专题10 全等三角形模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题10.全等三角形模型之对角互补模型 对角互补模型是全等拔高非常重要模型，经常和半角模型捆绑出题。 核心辅助线是双垂线构造 AAS 全等；核心工具是等角的补角相等。 很多题目不会直接给出对角互补，会通过圆内接四边形、邻补角给出隐藏条件，需要学生自主推导。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 7 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 18 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 对角互补模型，早期教研称为邻边等 + 对角补模型。这个模型本质是四点共圆的特殊全等分支。 在《几何原本》圆内接四边形对角互补基础上，国内初中教研提炼出这个经典全等构造模型。 这个模型有个很巧妙的特点：邻边相等 + 对角互补，天然可以旋转重合，和手拉手模型是同源思想； 记忆口诀：对角互补邻边等，双垂旋转造全等；点在线上求和长，点在延长求差长。 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” 1）全等判定：AAS、ASA、SAS； 2）角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等； 3）补角性质：同角（等角）的补角相等； 4）旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等； 5）四边形内角和360°；四点共圆基础性质。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 【模型提炼与证明】 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知，在的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与相交于点D，E．    (1)如图1，当于D，于E，则的大小关系为　 　．(2)当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想． 【典例2】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下：过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，．，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【典例3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到于时，如图①所示，试证明． (2)当绕点旋转到和不垂直时，如图②图③所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明，与之间的数量关系，并证明． 【典例4】（25-26八年级上·广东·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 【模型提炼与证明】 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F． (1)提出问题：当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (2)探究问题：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； ②当时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； (3)归纳猜想：观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论________ (4)证明结论：对于一个数学结论，数学上提倡一题多解，有三位同学给出了思路，请结合以下思路或者其他思路写出证明过程．（注：使用两种及以上方法正确证明得全分） 思路1：要证明数量关系，可以通过证明三角形全等来实现，如果没有全等可以构造全等三角形，可以是角平分线、中线、高线等； 思路2：由于，联想通常在等边三角形出现，考虑在内部构造等边三角形； 思路3：由于有条件，，出现边角重合，考虑可以通过构造折叠图形来证明全等． 【典例2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【典例3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是等边三角形，点D是的中点，设，把绕点D旋转，与边交于点E、F． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当时，①绕点D旋转时，求证：； ②绕点D旋转过程中，试探索之间的数量关系并说明理由． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 【模型提炼与证明】 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②；③的值不变；④四边形面积随着点M、N的位置的变化而变化．其中正确结论的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【典例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【典例4】（25-26八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【典例5】（25-26江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由． 模型常见易错点 1）只看到对角互补，忽略【邻边相等】，直接套用全等结论 错误：只要对角互补，就认为一定可以证全等。 解决方案：对角互补 + 邻边相等两个条件缺一不可；缺少邻边相等，一般只能得到相似，不能全等。审题圈画：邻边相等是全等模型的前提。 2）分不清点在线段上/延长线上，线段和差结论混用 错误：D在延长线上，依然使用(OD+OE)的结论。 解决方案：点在两条边本身上，是线段相加；点落在边延长线上，是线段相减。先画图，看清交点位置。 3）辅助线选择混乱，旋转法写证明时忘记证明三点共线 错误：直接旋转三角形，省略三点共线推导，步骤扣分。 解决方案：考场正式证明优先双垂线法，书写简单，不易丢分；旋转法适合分析思路，如果大题用旋转，必须证明三点共线。 4）误将对角互补模型和半角模型混淆 解决方案：对角互补核心：对角相加 180°+ 邻边相等；半角模型核心：大角里面包含一半的小角。 解题方法总结 1）审题识别标志：四边形对角互补+有一组邻边相等/角平分线上一点，两角互补； 2）二选一作辅助线： 考试书写：过公共顶点向角两边作双垂线； 思路分析：旋转三角形，让等邻边重合； 3）证明三角形全等，得到对应边、对应面积相等； 4）判断交点位置：点在边上用线段和；点在延长线上用线段差； 5）代入模型线段、面积结论计算。 记忆口诀： 对角互补邻边等，双垂旋转造全等； 角平分线作垂线，等角等边立刻现； 点在线上求线段和，点延线上求线段差。 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 3.（24-25七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 4．（24-25.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． 问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由． 6．（24-25八年级下·江西萍乡·期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________． (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由． (3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由 1．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在等边中，，为的中点，，交线段于点，交的延长线于点．若，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·广东·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】（1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】（2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】（3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 3．（24-25八年级下·四川达州·期中）【情景呈现】画，并画的平分线． (1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”） (2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由． 【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______． 【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由；（2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 5．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD． （1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由；（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB．上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明. 6．（24-25七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 1.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级·浙江杭州·期末）【探究发现】（1）如图1，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______． 【类比应用】（2）如图2，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在中，，点D为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 6．（25-26八年级下·福建宁德·阶段练习）小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上． (1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴______=______， 又∵，∴，∴． (2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立． (3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______．    3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.全等三角形模型之对角互补模型 对角互补模型是全等拔高非常重要模型，经常和半角模型捆绑出题。 核心辅助线是双垂线构造 AAS 全等；核心工具是等角的补角相等。 很多题目不会直接给出对角互补，会通过圆内接四边形、邻补角给出隐藏条件，需要学生自主推导。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 7 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 18 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 对角互补模型，早期教研称为邻边等 + 对角补模型。这个模型本质是四点共圆的特殊全等分支。 在《几何原本》圆内接四边形对角互补基础上，国内初中教研提炼出这个经典全等构造模型。 这个模型有个很巧妙的特点：邻边相等 + 对角互补，天然可以旋转重合，和手拉手模型是同源思想； 记忆口诀：对角互补邻边等，双垂旋转造全等；点在线上求和长，点在延长求差长。 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” 1）全等判定：AAS、ASA、SAS； 2）角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等； 3）补角性质：同角（等角）的补角相等； 4）旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等； 5）四边形内角和360°；四点共圆基础性质。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 【模型提炼与证明】 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知，在的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与相交于点D，E．    (1)如图1，当于D，于E，则的大小关系为　 　．(2)当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想． 【答案】(1)(2)成立，见解析 【详解】（1）∵平分，，，∴；故答案为：； （2）上述结论仍然成立．理由如下： 如图2，过点C分别作，垂足为F，，垂足为G．∴, ∵为的角平分线， ∴，∴，∴， ∴，∴．   【典例2】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下：过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，．，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析； 【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ②中所填的关系表达式为； （2）解：不发生变化，依旧是，理由如下：过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线，∴， ∴四边形是矩形，∴；∵平分，，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴； 【典例3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到于时，如图①所示，试证明． (2)当绕点旋转到和不垂直时，如图②图③所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②成立，理由见解析，图③不成立，，证明见解析 【详解】（1）解：如图①中，当绕点旋转到于时，有， 又，四边形是矩形， ∵为边的中点，∴，∵中，，，∴， ∵，，， ∴，∴，∴四边形是正方形， ∵，，∴，∴， 设的直角边长，则正方形的边长为， ，正方形的面积 即； （2）①上述结论成立；理由如下：连接，如图②所示：，，为中点， ，，，，，， 又，， 在和中，，， ； ②图③不成立；；理由如下：连接，如图③所示： 与①同理得：，，∴， ， ．、、的关系是：． 【典例4】（25-26八年级上·广东·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，∴∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，∴， 设，则，，∴， 又∵，，∴，∴ ∴∴是等腰直角三角形， ∴∴即 （3）解：如图所示，延长至，使得， ∵，∴，又∵，∴ 又∵∴，∴，又∵∴， ∴∴四边形是矩形， 又∵∴四边形是正方形，∴∴ 即 ∴ 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 【模型提炼与证明】 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F． (1)提出问题：当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (2)探究问题：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； ②当时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； (3)归纳猜想：观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论________ (4)证明结论：对于一个数学结论，数学上提倡一题多解，有三位同学给出了思路，请结合以下思路或者其他思路写出证明过程．（注：使用两种及以上方法正确证明得全分） 思路1：要证明数量关系，可以通过证明三角形全等来实现，如果没有全等可以构造全等三角形，可以是角平分线、中线、高线等； 思路2：由于，联想通常在等边三角形出现，考虑在内部构造等边三角形； 思路3：由于有条件，，出现边角重合，考虑可以通过构造折叠图形来证明全等． 【答案】(1)不变(2)①，；②；；(3)(4)证明见详解 【详解】（1）解：根据题意可知，当绕着点D运动时，线段与的数量关系不发生改变； （2）解：①，点为边的中点， 即为的角平分线，， ，， 为等边三角形，故， ②解：连接，，，点为边的中点， 即为的角平分线，，， ，， ，； （3）观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论； （4）解：法一：过点作，，垂足分别为，， 点为边的中点，，，，， ，，，， 在四边形中，，，， 在和中，，，； 法二：在上截取，点为边的中点，，，， ，，， 在四边形中，，， 则，，，又， 【典例2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析. 【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°， ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°， 在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，∴∠OFC=∠OGC=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC； (3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC． 【典例3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是等边三角形，点D是的中点，设，把绕点D旋转，与边交于点E、F．    (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当时，①绕点D旋转时，求证：； ②绕点D旋转过程中，试探索之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴，即． ∵点D是的中点，∴，∴，∴； （2）①如图，过点D作．    ∵，∴， ∴，即．∵是等边三角形，点D是中点， ∴，∴是等边三角形，∴，． 在和中，∴，∴； ②∵，∴．∵， 又∵，∴， ∴之间的数量关系为． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 【模型提炼与证明】 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②；③的值不变；④四边形面积随着点M、N的位置的变化而变化．其中正确结论的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：作于E，于F，如图所示：，， ，，， 平分，于E，于F，，，∴， 在和中，，，， 在和中，，，，，， ，是等边三角形，故正确； ，定值，故错误； ，故②正确； M，N的位置变化，的长度是变化的，故③错误；综上所述：正确的结论是①②．故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)， 【详解】（1），， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （3）成立，，， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证． 【典例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）DB=DC，理由见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）AB=AC+2BE，理由见解析． 【详解】解：（1）结论：DB=DC．理由：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°， ∵∠DAC=∠DAB，AD=AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD=CD．故答案为BD=CD． （2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB． （3）结论：AB=AC+2BE．理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F． ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF=DE，CF=BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AF=AE，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE． 【典例4】（25-26八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)，， 【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则， 平分，，，∴，， 又，∴， 在与中，，． （2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则，又∵平分，∴， 在四边形中，， 又∵，∴，又∵，∴， 在与中，，∴，∴． ∴． 在中，， ∴，同理，∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分，∴，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在与中，∴， ∴．∴． ②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线，∴， 又∵，∴为等边三角形∴， ∵，，∴， 又∵，， ∴，∴，∴，， ∴，即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图，则， 又∵平分，∴，设， ∵， ∴，则， ∵，，∴，则． 【典例5】（25-26江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由． 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；【详解】感知：，理由如下： ∵，，∴，即，∵平分，∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS），∴； 模型常见易错点 1）只看到对角互补，忽略【邻边相等】，直接套用全等结论 错误：只要对角互补，就认为一定可以证全等。 解决方案：对角互补 + 邻边相等两个条件缺一不可；缺少邻边相等，一般只能得到相似，不能全等。审题圈画：邻边相等是全等模型的前提。 2）分不清点在线段上/延长线上，线段和差结论混用 错误：D在延长线上，依然使用(OD+OE)的结论。 解决方案：点在两条边本身上，是线段相加；点落在边延长线上，是线段相减。先画图，看清交点位置。 3）辅助线选择混乱，旋转法写证明时忘记证明三点共线 错误：直接旋转三角形，省略三点共线推导，步骤扣分。 解决方案：考场正式证明优先双垂线法，书写简单，不易丢分；旋转法适合分析思路，如果大题用旋转，必须证明三点共线。 4）误将对角互补模型和半角模型混淆 解决方案：对角互补核心：对角相加 180°+ 邻边相等；半角模型核心：大角里面包含一半的小角。 解题方法总结 1）审题识别标志：四边形对角互补+有一组邻边相等/角平分线上一点，两角互补； 2）二选一作辅助线： 考试书写：过公共顶点向角两边作双垂线； 思路分析：旋转三角形，让等邻边重合； 3）证明三角形全等，得到对应边、对应面积相等； 4）判断交点位置：点在边上用线段和；点在延长线上用线段差； 5）代入模型线段、面积结论计算。 记忆口诀： 对角互补邻边等，双垂旋转造全等； 角平分线作垂线，等角等边立刻现； 点在线上求线段和，点延线上求线段差。 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】过点作于点，于点 ∵平分，∴，∴ ∴， ∴ON+OF=OC ①当，分别在射线，上时，此时OC≥OD，如图 ∴ ∵，∴∴， ∴∴OE=OC−OD= a-b ②如图，当，分别在射线反向延长线，射线上时 同理可得：∴， ∴，OE=OC+OD=a+b ③如图，当，分别在射线上、在射线反向延长线上时，OC≤OD 同理可得：∴， ∴， 综上：只有（1）正确，（2）（3）（4）均错误 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 【答案】3 【详解】解：过点作，垂足为点．∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，且，∴，∴， ∵，∴故①错误， 在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∵∴，∵，∴，故③正确， ∵，∴， ∴．故④正确．故答案为3． 3.（24-25七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 【答案】(1)见解析(2)结论正确，证明见解析(3)结论：OE=2OD．证明见解析 【详解】（1）证明：如图1中， 在△OPD和△OPE中，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠POD=∠POE． （2）解：结论正确．理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K． ∵∠PHO=∠PKO=90°，∠AOB=60°，∴∠HPK=120°，∵∠DPE=∠HPK=120°，∴∠DPH=∠EPK， ∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴∠POH=∠POK，∠PHO=∠PKO=90°， 在△OPH和△OPK中，，∴△OPH≌△OPK（AAS），∴PH=PK， 在△PHD和△PKE中，，∴△PHD≌△PKE（ASA），∴PD=PE． （3）解：结论：OE=2OD．理由：如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD=∠POT， 在△POD和△POT中，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP=∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO+∠AOB=180°，∠DPE+∠PEO=180°， ∵∠AOB=60°，∠DPE=120°，∴∠ODP=120°，∠PEO=60°， ∴∠OTP=∠ODP=120°，∴∠PTE=60°，∴∠TPE=∠PET=60°，∴TP=TE， ∵∠PTE=∠TOP+∠TPO，∠POT=30°，∴∠TOP=∠TPO=30°，∴OT=TP，∴OT=TE，∴OE=2OD． 4．（24-25.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG.理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º， ∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中，∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等） 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． 问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)小新的观点正确，理由见解析；(2)OE＝2OD，理由见解析． 【详解】（1）解：小新的观点正确； 理由：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（SSS）， ∴∠POD＝∠POE，即射线OP是的角平分线； （2）OE＝2OD；理由：如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POT， 在△POD和△POT中，，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP＝∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°， ∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°， ∴∠OTP＝∠ODP＝120°，∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE， ∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，∴OT＝TP，∴OT＝TE，∴OE＝2OD． 6．（24-25八年级下·江西萍乡·期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________． (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由． (3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由 【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)不会发生变化，S=9 【详解】（1）解：根据角平分线的性质可得 （2）证明：如图②，过点P点作于E，于F． ∵是的平分线，∴， ∵，∴ 而∴，∴，∴． （3）解：不会发生变化，理由是： ∵OP平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠POF=45°∴∠OPF=∠POF=45° ∴PF=OF=3由（2）可知， ∴四边形OCPD的面积=四边形OEPF的面积=． 1．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在等边中，，为的中点，，交线段于点，交的延长线于点．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵等边，∴，如图，作交于点， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵为的中点，∴，∵，， ∴，∵， ∴，∴，∵，，∴，， ∴，∴，故答案为：． 2．（24-25八年级上·广东·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】（1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】（2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】（3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点，∴，，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴．故答案为： （2），证明如下：如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，，∴，， ∴为等边三角形，∴，∴， ∵，，∴，∵， ∴，∴，∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时，如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形，∴，， ∵D为等边的边的中点，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明，则，综上所述，的长为9或1． 3．（24-25八年级下·四川达州·期中）【情景呈现】画，并画的平分线． (1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”） (2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由． 【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______． 【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)＝(2)，理由见解析(3)(4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC， ∵PE⊥OA，∴∠OEP=90°，∵∠AOB=90°，∠EPF=90° ∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，∴∠OEP=∠OFP 又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP∴△OEP≌△OFP（AAS），∴PE=PF，故答案为：=； （2）解：PE=PF，理由如下：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， ∵PM⊥OA，PN⊥OB，，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°， 与（1）同理可证PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN， 在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF； （3）解：GE2+FH2=EF2，理由如下：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°， ∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH， ∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF， 在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），∴GE=OF， 同理可证明△EPO≌△FPH，∴FH=OE， 在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2； （4）解：PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H． 在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH， ∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°， ∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH， 在△PGE和△PHF中，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由；（2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析  （2），理由见解析 【详解】（1）. 证明：如图，过点 作于，于.故 ∵平分，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵ ，∴ . ∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2），理由：如图，过点作于，于，故 ∵平分，∴， 在和中， ，∴，∴ ， ∵，∴， ∵ ，∴， 在和中， ，∴，∴． 5．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD． （1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由；（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB．上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明. 【答案】（1）成立，见解析；（2）图③的结论不成立.图③的结论为BM-CN = BD. 【详解】(1)证明:图②的结论成立，为BM +CN = BD.理由如下：如图，过点D作DE//AC交AB于点E. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE//AC，∴∠BED=∠BDE =∠A=∠C=∠B= 60°， ∴△BDE是等边三角形，∴∠EDC = 120°.∴∠EDN +∠NDC= 120°. ∵∠MDN= 120°，∴∠EDN十∠MDE = 120°，∴∠NDC=∠MDE.∵D是BC的中点，∴BD = DC，∴BD=DE = DC. ∵∠BED=∠C =60°∴△DME≌△DNC.∴ME = NC，∴BM十ME= BE，∴BM十CN= BD. (2)解:图③的结论不成立.正确结论为BM-CN = BD.理由如下：如图，过点D作DF//AC交AB于点F. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°,∴DF//AC， ∴∠BFD=∠BDF=∠A=∠ACB =∠B = 60°.,∴△BDF是等边三角形， ∴∠FDC =∠MFD=∠DCN=120°，∴∠FDM +∠MDC= 120°. ∵∠MDN= 120°，∴∠MDC十∠NDC = 120°,∴∠NDC=∠FDM.∵D是BC的中点，∴BD = DC,∴BD=DF = DC. ∵∠MFD=∠DCN=120°,∴△DMF≌△DNC,∴MF = NC,∴BM-MF =BF ,∴BM-CN =BD . 6．（24-25七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)①1；②见解析(2)的值不发生改变，等于 【详解】（1）解：①，，， ，， 在和中，，，； ②过分别作于点，作于点，如图1所示： 在四边形中，，． 在与中，，，． ，，平分，； （2）解：的值不发生改变，等于．理由如下：连接，如图2所示： ，，为的中点，，， ，，． ，即，． 在和中，，，， ． 1.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：①如图，连接，作于，于，则， ，， ∵为等边三角形，为的中点，∴，，， ∴，∴， ∵，∴， ∵于，于，∴， ∴，∴，故①正确； ②如图：作交于，则，， ∴为等边三角形，，∴，，∴； 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，故②正确； ③如图，作于，∵，∴设，则，∴， 由②可得：，∴，∴，∴， ∴，∴， 由②可得：，∴，∵，∴，故③正确； ④如图，作于，于，交于， ∵，∴设，则，， 由②可得：，，，， ∴，∴， ∵，∴，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共个，故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图1，连接，作于，于，    ∵点D是的平分线上的一个定点，∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，∴，∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵，∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为，当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时，∴，∴是等边三角形，    ∵是等边三角形，∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求；故选：C． 3．（24-25八年级·浙江杭州·期末）【探究发现】（1）如图1，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______． 【类比应用】（2）如图2，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在中，，点D为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的长为或 【详解】解：（1）如图1，∵，∴， ∵点为的中点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴；故答案为：； （2）．理由是：取中点G，连接，如图2 ∵点G是斜边中点，∴， ∵，，点D为的中点， ∴，∴，即， 又∵，∴， ∵，，∴为等边三角形， ∴，，∴，∴， ∴，∴； （3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接， 当，，时，，此时F在的延长线上， 同（2）可得：，∴， ∵，，∴， 当点E在延长线上时，如图4，同理可得：； 综上：的长为或． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）①选择小强同学， 证明：如图2，过点作于，于，平分， ，，，，， 在与中，，； ②选择小颖同学，证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分，，且， ，，，， 在和中，，，． （2）如图，过点作，，垂足分别为，，， 又平分，，，， 在四边形中，， 又，， 又，，且，，，； （3）取中点，连接，点、分别是、边上的中点，， 是等边三角形，，，， ，，，， 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】(1)，原因见解析(2)，原因见解析(3)最小值为15 【详解】（1）解：，，； （2）解：过点作，，分别交于，，如图所示： 是线段的中点且为等腰三角形，平分， ，，，， 在和中，，，； （3）解：由（2）可知， ，为等边三角形，，求的最小值，即为求的最小值， 作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得， 求最小值即为求最小值，最小值为的长度， 则最小值为的长度，由对称的性质可得． ，，，为等腰三角形，，， ，为等边三角形，由等边三角形对称性可得， 是线段的中点，， ，，，，最小值为15． 6．（25-26八年级下·福建宁德·阶段练习）小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上． (1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴______=______， 又∵，∴，∴． (2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立． (3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______．    【答案】(1)，(2)证明见解析(3)，证明见解析(4)6 【详解】（1）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴． 故答案为：， （2）证明：过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，则， ∵平分．∴，由四边形的内角和等于，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴；        （3）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵，平分，∴， ∴，∴，由（2），∴， ∴；∴； （4）连接，过点O分别作的垂线，垂足分别为G、H，如图， ∵为等边三角形，点O为边中点，∴，平分， ∵，∴，则由（3）的结论可得：， ∵为等边三角形，边长为4， ∴， ∵点O为边中点，∴， ∴，∴，∴；故答案为：6． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $