辽宁沈阳市东北育才学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

东北育才高中2026一2027学年度上学期 高二年级数学第一次月考试卷·参考答案 -、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 5 8 答案B D C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分) 9.AD 10.ABD 11.BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(-2,3,0) 13.-12 14.V2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) (①)证明：取AB的中点E,连接A1E,ME,因为M是BC的中点，所以MEAC,MB=支 AC.又N是A1C1的中点，所以A1W/AC,A1N=AC.所以ME/A1N,ME=A1N,所以四 边形MNA1E是平行四边形，所以MN/A1E,又MN￠平面ABB1A1,A1EC平面ABB1A1, 所以MN/平面ABB1A1·.....,5分 (2)解：以A为原点，AB,AC,AA1所在直线分别为X,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A1(0,0,1),C(0,2,0),A(0,0,0),M(1,1,0),N(0,11), 所以A1C=(0,2,-1).AM=(1,1,0).AN=(0,1,1) 设平面AMN法向量为m=(x,y,z) B (AM.m=x+y=0 (AN.m=y+z=0 A 取m=(1,-1,1),.9分 EL M 设直线A1C与平面AMN所成角为0 则sine=cos<m,A1c> m-AIC -2-1=5 IAic V3x√5 5 故直线A1C与平面AMN所成角的正弦值为压 13分 5 16.(15分) (1)证明：面PBC1面BCD, 又CD⊥BC,CDC面BCD,面PBC∩面BCD=BC, 则CD1面PBC,3分 又PBc面PBC,则PB1CD....·5分 PB1PC,CD∩PC=C,CD,PCC面PCD, 则PB1面PCD.....7分 (2)取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM,如图所示： 则OM⊥BC,OM//CD,CD⊥面PBC,OPC面PBC,则CD⊥OP,故OM⊥OP,PB= PC,O为BC中点，则OP⊥BC, 建立空间直角坐标系，00.00).P0.0,.B(00).C(-3,00).D(-V6,0). 易知平面BCD的一个法向量为n1=(0,0,1)......·9分 BP=(g,0,),BD=(-32.6.0). 设平面PBD的法向量为n2=(x,y,Z) → n2·BP=0 n·BD=0 取x=1,则2=(1，V3,1).........13分 B cos n,n2 > ni'n2 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为怎..15分 17.(15分) 证明：(1)，AB=2,BF=2,AF=2V2,AB2+BF2=AF2,得BFAB,平面ABEF ⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,BFC平面ABEF,.BF⊥平面ABCD, 而CDc平面ABCD, CD1BF.…5分 解：(2)由(1)知，BF1平面ABCD,且AB1BC. 以B为坐标原点，分别以BA,BC,BF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,4,0),D(22,0),F(0,0,2),E(-2,0,2), BD=(2,2,0),BF=(0,0,2), 设CM=1CE=1(-2,-4,2)=(-2λ，-42,2)(0≤1≤1)， 则BM=BC+CM=(0,4,0)+(-22,-4,2)=(-2元，4-41,2)，....· 10分 设平面BDF的一个法向量为n=(x,y,z), 元.BD=2x+2y=0 元.BF=22=0 M 取x=1,得i=(1,-1,0). 设点M到平面BDF的距离为d, B y d=1BM列-12以-4_4w2 A V2 3 解得1=子或号（舍）. 6g=………15分 18.(17分) (1)证明：取线段AC的中点M,连接EM、BM, 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1/CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形， 所以，AC/A1C1且AC=A1C1, 因为E、M分别为A1C1,AC的中点，所以四边形AA1EM为平行四边形， 所以，EM/IAA1, 又因为AA1/BB1,则EM/BB1,因为AC⊥BB1,则AC⊥EM. 因为AB=BC,M为AC的中点，则BM LAC, 因为EM∩BM=M,EM,BMC平面BEM,所以AC⊥平面BEM, 因为EBC平面BEM,所以EB上AC.·.........6分 (2)解：由(1)可知，AC1平面EMBB1, 过点E在平面BB1EM内作E01BM,垂足为点0O, 因为AC⊥平面BB1EM,E0C平面BB1EM,则E01AC, 又因为E0LBM,BM∩AC=M,BM,ACC平面ABC,则EO⊥平面ABC, 所以直线AA1与平面ABC所成的角为∠EMO, 所以ta∠EM0=0=2,则E0=20M. 因为EM=VE02+0M2=V50M=V5,可得0M=1,E0=2.......9 分 因为AB=BC=号AC=2V2,则AB=BC=2V2,AC=4. 所以AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC, 因为M为AC的中点，所以BM=AC=2. 以点0为坐标原点，Ox,OB，O正的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间 直角坐标系， 则A(2,-1,0)、B(0,1,0)、M(0,-1,0)、C(-2,-1,0)、E(0,0,2), ME=0,1,2),则0A1=0A+AA1=0A+ME=(2,-1,0)+(01,2)=(2,0,2), 即点A1(2,0,2),同理可得点B1(0,2,2)、C1(-2,0,2), ZA 设AF=AA1=1(0,1,2)=(0,元，2)(0≤1≤1). 则CF=CA+AF=(4,0,0)+(0,,2)=(4,元，2)，且CB=(2,2,0). 设平面BCF的法向量为m=(x,y,z），则 m.CB =2x+2y=0 ME. (m.CF=4x+y+21z=0 取x=22,则y=-21,z=1-4. 所以平面的一个法向量为m=(22,-2元，1-4)，·.........14分 易知平面ABC的一个法向量为元=(00,1)，因为二面角A-BC-F的平面角的余弦值为司 7 则 1cos<m,n>1-li· 12-4 7 |m·m√422+42+(0-42V57 62+元-2=0因为0≤2≤1，解得乳= ，.........17分 19.(17分) (1)设正三角形边长为a, l8=88)-M=8gr÷g-gr=a 则A0=B'0=,cos0= 3….5分 (2)AA'=x,BB'=y,则在Rt△A'0B'中由勾股定理(a2-x2)+(a2-y2)=a2-y-x)2, 即a2=2xy.........10分 (3)cos8=Or,设△A0B边长为a,我们只要求△A0B'面积的最大值.设AA=x, S△AOB B8=y,则a2=2y,而5A0ga2-双a2-y-=-2(e2+y吗s号，放cos0 的最大值………·17分东北育才高中2026一2027学年度上学期 高二年级数学科第一次月考试卷 答题时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a=(2,2,1),b=(2,x,-2),若a1b,则x=() A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.已知为直线的方向向量，m,分别为两个不同平面a,β的法向量，则下列说法正 确的是() A.若a1m,a/,则/B B.若a/m,a/元，则a1B c.若a1m,a1n,则a/B D.若a/m,a1元，则a1B 3.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,1,1),则向量b在向量a上的投影向量为() A.(（6,-) B.(,-) C.(2,-1,2) D.(1,1,1) 4.在四面体OABC中，M,N分别是OA,CB的中点，点G在线段MN上，满足MG= 2GN,用向量0A,0B,0C表示向量0G为() 3 A.0G=20A+20B+10C B.0G=0A+20B+20C 3 3 3 → C.0G=0A+20B+20C D.0G=0A+20B+20C 5.已知AB,CD是半径为2的⊙O的两条直径，且AB与CD成60°角，现将⊙O沿直径AB 折成直二面角，此时线段CD的长为() A.√7 B.2W2 C.v10 D.23 6.己知正三棱锥A-BCD的底面边长为6，二面角A-BC-D的余弦值为，则正三棱 锥A一BCD外接球的表面积为() A.256匝元 B.625v厘元 C.625π D.256r 13 13 13 13 7.正四面体ABCD棱长为1，P为空间中任意一点，PA·(PB+PC+PD)的最小值为 () 高二年级数学科试卷第1页共4页 A.-1 B.-月 C.0 D.1 8.在三棱锥A-BCD中，BD=BC=1,∠DBC=90°，AD=2 ,∠BAD=45°，若该 三棱锥外接球的表面积为5π，则点A到平面BCD的距离为( A.3+3 4 B.3t3 D.3+3 6 C.3t3 8 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的有() A.已知a=(2,-3,0),b=(1,0,-2),则a-2b=5 B.若a,b,c为空间的一个基底，则a+b,b+c,a-c可构成空间的另一个基底 C.已知向量a=(1,-2,x),b=(x,2,1),若x<2,则(a,b)为钝角 D.点M为平面ABC外一点，N为平面内一点，若MN=MA+MB+MC,则t=1 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别是边AC1, BC的中点，则下列说法正确的是() A.EF和平面ABB1A1平行 B B.若AC=AB,则异面直线B1C1和A1F垂直 E、 A C.VB-ABF=VA-ABC B D.若AC1BC,AC=BC=2,EF与平面ACCA,所成角为2 则CC1=22 11.正六棱锥P-ABCDEF的底面对角线交点如图，设棱 锥P一GHIJKL的内切球半径为r,棱锥P一ABCDEF的内 切球半径为R,那么的值可能为() D A月 B. H c. D.g 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.己知空间两点A(2,-1,4),B(-4,5,-2),且AP=2PB,则点P的坐标为 高二年级数学科试卷第2页共4页 13.如图，正四面体P-ABC的棱长为4，P01平面ABC,0 P 为垂足，PD=P0,延长C0交AB于点E,则 CE·(AD+PC)= 14.2026年7月23日，中国籍数学家王虹因在三维挂谷 (Kakeya)猜想上的杰出贡献获得菲尔兹奖.三维挂谷猜想 子 研究：给定长度为1的线段，在空间中经过平移与旋转，扫过区域的体积与维度问 题.现有一条长度为1的线段，该线段可以取遍空间中的所有方向：若要求无论线段朝 向空间哪个方向，整条线段都能完整放置在棱长为α的正四面体内部（包含边界），则正 四面体棱长α的最小值是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1AC,AB=AC=2, AA1=1,M,N分别为BC,A1C1的中点. (1)证明：MN/平面ABB1A1; (2)求直线A1C与平面AMN所成角的正弦值. 16.(本题满分15分)把一副三角板按如图所示的方式拼接，∠BAC=∠BCD=90°， ∠CBD=30°.将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (1)证明：PB1平面PCD; (2)求平面PBD与平面BCD所成角的余 弦值. D 17.(本题满分15分)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF1平面ABCD,底面 ABCD为直角梯形，AD//BC,AB⊥BC,AB=AD=2, E BC=4,AB//EF EAB=EF,AF=2V2,BF=2. (1)证明：CD1BF: (2)M是线段CE上的点，且M到平面BDF的距离为E, 求 岩的值。 D 高二年级数学科试卷第3页共4页 18.(本题满分17分)己知：斜三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥AC,AA1与面ABC所成 角正切值为2，AA1=V5,AB=BC=2V2,AC=4,点E为棱A1C1的中点，且点E向平 面ABC所作投影在△ABC内. (1)求证：AC1EB: (2)棱AA1(含端点)上是否存在一点F,使二面角A-BC-F的平面角的余弦值为 了，若存在，指出F点位置，若不存在，说明理由。 7V57 E A B 19.(本题满分17分)如图，若三角形ABC在平面内的射影为三角形DEF,三角形ABC 和平面的成角设为日（只考虑锐角的情况），那么cos6=△0巫，我们可根据此信息完成 S△ABC 下列问题： 正三角形AOB的顶点O固定在平面a上，三角形可以绕O在平面a的一侧转动，△AOB在 面a上的射影为△A'OB',若∠A'OB'是直角，记△AOB和平面的成角为6. (1)若△A'0B'为等腰直角三角形，求c0s0; (2)设AA'=x,BB=y,AB=a,证明：a2=2xy: (3)求cos0的最大值. B A F 6, A 高二年级数学科试卷第4项共4项