专题5.5 爪形定理、极化恒等式、等和线、矩形大法问题 【知识概要+5大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题5.5 爪形定理、极化恒等式、等和线、矩形大法问题 知识点1：极化恒等式 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则 (1)平行四边形模式：·＝(||2－||2)． (2)三角形模式： ·＝||2－||2. 【跟踪训练】 37．（25-26高三下·广东深圳·期末）已知正三角形的边长为3，且，过点且垂直于的直线交的外接圆于两点，若点为边上的动点，则的最大值为___________． 【答案】5 【分析】设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理可得的值，再由极化恒等式推出，于是问题转化为求的最大值，然后结合余弦定理，即可得解． 【详解】设为外接圆的圆心，连接并延长交于点，连接， 因为，所以， 因为为正三角形，所以也是的重心， 所以，所以，， 因为，所以， 在中，由正弦定理可知，外接圆半径， 即，所以， 因为， 所以，所以， 因为点为边上的动点，当点与点重合时，， 在中，由余弦定理可知，， 所以， 所以. 知识点2：矩形大法 1、矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②. 证明：①连接，根据， 可得； ②根据极化恒等式，可得. 【跟踪训练】 38．（25-26高三·全国·一轮复习）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PA=2,,则____. 【答案】0 【详解】如图.设AC与BD交于点E，联结PE.则E为AC、BD的中点.    注意到， . 类似地，. 又,于是，. 由 故. 知识点3：等和线 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【跟踪训练】 39．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则_________． 【答案】 【详解】试题分析：所以，则； 考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理； 知识点4：爪形定理 1.核心图形与基础性质 设为一组不共线基底，若存在实数，使得，则三点共线的充要条件是。 （1）符号与位置关系： 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上. （2）线段分点标准公式：若点在线段上，且，向量表达式。 【跟踪训练】 40．（25-26高三下·山东临沂·阶段检测）如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及点共线，得， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 题型一：爪形定理及其应用 题型二：利用极化恒等式求数量积 题型三：利用极化恒等式求取值范围 题型四：矩形大法及其应用 题型五：等和线及其应用 题型一：爪形定理及其应用 1．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在中, 因为所以,在中， 故. 2．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）在中，点D在边BC上，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用平面向量的线性运算求解. 【详解】． 3．（25-26高三下·湖南岳阳·期末）在△ABC中，，设＝，＝，则用，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四则运算化简即得. 【详解】 如图，. 4．（25-26高三下·河南信阳·期末）中，，为中点，设，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示出，即可得. 【详解】已知，，则， 因为，所以， 由， 因为为的中点，所以， 所以. 题型二：利用极化恒等式求数量积 5．（26-27高三上·北京西城·开学考试）在中，，，，，为边的三等分点，则=________． 【答案】 【分析】将、用、线性表示，再结合向量数量积的运算规则代入已知条件计算. 【详解】由，为边的三等分点， 有， ， 则； . 由，，，得：， 因此 . 6．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）在中，已知，，M、N分别是BC边上的三等分点，则的值是　　 A．5 B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】取BC边的中点O，由向量加法的三角形法则，把数量积转化为，再由条件求得，则可求，把•转化为|AO|2﹣|OM|2，再由已知求得，则答案可求． 【详解】如图， 设BC的中点为O，由， 得， ∵， ∴，由此可得：， 而|AO|2﹣|OM|2， 由已知， ∴|AO|2﹣|OM|2， ∴6． 故选C． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题． 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）在中，，点在上，且，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为,由，可得，同时由题意可得，，可得，可得答案. 【详解】解：如图，设的中点为. 因为. 因为，所以.又因为，所以， ，所以 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，由题意求出，是解题的关键. 8．（25-26高三下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】设，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于的方程组，求解得出的值，进而表示出，即可得出答案. 【详解】设，则由已知可得. 又 ， ， 所以联立得，. 所以 ． 故选：D. 题型三：利用极化恒等式求取值范围 9．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）在中，，，，P为AB上任意一点，则的最小值是__________． 【答案】/ 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合垂线段最短性质进行求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 则． 因为，所以． 所以的最小值是. 10．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知，，是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】一方面，而不重合，所以；另一方面，设中点为，那么，设在六边形的端点上，同理不妨设在六边形的端点上．分四种情况即可得，剩下的只需证明何时取等并且可以取遍中的每一个数． 【详解】首先，，这里是最长的那条对角线的长度， 等号取到当且仅当同向，且，而这意味着重合，矛盾. 所以. 另一方面，我们先舍弃互不重合的条件，然后证明； 设中点为，那么， 然后，设A所在的边的端点为，则， （这是因为，记，其中为原点，确定的， 那么是一次函数，从而t属于时，有） 所以我们可以不妨设A在六边形的端点上. 同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上. 此时分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时 综上，， 所以，即使去掉互不重合的条件，我们仍有， 这就说明，互不重合时，有， 然后，取等条件如图所示：    具体说明如下：构造一个到六边形的函数（即从数映射到点）， 使得，并且只沿着最近的轨道， 这样在的情况下，互不重合 同时设，那么，而连续， 所以在的情况下，必定取遍， 这就意味着，的取值范围就是， 因此的最小值为. 11．（25-26高三下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 12．（25-26高三下·福建福州·期末）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用极化恒等式得到，求出的最大值，代入取值即可 【详解】圆的半径为2，弦长，故， 所以，故， 取的中点，连接，如图所示：   ，，两式平方后相减可得 ， 由于，故当取得最大值时，取得最大值， 显然当三点共线且在线段上时，取得最大值， 最大值为，此时. 题型四：矩形大法及其应用 13．（25-26高三下·上海奉贤·期中）已知O为矩形内一点，满足，，，则______． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算和数量积的运算转化可得，由两边平方，可以求得的值，进而得解. 【详解】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 故答案为：-4. 14．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）（1）如图，平行四边形中，对角线与交于点，为平面内任意一点. 求证： （ⅰ）； （ⅱ）； （2）矩形中，为平面内任意一点.求证：； （3）在平面上，，，.若，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【分析】（1）（ⅰ）根据平面向量的线性运算即可证明；（ⅱ）根据平面向量的数量积运算，即可证明； （2）设，以坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算，即可证明； （3）以所在直线为坐标轴建立直角坐标系，由平面向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】（1）（ⅰ）证明:因为为平行四边形，所以为的中点， 在中，， 在中，， 所以. （ⅱ）证明:因为为平行四边形， 则，， 所以， 则. （2） 证明:如图所示，设，以坐标原点建立平面直角坐标系， 则，设，则 ， ， ， ， 所以， ， 即. （3） 根据，，可知四边形是一个矩形， 以所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 设，点的坐标为，点， 因为，所以，变形为， 因为，所以， 所以，所以①， 因为，所以，同理可得，，所以②， 由①②可知:， 因为，所以. 15．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知，，，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设易知四边形为矩形，构建以为原点直角坐标系，将问题转化为平面上满足的情况下，结合两点距离公式求两点距离的范围. 【详解】由题设，四边形为矩形，构建以为原点的直角坐标系，如下图，    若，则，设， ∴，且， 又， ∴，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，将平面向量的模长问题转化为平面上两点的距离问题，应用解析法求范围. 16．（25-26高三下·上海青浦·期中）在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标使几何问题代数化,根据向量的坐标运算得到结果. 【详解】以为坐标原点，所在射线为轴，建立平面直角坐标系如图所示. 设，则，， ， ， 而，故. 题型五：等和线及其应用 17．（25-26高三下·福建福州·期中）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为______    【答案】 【分析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，，把用表示，由和的范围，求2x＋2y的最大值. 【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，    设，则， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为，当点P为切点时, ， ∵，∴设，则，当点P为切点时, 有最大值, ，， ∴，，∴. 即2x＋2y的最大值为. 故答案为： 18．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）如下图，四边形是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设则的最大值等于_____． 【答案】 【详解】试题分析：分别以边所在直线为轴建立如图所实施平面直角坐标系； 则： ，设； ∴；∴；∴；设，则：，所以是直线在y轴上的截距；由图形可以看出，当该直线经过点时，它在轴的截距最大，最大为；∴的最大值是． 考点：1．简单线性规划；2．平面向量的基本定理及其意义． 【思路点睛】因为本题四边形是边长为1的正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系，然后再利用向量的坐标表示来求解；选择以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，设，所以根据已知条件可得：，所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设，所以z表示直线在y轴上的截距，要求的最大值，只需求截距的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过点时截距最大，所以将点坐标带入直线方程，即可得到的最大值，即的最大值． 19．（25-26高三·全国·课后作业）在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是________． 【答案】/ 【分析】以的中点为原点，以为轴，建立平面直角坐标系，结合三角函数的定义可得，再求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案 【详解】解：在中，，，，所以， 以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则设外接圆上一点，连接，记，则由三角函数定义可知， 则，所以 过点作垂直轴， ， ，， ，， ， ，，， ， ， ，， ，其中，， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为： 20．（25-26高三·全国·一轮复习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：. 1．（2026·安徽·一模）如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD上的一点,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分别用表示出来再相加即得． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,且, 又,∴, 则, 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握向量加法减法和数乘运算法则是解题基础． 2．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）在中，点在边上且，为的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 所以. 3．（25-26高三下·山东青岛·阶段检测）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，根据共线定理表示点的坐标，代入表达式根据二次函数求最值. 【详解】 已知正方形，以建立平面直角坐标系， ，，，， 设，点在线段上，， 则，， ， 时，的最大值为. 4．（25-26高三下·重庆万州·阶段检测）如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】取MN的中点为点O，通过作适当的辅助线求出圆的半径，然后利用极化恒等式进行求解. 【详解】设为的中点，作垂直于BC于点D，OE垂直于AB于点E，则四边形OEBD为正方形， 设，在中, ， 即，解得， 则， ， 当且仅当与重合时等号成立，所以的最小值为. 5．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】由 因为，所以是正三角形， 在中，， ， 在上，， ，则取值范围是 6．（25-26高三·全国·一轮复习）在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案. 【详解】因为，所以为中点， 三点共线，故可设，即， 整理得， 因为，所以，即， 又三点共线， 则， 所以，解得， 可得，则，. 故选：D. 7．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先对向量表达式变形，判断出P，B，F三点共线，将目标式子转化为相关向量运算；利用向量投影的几何意义，动点G在半径为1的圆O上运动，分析投影取最值的位置，结合正六边形的几何特征，找到取得最大值的临界位置，进而求出目标表达式的最大值. 【详解】由题意知，，所以， 令， 则，. 因为，所以P，B，F三点共线. 当取到最大值时，,，H，Q分别为垂足，如图所示， 所以点A到线段BF的最短距离为AH， 即恰好取到最小值， 所以. 8．（25-26高三上·山西运城·阶段检测）如图，，，，，是平面内任意三点不共线的五点，给出下列结论： ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若四边形为矩形，则； ④若四边形为矩形，则． 其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量线性运算的几何应用即可. 【详解】连接四边形的对角线交于点， 对于①，，则，且，，，不共线，则四边形是平行四边形，①正确； 对于②， ， 对角线垂直，但不一定平分，②错误； 对于③，，，， 同理，，所以，③正确； 对于④，若四边形是矩形， 则有， 两边平方得， 由③知，所以，④正确． 故选：C． 9．（2026·北京·模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围，从而可得最小值. 【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 的最小值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 10．（25-26高三·全国·三轮复习）在四边形中，，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】构造正方形和圆弧，根据矩形大法可知，，数形结合得到最小值. 【详解】如图所示，构造正方形，边长为， 以为圆心，为半径在正方形内部作作圆， 显然在圆弧上，根据矩形大法可知，， 故当，，三点共线时，取得最小值， 由于，， 故最小值为. 故答案为： 11．（25-26高三下·山东青岛·阶段检测）如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】解法一，设，运用向量线性运算及数量积运算可得，（），转化为求二次函数在区间上的最值即可，解法二、解法三，建立不同平面直角坐标系，运用向量坐标运算及二次函数求最值即可. 【详解】解法一： 由，，得， 所以，，则， 设，则， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值. 解法二： 由，得， 所以， ， 如图，建立平面直角坐标系，    则，， 所以. 设，则，所以， 所以，， 则， 当且仅当时，取得最小值. 解法三： 由，得， 所以，，， 如图，分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，    则. 因为点在边上，所以设， 所以， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 故答案为：. 12．（25-26高三下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 【答案】 【分析】延长AC，使得，进而得到B，G，D三点共线，再取取NC中点为H，得到得到求得最小值即可求解. 【详解】延长AC，使得， 令可知B，G，D三点共线， 时为AG最小值， 在中，，得， 又因为，所以是等边三角形，所以， 在中，， 取NC中点为H， ，, 所以 所以. 即求的最小值， 当时，有最小值， 在中，，， 所以. 故答案为： 13．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是______．    【答案】 【分析】根据题意解，设中点为，利用极化恒等式可得，接着用余弦定理求的范围即可. 【详解】设中点为，，，， ， 则， 设， ， 所以. 故答案为：. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题意，令，进而得到，再作矩形，，根据，得到，再求的范围即可． 【详解】如图所示， 令， 则， 所以， 则作矩形，， 即， 根据，， 即， 解得， 所以． 故答案为：. 15．（25-26高三下·湖南·期末）如图，是边长为4的等边三角形，以AC为直径作圆O，P为圆O上一动点． (1)用向量表示； (2)求的最大值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】(1)通过向量相加的定义求解. (2)通过基底法拆解求解. (3)通过数量积和均值不等式求解范围. 【详解】（1）因为为中点，所以. （2），. 因为， 所以， 当时， 所以. （3），因为，所以. 令，，. 求，即求. 因为，所以, ，. 所以，解得. ，所以，解得. 所以. 16．（25-26高三下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，，，． (1)用，表示，； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算计算即可. （2）根据向量数量积的运算律计算即可. （3）根据向量数量积求得，结合图象判断取最值时点位置，结合余弦定理计算即可. 【详解】（1）因，，， 则，，， 则，. （2）由（1）可知，，， 则 . 因为，，则， 则， 故. （3）由题可知，， 则. 由图可知，当与重合时，，此时取得最小值为. 当与重合时，最大，取得最大值， 如图连接，在中，由余弦定理， ， 所以的最大值为， 故的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 爪形定理、极化恒等式、等和线、矩形大法问题 知识点1：极化恒等式 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则 (1)平行四边形模式：·＝(||2－||2)． (2)三角形模式： ·＝||2－||2. 【跟踪训练】 37．（25-26高三下·广东深圳·期末）已知正三角形的边长为3，且，过点且垂直于的直线交的外接圆于两点，若点为边上的动点，则的最大值为___________． 知识点2：矩形大法 1、矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②. 证明：①连接，根据， 可得； ②根据极化恒等式，可得. 【跟踪训练】 38．（25-26高三·全国·一轮复习）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PA=2,,则____. 知识点3：等和线 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【跟踪训练】 39．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则_________． 知识点4：爪形定理 1.核心图形与基础性质 设为一组不共线基底，若存在实数，使得，则三点共线的充要条件是。 （1）符号与位置关系： 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上. （2）线段分点标准公式：若点在线段上，且，向量表达式。 【跟踪训练】 40．（25-26高三下·山东临沂·阶段检测）如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型一：爪形定理及其应用 题型二：利用极化恒等式求数量积 题型三：利用极化恒等式求取值范围 题型四：矩形大法及其应用 题型五：等和线及其应用 题型一：爪形定理及其应用 1．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）在中，点D在边BC上，且，则（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高三下·湖南岳阳·期末）在△ABC中，，设＝，＝，则用，表示为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河南信阳·期末）中，，为中点，设，，则（    ）    A． B． C． D． 题型二：利用极化恒等式求数量积 5．（26-27高三上·北京西城·开学考试）在中，，，，，为边的三等分点，则=________． 6．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）在中，已知，，M、N分别是BC边上的三等分点，则的值是　　 A．5 B． C．6 D．8 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）在中，，点在上，且，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 题型三：利用极化恒等式求取值范围 9．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）在中，，，，P为AB上任意一点，则的最小值是__________． 10．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知，，是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的最小值为______． 11．（25-26高三下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 12．（25-26高三下·福建福州·期末）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 题型四：矩形大法及其应用 13．（25-26高三下·上海奉贤·期中）已知O为矩形内一点，满足，，，则______． 14．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）（1）如图，平行四边形中，对角线与交于点，为平面内任意一点. 求证： （ⅰ）； （ⅱ）； （2）矩形中，为平面内任意一点.求证：； （3）在平面上，，，.若，求的取值范围. 15．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知，，，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三下·上海青浦·期中）在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 题型五：等和线及其应用 17．（25-26高三下·福建福州·期中）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为______    18．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）如下图，四边形是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设则的最大值等于_____． 19．（25-26高三·全国·课后作业）在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是________． 20．（25-26高三·全国·一轮复习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·安徽·一模）如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD上的一点,且,则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）在中，点在边上且，为的中点，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·山东青岛·阶段检测）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·重庆万州·阶段检测）如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 5．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 7．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 8．（25-26高三上·山西运城·阶段检测）如图，，，，，是平面内任意三点不共线的五点，给出下列结论： ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若四边形为矩形，则； ④若四边形为矩形，则． 其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·北京·模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（25-26高三·全国·三轮复习）在四边形中，，，则的最小值为__________. 11．（25-26高三下·山东青岛·阶段检测）如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为______. 12．（25-26高三下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是______．    14．（2026高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，且，则的取值范围是_______． 15．（25-26高三下·湖南·期末）如图，是边长为4的等边三角形，以AC为直径作圆O，P为圆O上一动点． (1)用向量表示； (2)求的最大值； (3)若，求的最小值． 16．（25-26高三下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，，，． (1)用，表示，； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $