专题03 二次根式8大题型54题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题03 二次根式 基础·固本强基 题型1 二次根式的概念与有意义的条件 题型2 二次根式的基础性质与化简（重点） 题型3 二次根式的乘除运算 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算（重点） 题型5 分母有理化与求值 拔高·压轴破难 题型6 二次根式的新定义问题（重难点） 题型7 复合二次根式（双重根号）化简（难点） 题型8 二次根式的规律探究（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次根式的概念与有意义的条件（共6小题） 【模型】 双重非负性模型（被开方数   且 二次根式值  ）。 【步骤】① 识别形如   的式子；② 令被开方数  （若含分母还需分母  ）；③ 解不等式或不等式组，求出字母的取值范围。 【易错】 ① 忽略隐含条件，如   需同时满足   和  （即  ）；② 误认为   有意义（除非  ）。 1．（2026·海南·中考真题）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D．x 4．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）若有意义，则实数x的取值范围是________． 5．（2026·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 6．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）要使二次根式有意义，则的值可以是______________．（写出一个即可） 题型2 二次根式的基础性质与化简（共7小题） 【模型】 平方与算术平方根互逆模型（  与  ）。 【步骤】 ① 判断根号外的平方与根号内的平方的先后顺序；② 若先开方再平方，直接等于被开方数；③ 若先平方再开方，结果必须加绝对值，再根据字母取值范围去绝对值。 【易错】 ① 混淆   与   的区别，忘记   的结果是  ；② 当   时，化简   忘记变号（应为  ）。 7．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知实数a满足，化简 _________． 9．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）化简：=________；________． 10．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：___________． 11．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）已知，求的值． 12．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）解答下列各题 (1)若、都是实数且，求的平方根； (2)实数、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 题型3 二次根式的乘除运算（共6小题） 【模型】乘除互逆与因数提取模型。 【步骤】 ① 乘法：系数乘系数，被开方数乘被开方数；② 除法：系数除系数，被开方数除被开方数；③ 结果必须化为最简二次根式（被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数）。 【易错】 ① 乘除运算后忘记化简（如   未化简为  ）；② 被开方数是小数或分数时，未先转化为整数或整式再运算。 13．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）计算：的结果是（     ） A． B． C．1 D．9 14．（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 15．（26-27八年级上·湖南·期中）计算： (1)； (2)． 16．（25-26八年级下·云南昆明·期末）计算：． 17．（25-26八年级下·北京·期末）计算：． 18．（21-22八年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)； (2)； 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算（共7小题） 【模型】 运算顺序与乘法公式应用模型。 【步骤】 ① 遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号”的顺序；② 遇到多项式相乘，灵活运用平方差公式或完全平方公式；③ 逐步计算并随时化简。 【易错】 ① 运算顺序颠倒，如在加减未通分前就进行约分；② 运用完全平方公式时漏掉中间项（如   误算为  ）。 19．（26-27八年级上·广西·期中）计算： (1)； (2)． 20．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 21．（26-27七年级上·黑龙江·期中）计算： (1) (2) 22．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）计算：． 23．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1) (2) 24．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）计算：； 25．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)； 题型5 分母有理化与求值（共7小题） 【模型】 构造平方差消根号模型。 【步骤】① 观察分母结构（单项式或两项式）；② 分子分母同乘分母的有理化因式（如   的有理化因式为  ）；③ 利用平方差公式化简分母。 【易错】 ① 找错有理化因式（如将   乘以   导致无法消去根号）；② 分子漏乘有理化因式。 26．（26-27八年级上·湖南·期中）___________． 27．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)__________． (2)化简． (3)若，求的值． 28．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简________；________． (2)计算：； (3)已知，，求的值． 29．（2026九年级上·全国·专题练习）计算：．（） 30．（26-27八年级上·山西·期中）在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深邃的智慧与美感． 如乘法， ，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号的运算叫做分母有理化． (1)的有理化因式______；的有理化因式______． (2)分母有理化得______；分母有理化得______． (3)求的值． 31．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读以下材料：观察下列等式，找找规律 ① ②； ③ (1)化简： (2)计算： 32．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 拔高·压轴破难 题型6 二次根式的新定义问题（共7小题） 【模型】 规则转化与代入计算模型。 【步骤】① 仔细阅读题目给出的新运算规则（如定义  ）；② 将题目要求的数值严格对应代入规则中的位置；③ 转化为常规的二次根式混合运算进行求解。 【易错】① 照搬常规运算律（如错误地认为新定义满足交换律或结合律）；② 代入数值时位置搞反，或忽略了新定义中对字母取值范围的特殊限制。 33．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 34．（25-26八年级下·重庆开州·期末）在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（     ）． A．0 B．1 C．2 D．3 35．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 36．（25-26七年级下·广东广州·期末）阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 37．（25-26八年级下·河南新乡·期末）定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 38．（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 39．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 题型7 复合二次根式(双重根号)化简（共7小题） 【模型】 配凑完全平方式模型（ ）。 【步骤】 ① 将被开方数拆分为两个数的和与积（寻找   使  ）；② 将原式配方为  ；③ 开方得出结果  （注意大数减小数）。 【易错】 ① 找不到合适的   进行拆分；② 开方后忘记判断   与   的大小，导致结果为负数（二次根式结果必须非负）。 40．（25-26八年级下·云南楚雄·期中）已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 41．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 42．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 43．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 44．（25-26九年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：，其中x是满足的偶数． 45．（25-26八年级下·山东烟台·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明在学习了二次根式后，发现了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)【猜想】=______，并验证； (2)【推理证明】分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确； (3)【创新应用】按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 46．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 题型8 二次根式的规律探究（共8小题） 【模型】 归纳推理与通项公式模型。 【步骤】 ① 观察给出的前几个等式（如   等），寻找被开方数中分子、分母的变化规律；② 猜想第   个式子的结构；③ 利用代数运算验证猜想，或直接利用规律计算复杂算式（如裂项相消）。 【易错】 ① 观察不细致，忽略了符号的交替变化或系数的倍数关系；② 归纳出的通项公式未经验证，导致后续计算全盘皆输。 47．（25-26九年级下·山东淄博·期末）在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由，可得与互为倒数，即，．根据小明同学发现的规律，可得：，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26九年级下·山东烟台·期末）小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 49．（25-26八年级下·山东临沂·期末）观察下列式子的规律，用字母表示这一规律，并给出证明． ；；． 50．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列等式，完成下列任务： ①②③④ (1)写出第⑥个等式：______． (2)用字母（为正整数）表示出第个等式，并加以证明． (3)运用上述规律，化简：＝______． 51．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 52．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 根据以上规律，解决下列问题： (1)第2026个等式是__________； (2)请写出第个等式（用含的式子表示），并证明其正确性． 53．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)写出第4个等式：__________________ (2)写出你猜想的第个等式：______________________（用含n的等式表示，且n为整数），并证明等式的正确性． 54．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． $专题03 二次根式 基础·固本强基 题型1 二次根式的概念与有意义的条件 题型2 二次根式的基础性质与化简（重点） 题型3 二次根式的乘除运算 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算（重点） 题型5 分母有理化与求值 拔高·压轴破难 题型6 二次根式的新定义问题（重难点） 题型7 复合二次根式（双重根号）化简（难点） 题型8 二次根式的规律探究（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次根式的概念与有意义的条件（共6小题） 【模型】 双重非负性模型（被开方数   且 二次根式值  ）。 【步骤】① 识别形如   的式子；② 令被开方数  （若含分母还需分母  ）；③ 解不等式或不等式组，求出字母的取值范围。 【易错】 ① 忽略隐含条件，如   需同时满足   和  （即  ）；② 误认为   有意义（除非  ）。 1．（2026·海南·中考真题）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D．x 【答案】B 【详解】解：∵ 的被开方数小于0， ∴ 不是二次根式． ∵ 的根指数为3， ∴ 不是二次根式. ∵ 不含二次根号， ∴ 不是二次根式. ∵ 的根指数为2，且被开方数， ∴ 是二次根式． 4．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）若有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【分析】原式同时包含二次根式和分式，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴二次根式的被开方数非负，得；分式的分母不为零，得， 联立两个不等式可得，解得． 5．（2026·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得， 即． 6．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）要使二次根式有意义，则的值可以是______________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于或等于0，先求出m的取值范围，再任取范围内一个值即可． 【详解】解：当二次根式有意义时，被开方数是非负数， ，解得， 任意大于或等于1的数都符合要求，此处取2． 题型2 二次根式的基础性质与化简（共7小题） 【模型】 平方与算术平方根互逆模型（  与  ）。 【步骤】 ① 判断根号外的平方与根号内的平方的先后顺序；② 若先开方再平方，直接等于被开方数；③ 若先平方再开方，结果必须加绝对值，再根据字母取值范围去绝对值。 【易错】 ① 混淆   与   的区别，忘记   的结果是  ；② 当   时，化简   忘记变号（应为  ）。 7．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴确定a、b的正负及大小关系，结合绝对值与二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ∴， ∴． 8．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知实数a满足，化简 _________． 【答案】1 【分析】根据判断绝对值内和根号下式子的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简计算． 【详解】解：∵ ， ∴，， 根据二次根式性质，得 ， ∵正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数， ∴原式 ． 9．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）化简：=________；________． 【答案】 【分析】化简二次根式时，先分解被开方数得到完全平方因数，带分数先化为假分数，再利用二次根式的性质化简． 【详解】解：∵ ， ∴ ； 先将带分数化为假分数，得， ∵ ， ∴ ． 10．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：___________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得出，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，则， ∴ ． 11．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【分析】将等式变形后配方，利用非负数的性质求出x、y、z的值，代入计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数非负， ∴，， 将原式两边同乘2，得 将变形为， 代入上式得 移项得 配方得， 整理得 ∵ ∴，， 解得，， ∴． 12．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）解答下列各题 (1)若、都是实数且，求的平方根； (2)实数、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查实数与数轴，算术平方根的化简，绝对值的化简，立方根，平方根的定义． （1）根据二次根式的性质求出的值，再代入求出的值，结合平方根的定义即可解答； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，,由此得到,再分别化简即可． 【详解】（1）解：∵、都是实数且， ∴, 解得, 代入得, ∴, 即的平方根是； （2）解：由数轴可知，, ∴, ∴ 题型3 二次根式的乘除运算（共6小题） 【模型】乘除互逆与因数提取模型。 【步骤】 ① 乘法：系数乘系数，被开方数乘被开方数；② 除法：系数除系数，被开方数除被开方数；③ 结果必须化为最简二次根式（被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数）。 【易错】 ① 乘除运算后忘记化简（如   未化简为  ）；② 被开方数是小数或分数时，未先转化为整数或整式再运算。 13．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）计算：的结果是（     ） A． B． C．1 D．9 【答案】B 【详解】解：． 14．（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 15．（26-27八年级上·湖南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（25-26八年级下·云南昆明·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 17．（25-26八年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：． 18．（21-22八年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，再算加减，即可求解； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 提升·进阶突破 题型4 二次根式的混合运算（共7小题） 【模型】 运算顺序与乘法公式应用模型。 【步骤】 ① 遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号”的顺序；② 遇到多项式相乘，灵活运用平方差公式或完全平方公式；③ 逐步计算并随时化简。 【易错】 ① 运算顺序颠倒，如在加减未通分前就进行约分；② 运用完全平方公式时漏掉中间项（如   误算为  ）。 19．（26-27八年级上·广西·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式. 21．（26-27七年级上·黑龙江·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照二次根式的加减运算法则计算即可． （）利用乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先分别计算乘方、负整数指数幂、二次根式的乘法，再进行加减运算得到结果． 【详解】解： ． 23．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用乘法分配律展开计算，化简根式后合并同类二次根式． 【详解】（1）解： （2）解： 24．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）计算：； 【答案】 【分析】分别化简二次根式、去绝对值、计算零次幂，再合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：原式 ． 25．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、算术平方根与立方根，再计算加减法即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型5 分母有理化与求值（共7小题） 【模型】 构造平方差消根号模型。 【步骤】① 观察分母结构（单项式或两项式）；② 分子分母同乘分母的有理化因式（如   的有理化因式为  ）；③ 利用平方差公式化简分母。 【易错】 ① 找错有理化因式（如将   乘以   导致无法消去根号）；② 分子漏乘有理化因式。 26．（26-27八年级上·湖南·期中）___________． 【答案】 【详解】解：． 27．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)__________． (2)化简． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分母有理化，分子分母同时乘，利用平方差化简分母即可算出结果； （2）每一项分别分母有理化，会出现大量互为相反数的项，中间项两两全部抵消，保留首尾两项即可得到结果； （3）先对分母有理化，变形得到，两边同时平方得到，多次整体代入多项式求值即可． 【详解】（1）解：， 分子分母同时乘，， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简________；________． (2)计算：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式，分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数，化简即可． （2）观察式子发现每一项都可以通过分母有理化化简为两个二次根式的差，从而产生相互抵消的项，最后化简计算即可． （3）先对和进行分母有理化，求出和的值，再将所求代数式变形为含有和的形式代入计算． 【详解】（1）解：；． （2）解：由材料可得，； ； ；； ； 原式 ． （3）解： ，， ，， ， 原式 ． 29．（2026九年级上·全国·专题练习）计算：．（） 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质、再分母有理化，然后再运用二次根式的乘法运算法则计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 30．（26-27八年级上·山西·期中）在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深邃的智慧与美感． 如乘法， ，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号的运算叫做分母有理化． (1)的有理化因式______；的有理化因式______． (2)分母有理化得______；分母有理化得______． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据分母有理化的定义求解； （2）根据分母有理化的定义求解； （3）先对二次根式进行分母有理化，然后再进行二次根式的运算法则进行计算． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ， 的有理化因式是； （2）解：， 分母有理化得； 分母有理化得； （3）解： ． 31．（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读以下材料：观察下列等式，找找规律 ① ②； ③ (1)化简： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料中的分母有理化方法，分子分母同乘，利用平方差公式化简； （2）先将每一项进行分母有理化，再通过抵消中间项计算结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 32．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘即可得到结果； （2）分子分母同乘，利用平方差公式化简即可得到结果； （3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 拔高·压轴破难 题型6 二次根式的新定义问题（共7小题） 【模型】 规则转化与代入计算模型。 【步骤】① 仔细阅读题目给出的新运算规则（如定义  ）；② 将题目要求的数值严格对应代入规则中的位置；③ 转化为常规的二次根式混合运算进行求解。 【易错】① 照搬常规运算律（如错误地认为新定义满足交换律或结合律）；② 代入数值时位置搞反，或忽略了新定义中对字母取值范围的特殊限制。 33．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据“完美方根数对”的定义推导得出正整数满足，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：根据定义，若是“完美方根数对”，则（为正整数），两边平方得： ，即， ①验证： ，， 是“完美方根数对”，①正确； ②验证： 若是“完美方根数对”， 则，即， 该方程无正整数解，因此不可能是“完美方根数对”，②正确； ③若，是“完美方根数对”： ， ， 又是正整数， ，为正整数，得， ，， 可取，共组，③正确； 综上，三个结论都正确，正确结论个数为． 34．（25-26八年级下·重庆开州·期末）在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（     ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件判断①，再通过分式化简、因式分解判断②和③，用到初中二次根式性质，完全平方公式，分式化简等知识点． 【详解】解：逐个判断三个说法： 判断① 要使根分式有意义，需满足被开方数非负，分母不为零， ∵ 对任意实数恒成立，只需满足分母，即， ∴ 的取值范围是，故①说法错误； 判断② 计算得， ∴ ， 令，得，且， 对分子因式分解得，代入得 ， 整理得，即，矛盾，方程无解， ∴ 不存在整数满足条件，故②说法错误； 判断③ ， ∵ ， ∴ ， 若是整数，则，为正整数， 整理得， 当为非完全平方正整数时，是无理数，为无理数，这样的有无数个，对应无数个无理数满足条件， ∴ ③说法正确， 综上，错误的说法共2个． 35．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 36．（25-26七年级下·广东广州·期末）阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据“整数区间”的定义求解即可； 先根据无理数和的“整数区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，进而根据“整数区间”的定义求解即可； 根据二次根式的性质可得，即得，进而得到，，再两式相加可得，即得到，最后根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的“整数区间”是； ∵， ∴， ∴的“整数区间”是； （2）解：∵无理数（为正整数）的“整数区间”为， ∴， ∴， ∴， ∵无理数的“整数区间”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ①②，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无理数的“整数区间”为． 37．（25-26八年级下·河南新乡·期末）定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 38．（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可； （2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可； （3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“相关代数式”， ， 则； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， ，， ， 则， 即， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：代数式与互为“相关代数式” ， 则， ，即， 则有，解得， 时二次根式有意义， ． 39．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义，列式计算即可求解； （2）先分母有理化，再求和，即可求解； （3）根据新定义，求得的值，得出，再代入代数式求解即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的“美好数”； （2）解： ； （3）解：∵， ∴与是关于9的“美好数”， ∴， ∴， ∴ ． 题型7 复合二次根式(双重根号)化简（共7小题） 【模型】 配凑完全平方式模型（ ）。 【步骤】 ① 将被开方数拆分为两个数的和与积（寻找   使  ）；② 将原式配方为  ；③ 开方得出结果  （注意大数减小数）。 【易错】 ① 找不到合适的   进行拆分；② 开方后忘记判断   与   的大小，导致结果为负数（二次根式结果必须非负）。 40．（25-26八年级下·云南楚雄·期中）已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 【答案】B 【分析】设，得，通过平方差公式展开化简，再代入即可求出结果； 【详解】解：设， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， ∴ 解得， 故 41．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 【答案】A 【分析】依据题意，设，，且，，从而，故，可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意∵， ∴， ∴， 设，，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 若，即，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：A． 42．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 43．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 44．（25-26九年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：，其中x是满足的偶数． 【答案】 化简结果为，值为 【分析】根据二次根式有意义的条件可得不等式组，求出解集，再根据偶数解得出，然后将二次根式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∵x是偶数， ∴． 原式 ， ． 45．（25-26八年级下·山东烟台·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明在学习了二次根式后，发现了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)【猜想】=______，并验证； (2)【推理证明】分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确； (3)【创新应用】按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据题意及（2）中发现的规律得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， （n为大于等于2的整数）； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 46．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值，进而求出其他量． 题型8 二次根式的规律探究（共8小题） 【模型】 归纳推理与通项公式模型。 【步骤】 ① 观察给出的前几个等式（如   等），寻找被开方数中分子、分母的变化规律；② 猜想第   个式子的结构；③ 利用代数运算验证猜想，或直接利用规律计算复杂算式（如裂项相消）。 【易错】 ① 观察不细致，忽略了符号的交替变化或系数的倍数关系；② 归纳出的通项公式未经验证，导致后续计算全盘皆输。 47．（25-26九年级下·山东淄博·期末）在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由，可得与互为倒数，即，．根据小明同学发现的规律，可得：，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式每一项做分母有理化，再利用裂项相消规律化简左边，最后解方程得到整数的值． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， 移项得， 两边平方得， 即整数的值为． 48．（25-26九年级下·山东烟台·期末）小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 【答案】 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），再比较即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， ， 则． 49．（25-26八年级下·山东临沂·期末）观察下列式子的规律，用字母表示这一规律，并给出证明． ；；． 【答案】用字母（是正整数，）表示这一规律是： ， 证明： 【分析】先观察三个式子中整数部分、分数的分子、分数的分母与根号外系数的对应关系，确定各部分的变化规律，设整数部分为大于等于2的正整数，再结合二次根式的性质（）对左边式子变形，推导和右边式子的关系即可． 【详解】略． 50．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列等式，完成下列任务： ①②③④ (1)写出第⑥个等式：______． (2)用字母（为正整数）表示出第个等式，并加以证明． (3)运用上述规律，化简：＝______． 【答案】(1) (2)； 证明： ； (3) 【分析】（1）观察规律写出等式即可； （2）利用二次根式的运算进行证明即可； （3）根据规律及二次根式的性质进行计算． 【详解】（1）解：根据规律可知第个等式为； （2）略 （3）解： ． 51．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据相邻两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：； （3）解：原式 52．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 根据以上规律，解决下列问题： (1)第2026个等式是__________； (2)请写出第个等式（用含的式子表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)第个等式为： 证明：左边 ∴左边=右边 成立 【分析】（1）根据前4个等式的规律可得第2026个等式； （2）由（1）的规律可得第个等式为，再证明左边=右边即可． 【详解】（1）解：因为第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 故可得第2026个等式为； （2）略 53．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)写出第4个等式：__________________ (2)写出你猜想的第个等式：______________________（用含n的等式表示，且n为整数），并证明等式的正确性． 【答案】(1) (2)， 证明：∵ ， 又∵ ， ∴． 【分析】（1）仿照题意写出第4个等式即可； （2）观察式子，可得第n个等式为，然后利用二次根式的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式为； （2）略 54．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． $