3.2.2 函数的奇偶性 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学函数奇偶性复习讲义通过表格对比、分点梳理构建知识体系，系统呈现奇函数与偶函数的定义、辨析对比、运算性质等核心知识点，突出定义域对称的必要性及图像对称性等重难点，形成清晰的知识脉络。 讲义亮点在于七种题型的递进设计，如判断奇偶性的“定义域对称-验证关系-下结论”步骤指导，培养数学思维与推理能力。例题涵盖选择、多选等形式，课时精练分层设置，助力学生巩固提升，为教师精准教学提供支持。

3.2.2 函数的奇偶性 【题型一】判断函数奇偶性 1． 【答案】C 2． 【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】D 7． 【答案】A 8．【答案】AC 9．【答案】BD 10．【答案】ACD 【题型二】由奇偶性求函数解析式 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】ACD 9．【答案】AC 10．【答案】AD 【题型三】抽象函数的奇偶性 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】BC 9．【答案】ABD 10．【答案】ABC 【题型四】利用奇偶函数特性求参 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】AB 9．【答案】AD 10．【答案】ABD 【题型五】 函数奇偶性的应用 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】BCD 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 【题型六】 利用函数奇偶性解不等式 【例题精讲】 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】AD 9．【答案】ABD 10．【答案】BCD 【题型七】 奇偶函数对称性的应用 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】BCD 9．【答案】ABD 10．【答案】AC 课时精练 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】ABC 10．【答案】AC 11．【答案】AC 12．【答案】3 13．【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 14．【答案】 【分析】根据其为奇函数变形 ，再根据其单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 则等价于． 又在上单调递增，所以，解得或． 则其解集为. 故答案为：. 15．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的性质，求出函数解析式即可. （2）根据单调性的定义法，直接证明函数单调性即可. 【详解】（1）当是偶函数，可得， 所以当时，，则，即， 所以时，. （2）设，则， 由，可得， 所以，即， 所以在上单调递增. 16．【答案】(1)2 (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）利用单调性求函数在区间内的值域. 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，，， 为奇函数，所以的值为. （2）是上的增函数，证明如下， 证明：由（1）可知，， 设，则， 因为，所以，， 故，即， 是上的增函数； （3）由（2）可知，函数在上单调递增，所以， 即，故函数的值域为. 17．【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 18．【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用恒等式可证明是奇函数； （2）利用定义法来证明函数单调性即可； （3）利用奇偶性和单调性转化不等式，即可利用一元二次不等式恒成立来求参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 由， 可得，所以是奇函数； （2）令，则， 因为，所以，即， 则当时，有，所以在上单调递减； （3）因为是奇函数，所以不等式， 又因为在上单调递减，所以， 由于不等式对一切恒成立， 所以，解得， 故实数k的取值范围是. 19．【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用函数对称中心的定义，可求解出该三次函数的对称中心； (2)利用二次函数的单调性可求参数范围. 【详解】（1）因为 , 由为奇函数，则，解得， 所以函数图像的对称中心为； （2）由， 因为函数在上具有单调性，所以二次函数的对称轴满足： 或，解得或， 故实数的取值范围是. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 函数的奇偶性 【题型一】判断函数奇偶性 3 【题型二】由奇偶性求函数解析式 5 【题型三】抽象函数的奇偶性 7 【题型四】利用奇偶函数特性求参 8 【题型五】 函数奇偶性的应用 9 【题型六】 利用函数奇偶性解不等式 11 【题型七】 奇偶函数对称性的应用 12 课时精练 14 【基础回顾】 知识点 1: 奇函数与偶函数 （1）偶函数： 设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么该函数叫作偶函数。 （2）奇函数：设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么该函数叫作奇函数。 知识点 2: 奇偶函数的辨析与对比 定义 结论 偶函数 定义域关于原点对 称 ①偶函数的定义域一定关于原点对称。 也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图像关于 轴对称。 反之也成立； ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反。 奇函数 定义域关于原点对 称 ①奇函数的定义域一定关于原点对称。 也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图像关于坐标原点对称。 反之也成立； ③如果奇函数在 有意义，则 . 即当 有意义时，奇函数的图像过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同。 知识点 3: 理解函数的奇偶性要注意的三点 （1）函数的单调性是函数的 “局部” 性质，而奇偶性是函数的 “整体” 性质，只有对其定义域内的每一个 , 都有 （或 ），才能说函数 是奇 （或偶） 函数。 （2）函数 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称， 则这个函数一定不具有奇偶性。 （3）若奇函数在原点处有定义，则必有 . 知识点 4: 函数奇偶性的运算性质 （1）奇函数 奇函数=奇函数； （2）偶函数 偶函数=偶函数； （3）偶函数 偶函数=偶函数； （4）偶函数/偶函数（不为 0）=偶函数； （5）奇函数 ★奇函数=偶函数； （6）奇函数 / 奇函数 （不为 0 ） =偶函数； （7）奇函数 偶函数 奇函数； （8）奇函数 / 偶函数（不为 0） =奇函数。 对于 “奇函数 偶函数” 则无法判断其奇偶性 知识点 5: 复合函数的奇偶性 (1) 为奇， 为奇，则 为奇 证明： ，所以 为奇函数 (2) 为奇， 为偶，则 为偶 证明： ，所以 为偶函数 (3) 为偶， 为奇，则 为偶 证明： ，所以 为偶函数 (4) 为偶， 为偶，则 为偶 证明： ，所以 为偶函数 可理解为只有 都是奇函数时，两者复合才是奇函数，其他情况均为偶函数。 知识点 6: 常见的奇偶函数 （要背） 奇函数： （ 是奇数） 偶函数： 是偶数 . 【题型一】判断函数奇偶性 根据函数奇偶性的定义进行判断。 步骤如下： ①判断函数 的定义域是否关于原点对称。 若不对称，则函数 为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步； ②验证： 或 ; ③下结论： 若 ，则 为奇函数； 若 ，则 为偶函数； 若 ，且 ，则 为非奇非偶函数。 【例题精讲】 1．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东惠州·月考）是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）函数的部分图像可能是（   ） A．B．C． D． 4．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 5．（2026·天津·一模）函数的部分图像大致为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高二上·北京·学业考试）函数在人工智能领域有广泛应用．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．当时， D．当时， 7．（25-26高一下·广东揭阳·开学考试）函数是（   ） A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 （多选）8．（25-26高一下·广东汕头·月考）函数的图像（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 （多选）9．（25-26高一上·广东深圳·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数与的图像关于原点对称 B．若函数是奇函数，则 C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数，且在上单调递增 【题型二】由奇偶性求函数解析式 【例题精讲】 1．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若函数是奇函数，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 2．（25-26高三下·河南新乡·月考）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知函数定义域为，若，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 （多选） 8．（25-26高一上·广东肇庆·期末）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．在上是增函数 B． C．设，则的解集是 D．设，用表示和中的较大者，则 （多选）9．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数，，下列命题正确的是（    ） A．若对任意，且，都有，则为上减函数 B．若为上的偶函数，且在内是减函数，，则的解集为 C．若为上的奇函数，则也是上的奇函数 D．若一个函数是定义域为且的奇函数，当时，，则当时， （多选）10．（25-26高一上·黑龙江黑河·月考）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A．轴是图像的一条对称轴 B．当时， C．图像关于原点对称 D． 【题型三】抽象函数的奇偶性 【例题精讲】 1．（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·月考）偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图像是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 3．（25-26高二上·湖南·期末）若定义上的函数：对任意的有 ，若的最大值和最小值分别为，则的值为（   ） A．12 B．24 C． D． 4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 5．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D． 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 7．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 （多选）8．（25-26高三下·浙江宁波·月考）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 （多选） 9．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图像关于点中心对称 D． （多选）10．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【题型四】利用奇偶函数特性求参 【例题精讲】 1．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．1 D．9 3．（25-26高一下·湖南长沙·月考）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2026·山西朔州·一模）函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽安庆·二模）已知，函数为奇函数，则（   ） A．15 B． C． D．4 6．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知函数（）为奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 7．（25-26高三下·山东·月考）已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C． D． （多选）8．（25-26高二上·云南曲靖·期末）设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 （多选）9．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 （多选）10．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，且实数满足，则（     ） A． B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 【题型五】 函数奇偶性的应用 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间，然后利用单调性比较大小。 【例题精讲】 1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图像如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（   ） A． B． C．0 D．2 3．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北张家口·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 7．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知奇函数满足，则（    ） A． B． C． D． （多选）9．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 （多选）10．（25-26高三下·湖南·月考）已知是定义域为的奇函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．为增函数 D． 【题型六】 利用函数奇偶性解不等式 【例题精讲】 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南德宏·期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏无锡·期末）若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京·月考）已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是奇函数 B．若，则的图像关于点对称 C．若，则的值域为 D．若，则不等式的解集为 （多选）9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，，且，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在R上单调递减. C．函数是偶函数 D．不等式的解集为. （多选）10．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．方程有两个不相等的实数根，则 【题型七】 奇偶函数对称性的应用 ① 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 或 的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“ ”转化为简单不等式求解。 【例题精讲】 1．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，给出了偶函数的局部图像，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 4．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·月考）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（25-26高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河南·期中）已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 （多选）8．（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数的定义域为，，且当时，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．当时， D．在上单调递减 （多选）9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知定义在R上的偶函数满足，且在区间上是增函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的一个周期为4 B．直线是函数图像的一条对称轴 C．函数在上单调递增，在上单调递减 D．函数在内有25个零点 （多选）10．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图像关于点对称 D．当时，为偶函数 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东汕头·期末）下列函数是定义在上的偶函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江舟山·期中）已知是定义在上的函数，，当时，，则（   ） A． B． C．1 D．3 4．（2026·山西太原·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26高一下·河北张家口·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·天津·期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·重庆·月考）已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（    ） A．－5 B． C．－1 D．1 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·内蒙古·期中）若函数f(x)同时满足：①对于定义域内的任意x， 有；②对于定义域内的任意当时，有 则称函数f(x)为“理想函数”，给出下列四个函数不是“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． （多选）11．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数的图像经过点，，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 三、填空题 12．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 13．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 14．（25-26高三上·河南周口·期末）若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______. 四、解答题 15．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知函数满足：当时． (1)若是偶函数，求时的解析式； (2)用定义证明在上单调递增． 16．（25-26高一上·江西上饶·月考）若设为实数，已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)当，求函数的值域. 17．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 18．（25-26高一上·陕西榆林·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 19．（25-26高一上·湖北恩施·期末）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知 (1)请你利用这个推广的结论求函数图像的对称中心； (2)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 函数的奇偶性 【题型一】判断函数奇偶性 3 【题型二】由奇偶性求函数解析式 8 【题型三】抽象函数的奇偶性 12 【题型四】利用奇偶函数特性求参 18 【题型五】 函数奇偶性的应用 23 【题型六】 利用函数奇偶性解不等式 28 【题型七】 奇偶函数对称性的应用 33 课时精练 39 【基础回顾】 知识点 1: 奇函数与偶函数 （1）偶函数： 设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么该函数叫作偶函数。 （2）奇函数：设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么该函数叫作奇函数。 知识点 2: 奇偶函数的辨析与对比 定义 结论 偶函数 定义域关于原点对 称 ①偶函数的定义域一定关于原点对称。 也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图像关于 轴对称。 反之也成立； ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反。 奇函数 定义域关于原点对 称 ①奇函数的定义域一定关于原点对称。 也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图像关于坐标原点对称。 反之也成立； ③如果奇函数在 有意义，则 . 即当 有意义时，奇函数的图像过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同。 知识点 3: 理解函数的奇偶性要注意的三点 （1）函数的单调性是函数的 “局部” 性质，而奇偶性是函数的 “整体” 性质，只有对其定义域内的每一个 , 都有 （或 ），才能说函数 是奇 （或偶） 函数。 （2）函数 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称， 则这个函数一定不具有奇偶性。 （3）若奇函数在原点处有定义，则必有 . 知识点 4: 函数奇偶性的运算性质 （1）奇函数 奇函数=奇函数； （2）偶函数 偶函数=偶函数； （3）偶函数 偶函数=偶函数； （4）偶函数/偶函数（不为 0）=偶函数； （5）奇函数 ★奇函数=偶函数； （6）奇函数 / 奇函数 （不为 0 ） =偶函数； （7）奇函数 偶函数 奇函数； （8）奇函数 / 偶函数（不为 0） =奇函数。 对于 “奇函数 偶函数” 则无法判断其奇偶性 知识点 5: 复合函数的奇偶性 (1) 为奇， 为奇，则 为奇 证明： ，所以 为奇函数 (2) 为奇， 为偶，则 为偶 证明： ，所以 为偶函数 (3) 为偶， 为奇，则 为偶 证明： ，所以 为偶函数 (4) 为偶， 为偶，则 为偶 证明： ，所以 为偶函数 可理解为只有 都是奇函数时，两者复合才是奇函数，其他情况均为偶函数。 知识点 6: 常见的奇偶函数 （要背） 奇函数： （ 是奇数） 偶函数： 是偶数 . 【题型一】判断函数奇偶性 根据函数奇偶性的定义进行判断。 步骤如下： ①判断函数 的定义域是否关于原点对称。 若不对称，则函数 为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步； ②验证： 或 ; ③下结论： 若 ，则 为奇函数； 若 ，则 为偶函数； 若 ，且 ，则 为非奇非偶函数。 【例题精讲】 1．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数基本性质结合基本初等函数的性质求解 【详解】A项，的定义域为，该函数在定义域上不具有单调性，A错误； B项，在定义域上为非奇非偶函数，B错误； C项，为幂函数，在定义域上单调递增且， 所以为奇函数，C正确； D项，，故为偶函数，D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东惠州·月考）是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 【答案】A 【详解】根据幂函数性质知是奇函数，增函数. 故选：A. 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）函数的部分图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可. 【详解】因为，所以， 所以的图像关于原点中心对称，排除C，D， 当时，，排除B． 故选：A． 4．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质，结合分段函数讨论，可得恒等式求系数，即可得出结果. 【详解】由题意知，所以， 当时，由可得：此时等式恒成立， 即， 则， 故选：D 5．（2026·天津·一模）函数的部分图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 由知是偶函数，图像关于轴对称，排除B、D； 当时，恒成立，A项不符合题意,而C项均符合. 故选：C. 6．（2026高二上·北京·学业考试）函数在人工智能领域有广泛应用．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】D 【详解】选项A：分母中，对任意实数都有意义，故的定义域为，故A错误； 选项B：，， ，故不是偶函数，故B错误； 选项C：当时，，， ，故C错误； 选项D：当时，， ，，即，故D正确． 故选：D. 7．（25-26高一下·广东揭阳·开学考试）函数是（   ） A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 【答案】A 【详解】令，， 又，所以函数是奇函数； 因为和均是R上的增函数，所以函数在上单调递增. 故选：A. （多选）8．（25-26高一下·广东汕头·月考）函数的图像（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AC 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以， 所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故A正确，B错误； 因为函数和函数在上均为增函数， 所以在上单调递增，故C正确，D错误. 故选：AC （多选）9．（25-26高一上·广东深圳·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数奇偶性定义以及函数单调性，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由题可知满足，选项A是偶函数，A错误； 由幂函数性质可得为奇函数，且在上单调递减，即B正确； 因为定义域为，满足，为奇函数， 但在上时，在上单调递增，即C错误； 易知为奇函数，且和在上都是单调递减的，即D正确. 故选：BD （多选）10．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数与的图像关于原点对称 B．若函数是奇函数，则 C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数，且在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据奇、偶函数的定义及其判定方法，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A：设为图像上的一点，其关于原点对称的点为，且， 对于，当时，， 所以点在函数图像上， 所以两个函数的图像关于原点对称，故A正确； 对于B：若为奇函数，其定义域可能不包含0，比如奇函数，不成立，故B错误； 对于C：函数图像向右平移1个长度单位，向上平移1个长度单位， 可得的图像， 而函数图像关于原点对称，所以图像关于对称，故C正确； 对于D：设，定义域关于原点对称，则， 所以，即为偶函数； 当时，，在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 【题型二】由奇偶性求函数解析式 【例题精讲】 1．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若函数是奇函数，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，结合函数表达式建立方程求解的值. 【详解】是奇函数，为偶函数， 为奇函数， . 故选：D. 2．（25-26高三下·河南新乡·月考）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 故选：D. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 故选：A 4．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知函数定义域为，若，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合偶函数定义证明为偶函数，设，结合奇函数性质求，由此可得结论. 【详解】 已知， 令，则， 原式可化为，因此是偶函数， 设，由题知是奇函数， 故，即 ，又， 所以 代入得： . 故选：B. 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值. 【详解】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称， 又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为. 故选：B. 6．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 7．（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. （多选） 8．（25-26高一上·广东肇庆·期末）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．在上是增函数 B． C．设，则的解集是 D．设，用表示和中的较大者，则 【答案】ACD 【分析】A根据在上的单调性以及奇偶性判断；B通过计算判断；C求出的解析式，再解不等式即可；D由C选项可得出时，即可求出. 【详解】因为的对称轴为， 所以在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，且， 所以在上单调递增，则在上是增函数，故A正确； ，故B错误； 当时，，则， 因为函数是奇函数，所以， 则， 则等价于或，得， 则的解集是，故C正确； 由C选项可知，时，则，故D正确. 故选：ACD （多选）9．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数，，下列命题正确的是（    ） A．若对任意，且，都有，则为上减函数 B．若为上的偶函数，且在内是减函数，，则的解集为 C．若为上的奇函数，则也是上的奇函数 D．若一个函数是定义域为且的奇函数，当时，，则当时， 【答案】AC 【分析】利用减函数的定义判断A；利用函数的单调性及偶函数性质解不等式判断B；利用奇函数定义判断C；由奇函数定义求出解析式判断D. 【详解】对于A，对任意，且，都有，则为上减函数，A正确； 对于B，依题意，偶函数在上单调递增，， 不等式，则，解得或，B错误； 对于C，由为上的奇函数，得， 函数是上的奇函数，C正确； 对于D，依题意，当时，，，D错误. 故选：AC （多选）10．（25-26高一上·黑龙江黑河·月考）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A．轴是图像的一条对称轴 B．当时， C．图像关于原点对称 D． 【答案】AD 【分析】根据偶函数对称性判断A；根据偶函数的定义求函数解析式，即可判断B；举反例说明C错误；利用基本不等式判断D. 【详解】对于选项A：因为函数是定义在R上的偶函数，可知函数的图像关于轴对称， 所以轴是图像的一条对称轴，故A正确； 对于选项B：当时，， 当时，则，则，故B错误； 对于选项C：因为，不满足， 所以图像不关于原点对称，故C错误； 对于选项D：由选项B可知：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：AD. 【题型三】抽象函数的奇偶性 【例题精讲】 1．（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·月考）偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先根据条件判断函数的周期，再求函数值. 【详解】因为函数是偶函数，所以，， 又因为是奇函数，所以，即 将替换为，代入上式得，则，故函数的周期为， 已知，将代入，得，将代入，得， 因此，故A正确. 故选：A 2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图像是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【分析】令，求得，可判定A错误；令，得到，根据奇偶性的定义，可判定B错误；任取，令，结合函数单调性的定义，可判定C正确；取函数，结合不能恒成立，可判定D错误. 【详解】对于任意的实数，都有，， 且当时，， 对于A，令，可得，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 所以，所以不恒成立， 所以函数不满足，所以不是奇函数，所以B错误； 对于C，任取，则，令， 则， 所以， 因为时，，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递增，所以C正确； 对于D，取函数，此时函数满足， 且当时，，满足， 则， 所以不能恒成立，所以D错误. 故选：C. 3．（25-26高二上·湖南·期末）若定义上的函数：对任意的有 ，若的最大值和最小值分别为，则的值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】令，证明是奇函数，利用来求的值. 【详解】令，则原条件转化为， 令，可得， 令，可得，则是奇函数， 则的最大值与最小值之和为0． 由，得的最大值，的最小值， 因此． 故选：B． 4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 【答案】C 【分析】通过赋值求得，可得，由奇偶性可得，从而即可判断函数的奇偶性． 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足，(*)， 令，可得，所以，则， 代入(*)，可得，又， 则，即得， 则有， 所以为奇函数，经验证，其他选项均不符合题意． 故选：C. 5．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D． 【答案】C 【分析】通过赋值法确定的值，判断函数奇偶性；利用递推关系推导函数周期，结合周期计算特定点的函数值，进而判断选项. 【详解】令，，则， 即，得或. 若，令，则， 即，与矛盾，故，A错误. 令，则，即， 得，故为偶函数，B错误. 令，则，即. 由此得， ， ，故是周期为6的周期函数，C正确. ，D错误. 故选：C 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 7．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B （多选）8．（25-26高三下·浙江宁波·月考）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 故选：BC （多选） 9．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图像关于点中心对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运算规律判断C、D. 【详解】对于A，令，则，又， 所以，解得：，故A正确； 对于B，令，则， 即， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于C，若的图像关于点中心对称，则， 由，不符合题意，故C错误； 对于D，令，则， 即， 所以， ， ， ， 所以 ，故D正确. 故选：ABD （多选）10．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法，根据奇偶函数的定义，逐项检验，可得答案. 【详解】由，， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，A正确； 由，即，则函数不可能是减函数；故B正确. 令，则，即. 令，由，则函数为奇函数，故C正确； 令，由，则函数非偶函数，故D错误； 故选：ABC. 【题型四】利用奇偶函数特性求参 【例题精讲】 1．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 故选：D 2．（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【详解】因为是奇函数，所以当时，有， 又因为当时，有，所以， 根据恒等式可知：，， 所以． 故选：A 3．（25-26高一下·湖南长沙·月考）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图像的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图像关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 故选：D 4．（2026·山西朔州·一模）函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是偶函数，所以， 所以，所以， 所以，所以，因为， 所以，解得. 故选：A 5．（2026·安徽安庆·二模）已知，函数为奇函数，则（   ） A．15 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由题意可得，通过导数确定是时唯一的解，进而可求得的值. 【详解】因为是奇函数且，则， 解得， 设，则， 令，则，因为单调递增，且， 所以存在唯一，使， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以最多有两个零点， 观察到，所以是时唯一零点， 即是在上唯一的解，经检验，满足题意， 所以，则. 故选：A 6．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知函数（）为奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义计算. 【详解】由题意得， 则，， ，整理得，所以，， 所以. 故选：C 7．（25-26高三下·山东·月考）已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据为奇函数，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由函数 为奇函数，可得， 当时，可得，则，且， 由，可得，可得， 经检验，时，为奇函数，故. 故选：C （多选）8．（25-26高二上·云南曲靖·期末）设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 【答案】AB 【分析】利用偶函数的定义求解，利用二次函数的图像和性质求出的单调性和值域. 【详解】函数是定义在区间上的偶函数， 所以且解得，A、B选项正确， 所以，函数在定义域内先减后增，C选项错误，定义域是， 值域是，D选项错误． 故选：AB． （多选）9．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义，列出方程，求出参数值，判断选项A的正误；根据复合函数单调性，判断选项B的正误；根据基本初等函数的性质，对函数解析式进行分离常数，判断函数值域，判断D的正误；根据函数单调性，解不等式即可，判断C的正误. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立，即， 化简得，得，故A正确； 可得，记，， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 因为，且在上单调递减， 所以，等价于，即， 因为单调递减，所以， 所以的解集为．故C错误； 因为且，所以且，所以或， 所以或，所以的值域为，故D正确． 故选：AD. （多选）10．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，且实数满足，则（     ） A． B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，且在为单调递增函数，得到，结合选项，结合一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，所以为奇函数， 又由函数和都是单调递增函数，所以在为单调递增函数， 对于A，因为，可得， 所以，即，所以A正确； 对于B，由，可得，则， 当时，取得最大值，最大值为，所以B正确； 对于C，由，可得，所以的最大值为，所以C不正确； 对于D，由，则， 当时，的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 【题型五】 函数奇偶性的应用 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间，然后利用单调性比较大小。 【例题精讲】 1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图像如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数， 对于选项C，，， 故是偶函数，不符合，排除C； 对于选项A，，求导得， 故在上单调递增， 不符合图像中时先增后减的趋势，排除A； 根据图像，极大值点在左侧， 对于选项B，，求导得， 令，得， 1 0 单调递增 单调递减 故的极大值点为，不符合图像，排除B. 故选：D. 2．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据周期性和奇函数的性质求解. 【详解】当时，，所以当时，函数是周期为1的周期函数， 所以．又当时，为奇函数，所以， 所以. 故选：C 3．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的定义计算判断A；举例说明判断BCD. 【详解】由函数的定义域为，由为奇函数，得， 则，由为偶函数，得，因此，A正确； 取上的函数，是偶函数，且， 则为奇函数，此时，因此BCD不一定成立. 故选：A 4．（25-26高二下·河北张家口·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对求导并分析单调性，再结合偶函数的性质建立关于的不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 设，则， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数．由，可知当时，， 即在上是增函数． 又因为， 所以是偶函数， 所以， 所以实数的取值范围是． 故选：C 5．（25-26高一上·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质判断即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，，故A、B错误； 又，所以，故D正确，C错误. 故选：D 6．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得. 【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 7．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断． 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 即有． 故选：C． （多选）8．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知奇函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据周期定义得出周期，再应用奇函数定义结合特殊值法计算判断A，结合赋值法计算判断B，C，D选项. 【详解】因为，所以，所以的周期为6， 又因为是奇函数，所以， 选项A，取函数，符合周期为6，且奇函数， 但是，A错误； 对于选项B，因为， 因为，令代替， 所以，所以，B正确. 对于选项C，， 因为，令代替， 所以，所以，C正确. 对于选项D，， 因为，所以，D正确. 故选：BCD （多选）9．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确. 故选：ACD （多选）10．（25-26高三下·湖南·月考）已知是定义域为的奇函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．为增函数 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为是定义域为的奇函数，所以， 令，代入得，故A正确； 对于B，由奇函数性质有，故B正确； 对于C，表明，对于任意，比大， 但并不意味着为增函数，例如：函数满足题意， 当时，， 当时，， ，但，所以不是增函数，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD 【题型六】 利用函数奇偶性解不等式 【例题精讲】 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 2．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数在上的单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知为上的偶函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递减， 所以不等式， 即，解得， 故选：A. 3．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用奇函数性质解不等式即可. 【详解】由题意可知，当时，；当时，． 由奇函数的性质可得函数的图像如下： 由图像可得，不等式的解集为． 故选:B． 4．（25-26高一上·云南德宏·期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到在上为减函数，且，从而得到的取值情况，从而求出不等式的解集. 【详解】因为偶函数在上为增函数，所以在上为减函数， 又，所以， 所以当或时，当或时， 不等式，即或， 解得或，即不等式的解集为. 故选：B 5．（25-26高三上·江苏无锡·期末）若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性转化不等式，利用函数单调性列不等式求的取值范围． 【详解】已知是奇函数，且， ，不等式等价于， 在上单调递减， ，解得，即，故C正确． 故选：C． 6．（25-26高一上·北京·月考）已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性及条件，可得在上的单调性，及，，将所求变为或，结合示意图，分析即可得答案. 【详解】因为为上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上单调递减，且，， 由，得或， 作出的示意图， 所以x的取值范围是. 故选：C 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明函数是奇函数且在上单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. 故选：C （多选）8．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是奇函数 B．若，则的图像关于点对称 C．若，则的值域为 D．若，则不等式的解集为 【答案】AD 【分析】对于函数的奇偶性，需要判断的关系；对于函数的对称性，可通过分析函数的性质来判断；对于函数的值域，可根据函数的单调性来求解；对于不等式的求解，可利用函数的性质进行转化； 【详解】对于A，当时，的定义域为， 因为，所以是奇函数，A正确； 对于B，当时，，其定义域为，， 因为，所以函数关于点对称，B错误； 对于C，当时，的定义域为，因为，所以， 则，那么，所以，即的值域为，C错误； 对于D，当时，，其定义域为，由B可知， 不等式可化为， 即，对求导可得， 所以在上单调递减.因为，所以，解得， 即不等式的解集为，D正确； 故选：AD. （多选）9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，，且，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在R上单调递减. C．函数是偶函数 D．不等式的解集为. 【答案】ABD 【分析】赋值，代入计算，可判断A的正误；赋值，代入计算，可判断C的正误；任取，且，根据条件，代入整理，结合单调性的定义，可判断B的正误；根据条件，整理变形，可得，根据的单调性，结合一元二次不等式的解法，可得x的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：令，则，解得，故A正确； 选项C：令，则， 所以，则函数是奇函数，故C错误； 选项B：任取，且，则， 所以，即， 所以函数在R上单调递减，故B正确； 选项D：因为是奇函数， 所以， 又，所以， 因为，所以， 因为函数在R上单调递减， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD （多选）10．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BCD 【分析】分别是定义在上的偶函数和奇函数，由可得，可解出，，再逐个验证选项即可. 【详解】函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足可得，即，与联立， 可得，， ，所以，A选项错误； ，故B选项正确； 函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增， 若，则，有，所以，C选项正确. 令， 设，当且仅当即时，取最小值为1， 所以方程有两个不相等的实数根，则，D选项正确； 故选∶BCD． 【题型七】 奇偶函数对称性的应用 ① 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 或 的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“ ”转化为简单不等式求解。 【例题精讲】 1．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图像关于对称，则， . 故选：C 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，给出了偶函数的局部图像，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为偶函数，得到，结合图像，即可求解. 【详解】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图像，可得， 所以. 故选：A. 3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【答案】A 【分析】先由题设求出函数的周期，接着由函数对称性和单调性即可分析求解. 【详解】由题可得， 所以是周期为2的函数，又函数是定义域为的偶函数， 所以函数图像关于y轴对称，则由周期为2可得函数关于直线对称， 因为在上是减函数，则在上是增函数， 所以由函数周期为2可得在上的单调性与在上的单调性相同，则在上是增函数. 故选：A 4．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·月考）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】解法一：根据关于对称即可求解； 解法二：特值法，令即可求解. 【详解】解法一：由于,可得关于点对称，故， 解法二：特殊值法：可令，， 当时，由基本不等式（当且仅当时取等号），可得， 同理可得当时，的最小值为。故当时，的最大值，最小值， 故 故选：B. 5．（25-26高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设判断的单调性，再结合偶函数的性质比较函数值的大小. 【详解】由题设在上单调递减，又为偶函数， 所以. 故选：A 6．（25-26高一上·河南·期中）已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据判定函数是奇函数，然后利用奇函数和单调性定义得函数在上单调递增，令，则函数是上单调递增的奇函数，所求不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，令，即， 即，所以函数是奇函数； 由对任意，，当时，都有， 得函数在上单调递增；由函数是奇函数， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增. 在不等式两边都加上得： ，即， 令，因为函数也是奇函数，在上单调递增， 所以函数是奇函数，且在上单调递增. 则不等式可转化为， 所以，解得. 故选：D. 7．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用图像变换求得函数的图像关于对称，进而得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以为奇函数，其图像关于原点对称， 根据函数的图像变换，可得函数的图像关于对称， 因为，所以且，解得. 故选：A. （多选）8．（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数的定义域为，，且当时，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．当时， D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】令代入已知关系式判断A，由、及奇偶性定义判断B，再由奇函数的对称性判断C，由，令，，，结合单调性的定义判断D. 【详解】令，可得，解得，A错误. ，而， 所以，即，所以为奇函数，B正确. 当时，，结合奇函数的性质得当时，，C正确. 由，得， 令，，可得， 令，则，. 因为当时，，当时，， 所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减，D正确. 故选：BCD （多选）9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知定义在R上的偶函数满足，且在区间上是增函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的一个周期为4 B．直线是函数图像的一条对称轴 C．函数在上单调递增，在上单调递减 D．函数在内有25个零点 【答案】ABD 【分析】A令结合偶函数即可求得，即可得出周期；B利用偶函数得，利用周期性得即可；利用周期性和对称性以及零点画出图像即可判断CD选项. 【详解】①， 在①中令，得，得， 由于函数为偶函数，故， 所以②，函数是以4为周期的函数，故A正确； 因为偶函数，则③， 在③式中，用代替得，， 由周期性可得，即 所以直线是函数图像的一条对称轴，故B正确； 结合函数在区间上是增函数，画出函数的大致图像如图所示，由图可知，函数在上单调递减，故C错误； 根据图像可知，，故在内共有25个零点，故D正确． 故选：ABD （多选）10．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图像关于点对称 D．当时，为偶函数 【答案】AC 【分析】令，可判断A；令，可得，可判断B；令，可得，可判断C；举反例，可判断D. 【详解】解：令，得， 所以，故A正确； 当时，， 当时，恒有， 令， 即对任意，时， ， 即函数为增函数，故B错误． 令，则， 又， 所以， 即 的图像关于点对称，故C正确； 当时，若取， 则， ， 即， 且当时， 单调递增，恒有， 显然， 不为偶函数，故D错误． 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对D选项的判断，举出反例是关键. 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数性质计算即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 2．（25-26高二上·广东汕头·期末）下列函数是定义在上的偶函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的性质判断即可. 【详解】对于，因为的定义域为，不是，故错误； 对于，因为的定义域为，且，所以是奇函数，故错误； 对于，因为的定义域为，且，所以是偶函数， 当时，，在上单调递增，故正确； 对于，因为的定义域为，不是，故错误. 故选：. 3．（25-26高一下·浙江舟山·期中）已知是定义在上的函数，，当时，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】由题可知，进而得到，，再利用周期性求值即可． 【详解】， ． 两式相加，得， ， ， ， 是周期函数，且， ． 故选：D 4．（2026·山西太原·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】是定义在上的奇函数， ∴当时，，解得， ∴当时，， . 故选：B 5．（25-26高一下·河北张家口·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断． 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 所以． 故选：C 6．（25-26高一上·天津·期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及偶函数的性质，可得在上单调递增，根据条件，可得，求解即可得答案. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 因为， 所以，即，解得，则解集为. 故选：C 7．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案. 【详解】若，则等价于. 因为是偶函数，所以. 所以在上单调递减，则由可得. 若，则等价于. 由题意，在上单调递增，则由可得. 综上，的解集为. 故选：B 8．（25-26高一下·重庆·月考）已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（    ） A．－5 B． C．－1 D．1 【答案】C 【分析】根据是奇函数和的值可得出的值，进一步可求出的值. 【详解】令，则，因为是奇函数，所以. 因为，所以，所以， 所以. 故选：C 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】A：的定义域为R，且，即为奇函数， B：的定义域为，且，即为奇函数， C：的定义域为R，且，即为奇函数， D：的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为奇函数. 故选：ABC （多选）10．（25-26高一上·内蒙古·期中）若函数f(x)同时满足：①对于定义域内的任意x， 有；②对于定义域内的任意当时，有 则称函数f(x)为“理想函数”，给出下列四个函数不是“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的单调性和奇偶性定义逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由于，所以不满足①， 所以不是“理想函数”，故A符合题意； 对于B，由于是上的奇函数，满足①， 且在上单调递减，满足②， 所以是“理想函数”，故B不符合题意； 对于C，由于的定义域为，关于原点对称， 且，故满足①， 对于,任取而， 此时不满足②， 即不是“理想函数”，故C符合题意； 对于D，作出的图像： 由图可得是奇函数，满足①， 由于在上单调递减，满足②， 即是“理想函数”，故D不符合题意. 故选：AC. （多选）11．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数的图像经过点，，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】代入点坐标，解方程组可得函数解析式，再利用定义法可判断函数的奇偶性，再根据复合函数单调性的判断方式可判断函数单调性，进而可判断各选项. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由前面计算可知，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，解得，故选项D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 【答案】3 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． 13．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 14．（25-26高三上·河南周口·期末）若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】根据其为奇函数变形 ，再根据其单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 则等价于． 又在上单调递增，所以，解得或． 则其解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知函数满足：当时． (1)若是偶函数，求时的解析式； (2)用定义证明在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的性质，求出函数解析式即可. （2）根据单调性的定义法，直接证明函数单调性即可. 【详解】（1）当是偶函数，可得， 所以当时，，则，即， 所以时，. （2）设，则， 由，可得， 所以，即， 所以在上单调递增. 16．（25-26高一上·江西上饶·月考）若设为实数，已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)当，求函数的值域. 【答案】(1)2 (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）利用单调性求函数在区间内的值域. 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，，， 为奇函数，所以的值为. （2）是上的增函数，证明如下， 证明：由（1）可知，， 设，则， 因为，所以，， 故，即， 是上的增函数； （3）由（2）可知，函数在上单调递增，所以， 即，故函数的值域为. 17．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 18．（25-26高一上·陕西榆林·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用恒等式可证明是奇函数； （2）利用定义法来证明函数单调性即可； （3）利用奇偶性和单调性转化不等式，即可利用一元二次不等式恒成立来求参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 由， 可得，所以是奇函数； （2）令，则， 因为，所以，即， 则当时，有，所以在上单调递减； （3）因为是奇函数，所以不等式， 又因为在上单调递减，所以， 由于不等式对一切恒成立， 所以，解得， 故实数k的取值范围是. 19．（25-26高一上·湖北恩施·期末）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知 (1)请你利用这个推广的结论求函数图像的对称中心； (2)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用函数对称中心的定义，可求解出该三次函数的对称中心； (2)利用二次函数的单调性可求参数范围. 【详解】（1）因为 , 由为奇函数，则，解得， 所以函数图像的对称中心为； （2）由， 因为函数在上具有单调性，所以二次函数的对称轴满足： 或，解得或， 故实数的取值范围是. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $