专题02 全等三角形（知识&考点&公式&8高频&7易错&4重难&4模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 全等三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(3类) 公式清单(8类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(7类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点02 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点03 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点04 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点05 角平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 ■考点 01・全等三角形的相关概念 考点内容：全等图形、全等三角形的概念；全等三角形的符号表示；全等三角形的对应顶点、对应边、对应角；全等三角形的性质。 常见考法：①判断所给两个图形是不是全等图形（紧扣 “能够完全重合”，形状、大小均相同）；②指出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，或用符号表示全等三角形；③根据全等三角形的性质，求对应边长度、对应角度数；④利用全等三角形的性质进行简单线段、角的等量推理。 ■考点 02・全等三角形的判定 考点内容：全等三角形判定定理 SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形专属判定 HL；判定时的隐含条件（公共边、公共角、对顶角相等）。 常见考法：①根据已知条件选择合适判定方法证明三角形全等；②辨析 SSA、AAA 不能作为全等判定依据；③结合图形挖掘公共边、公共角、对顶角等隐藏条件；④直角三角形优先考虑 HL 判定。 ■考点 03・角平分线的性质与判定 考点内容：角平分线的画法；角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 常见考法：①利用角平分线性质直接求线段长度；②证明点在角平分线上；③结合全等三角形证明角相等、线段相等；④注意：距离指垂线段长度，不是斜线段。 1 全等三角形的性质和判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 全等三角形的性质 若△ABC≅△DEF，则 AB=DE, BC=EF, AC=DF； ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F 全等三角形对应边相等，对应角相等；周长、面积也相等；注意书写时对应顶点位置对齐 2 SSS 判定（边边边） 在△ABC和△DEF中 AB=DEBC=EFAC=DF​ ∴△ABC≅△DEF(SSS) 三边对应相等，两个三角形全等 3 SAS 判定（边角边） 在△ABC和△DEF中 ​AB=DE∠B=∠EBC=EF​ ∴△ABC≅△DEF(SAS) 两边和它们的夹角对应相等；⚠️SSA 不能判定全等 4 ASA 判定（角边角） 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠EBC=EF∠C=∠F​ ∴△ABC≅△DEF(ASA) 两角和它们的夹边对应相等 5 AAS 判定（角角边） 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D∠B=∠EBC=EF​ ∴△ABC≅△DEF(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等 6 HL 判定（斜边直角边） 在Rt△ABC和Rt△DEF中 AB=DE(斜边)AC=DF(直角边)​ ∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL) 只适用于直角三角形；斜边 + 一条直角边对应相等 2.角平分线的性质与判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 角平分线性质 ∵点P在∠AOB平分线上，PM⊥OA, PN⊥OB ∴PM=PN 角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等 8 角平分线判定 ∵PM⊥OA, PN⊥OB, PM=PN ∴点P在∠AOB的平分线上 角内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上 ■辨析 01・全等三角形书写时，对应顶点位置不能随意调换 辨析内容：写全等 ABC⋍DEF必须保证对应顶点按顺序写；字母顺序直接锁定对应边、对应角。不按对应位置书写，容易找错对应边与对应角。 易错说法：只要两个三角形全等，字母随便写都可以（×）。 ■辨析 02・SSA、AAA 不能证明三角形全等 辨析内容：判定全等只能用 SSS、SAS、ASA、AAS；HL 仅限直角三角形。两边及其中一边对角相等（SSA）、三个角对应相等（AAA），只能确定形状，无法锁定大小，不能判定全等。 易错说法：有两边和一角相等就能证全等（×）；三个角对应相等的两个三角形全等（×）。 ■辨析 03・HL 判定仅适用于直角三角形 辨析内容：HL 是斜边和一条直角边对应相等，只能用在 Rt△，普通三角形不能使用 HL。普通三角形没有斜边这个概念。 易错说法：只要两边相等，就可以用 HL 证明全等（×）。 ■辨析 04・角平分线性质中 “距离” 指垂线段长度 辨析内容：角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。这里的距离，必须是从该点向角的两边作垂线得到垂线段；斜线段不适用这个性质。 易错说法：点在角平分线上，则这个点到角两边任意线段长度相等（×）。 ■辨析 05・全等三角形面积、周长相等；但面积 / 周长相等不一定全等 辨析内容：若两三角形全等，则对应边、角、周长、面积全部相等；反过来，周长相等或者面积相等的两个三角形，形状不一定一样，不一定能够完全重合，不一定全等。 易错说法：面积相等的两个三角形一定全等（×）；周长相等的两个三角形一定全等（×）。 ■辨析 06・全等三角形对应边上的中线、高、角平分线相等 辨析内容：全等三角形，除对应边、对应角相等之外，对应边上的中线、对应高、对应角平分线长度都相等；但非对应线段不一定相等。 易错说法：全等三角形任意的中线都相等（×）。 ■辨析 07・角平分线判定的前提：在角的内部 辨析内容：到角两边距离相等的点，在角的内部时，才在角平分线上；如果点在角外部，到两边距离相等，就不在这个角的平分线上。 易错说法：到角两边距离相等的点，一定在角的平分线上（×）。 【题型一】全等三角形的概念与对应边、对应角识别 【例1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 【变式1-1】（21-22八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．不是全等形，故此选项不合题意； B．是全等形，故此选项符合题意； C．不是全等形，故此选项不合题意； D．不是全等形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 【变式1-2】（23-24八年级上·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 【题型二】利用全等三角形的性质求线段长、角度数 【例2】（26-27八年级上·贵州·期中）如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 由图可知， ． 【变式2-1】（26-27八年级上·海南·期中）如图所示的是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据三角形内角和可得， ∵两个三角形全等，且与是对应角， ． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，已知、点B、C，E，F在同一直线上，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 【题型三】选择合适判定定理证明两个三角形全等（SSS/SAS/ASA/AAS） 【例3】（26-27八年级上·天津·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形内角和得出，再通过证明,进而得出． 【详解】解： ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式3-1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明： ， ∴，即， 在和中， ， ， ． 【分析】通过证明三角形全等来推导对应边相等来证明． 【详解】略． 【变式3-2】（25-26九年级下·四川自贡·期中）如图，在四边形ABCD中，E为BC边上一点，，求证： 【答案】证明：，， ， ∵在与中， ， ， ． 【分析】证明，即可证明． 【详解】略． 【变式3-3】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点E在上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据等角加同一个角仍相等得到，利用“”证两三角形全等； （2）由（1）知，得到对应角相等，再利用三角形内角和为，有两组角相等，剩下的角一定相等求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 【题型四】直角三角形利用 HL 判定全等 【例4】（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，已知，于点，于点，．求证：． 【答案】 证明：∵   ∴     ∴ ∵    ∴与是直角三角形 ∵在与中， ， ∴ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 根据题意得出，再由直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】略 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，，，求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，直接利用可证明． 【详解】略 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：． 【答案】 证明： ， ，即， ， 在和中， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先根据得出，再根据可证． 【详解】略． 【题型五】全等三角形与公共边、公共角、对顶角隐含条件综合证明 【例5】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）已知，如图，，，与交于点，且．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用证明得到，再利用证明，则可证明． 【详解】略 【变式5-1】（26-27八年级上·湖北·期中）手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．如图，从花折伞中抽象出“伞形图”，．求证：． 【答案】证明：在与中， ∴， ∴． 【分析】证明，即可得证． 【详解】略． 【变式5-2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得的度数，最后由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型六】角平分线性质求垂线段长度 【例6】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 【变式6-1】（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，P为上一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质．过点作于点．证明，利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点．   ，， 由作图过程可知：平分，，， ， 设，则有， ， ， 为上一动点， 则的最小值为， 故选：C． 【题型七】角平分线判定（证明点在角平分线上） 【例7】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：∵，分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与角平分线的判定定理．解题关键是通过证明直角三角形全等得到对应边相等，再利用角平分线判定定理完成证明． 【详解】略； 【变式7-1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴． ∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵，， ∴是的平分线， 即平分． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定、等角对等边等知识，证明是关键．证明，得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】略 【变式7-2】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，，是的中点，平分，求证：平分． 【答案】 证明：如图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、平行线的判定和性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质系．过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分． 【详解】略 【题型八】全等三角形的简单实际应用 【例8】（25-26八年级上·广西北海·期末）综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 【答案】 解：此方案可行，理由如下： 在和中， ， 所以， 所以， 所以的长即是的距离． 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 【变式8-1】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余； ②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【答案】教学楼顶部宣传牌的高度为 【分析】本题考查了全等三角形的应用，余角，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．根据三角形内角和定理和余角的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答：教学楼顶部宣传牌的高度为． 【变式8-2】（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与实践 乐乐在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，根据以下材料．探索完成任务． 发声物体的振动 材料1 如图，乐乐在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．    材料2 如图，乐乐用发声物体靠近小球． ①当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，； ②当小球摆到位置时，．此时与恰好垂直．（A，B，O，C在同一平面上） ③小球在两次摆动中点B和C的高度差．    问题解决 任务1 与相等吗？请说明理由； 任务2 当小球摆动到位置时，求小球到的水平距离的长． 【答案】 任务一：解：． 理由：， ， ， ； 任务二： 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，即可解决问题． 【详解】任务一：略 任务二：解：由题意得，． ， ， 由（1）可知， 在和中， ， ， ． ， ． ． 答：当小球摆动到位置时，小球到的水平距离长为． 【题型一】混淆 SSA、AAA，误用判定定理致错 【例 1】 （26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）英歌队排练“双龙出海”队形时，得到图形：点B、A、D在同一条直线上，点C、A、E在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)的长为 【分析】（1）根据条件运用，即可证明结论； （2）由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴． 易错警示 SSA（两边及其中一边对角）、AAA（三角对应相等）不能证明三角形全等。做题时，一定要看清是不是 SAS（必须是两边夹角），不要看到两组边一组角就直接判定全等。 【变式1-1】（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【答案】(1)证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； (2)1 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 【题型二】HL 判定使用范围出错 【例 2】 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 易错警示 HL只适用于直角三角形，普通三角形不能使用 HL；使用 HL 前，必须先写明两个三角形是直角三角形。 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，于点为上一点，连接交于点．若． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ； (2) 证明：， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查两个直角三角形全等的判定与性质，熟记两个直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理直接求证即可得到答案； （2）由（1）中两个直角三角形全等，得到，等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得，又是的中点，所以，然后通过“”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 【题型三】找错全等三角形对应边、对应角 【例 3】 26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，点E在上，已知，，，， 求： (1)的长度； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等解答即可． （2）根据全等三角形对应角相等结合三角形的外角的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴． 易错警示 书写全等ABC ≌DEF，字母顺序决定对应关系；不按对应顶点书写，极易找错对应边、对应角，计算出错。 【变式3-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，点A、F、D、B在同一直线上，若，，求的长． 【答案】2 【详解】解： ， ，， ，， ，， ． 【变式3-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）首先求出，然后由全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型四】角平分线性质忽略 “垂直” 条件 【例 4】 （25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．16 【答案】C 【分析】利用角平分线的性质定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积为． 易错警示 角平分线性质中的距离特指垂线段。题目缺少垂直条件时，不能直接得出线段相等；必须写明垂直，才能使用角平分线性质。 【变式4-1】（25-26八年级下·广东茂名·阶段检测）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 【变式4-2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知，的面积为，点是射线上一动点，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图： ∵平分，，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴的最小值为， 故选：A． 【题型五】全等性质反向错误推导 【例 5】 （25-26八年级上·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 易错警示 全等三角形周长相等、面积相等；周长 / 面积相等，不能推出三角形全等，不能把这个结论反过来使用。 【变式5-1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（22-23八年级上·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（   ） A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质判断求解即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定全等，故错误，不符合题意； B、形状相同的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意； C、全等三角形的面积一定相等，故正确，符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型六】角平分线判定忽略 “点在角内部” 【例 6】 （25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 【答案】 证明：， ， 与是直角三角形， 在与中， ， ， ， ， 平分， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，根据证明，得出，根据角平分线的判定证明平分，即可得证． 【详解】略 易错警示 到角两边距离相等的点，只有在角内部，才在角平分线上；不强调角内部，结论不成立。 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，中，点为的角平分线与外角的角平分线的交点，连接．求证：平分外角． 【答案】 解：如图，作于，于，于， 点为的角平分线与外角的角平分线的交点， ，， ， 平分外角． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 作于，于，于，先根据角平分线的性质得到，，利用等量代换得到，然后根据角平分线定理的逆定理可得结论． 【详解】略 【变式6-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ． ， ∴平分． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案. 【详解】略 【题型七】证明全等，漏写公共边、公共角等隐含条件 【例 7】 （26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：因为，， 所以，即， 又因为， 所以， 所以． 【分析】首先得到，然后证明，即可得到． 【详解】略 易错警示 图形中公共边、公共角、对顶角相等是题目隐藏条件，证明全等时，需要写进证明步骤，不能直接默认。 【变式7-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，试说明平分． 【答案】解：在与中， ， ， ， ∴平分． 【分析】根据证明即可得到结论． 【详解】略 【变式7-2】（七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 【答案】(1)证明：在与中， ∴， ∴， 即平分． (2)证明：由（1）得， 在与中， ∴， ∴ 【分析】（1）由题中条件易知：，可得平分； （2）利用（1）的结论，可得，得出． 【详解】（1）略 （2）略 【题型一】多步推导：多次证明三角形全等 【例 1】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，是边上一点，连接，若是的平分线，且． (1)若，求的面积； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)证明：过作交于点，如图， 由（1）知， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【分析】（1）过作交于点，利用角平分线的性质定理以及三角形面积公式求解即可； （2）过作交于点，先证明，然后证明，再由全等三角形的性质以及线段和差证明即可． 【详解】（1）解：过作交于点，如图， 因为平分， 所以， 所以； （2）略 【变式1-1】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)1 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为1． 【变式1-2】（22-23八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； (2)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据“”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据“”证明，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【题型二】动点背景下的全等分类讨论 【例 2】（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时． （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或． （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)点Q的运动速度为或 【分析】（1）用代数式表示出即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 【变式2-2】（25-26七年级下·山东济南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．    (1) _____；（用含t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵，，，， ∴，当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)存在或，使得与全等 【分析】（1）由题意得，则； （2）证明，，，证明，推出，据此可得结论； （3）分两种情况讨论：①若，则，②若，则，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴； （2）略 （3）解：①若，则， 即，解得； ②若，则， 即，解得； 综上所述，存在或，使得与全等． 【题型三】全等三角形的开放探究题（补充条件使三角形全等） 【例 3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与相交于点O，，，_____________，请从①；②；③；中选取一个作为条件，填在横线上（只填序号），再解决下列问题： (1)求证：；（选取一种情况） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1) ①或②；                         选①证明：， ， 即， ，， ； 选②证明：， ，即， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）选择①或②，利用或证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ，， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，点是外一点，连接、，与交于点，下列条件： ；；． (1)请从中选取两个合适的作为已知条件，证明余下的一个成立． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1) 解：情况一：选择为条件，为结论， 证明：在和中， ， ， ； 情况二：选择为条件，为结论， 证明：在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）情况一：选择为条件，为结论；情况二：选择为条件，为结论；根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ，， 在中，， ． 【题型四】角平分线判定与性质综合证明 【例 4】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 【答案】(1)如图，射线即为所求； (2)证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴； (3)证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由已知求出，则，再根据角平分线的性质得，即可证明； （3）证明得到，再结合（2）的结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式4-1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 【题型一】平移型 【模型解读】 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形．图①，图②是常见的平移型全等三角形． 【例1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，为上两点，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ，即． 在和中， ， ． 【详解】略 【变式1-1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)找出图中互相平行的线段，说明你的理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)，理由： ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以，， 所以． 【题型二】翻折型 【模型解读】 模型解读：将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，已知． (1)若，，求的度数． (2)如图②，连接，与交于点． （Ⅰ）求证：； （II）若四边形的面积为15，，请直接写出的长． 【答案】(1)48° (2) （Ⅰ）证明：， ，， 在和中， ， ， 又， ，即； （II）． 【分析】（1）利用三角形内角和定理与全等三角形的性质，通过等量代换逐步推导角度； （2）（Ⅰ）利用证明全等，再借助角的和差关系完成证明； （2）（II）将四边形面积转化为三角形面积之和，建立方程求解． 【详解】（1）解：， ，，． ， ． ， ， 在中，． （2）（Ⅰ）略． （II）解：的长为6．   ， ， ，， ， 解得． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，，．试说明：． 【答案】解：因为， 所以，即， 又因为，， 所以， 所以． 【分析】由，易得，再根据可证即可得． 【详解】解：略． 【变式2-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】证明：， , 即， 在和中， . 【分析】利用补角的性质得出，由“角角边”定理证明. 【详解】略 【题型三】旋转型 【模型解读】 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．识别旋转型三角形时，如图①，涉及对顶角相等；如图②，涉及等角加(减)公共角的条件． 【例3】（25-26七年级下·北京·期末）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 【变式3-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，，，求与的周长之和． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ (2)证明： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； (3)40 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，，则由等边对等角得到，则可证明，据此可证明结论； （3）求出的长，由全等三角形的性质得到的长，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∵的周长， 的周长， ∴的周长与的周长之和 ． 【变式3-2】（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 【题型四】 一线三垂直型 【模型解读】 基本图形如下：此类图形 通常告诉 BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE.（常用到同（等）角的余角相等） 【例4】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【变式4-1】（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【分析】（1）根据， ，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得： ，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ． 【变式4-2】（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】(1)，， (2) (3) 解：延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标， （2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标， （3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， （3）略 技巧 一句话要点 全等三角形对应元素识别 ——顺序定位法 全等书写字母顺序锁定对应顶点、对应边、对应角，按顺序找，不看图乱猜 全等判定选择 ——条件匹配法 已知两边优先 SSS/SAS；已知两角优先 ASA/AAS；直角三角形优先 HL。 证明全等思路 ——挖掘隐含条件法 图中有公共边、公共角、对顶角，直接作为一组相等条件写进证明。 角平分线性质使用 ——垂直标记法 看到角平分线，主动找垂线段；有垂直，才能直接得到垂线段相等。 角平分线判定使用 ——双垂验证法 要证点在角平分线上，必须证明该点到角两边垂线段长度相等。 全等辅助线 ——模型补全法 平移、翻折、旋转模型：补全图形构造全等；证线段和差，用截长补短 动点全等问题 ——分类枚举法 按对应顶点不同分情况讨论，算出边长后，检验是否符合题意。 全等证明书写 ——规范四步法 准备条件→指明三角形→罗列 3 个条件（大括号）→写出全等结论。 线段 / 角度等量转化 ——全等传递法 要证线段、角相等，优先证明所在三角形全等，利用全等性质转化。 开放型全等题 ——条件排除法 补充条件时避开 SSA、AAA，只选用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 有效判定。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(3类) 公式清单(8类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(7类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点02 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点03 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点04 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点05 角平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 ■考点 01・全等三角形的相关概念 考点内容：全等图形、全等三角形的概念；全等三角形的符号表示；全等三角形的对应顶点、对应边、对应角；全等三角形的性质。 常见考法：①判断所给两个图形是不是全等图形（紧扣 “能够完全重合”，形状、大小均相同）；②指出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，或用符号表示全等三角形；③根据全等三角形的性质，求对应边长度、对应角度数；④利用全等三角形的性质进行简单线段、角的等量推理。 ■考点 02・全等三角形的判定 考点内容：全等三角形判定定理 SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形专属判定 HL；判定时的隐含条件（公共边、公共角、对顶角相等）。 常见考法：①根据已知条件选择合适判定方法证明三角形全等；②辨析 SSA、AAA 不能作为全等判定依据；③结合图形挖掘公共边、公共角、对顶角等隐藏条件；④直角三角形优先考虑 HL 判定。 ■考点 03・角平分线的性质与判定 考点内容：角平分线的画法；角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 常见考法：①利用角平分线性质直接求线段长度；②证明点在角平分线上；③结合全等三角形证明角相等、线段相等；④注意：距离指垂线段长度，不是斜线段。 1 全等三角形的性质和判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 全等三角形的性质 若△ABC≅△DEF，则 AB=DE, BC=EF, AC=DF； ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F 全等三角形对应边相等，对应角相等；周长、面积也相等；注意书写时对应顶点位置对齐 2 SSS 判定（边边边） 在△ABC和△DEF中 AB=DEBC=EFAC=DF​ ∴△ABC≅△DEF(SSS) 三边对应相等，两个三角形全等 3 SAS 判定（边角边） 在△ABC和△DEF中 ​AB=DE∠B=∠EBC=EF​ ∴△ABC≅△DEF(SAS) 两边和它们的夹角对应相等；⚠️SSA 不能判定全等 4 ASA 判定（角边角） 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠EBC=EF∠C=∠F​ ∴△ABC≅△DEF(ASA) 两角和它们的夹边对应相等 5 AAS 判定（角角边） 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D∠B=∠EBC=EF​ ∴△ABC≅△DEF(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等 6 HL 判定（斜边直角边） 在Rt△ABC和Rt△DEF中 AB=DE(斜边)AC=DF(直角边)​ ∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL) 只适用于直角三角形；斜边 + 一条直角边对应相等 2.角平分线的性质与判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 角平分线性质 ∵点P在∠AOB平分线上，PM⊥OA, PN⊥OB ∴PM=PN 角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等 8 角平分线判定 ∵PM⊥OA, PN⊥OB, PM=PN ∴点P在∠AOB的平分线上 角内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上 ■辨析 01・全等三角形书写时，对应顶点位置不能随意调换 辨析内容：写全等 ABC⋍DEF必须保证对应顶点按顺序写；字母顺序直接锁定对应边、对应角。不按对应位置书写，容易找错对应边与对应角。 易错说法：只要两个三角形全等，字母随便写都可以（×）。 ■辨析 02・SSA、AAA 不能证明三角形全等 辨析内容：判定全等只能用 SSS、SAS、ASA、AAS；HL 仅限直角三角形。两边及其中一边对角相等（SSA）、三个角对应相等（AAA），只能确定形状，无法锁定大小，不能判定全等。 易错说法：有两边和一角相等就能证全等（×）；三个角对应相等的两个三角形全等（×）。 ■辨析 03・HL 判定仅适用于直角三角形 辨析内容：HL 是斜边和一条直角边对应相等，只能用在 Rt△，普通三角形不能使用 HL。普通三角形没有斜边这个概念。 易错说法：只要两边相等，就可以用 HL 证明全等（×）。 ■辨析 04・角平分线性质中 “距离” 指垂线段长度 辨析内容：角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。这里的距离，必须是从该点向角的两边作垂线得到垂线段；斜线段不适用这个性质。 易错说法：点在角平分线上，则这个点到角两边任意线段长度相等（×）。 ■辨析 05・全等三角形面积、周长相等；但面积 / 周长相等不一定全等 辨析内容：若两三角形全等，则对应边、角、周长、面积全部相等；反过来，周长相等或者面积相等的两个三角形，形状不一定一样，不一定能够完全重合，不一定全等。 易错说法：面积相等的两个三角形一定全等（×）；周长相等的两个三角形一定全等（×）。 ■辨析 06・全等三角形对应边上的中线、高、角平分线相等 辨析内容：全等三角形，除对应边、对应角相等之外，对应边上的中线、对应高、对应角平分线长度都相等；但非对应线段不一定相等。 易错说法：全等三角形任意的中线都相等（×）。 ■辨析 07・角平分线判定的前提：在角的内部 辨析内容：到角两边距离相等的点，在角的内部时，才在角平分线上；如果点在角外部，到两边距离相等，就不在这个角的平分线上。 易错说法：到角两边距离相等的点，一定在角的平分线上（×）。 【题型一】全等三角形的概念与对应边、对应角识别 【例1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（21-22八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【变式1-2】（23-24八年级上·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【题型二】利用全等三角形的性质求线段长、角度数 【例2】（26-27八年级上·贵州·期中）如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27八年级上·海南·期中）如图所示的是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，已知、点B、C，E，F在同一直线上，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型三】选择合适判定定理证明两个三角形全等（SSS/SAS/ASA/AAS） 【例3】（26-27八年级上·天津·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，，，求的度数． 【变式3-1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，已知，，．求证：． 【变式3-2】（25-26九年级下·四川自贡·期中）如图，在四边形ABCD中，E为BC边上一点，，求证： 【变式3-3】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点E在上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型四】直角三角形利用 HL 判定全等 【例4】（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，已知，于点，于点，．求证：． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，，，求证：． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：． 【题型五】全等三角形与公共边、公共角、对顶角隐含条件综合证明 【例5】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）已知，如图，，，与交于点，且．求证：． 【变式5-1】（26-27八年级上·湖北·期中）手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．如图，从花折伞中抽象出“伞形图”，．求证：． 【变式5-2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 【题型六】角平分线性质求垂线段长度 【例6】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【变式6-1】（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，P为上一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【题型七】角平分线判定（证明点在角平分线上） 【例7】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 【变式7-1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 【变式7-2】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，，是的中点，平分，求证：平分． 【题型八】全等三角形的简单实际应用 【例8】（25-26八年级上·广西北海·期末）综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 【变式8-1】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余； ②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【变式8-2】（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与实践 乐乐在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，根据以下材料．探索完成任务． 发声物体的振动 材料1 如图，乐乐在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．    材料2 如图，乐乐用发声物体靠近小球． ①当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，； ②当小球摆到位置时，．此时与恰好垂直．（A，B，O，C在同一平面上） ③小球在两次摆动中点B和C的高度差．    问题解决 任务1 与相等吗？请说明理由； 任务2 当小球摆动到位置时，求小球到的水平距离的长． 【题型一】混淆 SSA、AAA，误用判定定理致错 【例 1】 （26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）英歌队排练“双龙出海”队形时，得到图形：点B、A、D在同一条直线上，点C、A、E在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错警示 SSA（两边及其中一边对角）、AAA（三角对应相等）不能证明三角形全等。做题时，一定要看清是不是 SAS（必须是两边夹角），不要看到两组边一组角就直接判定全等。 【变式1-1】（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【变式1-2】（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型二】HL 判定使用范围出错 【例 2】 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，于点．若，求证：． 易错警示 HL只适用于直角三角形，普通三角形不能使用 HL；使用 HL 前，必须先写明两个三角形是直角三角形。 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，于点为上一点，连接交于点．若． 求证： (1)； (2)． 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【题型三】找错全等三角形对应边、对应角 【例 3】 26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，点E在上，已知，，，， 求： (1)的长度； (2)的度数． 易错警示 书写全等ABC ≌DEF，字母顺序决定对应关系；不按对应顶点书写，极易找错对应边、对应角，计算出错。 【变式3-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，点A、F、D、B在同一直线上，若，，求的长． 【变式3-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【题型四】角平分线性质忽略 “垂直” 条件 【例 4】 （25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．16 易错警示 角平分线性质中的距离特指垂线段。题目缺少垂直条件时，不能直接得出线段相等；必须写明垂直，才能使用角平分线性质。 【变式4-1】（25-26八年级下·广东茂名·阶段检测）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【变式4-2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知，的面积为，点是射线上一动点，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型五】全等性质反向错误推导 【例 5】 （25-26八年级上·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 易错警示 全等三角形周长相等、面积相等；周长 / 面积相等，不能推出三角形全等，不能把这个结论反过来使用。 【变式5-1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【变式5-2】（22-23八年级上·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（   ） A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等 【题型六】角平分线判定忽略 “点在角内部” 【例 6】 （25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 易错警示 到角两边距离相等的点，只有在角内部，才在角平分线上；不强调角内部，结论不成立。 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，中，点为的角平分线与外角的角平分线的交点，连接．求证：平分外角． 【变式6-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【题型七】证明全等，漏写公共边、公共角等隐含条件 【例 7】 （26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知：如图，，．求证：． 易错警示 图形中公共边、公共角、对顶角相等是题目隐藏条件，证明全等时，需要写进证明步骤，不能直接默认。 【变式7-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，试说明平分． 【变式7-2】（七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 【题型一】多步推导：多次证明三角形全等 【例 1】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，是边上一点，连接，若是的平分线，且． (1)若，求的面积； (2)试说明：． 【变式1-1】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-2】（22-23八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： (1)； (2)平分． 【题型二】动点背景下的全等分类讨论 【例 2】（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 【变式2-2】（25-26七年级下·山东济南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．    (1) _____；（用含t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【题型三】全等三角形的开放探究题（补充条件使三角形全等） 【例 3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与相交于点O，，，_____________，请从①；②；③；中选取一个作为条件，填在横线上（只填序号），再解决下列问题： (1)求证：；（选取一种情况） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【变式3-2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，点是外一点，连接、，与交于点，下列条件： ；；． (1)请从中选取两个合适的作为已知条件，证明余下的一个成立． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【题型四】角平分线判定与性质综合证明 【例 4】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 【变式4-1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【变式4-2】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【题型一】平移型 【模型解读】 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形．图①，图②是常见的平移型全等三角形． 【例1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，为上两点，已知，，．求证：． 【变式1-1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)找出图中互相平行的线段，说明你的理由． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【题型二】翻折型 【模型解读】 模型解读：将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，已知． (1)若，，求的度数． (2)如图②，连接，与交于点． （Ⅰ）求证：； （II）若四边形的面积为15，，请直接写出的长． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，，．试说明：． 【变式2-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【题型三】旋转型 【模型解读】 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．识别旋转型三角形时，如图①，涉及对顶角相等；如图②，涉及等角加(减)公共角的条件． 【例3】（25-26七年级下·北京·期末）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【变式3-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，，，求与的周长之和． 【变式3-2】（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【题型四】 一线三垂直型 【模型解读】 基本图形如下：此类图形 通常告诉 BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE.（常用到同（等）角的余角相等） 【例4】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式4-1】（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【变式4-2】（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 技巧 一句话要点 全等三角形对应元素识别 ——顺序定位法 全等书写字母顺序锁定对应顶点、对应边、对应角，按顺序找，不看图乱猜 全等判定选择 ——条件匹配法 已知两边优先 SSS/SAS；已知两角优先 ASA/AAS；直角三角形优先 HL。 证明全等思路 ——挖掘隐含条件法 图中有公共边、公共角、对顶角，直接作为一组相等条件写进证明。 角平分线性质使用 ——垂直标记法 看到角平分线，主动找垂线段；有垂直，才能直接得到垂线段相等。 角平分线判定使用 ——双垂验证法 要证点在角平分线上，必须证明该点到角两边垂线段长度相等。 全等辅助线 ——模型补全法 平移、翻折、旋转模型：补全图形构造全等；证线段和差，用截长补短 动点全等问题 ——分类枚举法 按对应顶点不同分情况讨论，算出边长后，检验是否符合题意。 全等证明书写 ——规范四步法 准备条件→指明三角形→罗列 3 个条件（大括号）→写出全等结论。 线段 / 角度等量转化 ——全等传递法 要证线段、角相等，优先证明所在三角形全等，利用全等性质转化。 开放型全等题 ——条件排除法 补充条件时避开 SSA、AAA，只选用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 有效判定。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $