专题14.2（3）全等三角形的判定（10大全等几何模型）（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形判定核心知识点，系统梳理平移、轴对称、旋转等10大几何模型，构建从模型识别到辅助线构造的学习支架，串联判定方法与综合应用的知识脉络。 资料以模型化分类和题型精准对应为亮点，通过例题变式训练培养几何直观与推理能力，探究式学习和复盘笔记助力学生用数学语言总结规律，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

简一数理 初中专题讲义 专题14.2（3） 全等三角形的判定（10大全等几何模型） （新教材人教版） 知识点一、平移模型 2 知识点二、轴对称模型 3 知识点三、旋转模型 3 知识点四、一线三等角模型 3 知识点五、截长补短模型 4 知识点六、倍长中线模型 4 知识点七、手拉手模型 4 知识点八、半角模型 5 知识点九、平行线模型 5 知识点十、垂直模型 6 【题型1 手拉手模型（全等三角形辅助线问题）】 6 【题型2 倍长中线模型（全等三角形辅助线问题）】 13 【题型3 角平分线模型（全等三角形辅助线问题）】 20 【题型4 半角模型（全等三角形辅助线问题）】 26 【题型5 截长补短（全等三角形辅助线问题）】 36 【题型6 一线三角形模型（全等三角形辅助线问题）】 45 【题型7 旋转模型（全等三角形辅助线问题）】 56 【题型8 作垂线法（全等三角形辅助线问题）】 65 【题型9 作平行线法（全等三角形辅助线问题）】 76 【题型10 垂线模型（全等三角形辅助线问题）】 83 【探究式学习】 89 【课后检测】 95 【复盘笔记】 116 知识点一、平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 知识点二、轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 知识点三、旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 知识点四、一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型. （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 知识点五、截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 知识点六、倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 知识点七、手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=α。结论：△BAD≌△CAE。 知识点八、半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 知识点九、平行线模型 结论：如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，P为AB上一点，则△POE≌△QOF 【证明】延长PO交CD于Q, ∵AB∥CD ∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ 在△POE和△QOF中， ∠POE＝∠QOF OE＝OF ∠OEP＝∠OFQ ∴△POE≌△QOF 知识点十、垂直模型 结论：如图所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE. 则△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC. 【证明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD， ∴∠C=∠BAD=∠E=90°， ∴∠1+∠3=∠1+∠2=90º，∴∠2=∠3 在△ABC和△DAE 中，∠C=∠E=90°，∠2=∠3，AB=DA, ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴AC=DE，BC=AE， ∴CE=CA+AE=BC+DE. 【题型1 手拉手模型（全等三角形辅助线问题）】 【例1】已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握考查的知识点是解题的关键． 先证明和为等腰直角三角形，推出，再证明，运用全等的性质即可解题． 【详解】解：∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴， ∴，故③正确，不符合题意； ∵如图，延长射线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，符合题意共个． 故选：A． 【变式1-1】如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性质，推导得AE＝CD，∠AHD＝∠ABG＝60°；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案． 【详解】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N ∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝CD，故①正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正确； 在△AGB和△DFB中， ∴△AGB≌△DFB（ASA），故③正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴BG＝BF， ∵∠GBF＝60°， ∴△BGF是等边三角形， ∴∠FGB＝∠ABD＝60°， ∴FG∥AC，故⑤正确； ∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误； 根据题意，无法判断DH＝CH，故⑥错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等边三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 【变式1-2】【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【答案】 （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，， ∴， 又∵平分，， ∴，， 在四边形中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，， ∴， ∴． 【分析】（1）先利用角平分线的意义得出，根据垂直的意义得出，从而可求得，于是可得出，再证明，根据全等三角形的性质可得； （2）如图，过点作，，垂足分别为，，先根据同角的补角相等，得出，再根据证明，从而可根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了手拉手模型，同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），多边形内角和问题，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式1-3】（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【题型2 倍长中线模型（全等三角形辅助线问题）】 【例2】先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】证明见试题解析． 【分析】延长AD到G，使DF=DG，连接CG，得到BD=DC，根据SAS推出△BDF≌△CDG，根据全等三角形的性质得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF即可． 【详解】解：延长AD到G，使DF=DG，连接CG， ∵AD是中线， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDG中， ∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG， ∴△BDF≌△CDG， ∴BF=CG，∠BFD=∠G， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠AFE=∠G， ∵BF=CG，且已知BF=AC， ∴CG=AC， ∴∠G=∠CAF， ∴∠AFE=∠CAF， ∴AE=EF． 【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的关键是借助阅读材料中提供的方法延长AD到G，使DF=DG，进而构造三角形全等． 【变式2-1】【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）略 【变式2-2】如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 【答案】(1) 证明：∵与均为等边三角形， ∴，，且， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴． (2) (3) ， 证明：，延长至点，使得，连接，如下图所示： ∵点为中点， ∴，又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， 由（1）中， ∴，结合，， ∴， ∴，∵， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，找出等量条件证明三角形全等以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，求证即可； （2）由（1）中全等，得出，结合角度计算即可； （3）首先根据中点的性质，准确添加辅助线，属于倍长中线模型，即可得，结合前两问中的等量关系，证明出，故可得，即可证出． 【详解】（1）略 （2）解：若，，三点共线， 则 由（1）中， ∴， ∵，， ∴． （3）略 【变式2-3】（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 【题型3 角平分线模型（全等三角形辅助线问题）】 【例3】如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等． 【变式3-1】如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点，   ，  平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 【变式3-2】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．    【答案】6 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】如图，在上取一点E，使，连接，   是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 【变式3-3】如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为_________．用含的式子表示）    【答案】 【分析】过作于，于，即可得到，得到，再由四边形内角和可得，即可根据求解． 【详解】过作于，于，则    ∵平分， ∴， ∵点D是的中点，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，利用角平分线的性质作辅助线是解题的关键． 【题型4 半角模型（全等三角形辅助线问题）】 【例4】根据题意解答下列各题： (1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________． (2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明； (3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点，使得， ∵,， ∴． 在和中， ， ∴，      ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．       在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）过点作,且使得，连接，，证明，则，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴，，    在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．       在和中， ， ∴， ∴，           ∴， 即． （2）略 （3）解：过点作，且使得，连接，； ∵是等腰直角三角形,， ，， ∴， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由第（2）问同理可证：， ∴． 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 【变式4-2】问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】 解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）略 （2）略 【变式4-3】如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1) 如图所示： (2) (3) 证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）略 （2）解：； （3）略 （4）解：∵的周长，， ∴的周长 【题型5 截长补短（全等三角形辅助线问题）】 【例5】已知和都是直角三角形，，点E在内部，直线交于点F，连接． (1)如图①，当点D，F重合时，且，线段，，之间的数量关系为___________； (2)如图②，当点D，F不重合时，且，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不必证明； (3)如图③，若，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明如下： ，， ． ， ， ， ， 如图③，过点作交于点，则， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 【分析】（1）先利用推导角的关系，得到，结合已知的角相等条件，判断和的全等关系，因为D、F重合，结合全等三角形性质得到对应边、角的关系，再将三条线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理推导数量关系； （2）类比（1）的和的全等关系，再通过构造直角三角形的方法，参照（1）的推导逻辑得到线段关系； （3）先根据直角三角形的边的比例关系，证明与相似，得到边的比例和角的关系，再证明，最后构造含的直角三角形，结合相似比和勾股定理推导三条线段的数量关系． 【详解】（1）由题意得，和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵点重合， ∴， 在等腰中，， ∴； （2）如图所示，在上截取一点H，使得，连接， ∵由题意得，和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， 且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 即； （3）略 【变式5-1】平面直角坐标系中，已知，，且满足． (1)请直接写出两点的坐标； (2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论； (3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标． 【答案】(1)点坐标，点坐标 (2) (3) 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值即可； （2）过点作轴，交延长线于，先证明，进而可得，，再证明即可得，即可得出结论； （3）作出如图所示的辅助线，证明为等腰直角三角形，利用证明， ，证明，得到，求出n的值，然后得出点G的坐标． 【详解】（1）【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：，； 点坐标，点坐标 （2）结论： 理由如下： 过点作轴，交延长线于， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∵点的坐标，点的坐标 ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ （3）过点G作y轴的平行线，分别过H，B作于E，于F，交x轴于Q，交y轴于K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，即：， ∴ ∵， ∴轴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， 解得，即点G的坐标为， 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．    (1)直接写出B点坐标； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，，交的延长线于点．   平分， ， ，， ， ， ∴， ； (3)32 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，可得结论； （2）过点作于点，，交的延长线于点．证明，可得结论； （3）证明四边形是正方形，再证明四边形的面积正方形的面积即可． 【详解】（1）， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3），， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式5-3】如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：在上截取，连接．    ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∴． (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型6 一线三角形模型（全等三角形辅助线问题）】 【例6】阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 【变式6-1】综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： 【建立模型】： (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________； 【实践探究】： (2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度． 【拓展应用】： (3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①线段和有何数量关系，并说明理由； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 【答案】(1) (2)4 (3)①， 证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ，即， ∵， ∴， 在和中： ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②64 【分析】（1）由，，，通过等量代换得．结合，证，得，，由得． （2）得．由三角形外角性质得，又，且，故．结合，证，得，．由得． （3）①在上取点使，连接．由，且，结合证，得，．由，得，故．于是，代入得． ②由且得．由得，作，则为等腰直角三角形，．又，也为等腰直角三角形，，故，进而计算的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 在和中： ， ， ， 又， ． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 在和中： ， ， ∴，，， ． （3）①略； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ， 的面积为． 【变式6-2】综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且 理由: 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，，三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用SAS判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 【变式6-3】（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】 （1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 【题型7 旋转模型（全等三角形辅助线问题）】 【例7】如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1) 证明：如图①，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； (2)图②结论：；图③结论： 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）过点作交于，先判断出，再判断出，进而判断出，得出，，再判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）如图2，同（1）的方法得出，，即可得出结论；如图3，同（1）的方法得出，，即可得出结论； 【详解】（1）略 （2）解：如图②，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图③，过点作交的延长线于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：图②结论：；图③结论：． 【变式7-1】【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1） 略 （2）略 （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 【变式7-2】【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 【答案】 （1）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （2）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）类似（1），通过旋转构造全等三角形，结合全等性质得线段相等； （3）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，根据全等三角形的性质、勾股定理计算． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式7-3】在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，是中点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别是，．连接，是中点，连接，． (1)如图，当时，求点 M 的坐标 ．(直接写出答案) (2)如图，当时，求证∶，且； 【答案】(1) (2) 如图②，当时，点，，共线，，，共线， ∵，且为等腰直角三角形，是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）如图①中，过点M作于D．解直角三角形求出，即可解决问题． （2）如图②，当时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于． ∵点，点， ∴， ∵是的中点， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，点在上， 由旋转可知：， ．， ∴， ∴． （2）略 【题型8 作垂线法（全等三角形辅助线问题）】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，作交轴正半轴于点，求． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先过点作轴交于点，轴交于点，求出、，再通过，求出、、、的值，然后通过，推出，最后证明，通过等量代换求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，轴交于点， ∵轴，轴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 【变式8-1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 （2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________； 【模型拓展】 （3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。 【答案】（1） （2） （3）或5或2或 【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可求解． （2）过点D作，设长度为x，先证，用含x的式子将表示出来，再证，根据列方程，即可求解． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况，分析每种情况，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，证，用含y的式子将表示出来，再根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）如图，过点D作，设长度为x， 由旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 故长度为． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况， ①如图，当点P在点D左侧且点Q在上方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ②如图，当点P在点D左侧且点Q在下方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ③如图，当点P在点两点之间时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ④如图，当点P在点C右侧时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； 综上所述，的长度为或5或2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的动点问题，旋转的性质，掌握相关知识点并做适当的辅助线构造全等是解题的关键． 【变式8-2】在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1) ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 【变式8-3】如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【答案】 （1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）∠DCF＝45°． 【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论； （2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°． 【详解】（1）略 （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型9 作平行线法（全等三角形辅助线问题）】 【例9】已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1) 证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； (2) 以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 理由： 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）略 （2）略 【变式9-1】如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF． （1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明； （2）求证：∠BDF＝∠EFC； （3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】 （1）∠DEF＝∠ACE． 证明：∵∠DEC是△ACE的外角， ∴∠DEC＝∠A+∠ACE， ∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF， ∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE， ∵∠CEF＝∠A， ∴∠DEF＝∠ACE； （2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵EM∥AC， ∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE， ∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM， ∴ED＝EM， 又∵EF＝EC， ∴△DEF≌△MEC（SAS）， ∴∠EDF＝∠EMC， ∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°， ∴∠BDF＝∠EMC， ∵EM∥AC， ∴∠DEM＝∠A， ∵∠A＝∠CEF， ∴∠DEM＝∠CEF， ∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝， ∴∠EMD＝∠EFC， ∴∠BDF＝∠EFC； （3）k 【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案； （2）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性质可得出∠EDF＝∠EMC，证出∠EMD＝∠EFC，则可得出结论； （3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GF＝DC，证出GD＝DM，则根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M， ∵EG＝AG， ∴∠GAE＝∠GEA， ∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°， ∴∠DAC＝∠GED， ∵∠CEF＝∠DAC， ∴∠DEG＝∠CEF， ∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF， 即∠GEF＝∠DEC， ∵△DEF≌△MEC， ∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC， 又∵EF＝EC， ∴△EFG≌△ECD（ASA）， ∴GF＝DC， ∴DC﹣MC＝GF﹣DF， 即GD＝DM， ∵EM∥AC， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【变式9-2】 P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】 （1）证明：图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）略． （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 【变式9-3】如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q， ∵△ABC为等边三角形， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF， 又∵AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△DPF和△DQC中，， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴DP=DQ； (2)ED＝2 【分析】（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC， 可得AE＝EF， 由（1）知，△DPF≌△DQC ∴FD＝CD， ∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD， ∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED， ∵AC＝BC＝4， ∴2ED＝4， ∴ED＝2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【题型10 垂线模型（全等三角形辅助线问题）】 【例10】四边形是一张正方形纸片，点E为边上一点，如图1，将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，交于点M． (1)__________； (2)折痕与存在什么数量关系，并说明理由； (3)如图2，点G为边上一点，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵四边形是正方形，且， ∴有，即， ∴在和中有， ∵， ∴， ∴． (3)猜想：， 证明： 过点G作，交线段于点P， 由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴， ∵， ∴有，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在和中有， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】（1）根据翻折的性质找出垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可． （2）利用（1）的信息找出等角，进而找出全等三角形即可． （3）根据翻折的性质找出垂直平分线，得出，通过（2）的启发构造全等三角形转化线段，再结合正方形四边相等的性质进行代换即可. 【详解】（1）由翻折的性质可得由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴． （2）略． （3）略． 【变式10-1】如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）由，，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式10-2】如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长．    【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定定理和垂直平分线的判定与性质，掌握“两边相等且夹角为的三角形是等边三角形”、“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”等知识点是解题的关键． 先由题意推出是等边三角形，得到，再由，推出是的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 垂直平分， 是中点， ， 答：的长为． 【变式10-3】已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (2) 解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【探究式学习】 1．（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理． （1）由等腰三角形的性质得，证明，得，，进而求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，证明，得，，即可得证； （3）由三角形内角和定理证得，进而证得，得，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 2．【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 3．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】 （1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【课后检测】 1．已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 3．如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 4．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 5．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 7．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 8．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 9．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】根据题意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可证∠ADE=∠AED，可得AD=AE，进而即可求解． 【详解】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△CBD和△EBD中， ， ∴△CBD≌△EBD（SAS）， ∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB， ∵∠C＝2∠CDB， ∴∠CDE＝∠DEB， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． 根据点C的不同位置分两种情况讨论，根据“一线三直角”模型构造三角形全等，利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图， 过点B作x轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图， 过点B作y轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，点C的坐标为或． 故答案为：或 14．如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 15．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 又，，， ； （2）证明：①， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 16．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 【答案】(1) 证明：如图，作中线， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ， ， 点B，，共线， 又∵， 是等腰三角形； (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质． （1）作中线，证明，可得结论； （2）证明点B，，共线，结合，即可得到结论； （3）绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到，证明是直角三角形，利用即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，把绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到， 由旋转得，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ． 17．【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 116 页 第 1 页 共 116 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题14.2（3） 全等三角形的判定（10大全等几何模型） （新教材人教版） 知识点一、平移模型 2 知识点二、轴对称模型 2 知识点三、旋转模型 2 知识点四、一线三等角模型 3 知识点五、截长补短模型 3 知识点六、倍长中线模型 3 知识点七、手拉手模型 4 知识点八、半角模型 4 知识点九、平行线模型 5 知识点十、垂直模型 5 【题型1 手拉手模型（全等三角形辅助线问题）】 6 【题型2 倍长中线模型（全等三角形辅助线问题）】 8 【题型3 角平分线模型（全等三角形辅助线问题）】 10 【题型4 半角模型（全等三角形辅助线问题）】 11 【题型5 截长补短（全等三角形辅助线问题）】 14 【题型6 一线三角形模型（全等三角形辅助线问题）】 16 【题型7 旋转模型（全等三角形辅助线问题）】 19 【题型8 作垂线法（全等三角形辅助线问题）】 21 【题型9 作平行线法（全等三角形辅助线问题）】 23 【题型10 垂线模型（全等三角形辅助线问题）】 25 【探究式学习】 28 【课后检测】 30 【复盘笔记】 36 知识点一、平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 知识点二、轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 知识点三、旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 知识点四、一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型. （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 知识点五、截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 知识点六、倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 知识点七、手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=α。结论：△BAD≌△CAE。 知识点八、半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 知识点九、平行线模型 结论：如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，P为AB上一点，则△POE≌△QOF 【证明】延长PO交CD于Q, ∵AB∥CD ∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ 在△POE和△QOF中， ∠POE＝∠QOF OE＝OF ∠OEP＝∠OFQ ∴△POE≌△QOF 知识点十、垂直模型 结论：如图所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE. 则△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC. 【证明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD， ∴∠C=∠BAD=∠E=90°， ∴∠1+∠3=∠1+∠2=90º，∴∠2=∠3 在△ABC和△DAE 中，∠C=∠E=90°，∠2=∠3，AB=DA, ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴AC=DE，BC=AE， ∴CE=CA+AE=BC+DE. 【题型1 手拉手模型（全等三角形辅助线问题）】 【例1】已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1-2】【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【变式1-3】（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【题型2 倍长中线模型（全等三角形辅助线问题）】 【例2】先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【变式2-1】【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【变式2-2】如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 【变式2-3】（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【题型3 角平分线模型（全等三角形辅助线问题）】 【例3】如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-1】如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式3-2】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．    【变式3-3】如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为_________．用含的式子表示）    【题型4 半角模型（全等三角形辅助线问题）】 【例4】根据题意解答下列各题： (1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________． (2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明； (3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度． 【变式4-1】【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【变式4-2】问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【变式4-3】如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【题型5 截长补短（全等三角形辅助线问题）】 【例5】已知和都是直角三角形，，点E在内部，直线交于点F，连接． (1)如图①，当点D，F重合时，且，线段，，之间的数量关系为___________； (2)如图②，当点D，F不重合时，且，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不必证明； (3)如图③，若，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 【变式5-1】平面直角坐标系中，已知，，且满足． (1)请直接写出两点的坐标； (2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论； (3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．    (1)直接写出B点坐标； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 【变式5-3】如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型6 一线三角形模型（全等三角形辅助线问题）】 【例6】阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【变式6-1】综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： 【建立模型】： (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________； 【实践探究】： (2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度． 【拓展应用】： (3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①线段和有何数量关系，并说明理由； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 【变式6-2】综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【变式6-3】（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【题型7 旋转模型（全等三角形辅助线问题）】 【例7】如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【变式7-1】【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【变式7-2】【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 【变式7-3】在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，是中点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别是，．连接，是中点，连接，． (1)如图，当时，求点 M 的坐标 ．(直接写出答案) (2)如图，当时，求证∶，且； 【题型8 作垂线法（全等三角形辅助线问题）】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，作交轴正半轴于点，求． 【变式8-1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 （2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________； 【模型拓展】 （3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。 【变式8-2】在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【变式8-3】如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【题型9 作平行线法（全等三角形辅助线问题）】 【例9】已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【变式9-1】如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF． （1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明； （2）求证：∠BDF＝∠EFC； （3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）． 【变式9-2】 P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【变式9-3】如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 【题型10 垂线模型（全等三角形辅助线问题）】 【例10】四边形是一张正方形纸片，点E为边上一点，如图1，将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，交于点M． (1)__________； (2)折痕与存在什么数量关系，并说明理由； (3)如图2，点G为边上一点，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【变式10-1】如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 【变式10-2】如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长．    【变式10-3】已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【探究式学习】 1．（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 2．【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 3．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【课后检测】 1．已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 8．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 10．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 12．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为________． 14．如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 15．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 16．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 17．【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 116 页 第 1 页 共 116 页 学科网（北京）股份有限公司 $