专题07 线段的垂直平分线 同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题07线段的垂直平分线同步培优讲义 ✺知识框架 1.基础概念：线段垂直平分线的定义，明确直线、垂直、平分的核心要素 2.核心定理：线段垂直平分线的性质定理、判定定理，掌握互逆关系 3.集合表述：线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合 4.尺规作图：掌握线段垂直平分线的标准作图步骤与考试规范 5.几何应用：三角形三边垂直平分线交点性质，线段计算与几何证明 ✅本节以线段垂直平分线定义为基础，以性质、判定两大互为逆命题的真命题为核心，配套教材集合表述、尺规作图及三角形相关应用，是几何线段证明与计算的重要工具 ✺学习目标 1.理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，明晰二者的互逆关系。 2.掌握尺规作图作已知线段垂直平分线的方法，规范作图步骤，保留作图痕迹。 3.理解线段垂直平分线的集合表述，能够运用性质和判定解决几何证明、计算问题。 ✺题型归纳 题型1.线段垂直平分线的性质 题型2.线段垂直平分线的判定 题型3.写出命题的逆命题 题型4.判断是否为互逆命题 题型5.互逆定理 题型6.作已知线段的垂直平分线 题型7.作垂线(尺规作图) 题型8.画对称轴 题型9.求对称轴条数 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、线段垂直平分线的定义 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 核心要点：必须同时满足平分线段、垂直于线段两个条件；垂直平分线是直线，不是线段或射线。 知识点二、线段垂直平分线的性质定理 定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵AC=BC,直线L⊥AB，垂足为C，点P在直线L上∴PA=PB。 作用：可直接判定线段相等，简化几何证明步骤。 知识点三、线段垂直平分线的判定定理 定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点 P 在线段AB的垂直平分线上。 核心要点：单点只能判定点在直线上，两个不同的点才能确定线段的垂直平分线。 外心（拓展）： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心（外接圆圆心）。 知识点四、线段垂直平分线性质与判定的互逆关系 性质定理：由点在垂直平分线上，推出线段相等（位置关系推数量关系）。 判定定理：由线段相等，推出点在垂直平分线上（数量关系推位置关系）。 二者互为逆命题，均为真命题。 知识点五、线段垂直平分线的集合表述 ▲线段的垂直平分线，可以看作是到这条线段两个端点距离相等的所有点的集合。 解读：垂直平分线上的点都满足到线段两端距离相等，到线段两端距离相等的点都在垂直平分线上。 知识点六、尺规作图、作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段 AB 的垂直平分线 作图步骤：（1）分别以点 A、点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，该直线即为线段AB的垂直平分线。 注意：作图必须保留圆弧痕迹，禁止无痕迹作图。 知识点七、画图形的对称轴 1.找：找出任意一组对应点； 2.连：连接这组对应点； 3.作：作对应点所连线段的垂直平分线 【易错提醒】 1.垂直平分线是直线，不可描述为线段或射线。 2.不能仅凭一个点判定直线为垂直平分线，两点才能确定一条直线。 3.可用垂直平分线性质直接得线段相等，无需反复证明三角形全等。 4.尺规作图半径必须大于线段一半长度，否则无交点、作图不成立。 ✺题型精讲 题型1.线段垂直平分线的性质 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点． 2．如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ． 3．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)5 【分析】（1）利用证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 题型2.线段垂直平分线的判定 1．如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． 故选：C． 2．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 3．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 题型3.写出命题的逆命题 1．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆命题，原命题是条件语句“如果两个三角形全等，那么对应边相等”，其逆命题需交换条件和结论，即“如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等”. 【详解】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”， 逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”． 故选：C． 2．命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形 【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题． 【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 3．（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ， ； （2）在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题是两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，证明，根据两直线平行，同位角相等证明即可； （2）根据平行线的判定和性质、互逆命题的概念解答． 【详解】略 题型4.判断是否为互逆命题 1．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 2．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 3．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2） 两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 题型5.互逆定理 1．定理“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线”的逆定理是（   ） A．如果对应点连线被某直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 B．对称轴一定是对应点连线的垂直平分线 C．对应点连线的垂直平分线不一定是对称轴 D．两个图形如果不关于某直线对称，那么对称轴不是对应点连线的垂直平分线 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．根据原定理的条件和结论互换即可得到逆定理，即可求解． 【详解】解：原定理：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线． 逆定理：如果对应点连线被某直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 选项A表述为“如果对应点连线被某直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称”，这与逆定理一致． ∵ 逆定理是原定理的条件与结论互换， ∴ 选项A正确． 选项B是原定理的结论，不是逆定理；选项C否定了逆定理；选项D是原定理的否命题，不是逆定理． 故选：A． 2．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理：________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 3．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【答案】(1)说法错误，理由如下：每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； (2)说法正确，理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； (3)说法错误，理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； (4) 说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：略． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 题型6.作已知线段的垂直平分线 1．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据作图痕迹判断是的垂直平分线，由垂直平分线性质得，从而将△的周长转化为，再结合求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹判断是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∵， ∴的周长为A． 2．如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 【答案】 【分析】由作图可得，是的垂直平分线，因此，将的周长转化为，即可求解． 【详解】解：由作图可得，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 3．如图，已知，利用尺规作图法求作边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】依据尺规作垂直平分线得到中点，连接，就是所求中线． 【详解】解：分别以，为圆心，选取大于的相同长度为半径画弧，弧线分别在线段上下方各产生一个交点； 过上两个交点画出直线，直线与交于点，此时是中点； 连接，线段即为边上的中线． 题型7.作垂线(尺规作图) 1．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 2．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②③ 【分析】根据尺规作图判断出平分，，即可作答． 【详解】解：根据尺规作图：平分，， ∴②正确； ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法确定是否平分， ∴无法确定， 即无法确定①， 故正确的有：②③． 3．如图，在中，，和分别是边，上的中线． (1)尺规作图：作中线； (2)求证：； (3)以上证明了命题“等腰三角形两腰上的中线相等”．解决问题后，我们可以继续进行尝试和思考：①将条件变成类似的或更一般的条件；②将一些条件和结论互换．结合本题选择其中一项进行反思，探究结论是否仍然成立． 【答案】(1)中线如图所示： (2)证明：∵和分别是边，上的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． (3)证明：①如图，把和分别变成边，上的高， ∵和分别是边，上的高， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ②把（1）中条件和结论互换，已知，，求证：和分别是边，上的中线， 证明：由已知条件无法证明和分别是边，上的中线， ∴将条件和结论互换，结论不成立． 【分析】（1）根据尺规作图——作中线的方法作图即可； （2）根据中线的定义得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）①把中线变成高，利用证明，即可得出，②将条件和结论互换，无法得出和分别是边，上的中线，可知结论不成立． 【详解】（1）解：略 （2）证明：略 （3）证明：略 题型8.画对称轴 1．下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴． 【详解】解：该图形的对称轴是直线c． 故选：C． 2．角的对称轴是________；圆的对称轴是________；正n边形的对称轴有______条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 3．如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，直线即为所求． 【分析】作边的垂直平分线即可； 【详解】略 题型9.求对称轴条数 1．如图，下列轴对称图形，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对称轴，熟练掌握对称轴的定义是解题的关键． 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．根据概念逐个分析几何图形的对称轴条数并判断，即可解题． 【详解】 解：有1条对称轴，有2条对称轴，有2条对称轴，有5条对称轴，， 对称轴最多的是； 故选：D． 2．如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【答案】 【详解】解：如图，该轴对称图形共有条对称轴． 3．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8； （2）n； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）略 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 2．定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是（   ） A．对角线互相平分的图形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线不平分的四边形不是平行四边形 D．平行四边形的对角线不一定互相平分 【答案】B 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：∵“平行四边形的对角线互相平分”的题设为“四边形是平行四边形”，结论为“对角线互相平分”， ∴“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”， ∵“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题， ∴定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”． 故选：B． 3．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故D说法正确，符合题意 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D ． 4．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为23，求出，由此即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴的周长． 二、填空题 5．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【分析】交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 【详解】解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． 6．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【详解】解：没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为：（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 7．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 三、解答题 8．如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】 解：如图，直线l即为所求作． 【分析】本题考查了画对称轴，作已知线段的垂直平分线，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用尺规作出的垂直平分线即可． 【详解】略 9．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】连接,作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为加油站的位置． 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 10．解答以下问题 (1)尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)如图所示：点D是点C关于斜边的对称点，，，为所求作线段， (2) 【分析】（1）利用作关于直线的对称三角形，得到点D的位置，再连线即可； （2）利用四边形的面积等于的面积的2倍求面积． 【详解】（1）证明：由作图可知：，， 故点和点都在的垂直平分线上，即垂直平分， ∴点D是点C关于斜边的对称点； （2）解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴四边形的面积等于的面积的2倍， ∴四边形的面积为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07线段的垂直平分线同步培优讲义 ✺知识框架 1.基础概念：线段垂直平分线的定义，明确直线、垂直、平分的核心要素 2.核心定理：线段垂直平分线的性质定理、判定定理，掌握互逆关系 3.集合表述：线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合 4.尺规作图：掌握线段垂直平分线的标准作图步骤与考试规范 5.几何应用：三角形三边垂直平分线交点性质，线段计算与几何证明 ✅本节以线段垂直平分线定义为基础，以性质、判定两大互为逆命题的真命题为核心，配套教材集合表述、尺规作图及三角形相关应用，是几何线段证明与计算的重要工具 ✺学习目标 1.理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，明晰二者的互逆关系。 2.掌握尺规作图作已知线段垂直平分线的方法，规范作图步骤，保留作图痕迹。 3.理解线段垂直平分线的集合表述，能够运用性质和判定解决几何证明、计算问题。 ✺题型归纳 题型1.线段垂直平分线的性质 题型2.线段垂直平分线的判定 题型3.写出命题的逆命题 题型4.判断是否为互逆命题 题型5.互逆定理 题型6.作已知线段的垂直平分线 题型7.作垂线(尺规作图) 题型8.画对称轴 题型9.求对称轴条数 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、线段垂直平分线的定义 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 核心要点：必须同时满足平分线段、垂直于线段两个条件；垂直平分线是直线，不是线段或射线。 知识点二、线段垂直平分线的性质定理 定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵AC=BC,直线L⊥AB，垂足为C，点P在直线L上∴PA=PB。 作用：可直接判定线段相等，简化几何证明步骤。 知识点三、线段垂直平分线的判定定理 定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点 P 在线段AB的垂直平分线上。 核心要点：单点只能判定点在直线上，两个不同的点才能确定线段的垂直平分线。 外心（拓展）： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心（外接圆圆心）。 知识点四、线段垂直平分线性质与判定的互逆关系 性质定理：由点在垂直平分线上，推出线段相等（位置关系推数量关系）。 判定定理：由线段相等，推出点在垂直平分线上（数量关系推位置关系）。 二者互为逆命题，均为真命题。 知识点五、线段垂直平分线的集合表述 ▲线段的垂直平分线，可以看作是到这条线段两个端点距离相等的所有点的集合。 解读：垂直平分线上的点都满足到线段两端距离相等，到线段两端距离相等的点都在垂直平分线上。 知识点六、尺规作图、作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段 AB 的垂直平分线 作图步骤：（1）分别以点 A、点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，该直线即为线段AB的垂直平分线。 注意：作图必须保留圆弧痕迹，禁止无痕迹作图。 知识点七、画图形的对称轴 1.找：找出任意一组对应点； 2.连：连接这组对应点； 3.作：作对应点所连线段的垂直平分线 【易错提醒】 1.垂直平分线是直线，不可描述为线段或射线。 2.不能仅凭一个点判定直线为垂直平分线，两点才能确定一条直线。 3.可用垂直平分线性质直接得线段相等，无需反复证明三角形全等。 4.尺规作图半径必须大于线段一半长度，否则无交点、作图不成立。 ✺题型精讲 题型1.线段垂直平分线的性质 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 2．如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 3．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 题型2.线段垂直平分线的判定 1．如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 2．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 3．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 题型3.写出命题的逆命题 1．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 2．命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 3．（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 题型4.判断是否为互逆命题 1．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 2．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 3．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 题型5.互逆定理 1．定理“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线”的逆定理是（   ） A．如果对应点连线被某直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 B．对称轴一定是对应点连线的垂直平分线 C．对应点连线的垂直平分线不一定是对称轴 D．两个图形如果不关于某直线对称，那么对称轴不是对应点连线的垂直平分线 2．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理：________． 3．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 题型6.作已知线段的垂直平分线 1．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D．30 2．如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 3．如图，已知，利用尺规作图法求作边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 题型7.作垂线(尺规作图) 1．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 3．如图，在中，，和分别是边，上的中线． (1)尺规作图：作中线； (2)求证：； (3)以上证明了命题“等腰三角形两腰上的中线相等”．解决问题后，我们可以继续进行尝试和思考：①将条件变成类似的或更一般的条件；②将一些条件和结论互换．结合本题选择其中一项进行反思，探究结论是否仍然成立． 题型8.画对称轴 1．下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 2．角的对称轴是________；圆的对称轴是________；正n边形的对称轴有______条． 3．如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 题型9.求对称轴条数 1．如图，下列轴对称图形，对称轴最多的是（    ） A． B． C．D． 2．如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 3．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    ✺课堂小练 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 2．定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是（   ） A．对角线互相平分的图形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线不平分的四边形不是平行四边形 D．平行四边形的对角线不一定互相平分 3．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 4．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、填空题 5．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 6．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 7．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 三、解答题 8．如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 9．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 10．解答以下问题 (1)尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) (2)若，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $