专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题07.全等模型之一线三等角（K字）模型 一线三等角（俗称K字模型）：同一条直线上出现三个相等的角，利用平角180°与三角形内角和，自动推导一组锐角相等，配合一组已知边相等，直接构造全等三角形。核心本质：无角造角、无全等造全等，是初中几何最重要的构造辅助模型。初中几何构造全等第一大模型，中考高频必考母题。广泛出现于填空压轴、几何证明、坐标系几何、矩形正方形动点大题。是学生从“被动全等”走向“主动构造全等”的核心转折点，几何含金量极高。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 2 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 35 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 1）平角定义：平角=180°；直角互余性质：同角的余角相等；三角形内角和180°； 2）全等判定：AAS、SAS（K字99%用AAS）； 3）线段和差代换、几何标准书写格式。 常结合：直角三角形、矩形、正方形、等腰直角三角形、平面直角坐标系、动点折叠、线段和差证明。 命题特征：不画全图、不标等角，需要学生自行发现“共线三角相等”结构，自主倒角证全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A．21 B．23 C．24 D．28 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ，， ，， 在和中，， ，．故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时， ；（2）当时， 【答案】 【详解】解：（1）当D为中点时，如图1所示： 在中，，，， 为中点，，，，， 是的外角，，故答案为：90； （2）当时，如图2所示：设， 是的外角，， 又，，，， 在中，，，， ，， 是的外角，， 在和中，，∴，， ，，解得：，故答案为： 【典例3】（25-26七年级上·山东东营·期中）【特例感知】（1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，请猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； 【问题探究】（2）如图2，在中，点为上一点，，，， ，求． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，为边上的高，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）7；（3）10或4 【详解】解：（1），证明如下： ∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴； （2）∵，又∵，∴， 又∵，∴，∴，， ∴； （3）∵，是高，∴，，∴； 当是以为直角边的等腰直角三角形时，分两种情况： ①当时，则，过点作，交的延长线于点，如图，则， 同（1）法可得：，∴， ∴，∴； ②当时，，作，如图， 同（1）法可得：，∴，∴； 综上：的面积为或． 【典例4】（25-26八年级上·河南信阳·期中）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵，直线，直线， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴． （2）解：仍然成立，理由如下：∵， 又∵，，∴， ∵，∴，∴，，∴． （3）解：∵同理可得：，∴，， 又∵与都是等边三角形，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴．∴是等边三角形． 【典例5】（25-26八年级上·北京海淀·期中）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 【答案】（）；（）；（）． 【详解】解：（）∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （）如图，过作于，过作交延长线于， ∵面积为，且的长为，∴，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴河流另一边森林公园的面积为，故答案为：． 【典例6】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，，∴， ∴，∴．故答案为：． （2）解：，， ，， 在与中，，，， 又，； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴，， 又，，， 在与中，，，， ，， ，点坐标为． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 【答案】1.2 【详解】解：，， ，，，， 在和中，，∴， ，， ，． 【典例2】（25-26七年级下·山东济南·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则与的数量关系是____； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角中，，，点D是延长线上一点，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作等腰直角，连接交于点F，求证：． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)见解析 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， ∵，∴ ，∴， 在与中，∵，∴，∴； （2）解：，理由如下： ∵，，∴，∴， ∵，∴ ，∴， 在与中，∵，∴，∴，， ∵，，∴； （3）证明：如图所示，过点E作交的延长线于点H， ∴，∴， ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ∵，∴，又∵， ∴，∴，∴， 又∵，∴． 【典例3】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14 【详解】解：（1）∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴． （2）∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴； （3）如图，∵在等腰三角形ABC中，，， ∴与等高，底边比值为：．∴与面积比为：．    ∵的面积为21，∴与面积分别为：7，14．∵，∴． ∵，，，∴．∴． ∵，，．∴．∴与面积相等， ∴与的面积之和为的面积．∴与的面积之和为14． 【典例4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】(2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】(3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【答案】(1)，(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，，， ，，， ∵，∴， 在和中，，∴，， ∵，∴； （2），，，， ，，，， 在和中，； （3）如图，过点作于，过点作的延长线于，， ，，， 在和中，， ，，同理可得：，，， 即：，， 在和中，∴， ∴，∴． 【典例5】（25-26八年级上·广东潮州·期中）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点在第一、第三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，，， 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴即， ∵∴∵∴． （2）解：∵，，∴， ∴，∵，∴ ∵∴ 则 ∵ ∴ 即． （3）解：如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图：∴，∴， ∵过点B作轴，∴ ∵，∴，∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为，， ∵，，∴，，解得，故点C的坐标为； 当，，过点B作轴于点，过点A作射线轴，且过点B作于，如图：∴，∵∴， ∵过点B作轴，过点B作，∴， ∵，∴，∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为，， ∵，，∴， 此时方程无解， 当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图： ∵，，∴，即， ∵，∴，∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为，， ∵，，∴，，解得，故点C的坐标为； 当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图： ∵，，∴，即， ∵，∴，∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为，， ∵，，∴， ，解得，故点C的坐标为； 当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图：∵，，∴，即， ∵，∴，∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为，， ∵，，∴，，解得，故点C的坐标为； 综上， C点的坐标为，，，． 模型常见易错点 1）不会倒角，只会看图不会推角 很多学生能看出K字，但写不出∠A=∠CBE，缺少“余角相等”关键步骤，大题直接扣分。 2）全等顶点对应混乱 K字两个三角形是旋转对应，顶点顺序必须一一对应，顺序写错直接全等错误。 3）斜三等角乱用互余 非直角一线三等角不能用余角，必须用平角180°倒角，学生思维极易固化。 4）只会证全等，不会线段代换 考试重点是用全等求边长、证和差，只证全等不转化线段，拿不到满分。 5）混淆全等K字与相似K字 八年级全等阶段只谈全等、不谈比例，禁止套用相似思路。 解题方法总结 1）K字模型99%使用 AAS 全等判定； 2）核心倒角依据：同角的余角相等（大题得分关键句） 3）结构本质：直线上三直角 ⇒ 自动产生一组等角 4）两大用途：① 角度证明 ② 线段求值与和差 ③ 坐标系求坐标 5）正方形、等腰直角三角形、矩形最爱嵌套K字构造；内侧、外侧K字，倒角逻辑完全一致。 “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离 cm． 【答案】 【详解】解：由题意得：，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，故答案为：． 2.（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． 3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：且 由外角定理可得，又，∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ．，， ，， ，的面积为，， ， ，∴的面积是 故答案为：， ． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在等腰直角中，，点在边上，过点作射线的垂线，垂足为点，过点作射线的垂线，垂足为点． (1)如图1，求证：；(2)如图2，在射线上取点，使，连接，与交于点．若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)8 【详解】（1）证明：在等腰直角中，，，， ，，，，， 在和中，，； （2）解：，，， ，，是等腰直角三角形， ，由（1）可知，，，， 又，，， ，，，． 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】(1)，(2)，；， 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，，∴，∵，∴， 又∵，∴，∵，，∴， 在与中，，∴（），∴， 在中，，∴， ∴，∴； （2）依题意得：，，∵，∴， 又∵，，当，时，， 由，得：，解得：，由，得：，解得：， ②当，时，， 由，得：，解得：，由，得：，，解得：， 综上所述：当时，；当时，． 6．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，D为边上一点，过D作，分别与相交于点E和点F．(1)求证：；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）由（1）知：，∵，∴， 又∵，∴，∴. 7．（25-26七年级下·江西吉安·期末）（1）【学习概念】三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：，，_____， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的_____． （2）【问题探究】①如图2，已知：，且，则_____； ②如图3，已知，且，当_____，； （3）【应用结论】如图4，，，，，请说明：． （4）【拓展应用】如图5，四边形，，平分，，，，求的长． 【答案】（1）；和；（2）①；②45；（3）见解析；（4）8 【详解】解：（1）∵，， ∴，即：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， （2）①∵，∴， ∵，∴， 在和中，，∴ ②当时，，理由如下， ∵，∴， ∵，∴， 在和中，，∴； 故当时，； （3）∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴； （4）如图5，在上取一点F，使，连接，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）在等边中，D，E分别为，边上的动点，且，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，过点F作，交于点M．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和是等边三角形，∴，，， ∵，∴，故A正确； ∵，∴，∴， ∵，，∴（），故B正确； ∵，∴，， ∵，∴，∵，∴，故C正确； ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，故D错误；故选：D． 2．（25-26八年级上·福建莆田·阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；(2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是 ． 【答案】(1)①=，=；②(2)(3)6 【详解】（1）解：①∵，， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：=，=； ②添加一个关于与关系的条件：，理由如下： 在中，， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：； （2）解：三条线段、、的数量关系的合理猜想为：，理由如下： ∵，，，，∴，在和中，，∴ ∴，，∴，故答案为：； （3）解：∵的面积为，，∴ ∵，，，， ∴，， 在和中，，∴，即， ∴，故答案为：6． 3．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）（1）发现：如图1，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到进而得到____________，_______________．我们把这个数学模型称为“字模型”或“一线三等角”模型； （2）应用：如图2，在中，是上一点，，，，请求出的面积． 【答案】（1）；；（2）9 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）如图所示，过点C作交延长线于E，过点D作于F，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； ∵，∴，∴． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【特殊情形，整体感知】通过观察图1，线段与的数量关系是 ； (2)【转化应用，类比迁移】在中，，，点O是直线上一动点（不与点A，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． ①如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； (3)【积累经验，拓展延伸】若，，直接写出此时对应的与的数量关系． 【答案】(1)(2)①，理由见解析②1(3)或或 【详解】（1）解：，∵旋转，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）①，理由如下：在上截取，连接， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∵旋转，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴； ②作，则：，∵，∴， ∵旋转，∴，∴， ∴，∴，设，∵，∴， ∵四边形的面积，∴， ∴，∴或（舍去）；∴，即：点D到的距离为1； （3）①当点在线段上时，由（2）①可知：， ∴，即：； ②当点在线段的延长线上时，由（2）②可知，，， ∴，∴，∴， ∴，∴； ③当在的延长线上时，如图：作，连接， 同（1）法可知：，∴，，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 综上：或或． 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，当在直线的同侧时，证明：． (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． (3)如图3，当直线与斜边相交时，作平分线与边交于点，与射线交于点，作射线与直线交于点．①求证：；②如图4，连接，若，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)(3)①见解析；② 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴ ，∴，，∴； （2）． 由（1）证 ，∴，，∴； （3）①证明： ∵平分，∴． 又∵，公共，∴．∴． 又，∴，  ∴， ②解： 解法1证明如下  ∵，，， 又∵，， ．∴． ∵，平分，∴，． 又∵，∴，∴． ∵，∴，  又∵，，    ∴ 设，，则，，． 在中，，， 化简得，∵，∴．   ∴，，   ∴； 解法2：设，，  ∴，   ∴ ，∴ ， ∵，   ∴   ∴ ∴   ∴∴ 6．（24-25八年级上·山东济南·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． (1)模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； (2)拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 【答案】(1)(2)成立，见解析(3)9 【详解】（1）解：的数量关系为：，理由如下： ∵，∴， 在中，，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴；故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵，∴， 在中，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （3）解：∵，∴， 在和中，，∴，∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，∴，， ∵，∴， ∵，∴． 7．（24-25七年级下·山东济南·期末）【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．同学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），设计出不同的题目，请你帮他们完成作答． (1)【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论： 在和中___________ ②若，，则___________； (2)【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (3)【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 【答案】(1)①；②5(2)，见解析(3)42 【详解】（1）解：①； ②，，，； （2）；理由如下： （3）如图，过点作，交的延长线于点， 1．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①，见解析；②18 【详解】解：（1），，， ，，，， 在和中，，， ，，； ②，理由如下：，，， ，，，， 在和中，，， ，，； （2）①，理由如下：作于点， ∵，∴，同（1）法可得：，∴，∴； ②在中，，，，如图，作，交于点， ，，，， 在和中，，，，． 2．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】（2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】（3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【详解】解：（1），，， ，，，， 在和中，，， ，，，故答案为：； ，，， ，，，， 在和中，，，，， ，，，故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，，， 在和中，，，，； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，，，， 由（1）得：，，； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于，，，，，， 由（1）得：，，； 综上所述，的面积为或． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，故答案为：； （2）∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：3； （3）∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴ 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【模型呈现】“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 【答案】(1)；(2)①证明见解析  ② 【详解】（1）解：，， 又，， ， 由．故答案为：；． （2）解：①作交直线于E，则， ，， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴，∴， 又∵，，∴，∴． ②作交直线于E，则，由①得，，， ，，，，， 设，则，，， ，解得：，． 5．（25-26八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：         图1 图2 图3 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【详解】解：（1），，， ，，， ，， 在和中，，，； （2）由“K字”模型可知，， ，， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积 ；故答案为：． （3）作于点，于点，由“K字”模型可知，， ，同理，，，，， 在和中，，，，即点是的中点． 6．（25-26八年级上·湖南永州·期末）“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． (1)如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． (2)如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． (3)如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 【答案】(1)10(2)证明见解析(3)20 【详解】（1）解：，， ，，， ，，， ，故答案为：10； （2）证明：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N， ，，， 在 和中，，， ，同理可得：，，， 在和中，，，，∴点F是的中点； （3）解：如图 3，过E作于N，过G作的延长线于点M， 由题意可知，， ，，， ，，， 又，，， 同理可证：，， ，，， ，． 7．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】（1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】（3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或或 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，即，故答案为：； （2）结论仍然成立，证明如下：∵，，， ∴，，，∴， 又∵，∴，∴，，∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，∴， 分情况讨论：①当E在上，D在上时，即，，， ∵，∴，∴； ②当E在上，D在上时，即，，， ∵，∴，∴； ③当E在上，D在上时，即，，， ∵，∴，∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即，，， ∵，∴，∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07.全等模型之一线三等角（K字）模型 一线三等角（俗称K字模型）：同一条直线上出现三个相等的角，利用平角180°与三角形内角和，自动推导一组锐角相等，配合一组已知边相等，直接构造全等三角形。核心本质：无角造角、无全等造全等，是初中几何最重要的构造辅助模型。初中几何构造全等第一大模型，中考高频必考母题。广泛出现于填空压轴、几何证明、坐标系几何、矩形正方形动点大题。是学生从“被动全等”走向“主动构造全等”的核心转折点，几何含金量极高。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 2 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 35 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 1）平角定义：平角=180°；直角互余性质：同角的余角相等；三角形内角和180°； 2）全等判定：AAS、SAS（K字99%用AAS）； 3）线段和差代换、几何标准书写格式。 常结合：直角三角形、矩形、正方形、等腰直角三角形、平面直角坐标系、动点折叠、线段和差证明。 命题特征：不画全图、不标等角，需要学生自行发现“共线三角相等”结构，自主倒角证全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A．21 B．23 C．24 D．28 【典例2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时， ；（2）当时， 【典例3】（25-26七年级上·山东东营·期中）【特例感知】（1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，请猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； 【问题探究】（2）如图2，在中，点为上一点，，，， ，求． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，为边上的高，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【典例4】（25-26八年级上·河南信阳·期中）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状． 【典例5】（25-26八年级上·北京海淀·期中）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 【典例6】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 【典例2】（25-26七年级下·山东济南·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则与的数量关系是____； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角中，，，点D是延长线上一点，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作等腰直角，连接交于点F，求证：． 【典例3】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    【典例4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】(2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】(3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【典例5】（25-26八年级上·广东潮州·期中）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点在第一、第三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．直接写出符合条件的点的坐标． 模型常见易错点 1）不会倒角，只会看图不会推角 很多学生能看出K字，但写不出∠A=∠CBE，缺少“余角相等”关键步骤，大题直接扣分。 2）全等顶点对应混乱 K字两个三角形是旋转对应，顶点顺序必须一一对应，顺序写错直接全等错误。 3）斜三等角乱用互余 非直角一线三等角不能用余角，必须用平角180°倒角，学生思维极易固化。 4）只会证全等，不会线段代换 考试重点是用全等求边长、证和差，只证全等不转化线段，拿不到满分。 5）混淆全等K字与相似K字 八年级全等阶段只谈全等、不谈比例，禁止套用相似思路。 解题方法总结 1）K字模型99%使用 AAS 全等判定； 2）核心倒角依据：同角的余角相等（大题得分关键句） 3）结构本质：直线上三直角 ⇒ 自动产生一组等角 4）两大用途：① 角度证明 ② 线段求值与和差 ③ 坐标系求坐标 5）正方形、等腰直角三角形、矩形最爱嵌套K字构造；内侧、外侧K字，倒角逻辑完全一致。 “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离 cm． 2.（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在等腰直角中，，点在边上，过点作射线的垂线，垂足为点，过点作射线的垂线，垂足为点． (1)如图1，求证：；(2)如图2，在射线上取点，使，连接，与交于点．若，，求线段的长． 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 6．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，D为边上一点，过D作，分别与相交于点E和点F．(1)求证：；(2)若，求证：． 7．（25-26七年级下·江西吉安·期末）（1）【学习概念】三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：，，_____， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的_____． （2）【问题探究】①如图2，已知：，且，则_____； ②如图3，已知，且，当_____，； （3）【应用结论】如图4，，，，，请说明：． （4）【拓展应用】如图5，四边形，，平分，，，，求的长． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）在等边中，D，E分别为，边上的动点，且，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，过点F作，交于点M．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建莆田·阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；(2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是 ． 3．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）（1）发现：如图1，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到进而得到____________，_______________．我们把这个数学模型称为“字模型”或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在中，是上一点，，，，请求出的面积． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【特殊情形，整体感知】通过观察图1，线段与的数量关系是 ； (2)【转化应用，类比迁移】在中，，，点O是直线上一动点（不与点A，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． ①如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； (3)【积累经验，拓展延伸】若，，直接写出此时对应的与的数量关系． 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，当在直线的同侧时，证明：． (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． (3)如图3，当直线与斜边相交时，作平分线与边交于点，与射线交于点，作射线与直线交于点．①求证：；②如图4，连接，若，直接写出线段与的数量关系． 6．（24-25八年级上·山东济南·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． (1)模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； (2)拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 7．（24-25七年级下·山东济南·期末）【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．同学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），设计出不同的题目，请你帮他们完成作答． (1)【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论： 在和中___________ ②若，，则___________； (2)【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (3)【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 1．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 2．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】（2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】（3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【模型呈现】“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 5．（25-26八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：         图1 图2 图3 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 6．（25-26八年级上·湖南永州·期末）“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． (1)如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． (2)如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． (3)如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 7．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】（1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】（3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $