专题02 分式8大题型61题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题02 分式 基础·固本强基 题型1 分式的概念、意义与基本性质 题型2 整数指数幂与科学记数法（重点） 题型3 分式的加减乘除运算 提升·进阶突破 题型4 分式的化简求值（重点） 题型5 可化为一元一次方程的分式方程解法 题型6 分式方程的实际应用问题（重点） 拔高·压轴破难 题型7 含参分式方程的增根与无解问题（难点） 题型8 新定义运算与分式综合探究（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的概念、意义与基本性质（共8小题） 【模型】 分式定义模型（分母含字母且不为0）；分式基本性质模型（分子分母同乘除不等于0的整式）。 【步骤】 ① 判断分母是否含有字母；② 令分母 求有意义条件，令分子 且分母 求值为0的条件；③ 依据基本性质进行约分（找最大公因式）或通分（找最简公分母）。 【易错】 ① 误将分母为常数（如 ）的式子当作分式；② 求值为0时，忘记检验分母是否不为0；③ 约分或通分时，多项式未先因式分解直接操作。 1．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）在式子，，，，，中，分式的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）在化学实验课上，配制糖水时，糖的质量为x，水的质量为y．若把糖和水的质量同时扩大为原来的2倍，下列分式中，糖水浓度保持不变的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东河源·期末）下列分式是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）若分式的值为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·全国·阶段检测）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·全国·阶段检测）若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 8．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知分式． (1)当x为何值时，分式有意义？ (2)当x为何值时，分式的值为0？ 题型2 整数指数幂与科学记数法（共7小题） 【模型】 幂运算法则模型（同底数幂乘除、幂的乘方、零指数与负整数指数幂）。 【步骤】 ① 明确底数与指数；② 按法则计算（注意 及 ）；③ 将绝对值小于1的数用科学记数法表示为 。 【易错】 ① 零指数幂底数为0时无意义；② 负整数指数幂忘记取倒数；③ 科学记数法中 的取值与小数点移动位数弄反。 9．（25-26七年级下·广东河源·期末）根据工信部《首台（套）重大技术装备推广应用指导目录（2024年版）》信息，氟化氩光刻机的分辨率不超过，数据0.000000065用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，数据0.00000000034用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·四川乐山·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·吉林·期中）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则1圭等于（     ） A．合 B．合 C．合 D．合 13．（2026·河北邯郸·二模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）我国研究团队获得目前最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白三维解析结构，局部分辨率高达0.000000018厘米，将0.000000018用科学记数法表示为_________． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算题． (1) (2) (3) (4) 题型3 分式的加减乘除运算（共5小题） 【模型】运算顺序与化归模型（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内）。 【步骤】 ① 明确运算顺序，优先处理括号内及乘方运算；② 将所有的除法统一转化为乘法；③ 遇到加减法先通分，遇到乘除法先分解因式并约分；④ 按顺序逐步计算至最简。 【易错】 ① 运算顺序颠倒（如在加减未通分前就约分）；② 符号处理混乱，特别是在多重括号和负号交替出现时；③ 在化简求值题中，代入的数值使原分式或运算过程中的除式为0（未排除不合适的取值）。 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）化简：． 17．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）化简：． 18．（21-22八年级下·山东青岛·阶段检测）化简： (1) (2) (3) (4) 19．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）计算： 20．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）化简：． 提升·进阶突破 题型4 分式的化简求值（共7小题） 【模型】 异分母通分模型；整体代入求值模型。 【步骤】 ① 异分母先找最简公分母并通分；② 同分母相加减时，多项式分子必须加括号；③ 先化简代数式至最简，再代入给定数值计算。 【易错】 ① 分子相减时忘记变号；② 代入数值时未考虑原分式有意义的限制条件（如代入导致分母为0）；③ 通分后漏乘常数项。 21．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）已知，则=_________． 22．（2026·西藏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 23．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）化简求值：，其中． 24．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 25．（26-27八年级上·全国·阶段检测）先化简，再求值： ，其中． 26．（2026·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中． 27．（2026·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 28．（2026·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 题型5 可化为一元一次方程的分式方程解法（共7小题） 【模型】 去分母转化模型（分式方程 整式方程）。 【步骤】 ① 方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程；② 解一元一次方程求出未知数的值；③ 必须检验：将根代入最简公分母，不为0则是原方程的根，为0则是增根。 【易错】 ① 去分母时，不含分母的常数项漏乘最简公分母；② 忘记检验步骤，导致将增根作为最终答案。 29．（2026·海南·中考真题）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 30．（26-27八年级上·江苏·期中）解分式方程． 31．（26-27八年级上·云南·期中）解方程： (1)； (2)． 32．（26-27八年级上·湖南·期中）解方程： (1)； (2)． 33．（26-27八年级上·全国·阶段检测）解下列分式方程： (1)； (2)． 34．（2026八年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)5． 35．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）计算 (1) (2)． 36．（2026·江苏镇江·中考真题）解方程：． 37．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）解方程：． 38．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）解分式方程：． 题型6 分式方程的实际应用问题（共8小题） 【模型】 行程、工程、利润等量关系模型。 【步骤】 ① 设未知数并找出等量关系；② 根据题意列出分式方程；③ 解方程并双重检验（既检验是否为增根，又检验是否符合实际意义）。 【易错】 ① 等量关系找错（如时间、速度、路程关系混淆）；② 检验时只验增根，未验实际意义（如人数不能为负、时间不能为0）。 39．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表：    自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． (1)求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． (2)比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． (3)在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 40．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）西成高铁的开通让汉中融入了西安和成都的“朋友圈”．已知西安北站到汉中站的高铁里程约为240千米．若“复兴号”列车的平均速度是“和谐号”列车平均速度的1.2倍，且从西安北到汉中，“复兴号”比“和谐号”少用10分钟，求“复兴号”的平均速度． 41．（25-26八年级下·吉林长春·期末）小冰和小雪从同一地点出发跑米，小冰的平均速度是小雪的倍，结果小冰比小雪少用秒到达终点．求小雪跑步的平均速度． 42．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 43．（2026·吉林长春·中考真题）甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种棵树．甲队种棵树与乙队种棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 45．（2026·西藏·中考真题）在“铸牢中华民族共同体意识”宣传活动中，举办方计划采购印有活动主题内容的冰箱贴和书签，把它们作为本次活动的纪念品．已知冰箱贴单价是书签单价的倍，用元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个． (1)求冰箱贴和书签的单价． (2)要使90名活动参与者均能随机获得其中一种纪念品，且纪念品的总金额不超过1500元，举办方最多可以购买多少个冰箱贴？ 46．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）列方程解决下列问题： 以“科技改变生活，创新赢得未来”为主题组织开展年全国科普月活动．某校举办校园科创节，小西采购航天拼装模型和科创实验套装两类物资，奖励科创比赛获奖学生．已知购买套航天拼装模型和套科创实验套装共花费元；购买套航天拼装模型和套科创实验套装共花费元． (1)求套航天拼装模型和套科创实验套装的价格分别为多少元？ (2)学校计划追加采购一批航天拼装模型和科创实验套装．某电商平台开展促销活动：航天拼装模型每套降价元，科创实验套装每套降价元．用元在电商平台购买航天拼装模型的数量与用元在电商平台购买科创实验套装的数量相同，求的值． 拔高·压轴破难 题型7 含参分式方程的增根与无解问题（共8小题） 【模型】 增根反推参数模型。 【步骤】 ① 去分母将分式方程化为整式方程；② 令最简公分母等于0，求出可能的增根；③ 将增根代入整式方程，反解出参数的值。 【易错】 ① 混淆“增根”与“无解”的概念（无解可能是整式方程本身无解，也可能是解全为增根）；② 忘记讨论整式方程最高次项系数为0的情况。 47．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 48．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则__________． 49．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）若关于的分式方程无解，则的值为______． 50．（25-26八年级下·四川达州·期末）若分式方程无解，则m的值为________． 51．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）若关于x的分式方程无解，则m的值为______． 52．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 53．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． (1)若，求x的值； (2)若不存在满足条件的，求的值． 54．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 题型8 新定义运算与分式综合探究（共7小题） 【模型】 规则转化与分类讨论模型。 【步骤】 ① 准确理解新定义的运算规则；② 将新运算转化为常规的分式方程或不等式；③ 结合分式有意义的条件、整数解等进行分类讨论求解。 【易错】 ① 忽略新定义中隐含的限制条件；② 分类讨论不全面，遗漏边界值或特殊情形。 55．（21-22八年级下·四川·期末）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如：，若整数m满足，且，同时使得关于x的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的m的值分别为____． 56．（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 57．（25-26七年级下·安徽六安·期末）沪科版数学七年级下册教材中有这样一个问题： 你会比较与的大小吗？ 本题可以采取一种叫作“放缩法”的数学方法完成，思路如下： 先将中的放大到，所以可得，问题得以解决； 进一步分析： 对于中的略微少放大一点，即：将放大到；可得 ；还可将缩小到，可得： ；所以可得：； 以上将一个式子适当的放大缩小的方法（即放缩法）是比较两个式子大小或者不等式证明常用的方法．请思考并体会此方法，完成以下任务： (1)请你用“放缩法”证明：； (2)已知x、y、z为正整数，且，求的值； (3)证明：（，且n为正整数）； 58．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 59．（25-26七年级下·浙江台州·期末）请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，，请用含有和的式子表示． 60．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如果两个代数式和的和为常数，我们称这两个代数式互为“和合式”，这个常数为“和合值”．如，，因为，所以与互为和合式，和合值为4． (1)已知：，，判断与是否互为和合式．若是，求出和合值；若不是，请说明理由． (2)若与互为和合式，且和合值为2，求的值． (3)已知：，，若与互为和合式，和合值为，若，求的值． 61．（25-26八年级下·山东青岛·期末）在整数除法体系中，一个正整数除以一个正整数的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以一个正整数所得的余数记作“模”，例如：记作“模”；记作“模”；记作“模”． (1)模________； (2)若模，为正整数，则模________； (3)已知分式，模，模，，（）为正整数，则模________； (4)如图所示，有两种卡片，其中边长为的正方形卡片有张，长为，宽为的矩形卡片有张，用这张卡片刚好拼接成一个大长方形，其中模，模，，为正整数，设这个大长方形的面积为，若模，请直接写出满足条件的，的取值组合． $专题03 二次根式 基础·固本强基 题型1 分式的概念、意义与基本性质 题型2 整数指数幂与科学记数法（重点） 题型3 分式的加减乘除运算 提升·进阶突破 题型4 分式的化简求值（重点） 题型5 可化为一元一次方程的分式方程解法 题型6 分式方程的实际应用问题（重点） 拔高·压轴破难 题型7 含参分式方程的增根与无解问题（难点） 题型8 新定义运算与分式综合探究（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的概念、意义与基本性质（共8小题） 【模型】 分式定义模型（分母含字母且不为0）；分式基本性质模型（分子分母同乘除不等于0的整式）。 【步骤】 ① 判断分母是否含有字母；② 令分母 求有意义条件，令分子 且分母 求值为0的条件；③ 依据基本性质进行约分（找最大公因式）或通分（找最简公分母）。 【易错】 ① 误将分母为常数（如 ）的式子当作分式；② 求值为0时，忘记检验分母是否不为0；③ 约分或通分时，多项式未先因式分解直接操作。 1．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）在式子，，，，，中，分式的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：的分母含字母，是分式． 的分母是常数，、的分母均为常数，三者均为整式． 的分母含字母，是分式． 的分母含字母，是分式． 综上，分式共有3个． 2．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）在化学实验课上，配制糖水时，糖的质量为x，水的质量为y．若把糖和水的质量同时扩大为原来的2倍，下列分式中，糖水浓度保持不变的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵糖水浓度为糖的质量与糖水总质量的比， ∴原糖水浓度为， ∵糖和水质量同时扩大为原来的2倍， ∴此时糖的质量为，水的质量为，浓度为，与原浓度相等． 3．（25-26八年级下·广东河源·期末）下列分式是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，均不是最简分式； 无法再约分，是最简分式； 故只有C选项符合题意. 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）若分式的值为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的值为的条件，可求得结果． 【详解】解：由题意得：且， 解得， ∵， ． 5．（26-27八年级上·全国·阶段检测）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式，依次判断各选项，、、分母不含字母为整式，分母含有字母，是分式． 【详解】解：：分母是常数3，属于整式（单项式），不是分式． ：分子分母都是整式，分母含有字母，是分式． ：分母是常数2，属于整式（多项式），不是分式． ：是常数，整个式子是多项式，属于整式，不是分式． 6．（26-27八年级上·全国·阶段检测）若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得， 解得． 7．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】D 【分析】将扩大3倍后的a、b代入分式，化简后与原分式比较得到倍数关系． 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 8．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知分式． (1)当x为何值时，分式有意义？ (2)当x为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1)当且时，分式有意义 (2)当时，分式的值为0 【分析】（1）根据分式有意义的条件为分式的分母不为零，列式得，解不等式求出x的值； （2）根据分式的值为零的条件为分式的分母不为零且分子为零，通过列方程和不等式求出x的值． 【详解】（1）解：要使分式有意义，则， 解得：且； （2）要使分式的值为零，则且， 解得． 题型2 整数指数幂与科学记数法（共6小题） 【模型】 幂运算法则模型（同底数幂乘除、幂的乘方、零指数与负整数指数幂）。 【步骤】 ① 明确底数与指数；② 按法则计算（注意 及 ）；③ 将绝对值小于1的数用科学记数法表示为 。 【易错】 ① 零指数幂底数为0时无意义；② 负整数指数幂忘记取倒数；③ 科学记数法中 的取值与小数点移动位数弄反。 9．（25-26七年级下·广东河源·期末）根据工信部《首台（套）重大技术装备推广应用指导目录（2024年版）》信息，氟化氩光刻机的分辨率不超过，数据0.000000065用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 10．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，数据0.00000000034用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，当原数的绝对值小于1时，为负整数，确定和的值，即可求解． 【详解】解：． 11．（24-25八年级下·四川乐山·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A选项，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，A错误； 对于B选项，同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，B错误； 对于C选项，幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，C错误； 对于D选项，幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，运算符合法则，D正确． 12．（25-26八年级下·吉林·期中）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则1圭等于（     ） A．合 B．合 C．合 D．合 【答案】D 【分析】根据题意给出的十进制单位换算关系，逐步将圭换算为合，结合负整数指数幂计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，圭抄，抄撮，撮勺，勺合， ∴ 圭抄抄，抄撮撮，撮勺勺， 勺合合， 即圭等于合． 13．（2026·河北邯郸·二模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）我国研究团队获得目前最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白三维解析结构，局部分辨率高达0.000000018厘米，将0.000000018用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示的形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：原数中，第一个不为零的数字为，因此． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型3 分式的加减乘除运算（共5小题） 【模型】运算顺序与化归模型（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内）。 【步骤】 ① 明确运算顺序，优先处理括号内及乘方运算；② 将所有的除法统一转化为乘法；③ 遇到加减法先通分，遇到乘除法先分解因式并约分；④ 按顺序逐步计算至最简。 【易错】 ① 运算顺序颠倒（如在加减未通分前就约分）；② 符号处理混乱，特别是在多重括号和负号交替出现时；③ 在化简求值题中，代入的数值使原分式或运算过程中的除式为0（未排除不合适的取值）。 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）化简：． 【答案】 【分析】先把原式的小括号通分相加，再把除法转变为乘法，最后约分即可得答案． 【详解】解： 17．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内分式减法，将整式2化为分母为的分式进行通分合并；再把分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分． 【详解】解： 18．（21-22八年级下·山东青岛·阶段检测）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 19．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 20．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）化简：． 【答案】 【详解】解： ． 提升·进阶突破 题型4 分式的化简求值（共7小题） 【模型】 异分母通分模型；整体代入求值模型。 【步骤】 ① 异分母先找最简公分母并通分；② 同分母相加减时，多项式分子必须加括号；③ 先化简代数式至最简，再代入给定数值计算。 【易错】 ① 分子相减时忘记变号；② 代入数值时未考虑原分式有意义的限制条件（如代入导致分母为0）；③ 通分后漏乘常数项。 21．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）已知，则=_________． 【答案】/ 【分析】先对已知等式配方，利用平方的非负性求出和的值，再将所求分式因式分解约分，化简后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵任意数的平方为非负数，两个非负数的和为，则每个非负数为， ∴，， 解得，． 代入，． 原式． 22．（2026·西藏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先对分母因式分解，约分后合并化简分式，再代入计算求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，可得： 原式 ． 23．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）化简求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 将代入得，原式． 24．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 25．（26-27八年级上·全国·阶段检测）先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【分析】对括号内式子通分计算；把除法转化为乘法；对多项式因式分解后约分；最后代入数值计算结果． 【详解】解： ． 当时， 原式． 26．（2026·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 27．（2026·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，. 【详解】解： ， 当时，原式． 28．（2026·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【详解】解：， 当时，原式． 题型5 可化为一元一次方程的分式方程解法（共7小题） 【模型】 去分母转化模型（分式方程 整式方程）。 【步骤】 ① 方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程；② 解一元一次方程求出未知数的值；③ 必须检验：将根代入最简公分母，不为0则是原方程的根，为0则是增根。 【易错】 ① 去分母时，不含分母的常数项漏乘最简公分母；② 忘记检验步骤，导致将增根作为最终答案。 29．（2026·海南·中考真题）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 30．（26-27八年级上·江苏·期中）解分式方程． 【答案】 【分析】先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后检验结果写出答案即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得； 检验：将代入中，得； ∴原分式方程的解为． 31．（26-27八年级上·云南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程．去分母，将分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 32．（26-27八年级上·湖南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 33．（26-27八年级上·全国·阶段检测）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，即原方程无解． 34．（2026八年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)5． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 35．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同乘，化为一元一次方程，解一元一次方程再检验即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 故不等式组的解集为． 36．（2026·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 37．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 38．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）解分式方程：． 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的根． 题型6 分式方程的实际应用问题（共8小题） 【模型】 行程、工程、利润等量关系模型。 【步骤】 ① 设未知数并找出等量关系；② 根据题意列出分式方程；③ 解方程并双重检验（既检验是否为增根，又检验是否符合实际意义）。 【易错】 ① 等量关系找错（如时间、速度、路程关系混淆）；② 检验时只验增根，未验实际意义（如人数不能为负、时间不能为0）。 39．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表：    自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． (1)求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． (2)比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． (3)在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 【答案】(1)“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为 (2) (3)解：“跃动号”的最终成绩更好， 理由：由题意得， 解得：， ∴，． 由题意得，解得， ∴． 经检验得是所列方程组的根，且符合题意． ∴“跃动号”的净用时为．             ∴“跃动号”的最终成绩为．         由（2）得“天行号”的最终成绩为． ∵， ∴“跃动号”的最终成绩更好． 【分析】（1）一半赛程为，设“天行号”前半赛程的平均速度为，则后半赛程的平均速度为，根据题意列方程求解即可； （2）分当时，当时，分别求解即可； （3）列方程求出“跃动号”的净用时间，从而求出“跃动号”的最终成绩，与“天行号”的最终成绩比较即可解答； 【详解】（1）解：设“天行号”前半赛程的平均速度为， 由题意得， 解得， 经检验得是所列方程的根，且符合题意， 跑完全程的净用时为， 答：“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为． （2）解：当时，由题意得， 解得（不符，舍去）， 当时，由题意得， 解得， 综上所述：． （3）略 40．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）西成高铁的开通让汉中融入了西安和成都的“朋友圈”．已知西安北站到汉中站的高铁里程约为240千米．若“复兴号”列车的平均速度是“和谐号”列车平均速度的1.2倍，且从西安北到汉中，“复兴号”比“和谐号”少用10分钟，求“复兴号”的平均速度． 【答案】“复兴号”的平均速度为288千米/时 【分析】设“和谐号”列车平均速度为x千米/时，则“复兴号”列车平均速度为千米/时．根据时间路程速度，表示出“复兴号”和“和谐号”的时间，根据时间差列出方程，即可求解． 【详解】解：设“和谐号”列车平均速度为x千米/时，则“复兴号”列车平均速度为千米/时．根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则“复兴号”列车平均速度为（千米/时）， 答：“复兴号”的平均速度为288千米/时． 41．（25-26八年级下·吉林长春·期末）小冰和小雪从同一地点出发跑米，小冰的平均速度是小雪的倍，结果小冰比小雪少用秒到达终点．求小雪跑步的平均速度． 【答案】小雪跑步的平均速度为米/秒 【分析】设小雪跑步的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：设小雪跑步的平均速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：小雪跑步的平均速度为米/秒． 42．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 43．（2026·吉林长春·中考真题）甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种棵树．甲队种棵树与乙队种棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 【答案】甲队每小时种棵树 【分析】利用甲队种棵树与乙队种棵树所用时间相同的等量关系，列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时种棵树，则乙队每小时种棵树． 由题意得，， 解得， 检验：当时，，是原分式方程的解． 答：甲队每小时种30棵树． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】(1)每人每小时运送，包装 (2)运送的第一组有12人，包装的第二组有8人 【分析】（1）先求出工作时间，根据每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且每人每小时可采摘，6人采摘，8人运送，6人包装，刚好各项工作完成的时间相等，列式计算即可； （2）设负责包装的人数为y人，则负责运送人数为人，根据当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． 45．（2026·西藏·中考真题）在“铸牢中华民族共同体意识”宣传活动中，举办方计划采购印有活动主题内容的冰箱贴和书签，把它们作为本次活动的纪念品．已知冰箱贴单价是书签单价的倍，用元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个． (1)求冰箱贴和书签的单价． (2)要使90名活动参与者均能随机获得其中一种纪念品，且纪念品的总金额不超过1500元，举办方最多可以购买多少个冰箱贴？ 【答案】(1)冰箱贴的单价为元，书签的单价为元 (2)举办方最多可以购买个冰箱贴 【分析】（1）设书签的单价为元，则冰箱贴的单价是元，根据用360元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个即可列分式方程，解出即可得书签的单价，进而可得冰箱贴的单价． （2）设举办方购买个冰箱贴，根据要使90名活动参与者均能随机获得其中一种纪念品，即可得书签购买个，再根据纪念品的总金额不超过1500元即可列不等式，解出即可得举办方最多可以购买的冰箱贴． 【详解】（1）解：设书签的单价为元，则冰箱贴的单价是元，根据题意得： ，解得：， 经检验，是此分式方程的解，且符合题意， ∴冰箱贴的单价是：（元）， ∴冰箱贴的单价为18元，书签的单价为15元． （2）解：设举办方购买个冰箱贴，则需购买书签个，根据题意得： ，解得：， ∴举办方最多可以购买50个冰箱贴． 46．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）列方程解决下列问题： 以“科技改变生活，创新赢得未来”为主题组织开展年全国科普月活动．某校举办校园科创节，小西采购航天拼装模型和科创实验套装两类物资，奖励科创比赛获奖学生．已知购买套航天拼装模型和套科创实验套装共花费元；购买套航天拼装模型和套科创实验套装共花费元． (1)求套航天拼装模型和套科创实验套装的价格分别为多少元？ (2)学校计划追加采购一批航天拼装模型和科创实验套装．某电商平台开展促销活动：航天拼装模型每套降价元，科创实验套装每套降价元．用元在电商平台购买航天拼装模型的数量与用元在电商平台购买科创实验套装的数量相同，求的值． 【答案】(1)套航天拼装模型的价格为元，1套科创实验套装的价格为元 (2)的值为 【分析】（1）设套航天拼装模型价格为元，套科创实验套装价格为元，根据已知条件列二元一次方程组，解方程即可得到答案． （2）根据元买航天模型的数量等于元买科创套装的数量列分式方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设套航天拼装模型价格为元，套科创实验套装价格为元， 根据题意可列方程：， 解得：， 答：套航天拼装模型的价格为元，1套科创实验套装的价格为元； （2）解：∵航天拼装模型每套降价元，科创实验套装每套降价元， ∴航天模型现价为元/套，科创套装现价为元/套， 根据题意可列方程：， 化简得：， 去分母，得：， 解得：， 检验：把代入分母， ∴是原方程的根， ∴的值为． 拔高·压轴破难 题型7 含参分式方程的增根与无解问题（共8小题） 【模型】 增根反推参数模型。 【步骤】 ① 去分母将分式方程化为整式方程；② 令最简公分母等于0，求出可能的增根；③ 将增根代入整式方程，反解出参数的值。 【易错】 ① 混淆“增根”与“无解”的概念（无解可能是整式方程本身无解，也可能是解全为增根）；② 忘记讨论整式方程最高次项系数为0的情况。 47．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 48．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则__________． 【答案】 【分析】先解分式方程得出，再结合题意可得是分式方程的增根，由此计算即可得出结果． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， ∵关于的分式方程无解， ∴是分式方程的增根，则，即， ∴， ∴． 49．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【分析】分式方程无解分两种情况：去分母后得到的整式方程本身无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算即可得到的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得． 当，即时，方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解； 当时，整式方程有解，若原分式方程无解，则整式方程的解是原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足分母，即， 把代入，得， 解得； 因此的值为或． 50．（25-26八年级下·四川达州·期末）若分式方程无解，则m的值为________． 【答案】 【详解】解：分式方程，两边同乘， 可得：， 整理得：， 分式方程无解时，增根为， 代入得：， 解得： . 51．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）若关于x的分式方程无解，则m的值为______． 【答案】或或 【分析】先解原方程得到，当，即时，此时满足原分式方程无解；当，即时，则原分式方程有增根，求出增根，进而求出m的值即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 当，即时，此时满足方程无解，即原分式方程无解； 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，m的值为或或． 52．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先对原方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； （2）根据增根的定义得到，解得或，然后代入（1）化简后的方程求解； （3）根据方程无解的两种情况（整式方程无解、整式方程的根都是原方程的增根），分别代入计算得到的值． 【详解】（1）解：原方程可写为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得． 该方程的增根为， 把代入，得， 解得． （2）解： 原方程有增根， ， 解得增根为或， 当时，代入得，解得， 当时，代入得，解得， 的值为或． （3）解：原方程无解分两种情况：当，即时，整式方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原方程无解； 当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程无解，由（2）得此时或； 综上所述，的值为或或． 53．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． (1)若，求x的值； (2)若不存在满足条件的，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据题意得，再将代入解分式方程即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，点A和原点重合，不符合题意，舍去；当时，解分式方程，根据分式方程无解的情况，即可求解． 【详解】（1）解： ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：当时，，此时点A和原点重合，不符合题意，舍去； 当时， ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 去分母得：， 已知不存在满足条件的x的值，则， 把代入得，， 解得：， 综上，m的值为. 54．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 题型8 新定义运算与分式综合探究（共7小题） 【模型】 规则转化与分类讨论模型。 【步骤】 ① 准确理解新定义的运算规则；② 将新运算转化为常规的分式方程或不等式；③ 结合分式有意义的条件、整数解等进行分类讨论求解。 【易错】 ① 忽略新定义中隐含的限制条件；② 分类讨论不全面，遗漏边界值或特殊情形。 55．（21-22八年级下·四川·期末）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如：，若整数m满足，且，同时使得关于x的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的m的值分别为____． 【答案】，， 【分析】根据新定义运算，列出不等式组，求出的取值，根据分式方程解的情况求得的值即可． 【详解】解：整数m满足，且， ， 解得：， ，，，，，，，共个值， 分式方程， 整理得：， 当时，， 当时，方程无唯一确定的解，不符合题意，舍去， ∵分式方程的解为非负整数， ∴且， ，，． 56．（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 57．（25-26七年级下·安徽六安·期末）沪科版数学七年级下册教材中有这样一个问题： 你会比较与的大小吗？ 本题可以采取一种叫作“放缩法”的数学方法完成，思路如下： 先将中的放大到，所以可得，问题得以解决； 进一步分析： 对于中的略微少放大一点，即：将放大到；可得 ；还可将缩小到，可得： ；所以可得：； 以上将一个式子适当的放大缩小的方法（即放缩法）是比较两个式子大小或者不等式证明常用的方法．请思考并体会此方法，完成以下任务： (1)请你用“放缩法”证明：； (2)已知x、y、z为正整数，且，求的值； (3)证明：（，且n为正整数）； 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 综上，； (2) (3)证明：∵当且为正整数时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴． 综上，（且为正整数）． 【分析】（1）利用“放缩法”证明即可； （2）设，利用“放缩法”得到，然后结合得到，进而求解即可； （3）首先得出结论，然后利用“放缩法”证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵x、y、z为正整数，且， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵S为正整数， ∴，即； （3）略 58．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 【答案】(1)解：A与B是和定分式，且，理由如下： ∵，， ∴， ∴A与B是和定分式，且； (2) (3)2， 【分析】（1）求出的结果即可得到结论； （2）设（k为常数），则可推出，根据分式D为真分式，得到M的次数小于等于1，据此求出k的值即可得到答案； （3）设（k为常数），则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，且C与D互为“和定分式”， ∴可设（k为常数） ∴， ∴ ∴， ∵分式D为真分式， ∴M的次数小于等于1， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，（a，b为常数），E与F互为“和定分式”， ∴可设（k为常数）， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 59．（25-26七年级下·浙江台州·期末）请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，，请用含有和的式子表示． 【答案】(1)①和谐分式；②； (2)或或； (3) 【分析】（1）将进行化简，再结合“和谐分式”的定义判断即可；②对进行化简即可； （2）设，仿照题意计算得出，，从而可得，再结合分式的值为整数，得出为整数，且，，令，则，从而可得为整数，解得或或，分情况计算即可得出结果； （3）求出，，从而可得，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①，其中为整式，分子为常数，符合和谐分式的定义，故分式是和谐分式； ②； （2）解：设， ∵， ∴，， 解得，， ∴， ∵分式的值为整数， ∴为整数，且，， 令，则， ∴为整数， 解得或或， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，满足条件的整数的值为或或； （3）解：， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ． 60．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如果两个代数式和的和为常数，我们称这两个代数式互为“和合式”，这个常数为“和合值”．如，，因为，所以与互为和合式，和合值为4． (1)已知：，，判断与是否互为和合式．若是，求出和合值；若不是，请说明理由． (2)若与互为和合式，且和合值为2，求的值． (3)已知：，，若与互为和合式，和合值为，若，求的值． 【答案】(1)解：与互为和合式，和合值为3，理由如下： ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用异分母分式的加减法求解即可； （2）根据题意得到，求得，据此求解即可； （3）根据题意推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：与互为和合式，且和合值为2， ， ，即， ， ； （3）解：与互为和合式，和合值为， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 61．（25-26八年级下·山东青岛·期末）在整数除法体系中，一个正整数除以一个正整数的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以一个正整数所得的余数记作“模”，例如：记作“模”；记作“模”；记作“模”． (1)模________； (2)若模，为正整数，则模________； (3)已知分式，模，模，，（）为正整数，则模________； (4)如图所示，有两种卡片，其中边长为的正方形卡片有张，长为，宽为的矩形卡片有张，用这张卡片刚好拼接成一个大长方形，其中模，模，，为正整数，设这个大长方形的面积为，若模，请直接写出满足条件的，的取值组合． 【答案】(1) (2) (3) (4)，；，；，；，；， 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）设，则，根据能被5整除，8除以5余3，结合新定义可得答案； （3）先化简R得，设，，k、m为非负整数，求得，根据新定义求得模即可求解； （4）先根据题意得到拼接的大长方形的面积，设，，k、m、t、n为非负整数，且，，求得，根据新定义，只需能被3整除，进而可求得m、n的取值组合． 【详解】（1）解：∵， ∴模； （2）解：∵模，为正整数， ∴设，为非负整数，则， ∵能被5整除，8除以5余3， ∴模，即模； （3）解：， ∵模，模， ∴设，，k、m为非负整数， ∴ ， ∵k、m为非负整数， ∴能被7整除， ∴模，则模； （4）解：根据题意，拼接的大长方形的面积， ∵模，模，，为正整数， ∴设，，k、m、t、n为非负整数，且，， ∴ ， ∵模， ∴能被3整除， ∵能被3整除， ∴能被3整除， 又m、n为非负整数，且，， ∴，；，；，；，；，． $