专题02 全等三角形（9知识&5题型&8方法清单）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 全等三角形（9知识&5题型&8方法清单） 【清单01】全等形 1. 定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形的特征：“两相同”与“两无关”. (1)“两相同”：①形状相同；②大小相同. (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转. 【清单02】全等三角形 1. 全等三角形的有关概念和表示方法 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等 相关概念 示例 对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 相关概念 示例 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 2. 三种常见的全等类形 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 【清单03】全等三角形的判定与性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 【清单04】全等三角形的证明思路 【清单05】全等三角形证明方法 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法： 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两 个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2） 如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质 或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3） 如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形， 通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【清单06】用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 【清单07】作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图). 【清单08】角的平分线的性质与判定 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 几何语言：如图， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 2. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言：如图， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 【清单09】证明几何命题的一般步骤 1. 证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； (3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2. 推理证明中常见的分析方法 (1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 【题型一】全等三角形及其性质 【例1-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 【例1-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）已知，，．那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴，，． 在中，根据三角形内角和定理：， 故选：D． 【例1-3】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 【题型二】三角形全等的判定综合 【例2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【详解】解：由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 【变式2-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】A 【详解】解：A、若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本选项的说法错误； B、若第3轮甲添加，满足边边角，不能判定与全等，则甲获胜，故本选项的说法正确； C、若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本选项的说法正确； D、若第2轮乙添加条件修改为，第3轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角，无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分胜负，故本选项的说法正确． 故选：A． 【变式2-3】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， A、添加不能判定三角形全等，符合题意； B、在与中， ， ，不符合题意； C、在与中， ， ，不符合题意； D、在与中， ， ，不符合题意； 故选：A． 【变式2-4】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【答案】不能；选择条件①(还可选择条件②，但不能选择条件③)，理由见解析 【详解】解：不能． 选择①， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择②， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【题型三】三角形全等的性质与判定综合 【例3-1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 【详解】证明：在和中， ， ∴≌， ∴． 【例3-2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 【详解】证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【例3-3】（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【详解】（1）解：，证明如下： 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 即, ∴， ∴， 即. 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 【变式3-4】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3-5】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，后，与是否全等？请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，则点的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点以第（1）题②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？ 【详解】（1）解：①全等，理由如下： ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， 若与全等，， 则，， ∴点，点运动的时间：， ∴； （2）解：设经过秒后点和点第一次相遇， 由题意，得：， 解得：， ∴点共运动了， 的周长为：， 若是运动了三圈即为：， ∵， ∴点，点在边上相遇， ∴经过，点，点第一次在边上相遇． 【变式3-6】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 【详解】（1）①解：，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又 ∵， ∴ ， 在 中，， ∴； ②在射线上截取，使，如图所示， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，即时，， ∴； （2）如图，当点F在A点右边时，过点D作，如图， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点F在A点左边时，过点D作所在直线的垂线，交于点M，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型四】角的平分线 【例4-1】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 【例4-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 点O是三条角平分线的交点， ， ∵， ， ， ． 故选：C 【例4-3】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，于E，于F，若，，求证： (1)； (2)平分． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在和中， ， ； （2）∵ 于E，于F，， 是的角平分线． 平分． 【例4-4】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 【变式4-1】（23-24八年级上·河北沧州·期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致， ∴点P到射线，的距离相等， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（23-24八年级上·全国·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【详解】解：如图，过P点作于C点，于D点， ∴， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， 因为为公共边， 所以， 所以， 所以为的平分线． 故选：A． 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 【变式4-4】（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证：    (1)点在的平分线上； (2)． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）证明：由（）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型五】尺规作图 【例5-1】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 【答案】 【详解】以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； 同样地，以为圆心，同样的长度（即与前面半径相等）为半径画弧，交于点， 再以为圆心，长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点， 连接，这样就得到． 在和中，三边对应相等，根据全等三角形判定定理“SSS（边边边）”， 可得 所以，即得出作一个角等于已知角的依据是“”． 故答案为：． 【例5-2】（22-23八年级上·河北唐山·期中）已知，求作射线，使平分． ①作射线； ②在和上分别截取，使； ③分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，在内两弧交于． 作法的合理顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：角平分线的作法： 第一步，在和上截取和，使，这一步确定了点和的位置，为后续作弧提供基准点，对应步骤， 第二步，以、为圆心，大于一半的长度为半径作弧，两弧在内交于点，这一步通过弧的交点确定角平分线上的点，对应步骤， 第三步，作射线，连接顶点与点，完成角平分线的作图，对应步骤， ∴正确顺序为 故选：． 【例5-3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，若，，为的中线． (1)写出长的取值范围：__________； (2)如图，已知线段、．用直尺和圆规作，使得，，． 【详解】（1）解：如图所示，延长使得，连接， ∵为的中线． ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， 即 ∴ ∴， 故答案为：． （2）如图所示即为所求； 【变式5-1】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式5-3】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以为圆心，长为半径作泒，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ， ．（ ③ ）（填推理的依据） ，， ，． 就是所求作的三角形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：，，， ， ．（全等三角形对应角相等）（填推理的依据） ，， ，． 就是所求作的三角形． 故答案为：；；全等三角形对应角相等。 【题型一】平移模型 模型归纳 【例1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【详解】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【变式1】如图，点A、D、B、E在一条直线上，，，，试说明．    【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 【题型二】对称模型 模型归纳 有公共边： 有公共顶点： 【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， A、添加不能判定三角形全等，符合题意； B、在与中， ， ，不符合题意； C、在与中， ， ，不符合题意； D、在与中， ， ，不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：和中，，， A．添加，依据不能判定，符合题意； B．添加，依据能判定，不合题意； C．添加，依据能判定，不合题意； D．添加，依据能判定，不合题意； 故选A． 【变式2-2】（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（22-23八年级上·全国·期中）如图所示已知，，现给出下列条件： ①；②；③；④；其中能使的条件有 （注：把你认为正确的序号都填上） 【答案】①③④ 【详解】解：， ， 即， 又， 所以要判定，可添加的条件为： ①③④ 故答案为：①③④． 【变式2-4】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm． 【答案】45 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：45． 【题型三】一线三等角模型 模型归纳：条件：已知，，三点共线，，且 图示：同侧型 图示：异侧型 结论： 【例3-1】（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 【例3-2】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 如图1，是直角三角形，，是过直角顶点的一条直线，直线，垂足为，直线，垂足为．试说明．          解：直线，垂足为， ． ．（依据：______） 点，，在同一条直线上， ． ， ______ ． 在这道题中，因为，所以这种模型也叫做“一线三等角”模型． 任务： (1)将上述解答过程中的空白部分补充完整． (2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角． (3)如图2，是等边三角形，，直角三角形的顶点在边上，，，与交于点，与交于点，请写出图中所有除角及对顶角以外相等的角，并选择一组说明理由． 【详解】（1）解：由题意知，依据为直角三角形的两个锐角互余，， 故答案为：直角三角形的两个锐角互余，； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴． （3）解：（或），（或）； 选择． 理由：， ∴． ∵， ∴． ∴． 选择． 理由：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【例3-3】（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）．理由如下， 如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（22-23八年级上·全国·期中）（1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； 又，， ， 在和中， ， ； ，； ， ； （2）解：结论：． 理由：， ， ， ， ； 又， ， 在和中， ， ， ，； ， ． 【变式3-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； (1)如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）成立，理由如下： ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）设点运动的时间为， 当点在上，点在上，如图1， 则，，，， 与全等， ，即， 解得， 即运动4秒时，与全等； 当点都在上，即点与点重合时，与全等， 此时， 解得， 当点在上，点在上，如图2， 则，， 与全等， ，即, 解得，（不符合题意，舍去）； 当点停在点处，点在 由得， 解得， 综上所述，当t等于或或时，与全等． 【题型四】手拉手模型 模型归纳 【例4】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【变式4-1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 【变式4-2】（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 【题型五】角含半角模型 模型归纳：如图，<，>< ，<. 【例5-1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）（半角模型）如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 【详解】证明：如图，在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，． ∵，则 ∴． ∴． 在和中 ， ∴ ∴． 即 ∴． 【例5-2】（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且． 求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形， （依据1），． ， ， ， （依据2），． ，， ， ，即， ． ，，， ． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务： (1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 【详解】（1）材料中的依据1是指正方形的四条边相等（或正方形的性质）；依据2是指全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质） 故答案为：正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）； （2）补全辅助线如图所示：将绕点顺时针旋转得到， （3）将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， 五边形的周长， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 【题型六】利用“倍长中线法”构造全等三角形 方法知指导： 条件：如图，为的中线 关键词：中线、中点 策略：延长中线至 ，使得，连接 结论： 【例6-1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 【详解】（1）解：延长到M，使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即 ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，证明如下： 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：， ，证明如下： 延长到M，使得，延长交于G，连接，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴（周角的定义）， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，； （4）解：如图所示，过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N， ∵是的高，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ， ∴； 同理可证明， ∴， ∴． 【例6-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【详解】（1）证明：是的中线 ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至，使， 连接， 是的中线， ， ∵ ，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ， ， ， ． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【详解】解：方法呈现：如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； 问题背景：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 构造联系：（2）延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ； （3）解：，，理由如下： 延长到，使，连接，如图3所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【变式6-3】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【详解】（1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中，， ， ， ， ， ， ； （2）答案为：A、B、C； 解：如图②中，延长至，使， 由，故A正确 由（1）得，， ， ，， 点为的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ，，故B、C正确． ，故D错误． （3）证明：如图（3）中，延长到，使得，连接． 同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，即． 【题型七】利用角平分线构造全等三角形 方法指导 条件:<平分</m> 策略： 结论： 【例7-1】（22-23八年级上·福建泉州·期中）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下： 在和中， 平分 ≌（___________） 在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________） 在括号内填写理由依据 【问题探究】 如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：； 【拓展延伸】 如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：[问题情境]：在和中， ， ≌， 全等三角形的对应边相等． 故答案为：，全等三角形对应边相等； [问题探究]证明：延长交延长线于， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ． [拓展延伸]解：结论：理由如下： 过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ． 【例7-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质； （1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于H，证明是等腰直角三角形，可得，然后同（2）证明， ，即可得出答案． 【详解】解：（1）在和中，， ∴， ∴； （2）如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）． 证明：如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即 ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点 即 即点到的距离是 故答案为； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ．    【变式7-3】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 【详解】解：（1）补充证明如下：∵， ∴， 又∵ ∴ ∵点是边的中点， ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴ ∴， 又， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴ ∴ ． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【题型八】利用“截长补短法”构造全等三角形 方法指导 适用范围：证明线段的和差关系，如></m> 策略:①截长：在长边上截取一边等于一短边，证剩下的短边等于另一短边 ②补短：延长其中一短边使延长线等于另一短边，证延长之后的边等于长边 【例8】（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【变式8-1】（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 【变式8-2】（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（9知识&5题型&8方法清单） 【清单01】全等形 1. 定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形的特征：“两相同”与“两无关”. (1)“两相同”：①形状相同；②大小相同. (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转. 【清单02】全等三角形 1. 全等三角形的有关概念和表示方法 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等 相关概念 示例 对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 相关概念 示例 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 2. 三种常见的全等类形 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 【清单03】全等三角形的判定与性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 【清单04】全等三角形的证明思路 【清单05】全等三角形证明方法 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法： 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两 个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2） 如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质 或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3） 如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形， 通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【清单06】用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 【清单07】作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图). 【清单08】角的平分线的性质与判定 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 几何语言：如图， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 2. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言：如图， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 【清单09】证明几何命题的一般步骤 1. 证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； (3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2. 推理证明中常见的分析方法 (1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 【题型一】全等三角形及其性质 【例1-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）已知，，．那么等于（  ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【变式1-2】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【题型二】三角形全等的判定综合 【例2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【变式2-1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【变式2-3】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【题型三】三角形全等的性质与判定综合 【例3-1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 【例3-2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 【例3-3】（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，则 ． 【变式3-4】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：． 【变式3-5】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，后，与是否全等？请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，则点的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点以第（1）题②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？ 【变式3-6】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 【题型四】角的平分线 【例4-1】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【例4-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，于E，于F，若，，求证： (1)； (2)平分． 【例4-4】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式4-1】（23-24八年级上·河北沧州·期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级上·全国·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式4-4】（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证：    (1)点在的平分线上； (2)． 【题型五】尺规作图 【例5-1】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 【例5-2】（22-23八年级上·河北唐山·期中）已知，求作射线，使平分． ①作射线； ②在和上分别截取，使； ③分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，在内两弧交于． 作法的合理顺序是（   ） A． B． C． D． 【例5-3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，若，，为的中线． (1)写出长的取值范围：__________； (2)如图，已知线段、．用直尺和圆规作，使得，，． 【变式5-1】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【变式5-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【变式5-3】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以为圆心，长为半径作泒，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ， ．（ ③ ）（填推理的依据） ，， ，． 就是所求作的三角形． 【题型一】平移模型 模型归纳 【例1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【变式1】如图，点A、D、B、E在一条直线上，，，，试说明．    【题型二】对称模型 模型归纳 有公共边： 有公共顶点： 【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 【变式2-3】（22-23八年级上·全国·期中）如图所示已知，，现给出下列条件： ①；②；③；④；其中能使的条件有 （注：把你认为正确的序号都填上） 【变式2-4】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm． 【题型三】一线三等角模型 模型归纳：条件：已知，，三点共线，，且 图示：同侧型 图示：异侧型 结论： 【例3-1】（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【例3-2】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 如图1，是直角三角形，，是过直角顶点的一条直线，直线，垂足为，直线，垂足为．试说明．          解：直线，垂足为， ． ．（依据：______） 点，，在同一条直线上， ． ， ______ ． 在这道题中，因为，所以这种模型也叫做“一线三等角”模型． 任务： (1)将上述解答过程中的空白部分补充完整． (2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角． (3)如图2，是等边三角形，，直角三角形的顶点在边上，，，与交于点，与交于点，请写出图中所有除角及对顶角以外相等的角，并选择一组说明理由． 【例3-3】（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【变式3-1】（22-23八年级上·全国·期中）（1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 【变式3-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； (1)如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 【题型四】手拉手模型 模型归纳 【例4】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 【变式4-1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【变式4-2】（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【题型五】角含半角模型 模型归纳：如图，<，>< ，<. 【例5-1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）（半角模型）如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 【例5-2】（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【变式5-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且． 求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形， （依据1），． ， ， ， （依据2），． ，， ， ，即， ． ，，， ． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务： (1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【题型六】利用“倍长中线法”构造全等三角形 方法知指导： 条件：如图，为的中线 关键词：中线、中点 策略：延长中线至 ，使得，连接 结论： 【例6-1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 【例6-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【变式6-2】（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【变式6-3】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【题型七】利用角平分线构造全等三角形 方法指导 条件:<平分</m> 策略： 结论： 【例7-1】（22-23八年级上·福建泉州·期中）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下： 在和中， 平分 ≌（___________） 在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________） 在括号内填写理由依据 【问题探究】 如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：； 【拓展延伸】 如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【例7-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式7-1】（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 【变式7-2】（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    【变式7-3】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 【题型八】利用“截长补短法”构造全等三角形 方法指导 适用范围：证明线段的和差关系，如></m> 策略:①截长：在长边上截取一边等于一短边，证剩下的短边等于另一短边 ②补短：延长其中一短边使延长线等于另一短边，证延长之后的边等于长边 【例8】（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【变式8-1】（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【变式8-2】（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $