专题01 三角形基础（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 三角形基础 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一・三角形基本概念与三边关系 考点二・三角形重要线段与面积 考点三・三角形内角外角及角度模型 05 重难题型突破 题型一 三角形三边关系与等腰三角形分类讨论 题型二・三角形三线与面积计算 题型三・内角、外角与角度模型 题型四・三角板组合拼接角度计算 题型五・三角形内外角平分线夹角模型06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题是期中几何的基础板块，命题以选择、填空小题为主，搭配少量简单计算简答题。核心考点集中在三角形三边关系判断、三角形三线识别、内外角角度计算、多边形内外角和；8 字、飞镖模型常作为角度计算工具嵌入小题或大题第 1 小问。整体难度偏低，属于必拿基础分板块，主要失分点集中在等腰边长分类讨论忘记验证三边关系、混淆外角概念（忽略 “不相邻” 条件）。 识记 准确复述三角形分类、三边关系，牢记高、中线、角平分线定义；熟记三角形内角和、外角性质，掌握 8 字、飞镖模型结论；记住多边形内角和、外角和公式与对角线计算公式。 理解 理解三角形三条线段的几何意义，能区分钝角三角形的内外高线；理解外角 “不相邻” 的限制条件，理清多边形边数与内角、对角线之间的数量关系；能辨析等腰三角形边长分类讨论的两种情况。 应用 能利用三边关系判断线段能否构成三角形、求解边长范围；借助 8 字、飞镖模型快速完成角度计算；结合多边形公式求解边数，能对等腰三角形边长分类讨论并检验，解决简单几何计算小题。 考点一 三角形基本概念与三边关系 1.三角形分类 （1）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。 （2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 2.三角形三边关系 （1）定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 （2）应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边，求第三边取值范围。 📌避坑指南 判断三边能否组成三角形，只需验证较短两条线段之和大于最长边，不用三组都验证；等腰三角形边长计算，求出结果后一定要检验三边关系 考点二・三角形重要线段与面积 1.高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间线段叫高。钝角三角形有 2 条高线在三角形外部。 2.中线：顶点到对边中点的线段；一条中线把三角形分成面积相等的两部分。 3.角平分线：平分三角形内角，三条角平分线交于内心。 💡记忆口诀 高看形状内外分，中线等分面积存，角平分线到边等。 考点三・三角形内角外角及角度模型 1.内角：三角形内角和等于 180°。 2.外角性质：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个不相邻内角。 3.几何模型：8 字模型、飞镖模型，用于快速倒角计算。 ⚠️易混易错 外角必须是不相邻两个内角相加，相邻内角和外角互补，不要混淆。 题型一 三角形三边关系与等腰三角形分类讨论 【典例1】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 💡破题要诀 1.判断三条线段能否构成三角形，只需验证：较短两边之和＞最长边。 2.已知两边求第三边范围：两边之差＜第三边＜两边之和。 3.等腰三角形边长问题，分两种情况讨论：已知边为腰、已知边为底边。 每种情况求出边长后，必须检验三边关系，舍去无法构成三角形的情况 迁移应用 1．（26-27八年级上·全国·单元测试）现有两根长度为和的木棒，佳佳若想钉一个三角形木框，他能选择以下哪个长度的木棒？（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为（     ） A．或 B． C． D．或 题型二・三角形三线与面积计算 【典例2】（2026八年级上·浙江·专题练习）如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1.高：从顶点向对边作垂线，钝角三角形有两条高在三角形外部。 2.中线：三角形中线将三角形分成面积相等的两部分。 3.角平分线：平分三角形内角；若搭配垂直条件，可得到点到角两边距离相等。 4.同高的两个三角形，面积之比等于底边长之比。 迁移应用 1．（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，是边上的高，点D在的延长线上，是边上的高，点E在的延长线上，若，，，则的长是____________． 2．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，已知，，分别是，，的中点，且的面积为，则的面积为_________． 题型三・内角、外角与角度模型 【典例3】（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，中，为边上一点，过作，交于为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 💡破题要诀 1.三角形内角和为180°。 2.三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，外角大于任意一个不相邻内角。 3.8 字模型、飞镖模型本质为内角和与外角性质的推导，可快速倒角。 迁移应用 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图①，在中，为边上的高，为的平分线，已知，． (1)求的度数； (2)若将“题中的条件”改为“”，如图②，其他条件不变，请直接写出的度数． 2．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 题型四・三角板组合拼接角度计算 【典例4】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 【探索发现】 (1)如图1，，是的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个直角三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的锐角顶点A重合，的边与共线，的顶点E在上，且，求证：． (2)如图2，，是∠的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的直角顶点重合，且点A在上，点D在上，于点A，把沿方向平移，当点C移到E点时，再把 沿方向平移，在整个平移过程中，请直接写出与的数量关系： ． 【深入探究】 (3)如图3，，和都是直角三角形，，与共线，点E在上，平分，，求证：平分． 【拓展提升】 (4)如图4，，和都是直角三角形，，且A、C、D三点共线，与共线，点A在上，平分，点F是直线上一动点（点F不与点E重合），连接，作的角平分线交于点 H，请直接写出 与的数量关系． 💡破题要诀 1.牢记两套三角板固定角度:90°、60°、30°:90°、45°、45° 2.组合图形倒角，优先利用外角、平角、三角形内角和。 3.重叠、拼接图形，找准公共角、对顶角，避免看错角, 迁移应用 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）综合与实践： 某数学兴趣小组将一副三角板的两个锐角顶点重合，研究其中一个三角板在旋转过程中所得到的一些角之间的数量关系． (1)如图1，当三角板中三个顶点，，在同一条直线上时（，）． ①请直接写出的度数为________； ②分别作和的角平分线和，求的度数． (2)如图2，数学兴趣小组将等腰直角三角板绕点逆时针旋转度（），，分别平分和，当边与三角板的边所在的直线重合时，求出的度数． 2．（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图，小明把一副三角板直角顶点重叠在一起如图固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当边与边重合时停止转动．    【解决问题】 (1)在旋转过程中，请填出、之间的数量关系______； (2)当运动时间为秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由； (3)当、中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线是的“优线”，请直接写出所有满足条件的值． 题型五・三角形内外角平分线夹角模型 【典例5】（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点P． (1)若，，则______°，______°； (2)，则______°（用n表示），并说明理由． 【应用】 (3)如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______． 💡破题要诀 1.两内角平分线夹角:夹角等于90°十顶角。 2.一内一外角平分线夹角:夹角等于顶角。 3.两外角平分线夹角:夹角等于90°-顶角。 迁移应用 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 2．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）综合探究与应用 【问题情境】 (1)如图，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数________． 【问题探究】 (2)如图，在中，作外角，的平分线交于点．求和的数量关系． 【拓展应用】 (3)如图，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则________． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·黑龙江·期中）下列图形中，作的边上的高，正确的是（     ） A．B．C．D． 2．（26-27八年级上·湖北·期中）用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（ ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架B．拉杆C．三脚架D．太阳能热水器 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）将一把直尺和一块含角的直角三角尺（，）按如图所示的方式放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，将一套直角三角板如图所示放置，使等腰的斜边恰好经过另一个的直角顶点C，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 7．（25-26八年级上·山西忻州·期末）如图，有一张三角形纸片．其中．将该纸片沿剪开，得到一张四边形纸片，则的度数为________． 8．（26-27八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 9．（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）已知，是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 10．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中， ，平分 (1)求的度数； (2)探究 与 之间有何等量关系，并直接写出结论． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·广东·期中）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）如图，在中，和的角平分线交于点O．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，则较小锐角的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 6．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 7．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，平分平分，求的度数． 8．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 9．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形基础 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一・三角形基本概念与三边关系 考点二・三角形重要线段与面积 考点三・三角形内角外角及角度模型 05 重难题型突破 题型一 三角形三边关系与等腰三角形分类讨论 题型二・三角形三线与面积计算 题型三・内角、外角与角度模型 题型四・三角板组合拼接角度计算 题型五・三角形内外角平分线夹角模型06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题是期中几何的基础板块，命题以选择、填空小题为主，搭配少量简单计算简答题。核心考点集中在三角形三边关系判断、三角形三线识别、内外角角度计算、多边形内外角和；8 字、飞镖模型常作为角度计算工具嵌入小题或大题第 1 小问。整体难度偏低，属于必拿基础分板块，主要失分点集中在等腰边长分类讨论忘记验证三边关系、混淆外角概念（忽略 “不相邻” 条件）。 识记 准确复述三角形分类、三边关系，牢记高、中线、角平分线定义；熟记三角形内角和、外角性质，掌握 8 字、飞镖模型结论；记住多边形内角和、外角和公式与对角线计算公式。 理解 理解三角形三条线段的几何意义，能区分钝角三角形的内外高线；理解外角 “不相邻” 的限制条件，理清多边形边数与内角、对角线之间的数量关系；能辨析等腰三角形边长分类讨论的两种情况。 应用 能利用三边关系判断线段能否构成三角形、求解边长范围；借助 8 字、飞镖模型快速完成角度计算；结合多边形公式求解边数，能对等腰三角形边长分类讨论并检验，解决简单几何计算小题。 考点一 三角形基本概念与三边关系 1.三角形分类 （1）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。 （2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 2.三角形三边关系 （1）定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 （2）应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边，求第三边取值范围。 📌避坑指南 判断三边能否组成三角形，只需验证较短两条线段之和大于最长边，不用三组都验证；等腰三角形边长计算，求出结果后一定要检验三边关系 考点二・三角形重要线段与面积 1.高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间线段叫高。钝角三角形有 2 条高线在三角形外部。 2.中线：顶点到对边中点的线段；一条中线把三角形分成面积相等的两部分。 3.角平分线：平分三角形内角，三条角平分线交于内心。 💡记忆口诀 高看形状内外分，中线等分面积存，角平分线到边等。 考点三・三角形内角外角及角度模型 1.内角：三角形内角和等于 180°。 2.外角性质：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个不相邻内角。 3.几何模型：8 字模型、飞镖模型，用于快速倒角计算。 ⚠️易混易错 外角必须是不相邻两个内角相加，相邻内角和外角互补，不要混淆。 题型一 三角形三边关系与等腰三角形分类讨论 【典例1】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：选项，，最短两边之和小于第三边，不满足条件，不能组成三角形 ． 选项，，最短两边之和等于第三边，不满足条件，不能组成三角形． 选项，，最短两边之和小于第三边,不满足条件，不能组成三角形． 选项，，，最短两边之和大于第三边，最长边和最短边两边之差小于第三边，满足条件，能组成三角形． 💡破题要诀 1.判断三条线段能否构成三角形，只需验证：较短两边之和＞最长边。 2.已知两边求第三边范围：两边之差＜第三边＜两边之和。 3.等腰三角形边长问题，分两种情况讨论：已知边为腰、已知边为底边。 每种情况求出边长后，必须检验三边关系，舍去无法构成三角形的情况 迁移应用 1．（26-27八年级上·全国·单元测试）现有两根长度为和的木棒，佳佳若想钉一个三角形木框，他能选择以下哪个长度的木棒？（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系确定第三根木棒的长度取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：设第三根木棒长为，根据题意得： ， 即， 选项中只有符合该范围． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】题目未明确等腰三角形的腰与底，需分类讨论腰长，结合三角形三边关系排除不能构成三角形的情况后计算周长即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当腰长为时，等腰三角形的三边长为，，，三边长能构成三角形， ∴周长为； 当腰长为时，等腰三角形的三边长为，，， ∵， 此情况的三边长不能构成三角形，舍去． 题型二・三角形三线与面积计算 【典例2】（2026八年级上·浙江·专题练习）如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是的边上的中线，的面积为， ∴； ∵E为的中点， ∴； 又∵F为的中点， ∴． 💡破题要诀 1.高：从顶点向对边作垂线，钝角三角形有两条高在三角形外部。 2.中线：三角形中线将三角形分成面积相等的两部分。 3.角平分线：平分三角形内角；若搭配垂直条件，可得到点到角两边距离相等。 4.同高的两个三角形，面积之比等于底边长之比。 迁移应用 1．（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，是边上的高，点D在的延长线上，是边上的高，点E在的延长线上，若，，，则的长是____________． 【答案】 【分析】利用三角形面积公式，通过等面积法建立关于的方程求解. 【详解】 解：是边上的高，是边上的高， ， ，，， ， ， . 2．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，已知，，分别是，，的中点，且的面积为，则的面积为_________． 【答案】2 【分析】连接，由，分别是，的中点，可得，再由是的中点，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 题型三・内角、外角与角度模型 【典例3】（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，中，为边上一点，过作，交于为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据，得出，，结合，得出，即可证明； （2）在中，根据三角形内角和为求出，则，根据对顶角相等，得 ，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 💡破题要诀 1.三角形内角和为180°。 2.三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，外角大于任意一个不相邻内角。 3.8 字模型、飞镖模型本质为内角和与外角性质的推导，可快速倒角。 迁移应用 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图①，在中，为边上的高，为的平分线，已知，． (1)求的度数； (2)若将“题中的条件”改为“”，如图②，其他条件不变，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得， ，进一步即可求解， （2）根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 为的平分线， ． 为边上的高， ， ， ． （2）解：，， ， 为的平分线， ， 为边上的高， ， ， ， ． 2．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． 是的外角， ， ， ∵平分， ， 在中，， ， ， ． ， ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定理求出，根据外角的性质求出，即可求解； （2）根据（1）中的思路即可推导出这些角之间的关系． 【详解】（1）解：在中，，， ． ∵平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，； （2）略 题型四・三角板组合拼接角度计算 【典例4】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 【探索发现】 (1)如图1，，是的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个直角三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的锐角顶点A重合，的边与共线，的顶点E在上，且，求证：． (2)如图2，，是∠的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的直角顶点重合，且点A在上，点D在上，于点A，把沿方向平移，当点C移到E点时，再把 沿方向平移，在整个平移过程中，请直接写出与的数量关系： ． 【深入探究】 (3)如图3，，和都是直角三角形，，与共线，点E在上，平分，，求证：平分． 【拓展提升】 (4)如图4，，和都是直角三角形，，且A、C、D三点共线，与共线，点A在上，平分，点F是直线上一动点（点F不与点E重合），连接，作的角平分线交于点 H，请直接写出 与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)见解析 (4)或或 【分析】（1）延长交于点，先根据平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，即可得到，即可证明平行； （2）分两种情况讨论，当点在上，当点在上，分别作出辅助线，利用平行线的性质，结合平移的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）延长交于点，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义证明即可； （4）分三种情况讨论，当在延长线上，当点在延长线与直线的交点的左侧，当点在延长线与直线的交点的右侧，过点作平行线，结合平行线的性质以及三角形内角和定理探究即可． 【详解】（1）证明：延长交于点，如图， 在中，， 在中， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：①当点在上时，延长直线交于点，如图： ∵， ∴ 由平移可得， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴； ②当点在上时，过点向上作，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 由上可知， ∴， 综上：与的数量关系为：或； （3）证明：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分； （4）解：当在延长线上时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ， ∴， 设 ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在延长线与直线的交点的左侧时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 设， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； 当点在延长线与直线的交点的右侧时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 设 ， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ； 综上：与的数量关系为：或或． 💡破题要诀 1.牢记两套三角板固定角度:90°、60°、30°:90°、45°、45° 2.组合图形倒角，优先利用外角、平角、三角形内角和。 3.重叠、拼接图形，找准公共角、对顶角，避免看错角, 迁移应用 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）综合与实践： 某数学兴趣小组将一副三角板的两个锐角顶点重合，研究其中一个三角板在旋转过程中所得到的一些角之间的数量关系． (1)如图1，当三角板中三个顶点，，在同一条直线上时（，）． ①请直接写出的度数为________； ②分别作和的角平分线和，求的度数． (2)如图2，数学兴趣小组将等腰直角三角板绕点逆时针旋转度（），，分别平分和，当边与三角板的边所在的直线重合时，求出的度数． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】本题考查了三角形的旋转，角平分线的性质及角度的计算，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）①由直接计算即可；②由角平分线得性质得，再根据计算即可； （2）分与重合，与重合，与延长线重合三种情况结合图形计算角度即可． 【详解】（1）①； 故答案为：； ②、分别为和的角平分线， ， ; （2）当与重合时，如图： ，分别平分和， ， ； 当与重合时， ； 当与延长线重合时，则， ； 综上，或或． 2．（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图，小明把一副三角板直角顶点重叠在一起如图固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当边与边重合时停止转动．    【解决问题】 (1)在旋转过程中，请填出、之间的数量关系______； (2)当运动时间为秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由； (3)当、中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线是的“优线”，请直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1) (2) 有，平分，平分 如图所示，理由如下： 当运动时间为秒时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴平分；    (3)，，，， 【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论； （2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解； （3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得的值． 【详解】（1）解：①如图，，理由如下： 由题意得，，． ∴ ，   如图，，理由如下： 由题意得，，． ∴ ，    综上，． 故答案为：； （2）略 （3）解：由题意得，，． 当时，， ∴，解得； 当，在内部时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上，，，，，． 【点睛】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键． 题型五・三角形内外角平分线夹角模型 【典例5】（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点P． (1)若，，则______°，______°； (2)，则______°（用n表示），并说明理由． 【应用】 (3)如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）由角平分线定义可得，，继而推导出 ，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ （3）解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． 💡破题要诀 1.两内角平分线夹角:夹角等于90°十顶角。 2.一内一外角平分线夹角:夹角等于顶角。 3.两外角平分线夹角:夹角等于90°-顶角。 迁移应用 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． 2．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）综合探究与应用 【问题情境】 (1)如图，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数________． 【问题探究】 (2)如图，在中，作外角，的平分线交于点．求和的数量关系． 【拓展应用】 (3)如图，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则________． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线得出，进而求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质同（1）求解即可； （3）首先求出，得到，然后分4种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，． ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵外角，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴； ④当时， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·黑龙江·期中）下列图形中，作的边上的高，正确的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】作的边上的高，需由点A向边上作垂线，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，需由点A向边上作垂线，故A错误； B选项，是点A向边上作垂线，故B正确； C选项，是的边上的高，故C错误； D选项，是的边上的高，故D错误． 2．（26-27八年级上·湖北·期中）用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（ ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行解答即可． 【详解】解：A、，故不能构成三角形； B、，故不能构成三角形； C、，故不能构成三角形； D、，故能构成三角形． 3．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A．没有应用到三角形的稳定性，故该选项符合题意， B．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， C．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， D．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意． 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）将一把直尺和一块含角的直角三角尺（，）按如图所示的方式放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质得出，最后利用角的和差关系即可求出答案． 【详解】解：， ， 直尺的两边互相平行， ， ， ． 5．（25-26九年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，将一套直角三角板如图所示放置，使等腰的斜边恰好经过另一个的直角顶点C，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵腰， ， ∴． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 7．（25-26八年级上·山西忻州·期末）如图，有一张三角形纸片．其中．将该纸片沿剪开，得到一张四边形纸片，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，平角的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据直角三角形的性质得出，然后根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（26-27八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质，三角形的内角和，直角三角形的两锐角互余等性质解答即可． 【详解】解：，，， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 9．（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）已知，是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 【答案】 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为，底边长为，则三边长为，，，，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立，舍去． 情况2：若腰长为，底边长为，则三边长为，，，，满足三角形三边关系．周长为． 10．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中， ，平分 (1)求的度数； (2)探究 与 之间有何等量关系，并直接写出结论． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·广东·期中）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴． 2．（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）如图，在中，和的角平分线交于点O．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，可求，从而，进而可求． 【详解】解： ， ， 和的角平分线交于点O， ，， ， ， 则的度数为． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，则较小锐角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质，设未知数并列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设较小锐角的度数为，则另一个锐角的度数为． ∵直角三角形中两锐角互余，和为． ∴． 解得． 因此较小锐角的度数为． 4．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，由折叠的性质得，然后，根据平角的定义及，得，进而得，最后，根据三角形的内角和定理得． 【详解】解：如图， ∵把的一角折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 【答案】20 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理求出，从而即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 【答案】 【分析】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 【详解】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ∴. ∴． 7．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，平分平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和的性质得出，，两等式相减得到，由此可得出结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ． 9．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1) 解：如图即为所求： (2) 如图即为所求： (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $