数式共有2个． 2．（26-27七年级上·云南·期中）下列各式符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求判断各项：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、正确书写形式为，故本选项不符合题意； B、正确书写形式为，故本选项不符合题意； C、书写形式正确，故本选项符合题意； D、正确书写形式为，故本选项不符合题意． 3．（26-27七年级上·云南·期中）某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】解：根据题意得，商品现在的售价为元． 4．（26-27七年级上·云南·期中）买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买1个篮球和2个排球共需_______元． 【答案】/ 【分析】根据题意得，1个篮球需要m元，2个排球需要元，则共需元． 【详解】解：买1个篮球和2个排球共需要元． 5．（26-27七年级上·云南·期中）列代数式： (1)的平方与的一半的和； (2)一个两位正整数，它的十位数字是，个位数字是，写出这个两位数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别表示出的平方和的一半，二者求和即可得到答案； （2）把这个两位数的十位数字乘以10，再加上个位数字即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方与的一半的和可表示为 ； （2）解：由题意得该两位数可表示为． 题型2 代数式的值（共8小题） 【模型】 直接代入计算模型。 【步骤】 ① 明确代数式及字母的取值；② 将数值代入字母位置（负数或分数代入时需加括号）；③ 按有理数运算法则计算得出结果。 【易错】 ① 代入负数时漏加括号，导致乘方运算符号出错（如 时， 误算为 ）；② 运算顺序颠倒。 6．（26-27七年级上·陕西·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，则第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值、数字类规律探索，理解程序框图的计算规则是解答此题的关键．先计算前几次输出的结果，进行归纳推理得出一般性的规律，从而确定第次输出的结果． 【详解】解：当输入的值为时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 输出的结果以，，这三个数进行循环， 第次输出的结果为． 7．（26-27七年级上·江西南昌·阶段检测）三个互不相等的有理数，既可表示为1，，a的形式，又可表示为0，，b的形式．则______． 【答案】2 【分析】根据两组数表示同一组三个互不相等的有理数，可知两组元素完全相等，先根据分母不为0的条件排除，得到，再推导确定和的值，代入代数式计算即可. 【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可表示为，，的形式，又可表示为，，的形式， ∴两组数的元素完全相同，且，若，则无意义， ∴第一组中只有等于，即， ∴， ∴， 此时第一组元素为，，，第二组元素为，，， 比较元素可得，只能是，或，， 若，，第一组元素为，，，出现重复元素，不符合要求，舍去， 若，，第一组为，第二组为，符合互不相等的条件， ． 8．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，，则式子的值为______ 【答案】2或 【分析】根据相反数和倒数的概念可得，，根据绝对值的意义可得或，然后代入式子按照有理数混合运算法则计算求值即可． 【详解】根据题意，得， ， 或． 将代入原式： 当时，原式， 当时，原式． 9．（26-27七年级上·四川·期中）若，则_____________． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴等式两边同乘，得， ∴将代入所求代数式，得． 10．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知b与a互为相反数，c与d互为倒数，n是最大的负整数，求的值． 【答案】 【分析】由相反数的定义可得，由倒数的定义可得，由题意可得，整体代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴； ∵c，d互为倒数， ∴； ∵n是最大负整数， ∴． ∴ ． 11．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）解答： (1)如果，且异号，求的值． (2)已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2，求式子：的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先化简绝对值，再根据异号得出的值，代入计算即可； （2）先得出，，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵异号， ∴或， ∴或， 综上，的值为或． （2）解：∵和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2， ∴，，， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为1或． 12．（26-27七年级上·甘肃·期中）若，求的值 【答案】 【分析】先根据非负性质得出，然后代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴且， ， ∴ ． 13．（26-27七年级上·四川·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)解：①A网店更合算，理由： A网店：元； B网店：元． ∵， ∴A网店更合算； ②在A网店买60支钢笔（送60个笔袋），在B网店买个笔袋最合算，理由： 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总费用：元． ∵， ∴在A网店买60支钢笔，在B网店买30个笔袋最合算． 【分析】（1）根据A，B两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）①把代入两个代数式计算，即可得出结论；②先去A网店买60支钢笔，再去B网店买30个笔袋最合算． 【详解】（1）解：A网店：买60支钢笔送60个笔袋，需额外购买个笔袋， 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总付款：元， B网店：钢笔和笔袋均按付款． 总费用： 元； （2）①略； ②略． 题型3 整式的概念（共4小题） 【模型】 结构特征识别模型。 【步骤】 ① 判断是否为整式（分母不含字母）；② 区分单项式（乘积形式）与多项式（和的形式）；③ 准确找出单项式的系数与次数，或多项式的项数与最高次项的次数。 【易错】 ① 误将 当作字母（ 是常数，属于系数的一部分）；② 确定单项式次数时，漏加字母指数为1的项，或错加了系数的指数。 14．（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 16．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式分类，利用分类讨论思想按的不同取值枚举所有情况，再分别验证三个说法即可． 【详解】解：∵ 为自然数， 为正整数，且 ， ∴， ∴ ， 按分类讨论： 当 时，，得整式，共1个，是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为 ，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为，，，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，得 ，其余系数为0，对应整式 ，共1个，是单项式； 验证说法：① 单项式共有 个，故①正确； ② 各对应整式个数为 ，不存在有且仅有2个的，故②错误； ③ 整式总个数为 个，不是10个，故③错误； 综上，正确的说法共1个，故选B． 17．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【答案】C 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义及相关性质，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：整式包括单项式和多项式，单独的字母m是单项式，属于整式，故A选项错误； 的系数是，次数是，故B选项错误； 单独的一个数是单项式，3是单独的数，是单项式，故C选项正确； ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是2， ∴该多项式的次数是3，故D选项错误． 题型4 整式的加法与减法（共6小题） 【模型】 同类项识别与合并模型。 【步骤】 ① 找出所含字母相同且相同字母指数也相同的项；② 将同类项的系数相加减；③ 字母及其指数保持不变。 【易错】 ① 将非同类项强行合并（如 ）；② 合并时只变了系数，忘记保留字母部分。 18．（26-27七年级上·全国·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据同类项定义排除不能合并的错误选项，再计算剩余选项验证结果． 【详解】解：A．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 19．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 20．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 21．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于、的多项式，． (1)计算； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）去括号，合并同类项即可； （2）由非负数的性质可求出x、y的值，代入即可求值． 【详解】（1）解： （2）解：∵，， ∴，， ∴，， 把，，，，代入， 得： 22．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（26-27七年级上·北京·期中）先化简，后求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据整式加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 提升·进阶突破 题型5 整式的化简求值（共9小题） 【模型】 整体代换与降次模型。 【步骤】 ① 观察已知条件与所求代数式的倍数或结构关系；② 将已知等式变形（如提取公因式）；③ 将变形后的整体直接代入所求式子中计算，避免求出单个字母的值。 【易错】 ① 找不到整体关系，盲目解方程求字母的值导致计算繁琐或无解；② 整体代入时忘记乘以相应的倍数系数。 24．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 25．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ；20 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 26．（26-27七年级上·四川·期中）先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【详解】先根据式子，去括号，再合并同类项，最后代值即可． ； ∵，， ∴原式． 27．（26-27七年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 28．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 29．（26-27七年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，26 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 30．（26-27七年级上·福建·期中）先化简再求值： ，其中，． 【答案】 ， 【详解】解： 当，时． 原式 ． 31．（26-27七年级上·河南·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，再将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： 将，代入，原式． 32．（26-27七年级上·福建·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 题型6 整式加减中的“无关型”问题（共5小题） 【模型】 系数归零模型。 【步骤】 ① 将给定的整式按要求进行加减运算；② 合并同类项，整理出含目标字母的项；③ 根据“结果与某字母无关”，令该字母所在项的系数等于0，解方程求参数。 【易错】 ① 合并同类项时符号出错，导致系数求错；② 忽略常数项或其他字母的干扰。 33．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 34．（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入，的表达式，合并同类项化简； （2）先计算并合并同类项，根据值与无关可得含项的系数为，求出，后代入代数式计算，即可解答． 【详解】（1）解：当，时， ，， ∴ ． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，， ∴． 35．（26-27七年级上·全国·期中）已知，是关于，的多项式，当，时，试判断的值与的取值有无关系，并说明理由． 【答案】的值与的取值无关．理由如下： 当，时， ， 所以的值与的取值无关． 【分析】当，时，化简得出结果为，即可得出结论． 【详解】略 36．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 37．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 题型7 整式的加减与去括号法则（共6小题） 【模型】 括号前符号分配模型。 【步骤】 ① 遇到括号，先看括号前的符号；② 若为“+”，直接去掉括号；若为“-”，括号内每一项都要变号；③ 去括号后，再合并同类项。 【易错】 ① 括号前是负号时，只给第一项变号，漏变后面的项；② 括号前有数字因数时，去括号漏乘括号内的每一项。 38．（25-26七年级下·河南南阳·期末）解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用乘法分配律计算，括号前是负号时，去括号后括号内各项要改变符号，据此即可判断正确结果． 【详解】解：∵ 对原方程去括号，需将乘括号内的每一项， ∴ 乘得，乘得， 因此去括号后结果为． 39．（22-23七年级上·全国·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 40．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 41．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的值为____． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含有的式子，利用整体代入的思想方法求解即可． 【详解】解： ， ． 42．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若，则代数式的值为___________． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想的应用．将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：2026． 43．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 拔高·压轴破难 题型7 数字与图形的规律探究（共11小题） 【模型】 增根反推参数模型。 【步骤】 ① 去分母将分式方程化为整式方程；② 令最简公分母等于0，求出可能的增根；③ 将增根代入整式方程，反解出参数的值。 【易错】 ① 混淆“增根”与“无解”的概念（无解可能是整式方程本身无解，也可能是解全为增根）；② 忘记讨论整式方程最高次项系数为0的情况。 44．（26-27七年级上·北京·期中）对于负数，规定，例如：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算可得 （其中且为负数 ），将求和式中的项配对，利用该性质简化计算即可． 【详解】解：∵ ，且对于负数， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴原式． 45．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【答案】D 【分析】对已知m的选项顺推计算步数，对已知n的选项逆推求m的可能值，结合“第一次到达1”的条件判断正误即可． 【详解】解：A、当时，变换过程为，共9步，即，故该选项正确，不符合题意； B、∵当时，变换过程为，共2步，即， 又∵当时，， ∴随着的增大，不一定也增大，故该选项正确，不符合题意； C、∵当时，即经过2步第一次到达1， ∴倒数第1步只能是（无正整数解）， ∴初始数只能是（无正整数解），故该选项正确，不符合题意； D、∵当时， ∴变换过程可以为，共5步；或，共5步， ∴不只能是，故该选项错误，符合题意． 46．（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 47．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 【答案】B 【分析】写出前3组图形对应的正方形数量，将数值改写为多个相乘再减的结构，总结出第个图形的计算式子，把代入式子算出数值，匹配对应选项． 【详解】解：第①个图形正方形个数：， 第②个图形正方形个数：， 第③个图形正方形个数：． 归纳规律：第个图形中正方形个数为个相乘再减去． ∴第⑨个图形正方形的个数 ． 48．（26-27七年级上·北京·期中）将个各不相同的正整数填在表格的个格子中，一个格子填一个数，使得每个子表格中四个数的和都恰好等于．这个正整数总和的最小值是_____． 【答案】 【分析】先列出个子方格的等式并相加，推导出总和与中心数的关系式；四角取最小个互不相同正整数，在数字互不重复的限制下取最大的中心数，进而求出个数总和的最小值． 【详解】解：设个数字如下排列， 根据题意，个子方格满足： ； ； ； ； 将四个等式相加，得 ， 整理，得 ， 设个数总和， 为了让总和尽可能小，优先选择四个角为最小的个互不相同正整数， 则 ， 代入上式，得 ， 化简，得 ， ∴， ∴ ， 要使最小，则尽可能大， ∵，，，是个互不相同正整数，且不等于，，，，，四个不同正整数最小和为， ∴， ∴，故最大可取， 当时， ， 可取，，，为，，，，全部数字互不重复，符合条件， 此时， 可排列如下： ∴个正整数总和最小值为． 49．（25-26七年级下·安徽六安·期末）某数学兴趣小组在探究讨论时，发现了一个有趣的问题：对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，有四种取法，可得； （1）当时，可得___________； （2）若，则的值为________． 【答案】 【分析】（1）分别计算出即可求解； （2）根据（1）总结的规律，再利用规律计算，根据奇偶性分类讨论第二问，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：（1） 当时，有六种取法，因此； 当时，有九种取法，因此； 当时，有，，十二种取法，因此； （2）由（1）得：任取中两个不同的数，不考虑顺序，设两数为，要求，归纳得：当为偶数时，设，则；当为奇数时，设，则； 由，得奇偶性不同，分两种情况： 情况1：为偶数，设，则，为奇数，，，代入得：，整理得，即， 由于， 则，符合要求，此时，，； 情况2：为奇数，设，则，为偶数，，，代入得：，整理得，即， 由于为正数，则， ∴，不是整数，舍去； 综上，． 50．（2024·山东潍坊·模拟预测）下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 【答案】8 【分析】先求出基础幻方，再通过基础幻方的旋转和翻转得到不同的幻方，即可． 【详解】解：如下表： a b 10 13 c d e f 12 根据题意得：， ， ， ，， ， 所以基础幻方为 6 11 10 13 9 5 8 7 12 顺时针旋转得到： 8 13 6 7 9 11 12 5 10 顺时针旋转得到： 12 7 8 5 9 13 10 11 6 顺时针旋转得到： 10 5 12 11 9 7 6 13 8 水平翻转（左右对称）得到： 10 11 6 5 9 13 12 7 8 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 12 5 10 7 9 11 8 13 6 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 8 7 12 13 9 5 6 11 10 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 6 13 8 11 9 7 10 5 12 所以用这9个数可以构造出不同幻方的种数是8种． 51．（26-27七年级上·四川·期中）若将一个长方形剪下一个最大的正方形称为第一次操作，再将剩下部分剪下一个最大的正方形称为第二次操作，以此类推……若通过次操作后，剩下的部分刚好也是一个正方形，那么称这个长方形为“优秀长方形”．若一个“优秀长方形”通过3次操作后，最后剩下的部分刚好是边长为2厘米的正方形，那么原长方形（裁剪前）的面积是_____________平方厘米． 【答案】或或或 【分析】从最终剩下的边长为厘米的正方形倒推，每次操作前长方形的边长满足操作后剩下长方形边长的关系，分情况讨论得到原长方形的边长，再计算面积． 【详解】解：我们从最终结果倒推，每次操作剪完最大正方形后得到剩余图形，逆推操作前的长方形边长： ∵第三次操作后剩下边长为厘米的正方形， ∴第三次操作前（第二次操作后）剩余长方形的边长为厘米和厘米，剪去边长为厘米的正方形后剩下边长厘米的正方形； 接下来逆推第二次操作前（第一次操作后）的长方形边长，分两种情况： 情况1：第一次操作后长方形边长为厘米和厘米， 继续逆推原长方形边长，再分两种子情况： 子情况：原长方形边长为厘米和厘米，面积为平方厘米，顺推验证：第一次剪正方形，剩；第二次剪正方形，剩；第三次剪正方形，剩，符合要求； 子情况：原长方形边长为厘米和厘米，面积为平方厘米，也符合要求； 情况2：第一次操作后长方形边长为厘米和厘米， 继续逆推原长方形边长，再分两种子情况： 子情况：原长方形边长为厘米和厘米，面积为平方厘米，顺推验证：第一次剪正方形，剩；第二次剪正方形，剩；第三次剪正方形，剩，符合要求； 子情况：原长方形边长为厘米和厘米，面积为平方厘米，也符合要求； 综上，那么原长方形（裁剪前）的面积是平方厘米或平方厘米或平方厘米或平方厘米． 52．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 53．（2026·山西朔州·二模）某湿地公园规划将一片五边形区域划分为多个三角形生态保育区．规划人员在五边形内部设置若干个观测点，连同五个顶点，用小路（直线段）连接这些点，使得每个区域都是三角形且小路除端点外不交叉．经验发现：如图，当五边形内有1个观测点时，可得分5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得分7个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区数量为________． 【答案】 【分析】通过观察图形中三角形数量随观测点数量增加的变化规律，每增加1个点，增加2个三角形，即可求解． 【详解】解：当五边形内有1个观测点时，可得分5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得分7个三角形生态区（不被分割的三角形）， …… 每增加1个点，增加2个三角形， ∴当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区数量为． 54．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 题型8 新定义运算（共6小题） 【模型】 规则转化模型。 【步骤】 ① 准确理解新定义的运算符号；② 将字母的值代入，严格按照新规则进行运算； 【易错】 照搬常规运算律，忽略新定义的特殊性（如不满足交换律）。 55．（25-26八年级下·山西运城·期末）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“相伴数”．例如：1的“相伴数”是．若，是的“相伴数”，是的“相伴数”，是的“相伴数”……以此类推，则的值是________． 【答案】 【分析】根据相伴数的定义计算出前几个数，得到数字的循环周期，再通过计算余数确定对应周期中的位置，得到结果． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 可知这组数每个数为一个周期循环． 计算，余数为， 因此． 56．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）我们规定：一个四位数（其中，，，且，，，均为整数），若满足且，则称这个四位数为“和九数”，例如：四位数，因为且，所以是“和九数”，则最大的“和九数”是________．若一个“和九数”，，将其前两位数字与后两位数字整体调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则所有满足条件的的值的和为________． 【答案】 【分析】要使“和九数”最大，则的值取最大，的值也取最大，再根据“和九数”的定义可求出最大的“和九数”；由“和九数”的定义可得，，即得，，得到，，，即得到，，进而得到，，再根据是整数得，即得，，从而得到，然后由是整数得，，，最后结合求出符合条件的的值即可求解． 【详解】解：①要使“和九数”最大，则的值取最大，的值也取最大， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴最大的“和九数”是； ②∵，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵是整数，， ∴（为正整数）， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是整数，， ∴，，， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，不合题意，舍去； ∴所有满足条件的的值为，， ∴所有满足条件的的值的和为． 57．（25-26八年级下·重庆綦江·期末）对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差大1，且百位数字与十位数字的差为非负数，则称这个四位数为“夜郎数”．将“夜郎数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到，并记．最小的“夜郎数”的值为_________；若为“夜郎数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值为_________． 【答案】 【分析】设四位数的千位为，百位为，十位为，个位为，根据“夜郎数”定义得到约束条件，化简的表达式，先根据四位数最小的要求求解最小夜郎数，再根据被整除的条件，结合数位性质求的最大值． 【详解】解：设四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数， 根据“夜郎数”的定义可得：， 整理第一个等式得：， ，交换后得到， ， 将代入化简得：， 要得到最小的四位“夜郎数”，先取最小的千位，再依次让最小， 代入，得， 由，取，可得，进而， 因此最小的“夜郎数”是； 因为能被整除， 设，则， 要使最大，需取最大值， 最大可能为，小于的最大符合条件的， 验证存在性：即，代入得， 由得，满足，且得， 故存在符合条件的四位数，因此成立，代入得． 58．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数为“和美数”．最大的“和美数”为___________；将“和美数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数．若能被整除，且为整数，则满足条件的的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据“和美数”的定义，求最大“和美数”时，从高位到低位依次取最大合法数字即可；对于满足条件的最小，先根据数位表示写出和，再结合整除性质推导得到约束条件，最后按最小的要求枚举得到结果． 【详解】解：①求最大的“和美数”，要使四位正整数最大，需从高位到低位数字尽量大，千位取最大非零数字，百位取剩余最大非零数字，设该数为， 根据“和美数”定义得，即，要使数最大则尽量大，取剩余最大数字，得，，四个数字互不相等且均不为，因此最大的“和美数”为． ②设， 根据题意对调后得新数， 由“和美数”定义得， ∴ ， ∵能被整除，又能被整除， ∴能被整除， ∵，且四个数互不相等， ∴， ∴． ∴ ， 将，代入得：， ∴，， ∵，与互质， ∴能被整除， 又， ∴， ∴， ∴． 要使最小，需尽量小，依次枚举：当时，，不符合要求； 当时，，不符合“均不为”的要求； 当时，，，，四个数字互不相等且均不为，符合要求，此时； 故满足条件的的最小值为3186． 59．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为__________．的最小值为__________； (2)①当__________时，的值最小，最小值为__________． ②的最大值为__________； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1千人，居民区有居民2千人，居民区有居民3千人．现因防疫需要，需要在该公路上建流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本，若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)或1；4 (2)①，7；②4 (3)实验室建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1）的几何意义是指数轴上点P到表示的点的距离为6，分点P在表示的点的左侧和右侧两种情况求出x的值．的几何意义是点P到表示的点与到表示1的点的距离之和，分点P在表示的点的左边，点P在表示的点和表示1的点之间，点P在表示1的点的右边三种情况讨论，从而求出最小值； （2）①的几何意义是数轴上点P到表示的点，点P到表示的点，与点P到表示1的距离之和，同（1）的思路结合数轴求解即可； ②的几何意义是数轴上点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差，同（1）思路求解即可； （3）要使总运输和包装成本最低，即求的最小值，同（2）思路求解即可． 【详解】（1）解：的几何意义是指数轴上点P到表示的点的距离为6， 若点P在表示的点的左侧，则； 若点P在表示的点的右侧，则； 因此若，则的值为或1． 的几何意义是点P到表示的点与到表示1的点的距离之和，由于表示的点与到表示1的点的距离为， 当点P在表示的点的左边时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和大于4； 当点P在表示的点和表示1的点之间时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和等于4； 当点P在表示1的点的右边时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和大于4； 因此点P到表示的点与到表示1的点的距离之和最小值为4，即的最小值为4． （2）解：①的几何意义是数轴上点P到表示的点，点P到表示的点，与点P到表示1的距离之和， 所以点P应该在与1之间的线段上，且点P与表示的点重合时，所求距离之和最小，最小值为表示的点到表示1的点的距离，为， 所以当时，的值最小，最小值为7． ②的几何意义是数轴上点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差． 当点P在表示1的点的右侧时，点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差等于表示的点与表示1的点的距离，为； 当点P在表示1的点的左侧时，点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差小于表示的点与表示1的点的距离4； 所以点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差最大值为4，即的最大值为4． （3）解：由题意得，点A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x， 要使总运输和包装成本最低，即求的最小值， ， 由（2）同理可得，当点P在表示1的点B与表示3的点C之间，即时，取得最小值， 此时 总运输和包装成本为（元） 所以实验室建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 60．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）阅读下列材料，然后回答问题：若一个正整数，从左到右读各数位上的数字与从右到左读各数位上的数字完全相同，则称这个正整数为“回文数”（例如：、、、、等都是回文数）．对于一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字，得到三个新的数字、、，我们对规定一种运算：．例如：是一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次是：、、，则． (1)记最大、最小的三位“回文数”分别为、． ①直接写出、的值： ， ； ②分别计算、的值； (2)一个三位的“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次为：、、，若，求出的所有值． 【答案】(1)①， ②， (2)、 【分析】（1）①根据“回文数”的规律，写出符合要求的、即可； ②根据要求把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，再根据规律计算即可；把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，再根据规律计算即可； （2）因为，当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，根据乘法法则可知的各个数位上的数字依次是：、、； 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、． 【详解】（1）①解：最大的三位“回文数”是， 最小的三位“回文数”是； ②解：把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， ； 把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， ； （2）解：， 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， 则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、， ； 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， 则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、， ， 综上所述，的值有、． 题型9 代数式与数轴、绝对值综合化简（共7小题） 【模型】 数形结合与零点分段模型。 【步骤】 ① 根据数轴上点的位置，判断代数式内部（如 或 ）的正负；② 利用绝对值性质去掉绝对值符号（正数取本身，负数取相反数）；③ 去括号并合并同类项化简。 【易错】 ① 脱离数轴盲目去绝对值；② 去掉绝对值后，忘记给负数添加负号，或去括号时再次弄错符号。 61．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用将原式分子替换为对应字母的相反数，结合判断，，的正负个数，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴原式， ∵， ∴，，中负数的个数为或， ∵， ∴，，不可能全为正数或全为负数， ∴，，中有个负数，个正数， ∴， ∴原式． 62．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知四个整式分别为：；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的是（   ） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A．②③ B．①③ C．①② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，整式的加减运算；熟练掌握去绝对值及其几何意义，读懂防御操作的定义是解题的关键． ①当时，四个整式中不论一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，求和后结果均大于0； ②利用绝对值的几何意义求解即可； ③四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，再求和即可． 【详解】解：①当时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为，故①错误； ②表示数轴上表示x的点到表示2，1， ，的点的距离之和，所以当 时，的值最小，最小值为6，故②正确； ③共有15种不同的“防御操作”，依次为： ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 故③正确． 综上，②③正确， 故选：A． 63．（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值是，则__________． 【答案】或 【分析】由绝对值的几何意义可判断当取点、点、点中间点的时候，代数式有最小值，根据与和的大小关系进行分类讨论，解方程即可． 【详解】解：代数式表示数轴上点与点、点、点之间的距离之和，当取点、点、点中间点的时候，代数式有最小值， ①当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； ②当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； ③当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，的值是或． 64．（2026七年级上·全国·专题练习）若，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】根据和的几何意义，得到它们的取值范围，进而根据，且两个因子都不能比最小值更小，得到，，进而得到的最大值和最小值． 【详解】解：∵的几何意义表示数轴上点到和的距离之和， 当位于两点之间时，距离之和， 当或时，到和的距离之和， ∴当时，，取得最小值， ∵的几何意义表示数轴上点到和的距离之和， 当位于两点之间时，距离之和， 当或时，点到和的距离之和， ∴当时，，取得最小值， ∵，且两个因子都不能比最小值更小， ∴只有， ∴，， ∴的最大值为，的最小值为． 65．（2026七年级上·全国·专题练习）求为何值时，式子（为正整数）有最小值，并求出此最小值． 【答案】，最小值为 【分析】由绝对值的几何意义变形，进而得出当时有最小值，代入原式后化简即可． 【详解】解： ， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和，且为正整数， 当时，有最小值， 则最小值为 （其中，且为正整数）． 66．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题解题的关键是找出各个绝对值表达式中的零点值，将数轴划分为若干区间，在每个区间内去掉绝对值符号，化简代数式，最后合并结果． (1)直接根据定义求零点值； (2)涉及两个绝对值之差，需分情况讨论； (3)包含三个绝对值之和，涉及三个零点值，需划分四个区间进行讨论． 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 67．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． $专题02 代数式 基础·固本强基 题型1 代数式的概念与列代数式 题型2 代数式的值 题型3 整式的概念 题型4 整式的加法与减法（重点） 提升·进阶突破 题型5 整式的化简求值（重点） 题型6 整式加减中的“无关型”问题 题型7 整式的加减与去括号法则（难点） 拔高·压轴破难 题型8 数字与图形的规律探究（难点） 题型9 新定义运算（难点） 题型10 代数式与数轴、绝对值综合化简（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 代数式的概念与列代数式（共5小题） 【模型】 数量关系转化模型（文字语言 符号语言）。 【步骤】 ① 抓住题干关键词（如和、差、倍、分、平方、倒数等）；② 按照运算顺序逐步列出代数式；③ 检查书写规范（如乘号省略、数字在前、带分数化假分数、带单位需加括号等）。 【易错】 ① 混淆“两数的平方差”（ ）与“两数差的平方”（ ）；② 列式后带有单位时，忘记给和或差的代数式加括号。 1．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（26-27七年级上·云南·期中）下列各式符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·云南·期中）某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（26-27七年级上·云南·期中）买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买1个篮球和2个排球共需_______元． 5．（26-27七年级上·云南·期中）列代数式： (1)的平方与的一半的和； (2)一个两位正整数，它的十位数字是，个位数字是，写出这个两位数． 题型2 代数式的值（共8小题） 【模型】 直接代入计算模型。 【步骤】 ① 明确代数式及字母的取值；② 将数值代入字母位置（负数或分数代入时需加括号）；③ 按有理数运算法则计算得出结果。 【易错】 ① 代入负数时漏加括号，导致乘方运算符号出错（如 时， 误算为 ）；② 运算顺序颠倒。 6．（26-27七年级上·陕西·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，则第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·江西南昌·阶段检测）三个互不相等的有理数，既可表示为1，，a的形式，又可表示为0，，b的形式．则______． 8．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，，则式子的值为______ 9．（26-27七年级上·四川·期中）若，则_____________． 10．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知b与a互为相反数，c与d互为倒数，n是最大的负整数，求的值． 11．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）解答： (1)如果，且异号，求的值． (2)已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2，求式子：的值． 12．（26-27七年级上·甘肃·期中）若，求的值 13．（26-27七年级上·四川·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 题型3 整式的概念（共4小题） 【模型】 结构特征识别模型。 【步骤】 ① 判断是否为整式（分母不含字母）；② 区分单项式（乘积形式）与多项式（和的形式）；③ 准确找出单项式的系数与次数，或多项式的项数与最高次项的次数。 【易错】 ① 误将 当作字母（ 是常数，属于系数的一部分）；② 确定单项式次数时，漏加字母指数为1的项，或错加了系数的指数。 14．（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 16．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 题型4 整式的加法与减法（共6小题） 【模型】 同类项识别与合并模型。 【步骤】 ① 找出所含字母相同且相同字母指数也相同的项；② 将同类项的系数相加减；③ 字母及其指数保持不变。 【易错】 ① 将非同类项强行合并（如 ）；② 合并时只变了系数，忘记保留字母部分。 18．（26-27七年级上·全国·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 19．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 21．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于、的多项式，． (1)计算； (2)若，且，求的值． 22．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 23．（26-27七年级上·北京·期中）先化简，后求值：，其中 提升·进阶突破 题型5 整式的化简求值（共9小题） 【模型】 整体代换与降次模型。 【步骤】 ① 观察已知条件与所求代数式的倍数或结构关系；② 将已知等式变形（如提取公因式）；③ 将变形后的整体直接代入所求式子中计算，避免求出单个字母的值。 【易错】 ① 找不到整体关系，盲目解方程求字母的值导致计算繁琐或无解；② 整体代入时忘记乘以相应的倍数系数。 24．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 25．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中． 26．（26-27七年级上·四川·期中）先化简，再求值． ，其中． 27．（26-27七年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，． 28．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中，． 29．（26-27七年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，． 30．（26-27七年级上·福建·期中）先化简再求值： ，其中，． 31．（26-27七年级上·河南·期中）先化简，再求值：，其中，． 32．（26-27七年级上·福建·期中）先化简，再求值：，其中． 题型6 整式加减中的“无关型”问题（共5小题） 【模型】 系数归零模型。 【步骤】 ① 将给定的整式按要求进行加减运算；② 合并同类项，整理出含目标字母的项；③ 根据“结果与某字母无关”，令该字母所在项的系数等于0，解方程求参数。 【易错】 ① 合并同类项时符号出错，导致系数求错；② 忽略常数项或其他字母的干扰。 33．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 34．（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 35．（26-27七年级上·全国·期中）已知，是关于，的多项式，当，时，试判断的值与的取值有无关系，并说明理由． 36．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 37．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 题型7 整式的加减与去括号法则（共6小题） 【模型】 括号前符号分配模型。 【步骤】 ① 遇到括号，先看括号前的符号；② 若为“+”，直接去掉括号；若为“-”，括号内每一项都要变号；③ 去括号后，再合并同类项。 【易错】 ① 括号前是负号时，只给第一项变号，漏变后面的项；② 括号前有数字因数时，去括号漏乘括号内的每一项。 38．（25-26七年级下·河南南阳·期末）解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 39．（22-23七年级上·全国·期末）（    ） A． B． C． D． 40．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 41．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的值为____． 42．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若，则代数式的值为___________． 43．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 拔高·压轴破难 题型7 数字与图形的规律探究（共11小题） 【模型】 增根反推参数模型。 【步骤】 ① 去分母将分式方程化为整式方程；② 令最简公分母等于0，求出可能的增根；③ 将增根代入整式方程，反解出参数的值。 【易错】 ① 混淆“增根”与“无解”的概念（无解可能是整式方程本身无解，也可能是解全为增根）；② 忘记讨论整式方程最高次项系数为0的情况。 44．（26-27七年级上·北京·期中）对于负数，规定，例如：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 45．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 46．（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 47．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 48．（26-27七年级上·北京·期中）将个各不相同的正整数填在表格的个格子中，一个格子填一个数，使得每个子表格中四个数的和都恰好等于．这个正整数总和的最小值是_____． 49．（25-26七年级下·安徽六安·期末）某数学兴趣小组在探究讨论时，发现了一个有趣的问题：对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，有四种取法，可得； （1）当时，可得___________； （2）若，则的值为________． 50．（2024·山东潍坊·模拟预测）下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 51．（26-27七年级上·四川·期中）若将一个长方形剪下一个最大的正方形称为第一次操作，再将剩下部分剪下一个最大的正方形称为第二次操作，以此类推……若通过次操作后，剩下的部分刚好也是一个正方形，那么称这个长方形为“优秀长方形”．若一个“优秀长方形”通过3次操作后，最后剩下的部分刚好是边长为2厘米的正方形，那么原长方形（裁剪前）的面积是_____________平方厘米． 52．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 53．（2026·山西朔州·二模）某湿地公园规划将一片五边形区域划分为多个三角形生态保育区．规划人员在五边形内部设置若干个观测点，连同五个顶点，用小路（直线段）连接这些点，使得每个区域都是三角形且小路除端点外不交叉．经验发现：如图，当五边形内有1个观测点时，可得分5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得分7个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区数量为________． 54．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 题型8 新定义运算（共6小题） 【模型】 规则转化模型。 【步骤】 ① 准确理解新定义的运算符号；② 将字母的值代入，严格按照新规则进行运算； 【易错】 照搬常规运算律，忽略新定义的特殊性（如不满足交换律）。 55．（25-26八年级下·山西运城·期末）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“相伴数”．例如：1的“相伴数”是．若，是的“相伴数”，是的“相伴数”，是的“相伴数”……以此类推，则的值是________． 56．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）我们规定：一个四位数（其中，，，且，，，均为整数），若满足且，则称这个四位数为“和九数”，例如：四位数，因为且，所以是“和九数”，则最大的“和九数”是________．若一个“和九数”，，将其前两位数字与后两位数字整体调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则所有满足条件的的值的和为________． 57．（25-26八年级下·重庆綦江·期末）对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差大1，且百位数字与十位数字的差为非负数，则称这个四位数为“夜郎数”．将“夜郎数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到，并记．最小的“夜郎数”的值为_________；若为“夜郎数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值为_________． 58．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数为“和美数”．最大的“和美数”为___________；将“和美数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数．若能被整除，且为整数，则满足条件的的最小值为___________． 59．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为__________．的最小值为__________； (2)①当__________时，的值最小，最小值为__________． ②的最大值为__________； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1千人，居民区有居民2千人，居民区有居民3千人．现因防疫需要，需要在该公路上建流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本，若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 60．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）阅读下列材料，然后回答问题：若一个正整数，从左到右读各数位上的数字与从右到左读各数位上的数字完全相同，则称这个正整数为“回文数”（例如：、、、、等都是回文数）．对于一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字，得到三个新的数字、、，我们对规定一种运算：．例如：是一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次是：、、，则． (1)记最大、最小的三位“回文数”分别为、． ①直接写出、的值： ， ； ②分别计算、的值； (2)一个三位的“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次为：、、，若，求出的所有值． 题型9 代数式与数轴、绝对值综合化简（共7小题） 【模型】 数形结合与零点分段模型。 【步骤】 ① 根据数轴上点的位置，判断代数式内部（如 或 ）的正负；② 利用绝对值性质去掉绝对值符号（正数取本身，负数取相反数）；③ 去括号并合并同类项化简。 【易错】 ① 脱离数轴盲目去绝对值；② 去掉绝对值后，忘记给负数添加负号，或去括号时再次弄错符号。 61．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 62．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知四个整式分别为：；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的是（   ） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A．②③ B．①③ C．①② D．① 63．（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值是，则__________． 64．（2026七年级上·全国·专题练习）若，求的最大值和最小值． 65．（2026七年级上·全国·专题练习）求为何值时，式子（为正整数）有最小值，并求出此最小值． 66．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 67．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． $