专题01 因式分解8大题型53题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题01 因式分解 基础·固本强基 题型1 因式分解概念与整式乘法辨析 题型2 提公因式法基础 题型3 平方差与完全平方公式法（重点） 提升·进阶突破 题型4 综合提公因式与公式法（重点） 题型5 十字相乘法（难点） 题型6 分组分解法（重点） 拔高·压轴破难 题型7 配方法求最值与分解（难点） 题型8 因式分解在几何与代数中的综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 因式分解概念与整式乘法辨析（共4小题） 【模型】 互逆运算模型（和差形式 乘积形式）。 【步骤】 ① 观察等式左右两边的形式；② 判断是否由“多项式”化为“几个整式的积”；③ 检查每个因式是否均为整式。 【易错】 ① 将整式乘法误认为因式分解；② 结果中包含分式或根式，未满足“整式乘积”的要求。 1．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）下列从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南·期中）下列由左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 题型2 提公因式法基础（共4小题） 【模型】 乘法分配律逆用模型（ ）。 【步骤】 ① 找系数（各项系数的最大公约数）；② 找字母（相同字母的最低次幂）；③ 提取公因式，用原多项式除以公因式得到另一个因式。 【易错】 ① 首项系数为负时，忘记提取负号并变号；② 提取公因式“1”后漏项（如 误写为 ）。 5．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）因式分解：（     ） A． B． C． D． 6．（2026八年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为_____． 7．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：____． 8．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：________． 题型3 平方差与完全平方公式法（共5小题） 【模型】 平方差模型（ ）；完全平方模型（ ）。 【步骤】 ① 观察项数（两项用平方差，三项用完全平方）；② 将多项式各项还原为“底数”的平方或乘积；③ 套用公式写出结果。 【易错】 ① 符号判断失误（如将 强行套用公式）；② 中间项系数不是首尾底数乘积的2倍时，误用完全平方公式。 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）对代数式进行因式分解． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 我们发现，代数式可写成平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． (1)根据上述方法，因式分解：； (2)小明认为：“对于形如（n为正整数）的多项式，都能用这种方法进行因式分解．”请你判断这个说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出反例并解释原因． 10．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 11．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）因式分解 (1) (2) 12．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）因式分解： (1)； (2)． 13．（25-26八年级下·陕西西安·期末）将下列各式因式分解： (1)； (2)． 提升·进阶突破 题型4 综合提公因式与公式法（共7小题） 【模型】 阶梯分解模型（一提、二套、三彻底）。 【步骤】 ① 优先提取各项的公因式（含负号）；② 对括号内的剩余多项式尝试套用公式；③ 检查每个因式是否还能继续分解，直至最简。 【易错】 ① 分解不彻底（如 只提取2得到 ，未继续用平方差公式）；② 整体代换时符号处理错误。 14．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 15．（26-27七年级上·重庆巴南·开学考试）求证：能被31整除． 16．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）因式分解： (1)； (2) 17．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)． 18．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）先因式分解，再求值：，其中． 19．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：． 20．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）利用因式分解计算： (1)；； (2)． 题型5 十字相乘法（共7小题） 【模型】 竖分交叉验中项模型。 【步骤】 ① 竖分二次项系数与常数项；② 交叉相乘并相加，验证是否等于一次项系数；③ 横向写出两个一次因式。 【易错】 ① 常数项分解因数时漏掉负数情况；② 交叉相乘验算时符号出错，导致“凑中项”失败。 21．（2022·上海松江·模拟预测）分解因式：_____． 22．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 23．（21-22八年级上·贵州黔西南·期中）因式分解： (1) (2) 24．（25-26七年级下·山东聊城·期末）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)用整体设元法因式分解：； (2)用姬曼定理因式分解：； (3)用十字相乘法因式分解：； (4)因式分解：． 25．（25-26八年级下·山西运城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 26．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 题型6 分组分解法（共7小题） 【模型】 局部到整体模型（二二分组、三一分组）。 【步骤】 ① 将多项式合理分组（通常四项式二二分组，或含完全平方的三一分组）；② 组内分别提公因式或套公式；③ 组间再提取公因式或套公式。 【易错】 ① 分组盲目，导致组内无法分解或组间无公因式；② 添括号时，括号前是负号，组内各项忘记变号。 27．（25-26八年级上·山东烟台·阶段检测）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 28．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 29．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得 ，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 30．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 31．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．对于某些多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以将一些多项式进行因式分解，例如：分解因式： ． 解决问题： (1)若多项式是完全平方式，求常数的值； (2)分解因式：． 32．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 33．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： (1)仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； (2)已知，，为的三条边，，求的周长． 拔高·压轴破难 题型7 配方法求最值与分解（共12小题） 【模型】 添项凑完全平方模型。 【步骤】 ① 观察多项式，添加并减去同一个常数项，凑出完全平方式；② 利用平方差公式或完全平方公式继续分解；③ 结合平方的非负性（ ）求代数式的最值。 【易错】 ① 凑完全平方时，加减的常数项计算错误；② 求最值时忽略变量 的取值范围限制。 34．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最大值． 35．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)用配方法因式分解：； (3)求的最小值． 36．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 37．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． (1)用配方法将分解因式； (2)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． (3)当x，y为何值时，代数式取得最大值，最大值为多少？ 38．（22-23八年级下·四川达州·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； (2)因式分解：______； (3)用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： (4)若实数a，b满足，则的最小值为______． 39．（22-23八年级上·湖南衡阳·期中）对于二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变（这个过程叫“配方”），于是有： ． 请仿照上面的做法，解答下列各题： (1)因式分解：； (2)求代数式的最小值． (3)代数式的最小值为______． 40．（19-20八年级上·福建泉州·期中）阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： （1）分解因式：； （2）无论取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 41．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)利用“配方法”分解因式：； (3)若．求N的最小值； (4)已知整式与，请比较A、B的大小． 42．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）【阅读材料】 把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用． 例1：用配方法分解因式：． 解：原式 ． 例2：用配方法求整式的最小值． 解：； ，， 整式的最小值为5． 【类比应用】 (1)如果整式是一个完全平方式，则括号内的常数应为______； (2)参考例1的步骤，用配方法分解因式：； (3)参考例2的步骤，用配方法求整式的最小值． 43．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：． 解：原式 ． ②，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，∴当时，有最小值5． 请根据上述材料解决下列问题： (1)利用上述方法分解因式：； (2)若，求的最小值． 44．（24-25八年级下·广东深圳·期中）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问 题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解：先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：； (3)求 的最小值． (4)已知实数x，y 满 足，求的最小值，并指出此时y的值． 45．（25-26八年级下·陕西西安·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 题型8 因式分解在几何与代数中的综合应用（共8小题） 【模型】 数形结合与方程思想模型。 【步骤】 ① 将几何图形的面积关系或代数等式转化为多项式方程；② 对方程一边进行因式分解，另一边化为0；③ 利用“乘积为0则至少一个因式为0”求解，并结合实际意义舍去不合理解。 【易错】 ① 几何问题中未考虑边长、面积必须为正数的隐含条件；② 代数式化简求值时，未先分解因式直接代入，导致计算量过大或出错。 46．（25-26六年级下·山东济南·期末）利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 47．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 49．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非”，这段论述深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 (1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式为：_________________； 【拓展应用】 (2)将一张大长方形纸板按图中所示方式裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为__________． ②若阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 50．（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 51．（25-26八年级下·重庆·期末）重庆解放碑英利大融城举办自在碳水节，某烘焙摊位售卖黄油吐司与全麦贝果两种爆款碳水点心，据了解，个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元；个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元． (1)求一个黄油吐司和一个全麦贝果的售价分别是多少元？ (2)该摊位计划主推黄油吐司，黄油吐司的成本为元/个，当以原售价销售时，每日可售个，为了提高利润，决定涨价销售，经过市场调研发现，售价每上涨元/个，每日销量就减少个，设每个黄油吐司现售价为元，该商家每日销售黄油吐司获得的利润为元．当一个黄油吐司的现售价定为多少元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大？最大利润是多少？ 52．（24-25八年级下·重庆·期末）例如：多项式可以分解为与另外一个整式M的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积． 令：， 而，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而． 此时，不难发现是方程的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)若是多项式的因式，求a的值并将多项式分解因式． (2)若多项式含有因式及，求的值． (3)若多项式可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式． 53．（25-26八年级下·全国·课后作业）今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步．问：为田几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一块圆环形田（如图），内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，圆环形田的面积是多少（取3）？ 《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积，即圆环形田的面积．请说明这种算法的道理． $专题01 因式分解 基础·固本强基 题型1 因式分解概念与整式乘法辨析 题型2 提公因式法基础 题型3 平方差与完全平方公式法（重点） 提升·进阶突破 题型4 综合提公因式与公式法（重点） 题型5 十字相乘法（难点） 题型6 分组分解法（重点） 拔高·压轴破难 题型7 配方法求最值与分解（难点） 题型8 因式分解在几何与代数中的综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 因式分解概念与整式乘法辨析（共4小题） 【模型】 互逆运算模型（和差形式 乘积形式）。 【步骤】 ① 观察等式左右两边的形式；② 判断是否由“多项式”化为“几个整式的积”；③ 检查每个因式是否均为整式。 【易错】 ① 将整式乘法误认为因式分解；② 结果中包含分式或根式，未满足“整式乘积”的要求。 1．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）下列从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，即可判断． 【详解】解：A、，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意； B、，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意； C、，符合因式分解的定义，是因式分解，故选项符合题意； D、，右边分母中含有字母，不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意． 2．（26-27八年级上·湖南·期中）下列由左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项， ，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B选项，，左边是几个整式的积，右边是多项式，这是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； C选项，，原运算错误，不是因式分解，故该选项不符合题意； D选项，，右边是几个整式的积的形式，是因式分解，故该选项符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断因式分解需同时满足两个条件：左边是多项式，右边是几个整式的积的形式． 【详解】解：A、是整式乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、满足因式分解的条件，属于因式分解，该选项符合题意； D、的左边是单项式，不属于因式分解，该选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．的变形为整式乘法，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． B．，右边为和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． C．的变形为整式乘法，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． D．是将多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解． 题型2 提公因式法基础（共4小题） 【模型】 乘法分配律逆用模型（ ）。 【步骤】 ① 找系数（各项系数的最大公约数）；② 找字母（相同字母的最低次幂）；③ 提取公因式，用原多项式除以公因式得到另一个因式。 【易错】 ① 首项系数为负时，忘记提取负号并变号；② 提取公因式“1”后漏项（如 误写为 ）。 5．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】提取公因式完成因式分解． 【详解】解：． 6．（2026八年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为_____． 【答案】 【分析】当已知和的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含和的形式，即可快速求值． 【详解】解：原式 ， 代入，原式． 7．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，利用提取公因式法即可完成因式分解． 【详解】解： ． 8．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：________． 【答案】 【分析】找出多项式各项的公因式，利用提取公因式法即可得到因式分解结果． 【详解】解： ． 题型3 平方差与完全平方公式法（共5小题） 【模型】 平方差模型（ ）；完全平方模型（ ）。 【步骤】 ① 观察项数（两项用平方差，三项用完全平方）；② 将多项式各项还原为“底数”的平方或乘积；③ 套用公式写出结果。 【易错】 ① 符号判断失误（如将 强行套用公式）；② 中间项系数不是首尾底数乘积的2倍时，误用完全平方公式。 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）对代数式进行因式分解． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 我们发现，代数式可写成平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． (1)根据上述方法，因式分解：； (2)小明认为：“对于形如（n为正整数）的多项式，都能用这种方法进行因式分解．”请你判断这个说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出反例并解释原因． 【答案】(1) (2)正确，理由如下： ， 因此，对于形如（n为正整数）的多项式均可用此法因式分解． 【分析】（1）根据新方法，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）仿照（1）的方法，进行解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）略 10．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可； （2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案； （3）根据配方法配方，得到，再根据非负数的性质求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， 即多项式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴的周长为． 11．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级下·陕西西安·期末）将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 提升·进阶突破 题型4 综合提公因式与公式法（共7小题） 【模型】 阶梯分解模型（一提、二套、三彻底）。 【步骤】 ① 优先提取各项的公因式（含负号）；② 对括号内的剩余多项式尝试套用公式；③ 检查每个因式是否还能继续分解，直至最简。 【易错】 ① 分解不彻底（如 只提取2得到 ，未继续用平方差公式）；② 整体代换时符号处理错误。 14．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 【答案】 【分析】首先依据新定义的运算法则把所给式子转化为常规的代数式，然后利用因式分解的步骤和方法分解因式即可． 【详解】解：原式 15．（26-27七年级上·重庆巴南·开学考试）求证：能被31整除． 【答案】 证明： ∵ 是整数， 含有因数31， ∴ 能被31整除． 【分析】利用幂的乘方将变形为平方差形式，分解出因数31即可证明． 【详解】证明：略． 16．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用平方差公式进行两次分解； （2）先提公因式，再用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】因式分解一定要彻底（分解到不能再分解）． 17．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）提取多项式各项的公因式，完成因式分解； （2）将原式变形为平方差的形式，套用平方差公式分解； （3）先变形提取公因式，再用平方差公式继续分解至不能分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）先因式分解，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先提公因式，然后用完全平方公式分解因式，最后将数据代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解因式，再进一步提取公因式分解因式即可. 【详解】解： ． 20．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）利用因式分解计算： (1)；； (2)． 【答案】(1)280000； (2)40000 【详解】（1）解： （2）解： 题型5 十字相乘法（共7小题） 【模型】 竖分交叉验中项模型。 【步骤】 ① 竖分二次项系数与常数项；② 交叉相乘并相加，验证是否等于一次项系数；③ 横向写出两个一次因式。 【易错】 ① 常数项分解因数时漏掉负数情况；② 交叉相乘验算时符号出错，导致“凑中项”失败。 21．（2022·上海松江·模拟预测）分解因式：_____． 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 22．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 23．（21-22八年级上·贵州黔西南·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 24．（25-26七年级下·山东聊城·期末）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)用整体设元法因式分解：； (2)用姬曼定理因式分解：； (3)用十字相乘法因式分解：； (4)因式分解：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： 故； （4）解： ． 25．（25-26八年级下·山西运城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 26．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 题型6 分组分解法（共7小题） 【模型】 局部到整体模型（二二分组、三一分组）。 【步骤】 ① 将多项式合理分组（通常四项式二二分组，或含完全平方的三一分组）；② 组内分别提公因式或套公式；③ 组间再提取公因式或套公式。 【易错】 ① 分组盲目，导致组内无法分解或组间无公因式；② 添括号时，括号前是负号，组内各项忘记变号。 27．（25-26八年级上·山东烟台·阶段检测）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）仿照材料1例题求解即可； （2）①令，即可求解；②令，仿照材料1、材料2例题分解，将“”还原后再根据完全平方公式及材料1继续分解； （3）前三项先用完全平方公式分解，再整体用平方差公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：①将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式； ②原式， 将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式 ； （3）解：原式 ． 28．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 29．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得 ，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 30．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 31．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．对于某些多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以将一些多项式进行因式分解，例如：分解因式： ． 解决问题： (1)若多项式是完全平方式，求常数的值； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：多项式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ． 32．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，然后提取公因式分解因式即可； （2）先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： (1)仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； (2)已知，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①仿照题干中的方法把拆成，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； ②利用分组分解因式的方法，可得：原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； （2）利用拆项法可得：，利用完全平方公式分解因式可得，根据平方的非负性可得，，，再根据三角形的周长公式求解． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ． 拔高·压轴破难 题型7 配方法求最值与分解（共12小题） 【模型】 添项凑完全平方模型。 【步骤】 ① 观察多项式，添加并减去同一个常数项，凑出完全平方式；② 利用平方差公式或完全平方公式继续分解；③ 结合平方的非负性（ ）求代数式的最值。 【易错】 ① 凑完全平方时，加减的常数项计算错误；② 求最值时忽略变量 的取值范围限制。 34．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法进行因式分解即可； （2）根据题中所给方法求解最大值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴， ∴当时，的最大值为． 35．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)用配方法因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1)16 (2) (3)3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将16化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴横线上添上一个常数项16使之成为完全平方式； 故答案为：16 （2）解： ； （3）解：， ， ∵是非负数， ∴， ∴， 即的最小值为1， ∴的最小值为3． 36．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）通过配方法将二次三项式化为完全平方式与常数差的形式，再利用平方差公式因式分解； （2）通过配方法将代数式化为完全平方式与常数的和，利用平方非负性求最小值． 【详解】（1）解： （2）解： ∵ ∴ ∴ 代数式的最小值为 37．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． (1)用配方法将分解因式； (2)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． (3)当x，y为何值时，代数式取得最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)当时，代数式取最大值，最大值为16 【分析】（1）根据，再根据平方差公式分解即可； （2）将原式化为，再根据完全平方公式整理成平方和等于0的形式求出a，b的值，然后根据等腰三角形的性质和三角形三边关系解答； （3）根据完全平方公式整理为，再讨论极值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． ∴三边长为2，2，1，则周长为； （3）解： ， ∵，， ∴当时，， 所以当时，代数式取最大值，最大值为16． 38．（22-23八年级下·四川达州·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； (2)因式分解：______； (3)用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： (4)若实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】(1)25 (2) (3)4 (4)3 【分析】（1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据配方可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ， 故答案为：25． （2）解： ， 故答案为：． （3）解： ， ， ， 的最小值为4． （4）解： ， ， ， ， 的最小值为3． 【点睛】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． 39．（22-23八年级上·湖南衡阳·期中）对于二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变（这个过程叫“配方”），于是有： ． 请仿照上面的做法，解答下列各题： (1)因式分解：； (2)求代数式的最小值． (3)代数式的最小值为______． 【答案】(1) (2)4 (3)3 【分析】（1）在一次项的后面加上9再减去9，配成一个完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）首先将配方成，然后根据平方的非负性求解即可； （3）首先将配方成，然后根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1） ； （2） ∵ ∴ ∴的最小值为4， ∴代数式的最小值为4； （3） ∵， ∴ ∴的最小值为3 ∴代数式的最小值为3． 【点睛】本题考查了完全平方公式：；平方差公式：，熟记并灵活运用这两个公式是解题的关键． 40．（19-20八年级上·福建泉州·期中）阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： （1）分解因式：； （2）无论取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 【答案】（1）；（2）的最小值为2018． 【分析】（1）根据配方法和平方差公式，即可分解因式； （2）根据配方法，把原式化为，进而即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ， ， ∴的最小值为2018． 【点睛】本题主要考查分解因式以及求代数式的最值，掌握配方法和平方差公式是解题的关键． 41．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)利用“配方法”分解因式：； (3)若．求N的最小值； (4)已知整式与，请比较A、B的大小． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，N有最小值是6 (4) 【分析】本题主要考查配方法的运用，完全平方公式的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，整式加减运算的应用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数； （2）类比例题进行分解因式即可； （3）类比例题求的最小值即可； （4）先计算整式与的差，偶次方的非负性，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 常数项为25． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴当时，N有最小值是6； （4）解： ∵ ∴ ∴． 42．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）【阅读材料】 把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用． 例1：用配方法分解因式：． 解：原式 ． 例2：用配方法求整式的最小值． 解：； ，， 整式的最小值为5． 【类比应用】 (1)如果整式是一个完全平方式，则括号内的常数应为______； (2)参考例1的步骤，用配方法分解因式：； (3)参考例2的步骤，用配方法求整式的最小值． 【答案】(1)9 (2) (3)的最小值为4 【分析】本题考查了配方法及其应用，熟悉完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点即可求解； （2）利用配方法可配方为，再用平方差公式进行分解即可； （3）多项式配方为，由平方的非负性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴括号内的常数应为9， 故答案为：9； （2）解： ； （3）解：， ，   ， 即的最小值为4． 43．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：． 解：原式 ． ②，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，∴当时，有最小值5． 请根据上述材料解决下列问题： (1)利用上述方法分解因式：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 【分析】（1）根据题中新方法进行局部配方，再分解因式即可； （2）根据题中新方法进行局部配方，再依据偶次幂的非负性求解；． 【详解】解：（1） ． （2）∵． ∵，∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，偶次幂的非负性，配方法是解题的关键． 44．（24-25八年级下·广东深圳·期中）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问 题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解：先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：； (3)求 的最小值． (4)已知实数x，y 满 足，求的最小值，并指出此时y的值． 【答案】(1)4 (2) (3)8 (4)， 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）因为，可得答案为： 4 ； （2）按照示例（1）解答为 ； （3）按照示例（2）解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答． （4）根据，得出，代入得： ，因为是非负数，所以，据此解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， 因为是非负数， 所以， 所以的最小值是 8 ． （4）解：∵， ∴， 代入得： 因为是非负数， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ． 此时． 45．（25-26八年级下·陕西西安·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（）根据完全平方公式的特征求解； （）先配方，再求最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式：， ∵，一次项系数的一半为，平方为， ∴． （2）解： 根据完全平方的非负性，对任意都有， ∴当时，原式有最小值， 即：的最小值为． 题型8 因式分解在几何与代数中的综合应用（共8小题） 【模型】 数形结合与方程思想模型。 【步骤】 ① 将几何图形的面积关系或代数等式转化为多项式方程；② 对方程一边进行因式分解，另一边化为0；③ 利用“乘积为0则至少一个因式为0”求解，并结合实际意义舍去不合理解。 【易错】 ① 几何问题中未考虑边长、面积必须为正数的隐含条件；② 代数式化简求值时，未先分解因式直接代入，导致计算量过大或出错。 46．（25-26六年级下·山东济南·期末）利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形，分析对应的边长，即可求解． 【详解】①：由图③可知，，故①是正确的，符合题意； ②：因为，由图③可知，，所以，故②是正确的，符合题意； ③：由题意可知图③是由个长为，宽为的小矩形和个边长为的小正方形构成的个边长为的大正方形，所以，即， 故③是正确的，符合题意； ④：∵由③得，即， 若成立， 那么，即， ∴， ∵与矛盾， ∴④是错误的，不符合题意； ∴符合题意的共有个． 47．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，根据，得，据此求解即可． 【详解】解：∵长为、宽为的长方形的面积为， 2个边长为的正方形的面积分别为， 一个长为、宽为的长方形的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即． 48．（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 49．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非”，这段论述深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 (1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式为：_________________； 【拓展应用】 (2)将一张大长方形纸板按图中所示方式裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为__________． ②若阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 空白的面积为平方厘米 【分析】（1）根据题意计算正方形面积即可． （2）根据题意计算长方形面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵正方形面积等于个正方形和个长方形面积的和， ∴， ∴， ∴． （2）解：解：根据题意可知长方形的长为，宽为， ∴， ∴． 解：∵大长方形纸板的周长为厘米， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为平方厘米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵空白部分面积为， ∴空白部分面积为（平方厘米）． 50．（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 【答案】(1) (2)； (3)① ②解：割补后的图形如图： 结论：． 【分析】（1）大长方形的面积既可以用长乘宽计算，也可以等于所有卡片面积之和，所以分别计算两种形式的面积，即可得到因式分解等式； （2）将多项式拆分为对应卡片的面积和，多项式对应2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，先对多项式因式分解得到长和宽，再按长和宽拼接卡片，验证面积相等得到等式； （3）①利用割补前后剩余面积相等，图3剩余面积为，图4长方形面积等于长乘宽，根据割补后的边长写出长和宽，即可得到因式分解结果； ②类似①中方法，裁去上方2个宽为1、长为的长方形，再裁去左侧边长为1的3个正方形，剩余面积为，将剩余不规则图形割补，可得到长为、宽为的长方形，据此得到结论． 【详解】（1）解：图2大长方形的长和宽均为，其面积为，所有卡片的面积和为， 因此，得到因式分解等式：； （2）解：拼接方法：拼出长为、宽为的长方形，共使用2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，即可得到因式分解等式：； （3）解：①图4中，割补后长方形的长为、宽为， 因此，； ②略． 51．（25-26八年级下·重庆·期末）重庆解放碑英利大融城举办自在碳水节，某烘焙摊位售卖黄油吐司与全麦贝果两种爆款碳水点心，据了解，个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元；个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元． (1)求一个黄油吐司和一个全麦贝果的售价分别是多少元？ (2)该摊位计划主推黄油吐司，黄油吐司的成本为元/个，当以原售价销售时，每日可售个，为了提高利润，决定涨价销售，经过市场调研发现，售价每上涨元/个，每日销量就减少个，设每个黄油吐司现售价为元，该商家每日销售黄油吐司获得的利润为元．当一个黄油吐司的现售价定为多少元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)一个黄油吐司的售价是元，一个全麦贝果的售价是元； (2)当黄油吐司现售价定为元时，每日利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设一个黄油吐司的售价是元，一个全麦贝果的售价是元，根据个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元；个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元，建立二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得单个利润为元，涨价金额为元，每日销量为个，再根据总利润每个的销售利润销售量，可列出关于的表达式求解即可． 【详解】（1）解：设一个黄油吐司的售价是元，一个全麦贝果的售价是元， 由题意可得：， 解得： 答：一个黄油吐司的售价是元，一个全麦贝果的售价是元； （2）由题意可得：单个利润为元， 涨价金额为元，，则， 每日销量为个，，则， ∴， ∴ ∵，， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 答： 当黄油吐司现售价定为元时，每日利润最大，最大利润为元． 52．（24-25八年级下·重庆·期末）例如：多项式可以分解为与另外一个整式M的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积． 令：， 而，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而． 此时，不难发现是方程的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)若是多项式的因式，求a的值并将多项式分解因式． (2)若多项式含有因式及，求的值． (3)若多项式可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式． 【答案】(1) ，分解结果为 (2) (3) ，分解结果为 【分析】(1)设多项式能分解为，利用因式分解与整式的关系得关于a、b的方程，求解得a，代入后得分解结果； (2)设可分解为，利用因式分解与整式的关系得关于a、b、c的方程，求解后代入计算得结果． （3）由多项式可得部分因式之积，根据笛卡尔的“待定系数法”原理，可得设分解为两个一次因式之积，即可求得对应系数，进一步将多项式分解因式． 【详解】（1）解：∵是多项式的因式，设多项式能分解为， ∴． ∴，． ∴，． ∴． （2）解：∵多项式含有因式及，， 设可分解为， ∴ ． ∴， ∴． ∴． （3）解：∵， ∴可以分解为， 则， ∴， 解得， 则 ． 53．（25-26八年级下·全国·课后作业）今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步．问：为田几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一块圆环形田（如图），内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，圆环形田的面积是多少（取3）？ 《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积，即圆环形田的面积．请说明这种算法的道理． 【答案】圆环形田的面积是535 《九章算术》中算法的道理：设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q， ∴圆环形面积，且， ∴ ， 即圆环形田的面积等于两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积． 【分析】代入周长表示半径：由得，由得．写出圆环面积公式：，代入半径表达式：，化简并因式分解：利用平方差公式，得，代入周长公式：，化简得，即可证明．再代入题中所给数据即可求出圆环形田的面积． 【详解】解：《九章算术》中算法的证明，略． ∵内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，取3， 即， ∴， 即圆环形田的面积是535． $