2026-2027学年高二上学期数学十月复习题二

2026-2027学年高二上学期数学十月复习题二 一、单选题 1．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 3．如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 4．已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 5．在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 10．已知直线与直线，则下列选项正确的是（    ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时， C．当时，长度的最小值为 D．当时，存在点，使得与平面所成的角为 三、填空题 12．已知向量，求______． 13．已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是_______． 14．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是______． 四、解答题 15．已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 16．根据下列条件分别写出直线的方程. (1)经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，，求线段的垂直平分线的方程； (3)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 17．如图，在平行六面体中，，，.    (1)求证：直线平面； (2)求直线与夹角的余弦值. 18．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 19．在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． (1)若直线与都在平面内，求平面的方程； (2)在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； (3)若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高二上学期数学十月复习题二》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D C C A B BC ABD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】假设所求点为，根据斜率关系和两点连线中点在对称轴上可构造方程组求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 2．C 【分析】根据空间向量基底的定义，任意两个向量不共线，三个向量不共面，即可判断. 【详解】向量， 得与是共面向量, 不能构成空间的一个基底，故A错误； 同理，得与是共面向量， 不能构成空间的一个基底，故B错误； 又与和不共面，所以与可以构成空间的一个基底，故C正确； 由题意得与是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：C. 3．D 【分析】由向量垂直即可解题. 【详解】因为， 故，所以， 故选：D 4．D 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 5．C 【分析】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C 6．C 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 7．A 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 8．B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 9．BC 【分析】根据线面位置关系的向量形式判断A；根据共面向量定理的推论判断B；根据基底的概念判断C；结合数量积的坐标运算，利用投影向量公式求解判断D. 【详解】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 10．ABD 【详解】对于A,将 , 代入 :,恒成立,故 A 正确. 对于B,当 时,,即 . 圆心 ,半径 ,圆心到直线的距离 , 故直线与圆相切,B 正确. 对于C,若 , 当 时, 即 ,,斜率分别为 和不存在,不平行. 当 时,,,由 得 ,即 , 整理得 ,即 ,解得 或 . 当 时,,,两直线平行不重合; 当 时, 即 , ， 即 ,两直线重合,故 时两直线重合而非平行,因此 C 错误. 对于D,若 ,当 时, 斜率不存在, 斜率为 ,不垂直. 当 时,,解得 ,即 ,,故 D 正确. 11．AB 【分析】对于A，确定点在线段上，得到可判断；对于B，确定平面，可判断；对于C，确定三点共线，线段在中，可得到点为中点时，最小，即可判断；对于D，由，结合，求得范围，即可判断. 【详解】 对于A，当时，，即点在线段上，则，又平面，平面，平面，A正确 对于B，平面，且平面，， ， 又平面，且相交，平面，又平面，，B正确 对于C，当时，，即，即三点共线，线段在中，因为，所以当点为中点时，最小，此时，，C错误 对于D，点在平面上的射影为点，所以与平面所成的角为，，又，所以，所以，又，所以，D错误 故选：AB 12． 【分析】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为： 13． 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，结合已知条件构造方程求解． 【详解】若A，B，C，M四点共面，且A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点， 则向量表达式必须满足系数之和为1，即， 解得． 故答案为：． 14． 【分析】利用点与点关于折痕对称，求出折痕直线方程，再利用与点也关于折痕对称，列出方程组求解即可. 【详解】点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为2， 所以折痕所在直线的方程为：，即，由点与点关于对称，得到点与点也关于对称， 则，解得， 所以. 故答案为：. 15．(1), (2) 【分析】（1）由空间向量的坐标表示中加减法的运算即可求得向量的坐标，再使用模长计算公式即可求得； （2）同（1）中的加减法运算，先分别计算和的坐标，由可得，再使用空间向量的坐标表示中数量积的运算即可求得的值. 【详解】（1）已知，． 设，则， 则有，解得，即， 则. 故，. （2）由（1）得，又，， 则，， 由得， 即，解得， 故的值为. 16．(1) (2) (3)或 【分析】（1）联立两直线方程可求出交点坐标，再利用平行性质设出所求方程并将交点坐标代入计算即可得； （2）求出直线斜率后，由垂直性质可得所求方程斜率，再求出中点坐标后即可得； （3）分该直线过原点及该直线不过原点进行讨论即可得. 【详解】（1）联立，解得，即， 设该直线方程为，则有，即， 故该直线方程为； （2），则线段的垂直平分线的斜率， 又中点为，则该直线方程为， 即； （3）当该直线过原点时，设为，则有，解得， 则该直线为，即； 当该直线不过原点时，设为， 则有，解得，即该直线为； 综上，该直线方程为或. 17．(1) 证明：设，，， 则为空间的一个基底，且， ，， 因为，，， 所以，， ∴， ， ∴， 又，平面， ∴平面. (2) 【分析】（1）利用空间向量的数量积可证，，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直； （2）利用空间向量的数量积夹角公式求两条直线夹角的余弦. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以， 因为， 所以， ， 所以. 即直线与夹角的余弦值为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 19．(1) (2) (3)体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【分析】（1）求出直线、的方向向量，进而可求得平面的法向量，结合题意可得出平面的方程； （2）根据题意，设点，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标； （3）求出多面体与各坐标轴的交点坐标，利用锥体的体积公式可求出多面体的体积，化简多面体两个相邻平面的方程，可得出这两个平面的法向量，利用空间向量可求得多面体相邻两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）解：由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则， 易知直线过点，所以，平面的方程为. 即. （2）解：根据题意，设点，则， 因为平面以为法向量，则，① 又因为点在平面内，则，② 联立①②可得，，故点的坐标为. （3）解：如下图所示： 易知多面体交各坐标轴于点、、、、 、， 正方形的边长为， 所以，正方形的面积为， 而正四棱锥的高为，则， 所以，多面体的体积为. 易知平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以，，， 因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $