全等三角形培优：倍长中线模型、一线三等角模型培优讲义-2026-2027学年人教版八年级数学上册

全等三角形培优：倍长中线模型、一线三等角模型培优讲义 全等三角形培优：倍长中线模型、一线三等角模型培优讲义 考点目录 倍长中线模型 一线三等角模型 考点一 倍长中线模型 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型定义 在三角形中，遇到边上的中线（或中点）时，将中线延长至原来的 2 倍，连接端点构造全等三角形，从而将分散的边、角集中到同一个三角形中，是解决“中线与边长关系”的标准方法。 1. 基本模型与结论 已知： 中， 是 边上的中线（ 为 中点）。 操作：延长 至点 ，使 ，连接 。 · 全等依据：（SAS）：，，。 · 核心结论： ① 边的转移：，将三角形的一边转化到另一边所在的三角形中； ② 角的转移：，进而可得 ； ③ 结构本质：四边形 为平行四边形，对角线互相平分。 1. 拓展：类中线倍长 只要线段经过某边的中点（不一定是三角形的中线），都可以用倍长法构造全等，称为“倍长过中点的线段”，原理与标准中线完全一致。 1. 常考应用场景 · 证明线段的倍分关系（如证明 ，利用三角形三边关系）； · 证明角相等、直线平行； · 已知中线长，求边长的取值范围； · 结合直角三角形、等腰三角形的综合证明。 二、解题思路 1. 识模型：题目中出现“中点、中线、边上的中点”等关键词，优先考虑倍长中线法； 1. 构全等：延长中线至两倍，连接对应端点，得到 SAS 全等三角形； 1. 转条件：将已知的边、角通过全等转移到新的三角形中； 1. 推结论：结合三角形三边关系、平行线性质、等腰/直角三角形性质推导最终结论。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，已知△． （1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，当点为中点时，求证：△是等腰三角形． 例2．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 例3．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“△△”的推理过程． （1）求证：△△ 证明：延长到点，使 在△和△中（已作） 　 　　　 （中点定义） △△ 　　 （2）探究得出的取值范围是 　　 ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，△中，，，是△的中线，，，且，求的长． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，△为等边三角形，为延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点，在左侧作，交于点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若为中点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接，，请直接写出的值． 变式2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　　　　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 变式3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． （1）小明解题过程中证出的依据是 　 　； ． ． ． ． 请参考小明的解题思路回答以下问题： （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 考点二 一线三等角模型 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型定义 三个相等的角，顶点依次落在同一条直线上，且角的两边两两相交，构成两个相似（或全等）的三角形，也叫“K型图”。该模型是相似三角形的高频基础模型，可实现边长比例的快速转化。 1. 基本原理 已知：直线 上顺次有三点 、、，。 推导：由外角定理，； 又 ，且 ， 因此 ，结合 ， 可得 （AA 相似）。 若有一组对应边相等（如 ），则 （AAS/ASA）。 1. 三大常见类型 · 直角型（最常考）：三个角均为直角，又称“垂直K型图”，常见于坐标系、矩形、正方形背景中，用于求点坐标、边长。 · 钝角型：三个角为相等的钝角，常见于等腰三角形、正多边形背景。 · 锐角型：三个角为相等的锐角，常见于等边三角形、等腰锐角三角形背景。 1. 常考应用场景 · 求线段长度、证明线段比例式或乘积式； · 平面直角坐标系中，已知直线上一点，求另一点坐标； · 几何综合题中，结合等腰三角形、四边形的边长计算。 二、解题思路 1. 识模型：找到共线的三个顶点，以及顶点处三个相等的角（直角、等腰三角形底角等），识别一线三等角结构； 1. 证相似/全等：利用角的等量代换，证明两个三角形相似或全等； 1. 列关系：根据对应边成比例（或相等），列出边长关系式； 1. 算结果：代入已知边长，解方程求解未知量。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点，，在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 例2．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 例3．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得 米，米，且，求甲房间的宽； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，． ① 的度数； ②求乙房间的宽． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图（1），，，于，于． （1）求证：△△； （2）如图（2）其它条件不变的前提下，将所在的直线旋转到△的外部，若，，求的长． 变式2．（25-26八年级上·河北衡水·阶段检测）在△中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在△外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　 　． 2 学科网（北京）股份有限公司 $全等三角形培优：倍长中线模型、一线三等角模型培优讲义 全等三角形培优：倍长中线模型、一线三等角模型培优讲义 考点目录 倍长中线模型 一线三等角模型 考点一 倍长中线模型 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型定义 在三角形中，遇到边上的中线（或中点）时，将中线延长至原来的 2 倍，连接端点构造全等三角形，从而将分散的边、角集中到同一个三角形中，是解决“中线与边长关系”的标准方法。 1. 基本模型与结论 已知： 中， 是 边上的中线（ 为 中点）。 操作：延长 至点 ，使 ，连接 。 · 全等依据：（SAS）：，，。 · 核心结论： ① 边的转移：，将三角形的一边转化到另一边所在的三角形中； ② 角的转移：，进而可得 ； ③ 结构本质：四边形 为平行四边形，对角线互相平分。 1. 拓展：类中线倍长 只要线段经过某边的中点（不一定是三角形的中线），都可以用倍长法构造全等，称为“倍长过中点的线段”，原理与标准中线完全一致。 1. 常考应用场景 · 证明线段的倍分关系（如证明 ，利用三角形三边关系）； · 证明角相等、直线平行； · 已知中线长，求边长的取值范围； · 结合直角三角形、等腰三角形的综合证明。 二、解题思路 1. 识模型：题目中出现“中点、中线、边上的中点”等关键词，优先考虑倍长中线法； 1. 构全等：延长中线至两倍，连接对应端点，得到 SAS 全等三角形； 1. 转条件：将已知的边、角通过全等转移到新的三角形中； 1. 推结论：结合三角形三边关系、平行线性质、等腰/直角三角形性质推导最终结论。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，已知△． （1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，当点为中点时，求证：△是等腰三角形． 【答案】（1）图见解答；（2）证明见解答． 【解答】（1）解：如图所示，就是的角平分线； （2）证明：如图， 延长至点，使，连接， 点是的中点， ， ， △△， ，， 是的平分线， ， ， ， ， △是等腰三角形． 例2．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】（1）见解答部分； （2）见解答部分； （3）． 【解答】解：（1）如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中， ， ， ，， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中， ， ， ． ， （2）证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过作于，连接． ，且， ． ． ． ， ， 为等边三角形． ，， ． ， ． ． 为等腰直角三角形． ， ． 例3．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“△△”的推理过程． （1）求证：△△ 证明：延长到点，使 在△和△中（已作） 　对顶角相等　　　　　 （中点定义） △△ 　　 （2）探究得出的取值范围是 　　 ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，△中，，，是△的中线，，，且，求的长． 【解答】解：（1）证明：延长到点，使， 在△和△中， （已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， △△， 故答案为：对顶角相等，； （2）△△， ， ， ， 故答案为：； （3）延长交的延长线于， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，△为等边三角形，为延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点，在左侧作，交于点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若为中点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接，，请直接写出的值． 【答案】（1）8． （2）证明见解答． （3）． 【解答】（1）解：， ． ． ． ，， ，． ， ． （2）证明：延长，使，连接，． ，， 四边形是平行四边形． ，，． ， ， ， ． 在△和△中， ， △△， ． （3）解：由（2）可知△△，则． ， ． ． ， ，． ， ． ，． ． ． ． ． 变式2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 【答案】（1）；（2）7；（3）证明见解答． 【解答】（1）解：延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）延长到，使，连接，如图2， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接、， 是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 变式3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． （1）小明解题过程中证出的依据是 　　； ． ． ． ． 请参考小明的解题思路回答以下问题： （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【答案】（1）； （2）线段的长为7． 【解答】解：（1）是边的中线， ， 在和中， ， ， 小明解题过程中证出的依据是， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接， ， ， 是边的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为7． 考点二 一线三等角模型 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型定义 三个相等的角，顶点依次落在同一条直线上，且角的两边两两相交，构成两个相似（或全等）的三角形，也叫“K型图”。该模型是相似三角形的高频基础模型，可实现边长比例的快速转化。 1. 基本原理 已知：直线 上顺次有三点 、、，。 推导：由外角定理，； 又 ，且 ， 因此 ，结合 ， 可得 （AA 相似）。 若有一组对应边相等（如 ），则 （AAS/ASA）。 1. 三大常见类型 · 直角型（最常考）：三个角均为直角，又称“垂直K型图”，常见于坐标系、矩形、正方形背景中，用于求点坐标、边长。 · 钝角型：三个角为相等的钝角，常见于等腰三角形、正多边形背景。 · 锐角型：三个角为相等的锐角，常见于等边三角形、等腰锐角三角形背景。 1. 常考应用场景 · 求线段长度、证明线段比例式或乘积式； · 平面直角坐标系中，已知直线上一点，求另一点坐标； · 几何综合题中，结合等腰三角形、四边形的边长计算。 二、解题思路 1. 识模型：找到共线的三个顶点，以及顶点处三个相等的角（直角、等腰三角形底角等），识别一线三等角结构； 1. 证相似/全等：利用角的等量代换，证明两个三角形相似或全等； 1. 列关系：根据对应边成比例（或相等），列出边长关系式； 1. 算结果：代入已知边长，解方程求解未知量。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点，，在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 【答案】楼的高度为． 【解答】解：由题意，得，，，． ， ． ， ， ． 在△和△中， ， △△， ． ， ． 答：楼的高度为． 例2．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程； （3）． 【解答】解：（1）①，， ， ，， ， 在和中， ， ； ②， ，， ； （2）证明：，， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 例3．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得 米，米，且，求甲房间的宽； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，． ① 的度数； ②求乙房间的宽． 【答案】（1）甲房间的宽为3.1米； （2）① 的度数为； ②乙房间的宽为2.8米． 【解答】解：（1）由题意得：，，， ， ， 在中， 米，米， （米， ， ， ， ， 米， （米， 甲房间的宽为3.1米； （2）①，， ， 的度数为； ②过点作，垂足为， ， 由题意得：， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， 米， 乙房间的宽为2.8米． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图（1），，，于，于． （1）求证：△△； （2）如图（2）其它条件不变的前提下，将所在的直线旋转到△的外部，若，，求的长． 【答案】（1）见解答； （2）的长为． 【解答】解：（1）于，于点， ， ， ， ， ， △△； （2）当所在的直线旋转到△的外部时，仍有，，， ， ， △△， ，， ， 答：的长为． 变式2．（25-26八年级上·河北衡水·阶段检测）在△中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在△外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　1.5　． 【答案】（1）证明见解析； （2）1.5 【解答】（1）证明：，， ． ，， ，， ． 在△和△中， ， △△， ，． ， ． （2）解：于，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 故答案为：1.5． 2 学科网（北京）股份有限公司 $