专题08 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题08.全等三角形模型之手拉手模型 手拉手模型，又叫共顶点旋转全等模型：两个等腰三角形（等边/等腰直角/普通等腰）拥有公共顶点，两条腰两两配对形成两组等线段，顶角相等，通过旋转构造 SAS 全等三角形。常结合：等边三角形、等腰直角三角形、正方形背景，结合动点旋转、线段求值、角度定值证明。手拉手是旋转思想的具象化，也是后期学习瓜豆原理、相似手拉手的基础。 识别共顶点等线段的手拉手结构，掌握 SAS 全等推导逻辑，会推导夹角定值、线段和差关系，熟练书写证明格式，区分正向基础模型与反向变式模型。（核心目标） 公共顶点为旋转中心，相等顶角 + 两组等线段，构造旋转全等，实现线段转移、角度转移，解决线段相等、夹角固定、线段和差最值问题。（核心思想） 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.全等模型--手拉手模型 2 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 21 C组（综合压轴题） 31 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 1）等腰/等边三角形性质：两腰相等，顶角相等； 2）等式性质：等角同时加上/减去公共角，所得角度仍然相等； 3）SAS 全等判定定理（手拉手全等判定固定用 SAS，极少使用 AAS/ASA）； 4）三角形外角定理、倒角书写格式；倒角标配：手拉手全等 + 八字（8 字）模型； 5）两点之间线段最短（拓展最值使用）。 模型1.手拉手模型（全等） 【模型提炼与证明】 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知，，，，和交于O点，下列结论错误的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴即： ∵，，∴∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，∴∵∴ ∴，故选项B正确，不符合题意； 在上截取，如图所示： ∵，∴∴是等边三角形∴， ∵，，∴是等边三角形 ∴， ∴，∴∴ ∴，故D正确，不符合题意； ∵，∴，∴点到边的距离相等， ∴平分 没理由能证明平分，故C错误，符合题意；故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是__________（只填写序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角， ，，，∴， ，，，故①正确， ，∴，∵， ∴，∴，，故②正确， 过作于，于，， ，即， ，，，即平分，故④正确； ，但不一定相等，无条件支持， ∴不一定全等，则不一定相等， 故得不出，∴不一定平分；故③不正确，故答案为：①②④． 【典例3】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是_____（填正确结论的序号）． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∴在和中，，∴，∴，故①正确； 过点A分别作，，垂足分别是G，H， ∵，∴，∴， ∴，∴平分，故③正确；∵，∴， ∵， ∴，故②正确； 在上截取，∵，∴， ∵在和中，，∴，∴， ∵，平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，∵，∴．故⑤正确． 若，即，∴，∵，∴， ∴， ∴，但无法证明平分，故结论④错误． 综上所述，正确的结论是①②③⑤．故答案为：①②③⑤ 【典例4】（24-25七年级下·山东威海·期末）【操作判断】将两个等腰直角三角形纸板（和）如图Ⅰ放置，直角顶点A重合，点D在边上，连接． （1）对于如下结论，正确的是 ；（填写序号） A．；B．；C．． 【变化探究】对“操作判断”作如下探究： （2）如图Ⅱ，若点D在边的延长线上，写出间的数量关系，并写明理由； （3）如图Ⅲ，若点D在边的延长线上，直接写结论： ①间的数量关系是 ；② °． 【答案】（1）A、B、C；（2），理由见解析；（3）①，②135 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，，，∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，故B、C正确； ∵，， ∴，∴，故A正确；故答案为：A、B、C； （2）解：∵和是等腰直角三角形，∴，，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：①：∵和是等腰直角三角形，∴，，， ∴，∴，∴， ∴；故答案为：； ②∵，∴故答案为：． 【典例5】（25-26八年级上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____；的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为．证明：；求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，故答案为：； ∵，，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：； (2)证明：∵，∴，∴， ∵，，∴，∴； 如图，设与交于点，∵，∴， ∵，，∴，∴； （3）解：∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，，∴， ∵点、、三点共线，∴，∴， ∴，即，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴． 【典例6】（25-26八年级上·四川眉山·期末）综合与探究 知识背景：在《全等三角形》一章中学习了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，在探究过程中我们经常利用这些知识转化角和边，进而解决问题． 问题初探：如图1，在等腰直角三角形中，，，点E是上一点，连接，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探：如图2，在等腰直角三角形中，，，点P是上一点，点E是上一点，连接，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，猜想的度数，并说明理由． 拓展创新：如图3，是等边三角形，点Q是上一点，点E是上一点，连接以为一边作等边，连接．猜想的度数，并说明理由． 【答案】问题初探：解：，理由如下： ，，即， 在和中，，≌，； 类比再探：解：如图2，作交于点N， 和均为等腰直角三角形，，，， ， ，即， 在和中，，， ，； 拓展创新：解：如图3，作交于点M， 和均为等边三角形，， ， ，即， 在和中，，， ，． 【典例7】（25-26八年级上·广东·期末）如图①，，都是等边三角形． （1）求证：．（2）求的度数． 【类比探究】（3）如图②，四边形，四边形都是正方形，且我们知道正方形的四条边相等，四个内角都是直角，则与的数量关系是___________，位置关系是___________． 【深入探究】（4）如图③，四边形，四边形都是正方形，且B，A，G三点共线，连接，点O是的中点，连接，，猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，．∴， 在与中， ∴．∴． （2）∵，∴． ∴． ∴在中，． （3），； （4），，理由如下：如图，记的交点为， ∵正方形，正方形，∴，，， ∴，   ∴，∴，， ∵，∴，∴， 即与的数量关系是位置关系是． （4），．理由：如图3，延长交于点H，连接，． ∵四边形，四边形为正方形， ∴，，，∴． ∵O是的中点，∴．∵，∴．∴． ∵，∴．∵，， ∴．∴，． ∴．∴是等腰直角三角形． ∵，∴，．∴． 模型常见易错点 1）找错拉手三角形，对应边、对应角匹配错误 错误：随意挑选三角形，没有按照 “左腰配左腰，右腰配右腰” 配对。 正解：共顶点出发的两条边两两组合，严格按照旋转对应关系写全等。 2）角度运算出错，分不清是加公共角还是减公共角 内旋用加公共角，外旋用减公共角，看到图形先观察重叠区域，再处理角度。 3）只会证全等，不会用八字模型求拉手夹角 很多学生只能完成第一问全等证明，第二问角度定值无从下手，忽略八字倒角的搭配使用。 4）把拉手夹角当成补角，记错结论 等边手拉手夹角 60°，等腰直角夹角 90°，普通等腰夹角等于顶角 α，并非 180°−α。 5）大题直接套用模型结论，缺少角度推导过程 解答题不能直接写 “手拉手模型，所以全等”，必须写出角度加减的步骤，补齐 SAS 条件。 解题方法总结 手拉手模型是初中几何旋转构造的基石，承接静态全等证明，过渡到动态几何探究，是从静态图形走向动态旋转的分水岭。它常以等边、等腰直角三角形为载体，出现在中考几何压轴探究题，一般分三小问：证全等→求角度定值→线段最值。本模型搭配八字倒角、将军饮马最值，可以组合成综合大题，熟练掌握手拉手的构造与倒角逻辑，能够大幅提升几何压轴解题能力，完善全等几何模型体系。 万能口诀 共顶点，两等腰，顶角相等条件好；公共角上做加减，造出夹角刚刚好； SAS 全等写规范，拉手边长一样高；八字倒角算夹角，角度等于原顶角。 1．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴； （2）解：∵，，∴， ∵，∴． 2.（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 3．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究：（2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，若，延长交线段于点．①求证：；②若，求的长． 【答案】（1）证明：，，， 在和中，； （2）①证明：由（1），∴，BD， ，，∵，； 如图，在上截取，连接，，， ，，， ，，．． 4．（25-26八年级上·云南·期中）南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； (2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为__________；线段与之间的数量关系是__________； (3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．若等式成立，请求出a的值和b的值． 【答案】(1)证明：和均是顶角为的等腰三角形， ，，， ，即， 在和中，，，； （2）解：和均为等边三角形， ，，， ，即， ，，， ， ； （3）解：同（1）理可证，，， 为等腰直角三角形，为中边上的高， ，， 等式成立，，． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：；(2)求证：平分；(3)若，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ，,即. 又，，，. (2)如图（1），过点作， ，，，，. 又，，平分. (3)；理由如下：如图（2），在线段上截取，连接 ，. 又，，，， ， . ， .又平分， . 又，是等边三角形， ，,. 6．（25-26八年级上·吉林四平·期末）已知在等边中，为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作等边，连接． 【发现问题】如图①，当点在边上时：和之间的数量关系是______； 【探究问题】如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】如图③，在中，且，当点在的延长线上时，作等腰，，，若，，则______，______． 【答案】【发现问题】； 【探究问题】解：，理由如下： ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； 【拓展延伸】； 【发现问题详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，，∴，即， 在和中，，∴，∴； 【探究问题详解】略 【拓展延伸详解】解：∵在中，， 在中，，又∵， ∴，即， 在和中，，∴， ∴，,∴， ∵，，∴， ∴，∴． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么我们把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，且，求证：； (2)如图2，与均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为等腰直角三角形，，求证：． 【答案】(1)证明：∵与都是等腰三角形，，且， ∴，即， 在与中，，∴； (2)解：，理由如下，∵与都是等腰直角三角形， ∴，，∴， 即，∴，∴， ∵点B，D，E在同一条直线上，∴，∴； (3)证明：如图，以为边作等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴点C，E，F三点共线， ∵是等腰直角三角形，，∴， ∴，即， 在与中，，∴，∴， ∵，∴，即． 1．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． （1）如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； （2）已知条件同（1），则； （3）如图2，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； （4）如图3，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的共有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：（1），均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中，，，结论正确； （2），， ，，，结论正确； （3）同理可证，， ， 若，则，即、、三点共线， 而题干中没有给出，无法证明，结论错误； （4）如图，在上取点，使得，是等边三角形， 同理可证，，，结论正确； 结论正确的共有个，故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，以的边，为腰分别向外作等腰直角、，连接，，，过点A的直线分别交线段，于点，，以下说法：①当时，；②；③当直线时，点为线段的中点．正确的有___．（填序号）    【答案】①②③ 【详解】①当时，是等边三角形， ∴，∴， ∵等腰直角、，∴，∴， ∴．故①正确． ②∵等腰直角、，∴，， ∴，∴，∴．故②正确． ③如图所示，作直线于点，过点作于点，过点E作于点，      ∵，，∴， 又，∴， 又∵，∴，同理得， ∴，，， ∵，，∴， ∴，即是的中点，故③正确，故答案为：①②③． 3．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系．(1)求证： 【深入探究】(2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】(3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：，，即， 在与中，，， (2)．证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ，即，∴， （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6，，， 和都是等边三角形，，，，， ，，，，，， 点M为的中点，，，，，， ，，，，， ，∴，． 4．（25-26八年级上·四川广元·期中）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．    【详解】[问题背景]（1）证明：，，， 在和中，，，∴； 故答案为：，； （2），， 理由：和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中，，，，， ，，； （3）解：，理由：如图3，延长至，使，连接，    ，是等边三角形，，， ，∴，即， 在和中，，，， ，． 5．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）三角形的探究与实践 (1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； (2)如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：，即， 在和中，． (2)，；理由如下：， ，即， 在和中，，，， 是等腰三角形且，， ，，． （3）解：由（1）的方法得，，，， 是等腰直角三角形，， ，，，，， ， ，，， ∴，∴四边形的面积为： ． 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）（1）【问题提出】如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）【尝试应用】如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点、，与交于，若，，猜想线段，和的数量关系，并证明． （3）【问题拓展】如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请求的长度（用含、的式子表示）． 【答案】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形，， ，， 在和中，，∴ （2）证明：，理由如下： 延长至，使，连接，如图： ，， 在和中，，∴，， ，，即，， ，，， ，； （3）过作于，连接． 为等边三角形，， ，，，， ，， ，，，， 在和中，，∴，，           ，，， ，，， ， ，，，， ， ， ，． 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【详解】解：①当时，如图，过点作，交于点． 是等边三角形，是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形，， ，即， ，， 是的中点，，； ②当时，由①，得， 则，与矛盾，此种情况不成立； ③当时，如图，过点作，交于点． 、是等边三角形，， ，，∴是等边三角形， ，，即， ，，， ，，．综上所述，的长为或． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究：如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题：如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 【答案】(1)，(2)(3)5 【详解】（1）解：如下图，设交于点， ∵和均为等腰直角三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即， ∴，∴， ∴，即，故答案为：，； （2）∵和均为等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，即， ∴，∴，∴； （3）如下图，在上取点，使得， ∵，，，∴为等边三角形，∴，， ∵为等边三角形，∴，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∴．故答案为：5． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 【模型发现】（1）两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． 如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，易证_________； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，且，，，在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为_________； 【深入探究】（3）如图3，，，则，，的数量关系为_________，的度数为_________，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点，使，连接）； （4）【拓展延伸】在中，，，，以为边作等边三角形，过点作于点，则的长为_________． 【详解】（1）解：，，， 在和中，，，故答案为：； （2）解：，， 理由如下：，，， 在和中，，，， ∵，，∴，∴，，． （3），，理由：如图，延长至，使，连接， ，是等边三角形，，， ，，即， 在和中，，， ，，， （4）解：如图1，顶点与顶点在直线同侧，在上截取，连接， ∵，∴是等边三角形，， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， 在和中，，， ，， 于，，， ，． 如图2，顶点与顶点在直线异侧，在上截取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在和中，，， ，， 于，，， ，， 综上所述，的长为5或14，故答案为：5或14． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 (1)问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． (2)尝试应用：如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：． (3)问题拓展：如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是以、为腰的等腰三角形，∴， ∵，∴， 在和中，，∴； (2)证明：延长至G，使，连接， ∵，，，∴， ∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图，延长交于点F，连接，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，可证，∴，， 5．（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【发现问题】如图1，和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)【解决问题】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，求证：． (3)【尝试探究】如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴， ∴，即， ∴，∴； (2)证明：∵和均为等腰直角三角形，∴， ∴，即，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，为中边上的高，∴，即， ∵，∴； （3）解：如图所示，过点作于点，的延长线于点，∴， ∵， ∴，且，∴，∴， ∵，∴，且，∴，∴， 在中，由是等腰直角三角形得，， ∵，∴，∴，且， ∴，∴，则， ∵由（2），，且， ∴，∴， ∴，，，即， ∴，， ∵，设，∴，则， ∴，∵， ， ∴，解得，，∴． 6．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在和中，，点D在边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； (2)如图2，在和中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明；②求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，在和中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明；②如图4，连接，连接并延长交于点G，求的度数． 【详解】（1）解：， ，， ，， 在和中，，， ，，， ，，， 图中与线段相等的线段是和，，故答案为：和，30； (2)①，证明如下： ，，即， 在和中，，，； ②，， ，， ，， ，， (3)①，，证明如下： ，，即， 在和中，，，，， ，， ，，； ②如图，过点作于点，于点,， ，， 在和中，,，， ，，平分，由①可知，， ，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08.全等三角形模型之手拉手模型 手拉手模型，又叫共顶点旋转全等模型：两个等腰三角形（等边/等腰直角/普通等腰）拥有公共顶点，两条腰两两配对形成两组等线段，顶角相等，通过旋转构造 SAS 全等三角形。常结合：等边三角形、等腰直角三角形、正方形背景，结合动点旋转、线段求值、角度定值证明。手拉手是旋转思想的具象化，也是后期学习瓜豆原理、相似手拉手的基础。 识别共顶点等线段的手拉手结构，掌握 SAS 全等推导逻辑，会推导夹角定值、线段和差关系，熟练书写证明格式，区分正向基础模型与反向变式模型。（核心目标） 公共顶点为旋转中心，相等顶角 + 两组等线段，构造旋转全等，实现线段转移、角度转移，解决线段相等、夹角固定、线段和差最值问题。（核心思想） 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.全等模型--手拉手模型 2 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 21 C组（综合压轴题） 31 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 1）等腰/等边三角形性质：两腰相等，顶角相等； 2）等式性质：等角同时加上/减去公共角，所得角度仍然相等； 3）SAS 全等判定定理（手拉手全等判定固定用 SAS，极少使用 AAS/ASA）； 4）三角形外角定理、倒角书写格式；倒角标配：手拉手全等 + 八字（8 字）模型； 5）两点之间线段最短（拓展最值使用）。 模型1.手拉手模型（全等） 【模型提炼与证明】 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知，，，，和交于O点，下列结论错误的是（   ） A． B． C．平分 D． 【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是__________（只填写序号） 【典例3】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是_____（填正确结论的序号）． 【典例4】（24-25七年级下·山东威海·期末）【操作判断】将两个等腰直角三角形纸板（和）如图Ⅰ放置，直角顶点A重合，点D在边上，连接． （1）对于如下结论，正确的是 ；（填写序号） A．；B．；C．． 【变化探究】对“操作判断”作如下探究： （2）如图Ⅱ，若点D在边的延长线上，写出间的数量关系，并写明理由； （3）如图Ⅲ，若点D在边的延长线上，直接写结论： ①间的数量关系是 ；② °． 【典例5】（25-26八年级上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____；的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为．证明：；求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【典例6】（25-26八年级上·四川眉山·期末）综合与探究 知识背景：在《全等三角形》一章中学习了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，在探究过程中我们经常利用这些知识转化角和边，进而解决问题． 问题初探：如图1，在等腰直角三角形中，，，点E是上一点，连接，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探：如图2，在等腰直角三角形中，，，点P是上一点，点E是上一点，连接，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，猜想的度数，并说明理由． 拓展创新：如图3，是等边三角形，点Q是上一点，点E是上一点，连接以为一边作等边，连接．猜想的度数，并说明理由． 【典例7】（25-26八年级上·广东·期末）如图①，，都是等边三角形． （1）求证：．（2）求的度数． 【类比探究】（3）如图②，四边形，四边形都是正方形，且我们知道正方形的四条边相等，四个内角都是直角，则与的数量关系是___________，位置关系是___________． 【深入探究】（4）如图③，四边形，四边形都是正方形，且B，A，G三点共线，连接，点O是的中点，连接，，猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． 模型常见易错点 1）找错拉手三角形，对应边、对应角匹配错误 错误：随意挑选三角形，没有按照 “左腰配左腰，右腰配右腰” 配对。 正解：共顶点出发的两条边两两组合，严格按照旋转对应关系写全等。 2）角度运算出错，分不清是加公共角还是减公共角 内旋用加公共角，外旋用减公共角，看到图形先观察重叠区域，再处理角度。 3）只会证全等，不会用八字模型求拉手夹角 很多学生只能完成第一问全等证明，第二问角度定值无从下手，忽略八字倒角的搭配使用。 4）把拉手夹角当成补角，记错结论 等边手拉手夹角 60°，等腰直角夹角 90°，普通等腰夹角等于顶角 α，并非 180°−α。 5）大题直接套用模型结论，缺少角度推导过程 解答题不能直接写 “手拉手模型，所以全等”，必须写出角度加减的步骤，补齐 SAS 条件。 解题方法总结 手拉手模型是初中几何旋转构造的基石，承接静态全等证明，过渡到动态几何探究，是从静态图形走向动态旋转的分水岭。它常以等边、等腰直角三角形为载体，出现在中考几何压轴探究题，一般分三小问：证全等→求角度定值→线段最值。本模型搭配八字倒角、将军饮马最值，可以组合成综合大题，熟练掌握手拉手的构造与倒角逻辑，能够大幅提升几何压轴解题能力，完善全等几何模型体系。 万能口诀 共顶点，两等腰，顶角相等条件好；公共角上做加减，造出夹角刚刚好； SAS 全等写规范，拉手边长一样高；八字倒角算夹角，角度等于原顶角。 1．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数． 2.（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 3．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究：（2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，若，延长交线段于点．①求证：；②若，求的长． 4．（25-26八年级上·云南·期中）南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； (2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为__________；线段与之间的数量关系是__________； (3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．若等式成立，请求出a的值和b的值． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：；(2)求证：平分；(3)若，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 6．（25-26八年级上·吉林四平·期末）已知在等边中，为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作等边，连接． 【发现问题】如图①，当点在边上时：和之间的数量关系是______； 【探究问题】如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】如图③，在中，且，当点在的延长线上时，作等腰，，，若，，则______，______． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么我们把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，且，求证：； (2)如图2，与均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为等腰直角三角形，，求证：． 1．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． （1）如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； （2）已知条件同（1），则； （3）如图2，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； （4）如图3，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的共有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，以的边，为腰分别向外作等腰直角、，连接，，，过点A的直线分别交线段，于点，，以下说法：①当时，；②；③当直线时，点为线段的中点．正确的有___．（填序号）    3．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系．(1)求证： 【深入探究】(2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】(3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 4．（25-26八年级上·四川广元·期中）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．    5．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）三角形的探究与实践 (1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； (2)如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）（1）【问题提出】如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）【尝试应用】如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点、，与交于，若，，猜想线段，和的数量关系，并证明． （3）【问题拓展】如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请求的长度（用含、的式子表示）． 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究：如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题：如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 【模型发现】（1）两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． 如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，易证_________； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，且，，，在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为_________； 【深入探究】（3）如图3，，，则，，的数量关系为_________，的度数为_________，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点，使，连接）； （4）【拓展延伸】在中，，，，以为边作等边三角形，过点作于点，则的长为_________． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 (1)问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． (2)尝试应用：如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：． (3)问题拓展：如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长． 5．（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【发现问题】如图1，和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)【解决问题】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，求证：． (3)【尝试探究】如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，求的长度． 6．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在和中，，点D在边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； (2)如图2，在和中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明；②求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，在和中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明；②如图4，连接，连接并延长交于点G，求的度数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $