专题08 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题08 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 例3（24-25安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE． 例4（24-25·上海·七年级专题练习）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 例6（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 例7（24-25吉林白山·八年级统考期末）知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题 问题初探:如图（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探:如图（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，连接BE，则∠EBD＝　 　．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线） 方法迁移:如图（3），△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE，则BD、BE、BC之间有怎样的数量关系？　 　（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新:如图（4），△ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE．猜想∠EBD的度数，并说明理由． 例8（24-25·广东·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 3．（2023·宁夏·中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（只填写序号） 4．（24-25八年级下·山西运城·期末）阅读与思考 等腰直角三角形的“手拉手”：如图，在共顶点A的等腰直角和等腰直角中，，，，连接相交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：；(2)结合（1）的结论，利用三角形三个内角的和等于，在与中，先确定的度数；过点A作，垂足为M，，垂足为N，再证明平分；最后求出的度数．请根据以上的思路，写出求度数的过程． 5．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在和中，，，．(1)求证：(2)求证： 6．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，四边形、是两个正方形，交于点O，交于点．(1)求证：(2)求与的夹角的度数． 7．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，分别是，边上的高．点是延长线上一点，且，点是上一点，且，顺次连接，，． (1)如图1，试判断的形状并说明理由；(2)如图2，若为钝角三角形，为钝角，，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由． 8．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵，∴（ ）①． 即．… （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）问题探索 如图1，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． （1）直接写出___________°，的最小值为___________cm； （2）请说明；（3）直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸（4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 10．（24-25八年级上·天津红桥·期末）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题]如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究]如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸]如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 11．（24-25七年级下·山东青岛·期末）特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】(1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°． (4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条） 12．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，．(1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系；②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 13．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． (1)如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由；(2)老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： (3)某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）（一）类比探究 已知是等腰直角三角形， ，，点D为平面内一动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点D在斜边上时，线段与线段CE的数量关系是 ；与的位置关系是 ； （2）如图2，当点D在直角边的左侧时，延长，交于点M，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，，当点D在斜边 的下方时，连接，，，若，，求四边形的面积． 15．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴 趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 16.（24-25山东·九年级专题练习）已知，为等边三角形，点在边上． 【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）． 【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：． 【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 17．（24-25·湖北八年级期中）问题发现（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由． 问题探究（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝60．求BD的长． 问题解决（3）如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，试探究，随着∠ACB的变化，CD的长是否存在最大值，若存在求出CD长的最大值及此时∠ACB的大小；若不存在，请说明理由． 18．（24-25·浙江·八年级期中）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接． (1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________； (2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵和均是等边三角形，∴，，， ∴，∴，∴，故①正确； ∵A、C、B三点共线，，∴，故②正确； ∵，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，，故④正确； ∵，，∴，∴，∵，∴，故③错误； ∵，，∴为等边三角形，∴，故⑤错误； 综上分析可知，正确的有3个．故选：C． 例2（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴， 又∵，∴， 即，∴，∴，①正确； ∵，∴，又∵， ∴，∴，即，③正确； 过点A分别作，垂足为点P,Q． ∵，∴，∴，∴， ∴点A在的平分线上，即平分，④正确．故选：D． 例3（24-25安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）； (2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． 由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵，∴AM＝AN，∴点A在∠BFE平分线上，∴FA平分∠BFE． 例4（24-25·上海·七年级专题练习）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析 【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE， ∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD， ∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°， ∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD； （2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如图2中， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°， 由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°， ∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD． 例6（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1），，（2），，理由见解析（3）（4）． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 又，∴；故答案为：，，； （2）解：，；理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 又，∴，∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，，， 由旋转的性质可知，，，∴，∴， ∴，，∴， ∴的面积为，故答案为：； （4）解：设，作，使， ∵，，∴，∴，∴，， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， 连接并延长至点，使，连接，，， ∵，，∴，∴，， ∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，∴， ∵，，∴，∴． 例7（24-25吉林白山·八年级统考期末）知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题 问题初探:如图（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探:如图（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，连接BE，则∠EBD＝　 　．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线） 方法迁移:如图（3），△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE，则BD、BE、BC之间有怎样的数量关系？　 　（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新:如图（4），△ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE．猜想∠EBD的度数，并说明理由． 【答案】问题初探：BE＝CD，理由见解析；类比再探：∠EBD＝90°，辅助线见解析；方法迁移：BC＝BD+BE；拓展创新：∠EBD＝120°，理由见解析 【详解】解：问题初探：BE＝CD．理由：如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD， ∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD； 类比再探：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F，如图（5），则∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF，∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF，∵MB＝MF，ME＝MD，∴△BME≌△FMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°； 方法迁移：BC＝BD+BE． 理由：如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD， ∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE； 拓展创新：∠EBD＝120°． 理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G，如图（6），则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°， ∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM，∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME＝∠DMG， ∵ME＝MD，∴△BME≌△GMD（SAS），∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°． 例8（24-25·广东·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2) AG=CE，AG⊥CE；(3) △ADE的面积=△CDG的面积 【详解】（1）∵四边形ABCD与DEFG都是正方形， ∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS）， （2）AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE， ∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE； （3）△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°， ∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG， ∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面积=，△CDG的面积=， ∴△ADE的面积=△CDG的面积. 1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①∵，∴，即， ∵在和中，∵， ，∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形，∴，， ∵，，∴，本选项正确； ③∵，， ∴，∴，本选项正确； ④∵，，故此选项正确，故选：D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：和均为等边三角形， ，，，， 在和中，，，所以①正确；， ，， 在和中，，，所以②正确；， 在和中，，，所以③正确； ，不是等边三角形，而为等边三角形， 与不能全等，所以④错误．故选：B． 3．（2023·宁夏·中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，，∴，在和中，，∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∴的面积等于；故选B． 4．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①② 【详解】解：∵，分别是边，上的高线， ∴，∴，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∵，∴（），故②正确；∴， 又∵，∴，∴，故③错误； ∵，∴，故④错误；故答案为：①②． 4．（24-25八年级下·山西运城·期末）阅读与思考 等腰直角三角形的“手拉手”：如图，在共顶点A的等腰直角和等腰直角中，，，，连接相交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：；(2)结合（1）的结论，利用三角形三个内角的和等于，在与中，先确定的度数；过点A作，垂足为M，，垂足为N，再证明平分；最后求出的度数．请根据以上的思路，写出求度数的过程． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵与均为等腰直角三角形，且，，， ∴，即， 在与中，，∴， （2）解：由（1）知，， ∵与是对顶角，∴，根据三角形三个内角的和等于， 在中，在中， ∴，过点A作，垂足为E，，垂足为N， 由（1）知可得，，， ∵，，∴，∴点A在的平分线上， ∵，． 5．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在和中，，，．(1)求证：(2)求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴． 在和中，，∴（），∴； （2）证明：延长交于F，如图所示： ∵，∴，∵，∴， 即，∴， 即，∴，∴． 6．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，四边形、是两个正方形，交于点O，交于点．(1)求证：(2)求与的夹角的度数． 【答案】(1)证明过程见解答(2)与的夹角的度数为 【详解】（1）证明：四边形、是两个正方形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：由（1）知：，， ，且，， ，与MB的夹角的度数为． 7．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，分别是，边上的高．点是延长线上一点，且，点是上一点，且，顺次连接，，． (1)如图1，试判断的形状并说明理由；(2)如图2，若为钝角三角形，为钝角，，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析(2)结论仍然成立，理由见解析 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ，分别是，边上的高，， ，， 又，，， ，，， 即，是等腰直角三角形； （2）解：结论仍然成立，理由如下：如图， ，分别是，边上的高，， ，， 又，，， ，，， 即，是等腰直角三角形． 8．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵，∴（ ）①． 即．… （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质，(2)42° 【详解】（1）证明：∵，∴（等式的性质）．即． 又∵，∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵，∴， ∵，， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， 设和交于点O，∵，∴． 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）问题探索 如图1，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． （1）直接写出___________°，的最小值为___________cm； （2）请说明；（3）直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸（4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），；（4）；（5）或或 【详解】（1）解：在中，，， 点在线段上运动，当点在线段中点处时，则，此时值最小， 在中，， 当点在线段中点处时，最小值为；故答案为：，； （2）证明，，， 即，； （3）解：，， ，， ，； （4）解：，，， 即，；， ，，即， ，，； （5）解：当点在线段上时，由（4）知，， ，； 当点在线段延长线上时，，， ，即，； ，； 当点在线段延长线上时，，， ，即，；， ；综上所述，或或． 10．（24-25八年级上·天津红桥·期末）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题]如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究]如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸]如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】发现问题：；类比探究：；拓展延伸： 【详解】解：发现问题：，如下图，设与交于点O， ，，即， ，，， ，； 类比探究：，理由如下：如下图， ，，即， ，，， ； 拓展延伸：，理由如下：如下图， ，，即， ，，， ，，即， ，． 11．（24-25七年级下·山东青岛·期末）特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】(1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°． (4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条） 【答案】(1)(2)，(3)，(4) 【详解】（1）解：当时，则， ∵，∴和都是等腰直角三角形， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，即， ∴和的数量关系是：，位置关系是：，故答案为：； （2）当时，则， ∵，∴和都是等边三角形， ∴，∴，同（1）证明：， ∴，∴； （3）当时，则， ∵，∴和都是等腰三角形， ∴，∴， ∵，∴， 即，同（1）证明：，∴， ∴，故答案为：； （4），理由如下： ∵，∴和都是等腰三角形， ∴， ∴，同（1）证明：， ∴，∴． 12．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析(2)没有发生变化(3)①，②能， 【详解】（1）解：，．理由：延长交于点F，如图 在和中，．，． ，．，． ，． （2）由题意得，．． 在和中，．，． ，．，． ，． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②．②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ．． 在和中， ．． ． 即与所成的较小的角的度数为． 13．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． (1)如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由；(2)老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： (3)某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)等边三角形，见解析(2) 见解析 (3)或或 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， ∵，∴，， ∵，∴是等边三角形． （2）解：．理由如下：小明的方法：过点作，交于点， ∵为等边三角形，∴是等边三角形，∴， ∵为等边三角形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，根据四边形内角和，∴． 小刚的方法：过点作，交于点． ∵为等边三角形，∴是等边三角形，∴， ∵为等边三角形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，根据四边形内角和，∴． （3）解：三线段的关系为：． 理由如下：分两种情况：①当点D在边时，过点作，交的延长线于点．如图， ∵为等边三角形，∴，， ∵，∴，，∴是等边三角形，∴， ∵为等边三角形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． ②当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点． Ⅰ）当点Q在线段上时，如图， ∵为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∵为等边三角形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴ ∵，∴∴ Ⅱ）当点Q在线段延长线上时，如图，同理可得， ∴，∴， 综上，线段与线段的数量关系为或或． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）（一）类比探究 已知是等腰直角三角形， ，，点D为平面内一动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点D在斜边上时，线段与线段CE的数量关系是 ；与的位置关系是 ； （2）如图2，当点D在直角边的左侧时，延长，交于点M，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，，当点D在斜边 的下方时，连接，，，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）；．（2）成立，证明见解析（3）2 【详解】解：（1）解：∵，，∴， ∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段，∴，， ∵，∴，即， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∴，故答案为：；． （2）成立，理由如下：根据题意，，，， ，， 在和中，，，， ．，， ，，，即． （3）如图，把逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形． ，，，∴， ．，， ，，点在线段上． ，，． 15．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴 趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【详解】初步把握：解：∵，∴，∴， ∴在和中，，∴，故答案为：； 深入研究：解：∵和为等边三角形，∴，，， ∴，∴， ∴在和中，，∴，∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中，，∴； 拓展延伸：解：，理由如下：∵，，， ∴，∴， ∴在和中，，∴，∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中，，∴，∴． 16.（24-25山东·九年级专题练习）已知，为等边三角形，点在边上． 【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）． 【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：． 【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】【基本图形】见解析；【迁移运用】见解析；【类比探究】见解析． 【详解】基本图形：证明：∵与都是等边三角形， ∴，，，， ∴，，∴， 在与中，，∴， ∴，∴，∵，∴； 迁移运用：证明：过点作，交于点， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴，， 又∵，∴为等边三角形，∴， ∵为等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在与中，∴，∴，∴； 类比探究：解：，理由如下：过点作，交于点， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴，， 又∵，∴为等边三角形，∴， ∵为等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在与中，∴，∴， ∵，∴． 17．（24-25·湖北八年级期中）问题发现（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由． 问题探究（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝60．求BD的长． 问题解决（3）如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，试探究，随着∠ACB的变化，CD的长是否存在最大值，若存在求出CD长的最大值及此时∠ACB的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）90；（3）存在，CD长的最大值为5，∠ACB的大小为 【详解】（1） 证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形∴，， ∵∴ 在与中∴∴； （2）如下图，以AB为腰向上作等腰直角，连接GC ∵与是等腰直角三角形∴，， ∵∴ 在与中∴∴； ∵是等腰直角三角形，∴，，， ∵∴∴∴∴； （3）如下图，以BC为边向外作等边，连接AH ∵与是等边三角形∴，， ∵∴ 在与中∴∴； 又∵是等边三角形，∴， ∵，∴∴当A，C，H三点共线时， ∵∴ 则当时，． 18．（24-25·浙江·八年级期中）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接． (1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________； (2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明． 【答案】(1)(2)图②猜想：．图③猜想：，见解析 【详解】（1）证明：∵点F与点A重合，∴与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴； （2）图②猜想：．图③猜想：． 图③证明：过点D作，交于点G，如图． ∵是等边三角形，∴． ∵，∴，．∴为等边三角形．∴． ∵为等边三角形，∴，． ∵，即，∴．∴． ∵，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $